L'électrolyse haute température de l'eau à l'aide de membranes en céramique conductrice de protons est un processus intéressant pour la production d'hydrogène. Ce processus, qui peut être effectué sans catalyseurs nobles, produit de l'hydrogène pur et nécessite moins d'électricité que l'électrolyse classique à basse température. Le développement futur de ces réacteurs à membrane nécessite des efforts accrus sur la simulation numérique afin d'optimiser la chaleur et les transferts de masse ainsi que la conception de cellules d'électrolyse. Ce travail présente un ensemble d'équations sélectionnées dans la littérature et des démonstrations mathématiques rigoureuses permettant la description des phénomènes de transport dans la cellule et en particulier dans les électrodes qui sont composées de cermets. A partir de ce modèle, une étude paramétrique est conduite de façon à caractériser l'influence des différents paramètres opératoires sur ces phénomènes. Les différentes observations de cette étude permettent de dresser un ensemble d'hypothèses pour le développement de méthodes destinées à la simplification du modèle et à la réduction du temps de résolution. Ces modèles simplifiés permettent la détermination analytique des grandeurs dans l'électrode et ont conduit à la construction de nombres adimensionnels et de longueur caractéristiques du dispositif. / High temperature electrolysis of water by using proton conducting ceramic membranes is an interesting process for producing hydrogen. This process can be carried out without noble catalysts and produces pure hydrogen and requires less electricity than classical low temperature electrolysis. The future development of such membrane reactors requires increasing efforts on numerical simulation in order to optimize the heat and mass transfers as well as the design of electrolysis cells. This work presents a set of equations selected from the literature and rigorously demonstrated for the description of transport phenomena in the cell and particularly in the electrodes which are made of cermets. From this model, a parametric study is conducted in order to characterize the influence of various operating parameters on these phenomena. The different findings of this study provide a set of assumptions for the development of methods for simplifying the model and reducing the time of resolution. These simplified models allow analytical determination of quantities in the electrode and leads to the establishment of dimensionless numbers and characteristics length of the device.

Les axes de recherche et les analyses faites dans cette thèse portent sur les méthodes d'ordre élevé en éléments finis appliquées dans le cadre de la résolution des équations de Navier-Stokes et de modèles de turbulence. Elle se décompose en deux thématiques principales: -La mise en oeuvre de méthodes d'ordre élevé dans un code de calcul industriel -L'élaboration d'une méthodologie de création de maillages courbes sur des géométries 3D Une série de cas tests de difficulté croissante a été menée afin de valider ces méthodes. On présente, notamment, un cas complet d'avion où la démarche complète d'obtention du maillage ainsi que le calcul Navier-Stokes et modèle de turbulence sont détaillés et commentés. La motivation, l'apport et les obstacles techniques sont enfin discutés. / The areas of research and analysis covered ​​in this thesis focus on methods using high order finite elements applied for solving Navier-Stokes equations and turbulence models. It consists of two main parts:-The implementation of high-order methods in an industrial computer code -The development of a methodology for creating curved meshes on 3D geometries A series of test cases of increasing difficulty were conducted to validate these methods. We present, moreover, a case of a full aircraft where the process used to obtain the full mesh and the Navier-Stokes/turbulence model calculation are fully described and discussed. Motivation, contribution and technical barriers are finally discussed.

L’utilisation de structures fines est croissante dans bon nombre d’industries. En ce sens, leur représentation mécanique et optimisation est un enjeu majeur de la recherche actuelle. De façon classique, l’optimisation s’effectue avec un critère de contrainte, obtenue à partir d’une modélisation éléments-finis en déplacements. L’idée de ces travaux est de construire un modèle éléments-finis mixte déplacements-contraintes et de développer des méthodes de réduction adaptées, de façon à améliorer l’efficacité des méthodes d’optimisation existantes. On construit d’une part deux modèles élément-finis mixtes déplacements-contraintes généralisées, pour des analyses dynamiques de structures “plaque” fines et épaisses. Ces derniers présentent l’avantage de donner des résultats identiques aux modèles classiques en déplacements, avec un meilleur temps de reconstruction des champs de contraintes. Cependant, ils s’avèrent être délicats pour plusieurs raisons : la taille des matrices associées, la difficulté de faire une analyse modale rapide, et un temps d’assemblage accru. C’est la raison pour laquelle nous développons par la suite des méthodes de sous-structuration et de double synthèse modale spécifiquement dédiées aux modèles mixtes. L’idée est d’utiliser des bases modales tirées du modèle équivalent en déplacements pour composer une nouvelle base mixte réduite. Dix méthodes sont implémentées, basées sur des modes encastrés, libres et de branche, parmi lesquelles certaines s’avèrent très efficaces pour réduire le nombre de degrés de liberté du système mixte, sans passer par ses modes propres. Enfin, nous intégrons les modèles mixtes sous-structurés sous forme de super- éléments mixtes dans un algorithme génétique, dans le but de mener une optimisation multi-objectif de structures “plaque” académiques sous chargement dynamique, avec critères de contrainte et paramètres d’épaisseur. Les modèles précédemment définis sont ainsi paramétrés en épaisseur, et ne nécessitent plus d’être ré-assemblés pour chaque configuration. Nous disposons désormais d’un modèle mixte “plaque”, qui conserve les avantages d’un accès direct aux contraintes, tout en étant affranchi de sa taille importante par le biais des méthodes de réduction, et de son assemblage grâce au paramétrage. Il en résulte des modèles mécaniques originaux et efficaces, permettant de réduire les coûts de calcul des algorithmes d’optimisation classiques. Ce type de méthode, couplé à de puissants algorithmes génétiques, permet d’avoir une bonne vue d’ensemble des solutions optimales, et laissent augurer des perspectives intéressantes pour une utilisation industrielle. / The use of thin structures is increasing in many industries. Their mechanical representation and optimization is therefore a major challenge in modern research. Usually, the optimization is done with a stress criterion which is determined through displacements finite-element model. The idea of this work is to build a mixed displacements-stresses finite-element model and to develop adapted reduction procedures, in order to improve the efficiency of existing optimization methods. On the one hand, we build two mixed displacements-generalized stresses finite element models, for thin and thick dynamic plate structures analysis. They afford the advantage of giving identical results as classical displacements models with a better computational time to re-build the stress fields. Nevertheless, they turn out to be tricky for some reasons : the bigger matrices size, the difficulty of modal analysis and an assembling time higher. That is the reason why we develop afterwards some sub-structuring methods and double modal synthesis specifically dedicated to mixed models. The idea is to use modal basis taken from the equivalent displacement model so as to build a new mixed reduced basis. Ten methods are implemented, based on fixed modes, free modes, and branch modes. Some of them turn out to be very efficient to drastically reduce the amount of degrees of freedom of the mixed model, without using its eigenmodes. Finally, we embed the sub-structured mixed model in the form of Mixed Super- Element in a genetic algorithm, with the aim of conducting a multi-objective optimization of academic plate structures under dynamic loads, with stresses criterion and thicknesses parameters. The models previously defined are configured with thicknesses as parameters, and therefore don’t need to be re-assembled for each configuration. We now dispose of a powerful thickness-parametrized mixed reduced plate finite element model : it keeps the advantages of an easy access to the stresses and is free of its important size thanks to the reduction method and of its assembling thanks to the parametrization. The result is an original and efficient mechanical model that reduces the computational cost of classical optimization algorithms. That type of model, coupled with powerful genetic algorithms, permits a global optimization with a good overview of the solutions and promises interesting perspectives for industrial uses.

L'objectif de ces travaux de thèse est de proposer une démarche de caractérisation et de simulation de matériaux métalliques à gradients de microstructure. Ces résultats doivent permettre de modéliser l'impact du procédé de forgeage sur la tenue en fatigue à grand nombre de cycles d'essieux ferroviaires, produits dans le cadre du projet Innovaxle par la société Valdunes. Des essais de caractérisation réalisés sur un essieu forgé mettent en évidence un gradient de taille de grain entre le cœur et la surface de la pièce. Ce gradient est reproduit à une échelle plus fine sur des éprouvettes recristallisées en fer ARMCO, dont la caractérisation révèle un comportement élasto-plastique fortement hétérogène. Ce comportement est caractérisé à l'aide de la méthode F.E.M.U. (Finite Element Model Updating), qui appuie une hypothèse de modélisation basée sur l'application de la loi Hall-Petch à l'échelle mésoscopique. Cette modélisation sert de base à des simulations en fatigue décrivant la réponse à des sollicitations non-uniformes d'agrégats polycristallins à gradient de microstructure. L'intérêt de microstructures conçues en prévision de chargements spécifiques est mise en avant par ces simulations. Les calculs éléments finis présentés dans ces travaux sont réalisés avec le logiciel Code Aster, et le logiciel libre YADICS est utilisé pour la corrélation d'images numériques. / The main objective of this thesis is to design a consistent methodology for the characterization and simulation of functionally graded metals. This approach should allow the assessment of the high cycle fatigue response of forged railway axles produced by Valdunes, in the context of the Innovaxle project. The tests conducted on the forged material reveal a very heterogeneous microstructure, whose grain size varies in the width of the axle. A procedure based on recrystallisation is designed to reproduce this grain size gradient on a smaller scale, on a reference material (ARMCO iron). The characterization of the obtained graded microstructure shows heterogeneities in the local elasto-plastic response of the specimen. This behaviour is tentatively described by a heterogeneously distributed elasto-plastic law over the microstructure, the local yield strength being obtained from the local grain size through a Hall-Petch formulation. This model is used to simulate the response of graded microstructures under heterogeneous loadings in the high cycle fatigue regime. The interests of functionally graded materials are outlined by these simulations. The finite element simulations run in this work make use of the Code Aster software, and the digital image correlation program YADICS is used for image registration purposes.

Les précipités ductiles de niobium compris dans l'alliage à mémoire de forme Ni47Ti44Nb9 élargissent l'hystérésis de transformation après un traitement particulier. L'augmentation des températures de transformation inverse peut atteindre 80 °C. Cette caractéristique représente un grand intérêt pour des applications industrielles, notamment pour des bagues de serrage. Un modèle de comportement thermomécanique est présenté. Il s'appuie sur des observations expérimentales permettant de caractériser l'alliage, considéré comme un composite dont la matrice est composée de NiTi avec un comportement à mémoire de forme, et d'inclusions de niobium avec un comportement élastoplastique ductile. La technique de transition d'échelle de Mori-Tanaka entraîne la formulation d'une loi de comportement macrohomogène. Ce modèle est implémenté dans un code de calcul par éléments finis. Des dispositifs de serrage sont réalisés expérimentalement et modélisés numériquement afin de valider le modèle. / Niobium ductile precipitates included in Ni47Ti44Nb9 shape memory alloy broaden transformation hysteresis after a particular treatment. The increase of reverse transformation temperature can reach 80 °C. This feature is attractive for industrial applications, including tightening rings. A thermomechanical model is presented. It is based on experimental observations to characterize the alloy, considered as a composite whose matrix is composed of NiTi with shape memory alloy behavior and inclusions of niobium with elastic-plastic behavior. The Mori-Tanaka transition scale technique results in a macro-homogeneous behavior law formulation. This model is implemented in a finite element code. Clamping devices are realized experimentally and modelled numerically to validate the model.

Les alliages base titane sont des matériaux largement utilisés dans l'industrie aéronautique. Parmi ces alliages le Ti6Al4V est le plus répandu. Mais de nombreuses études ont montré que le titane et ses alliages ont une mauvaise usinabilité. Cet état de fait leur a été attribué en raison de leur faible conductivité thermique, qui concentre la chaleur dans la zone de coupe, de leur grande affinité chimique avec les matériaux des outils. Ce travail de thèse est séparé en deux parties, une expérimentale et une numérique qui ont comme finalité la mesure et l'estimation de la température pendant le perçage. Pour l'évaluation de la température 3 techniques de mesure sont utilisées : une première utilisant un thermocouple, placé au plus proche du bec de l'outil, une seconde mesurant la température à l'interface outil/copeau en utilisant l'effet Seebeck : un sandwich Ti/matériau isolant/constantan/matériau isolant/Ti est réalisé et la mesure est faite entre le constantan et l'arrête de l'outil et une dernière présentant des thermocouples montées dans la pièce, devant la pointe du foret, de manière à ce que le foret s'arrête à une distance de 0.1 mm des thermocouples. Pour toutes ces mesures, trois forets différents ont été utilisés. Pour la réalisation de la partie simulation, deux approches, analytique et numérique, ont été utilisées. L’approche analytique permet l'approximation des efforts de coupe pendant le perçage. L'approche par éléments finis, utilisant le logiciel "Advantedge", permet l'évaluation des efforts de coupe et la température en usinage. Le but étant de retrouver le même comportement que dans le cas des essais réalisés / The titanium-based alloys are materials widely used in the aviation industry. Among these alloys Ti6Al4V is the most common. But many studies have shown that titanium and its alloys have poor machinability. This is due to their low thermal conductivity, which concentrates heat from the cutting area, their high chemical affinity with the tool material. This thesis is separated into two parts, an experimental and numerical that are intended for measuring and estimating the temperature during drilling. For the evaluation of the 3 temperature measurement techniques are used: one using a thermocouple placed as close a possible to the corner the tool, a second measuring the temperature at the interface between tool/cutting edge using the Seebeck effect: sandwich Ti / insulation / constantan / insulation / Ti is achieved and the measurement is made between the constantan and the tool edges and a final technique with thermocouples mounted in the workpiece, ahead of the drill point, so that the drill stops at a distance of 0.1 mm from them. For all these measures, three different drills were used. To achieve the simulation part, two approaches, analytical and numerical, have been used. The analytical approach allows the approximation of cutting forces during drilling. The finite element approach, using the software "Advantedge", allows the evaluation of cutting forces and temperature in machining. The goal is to find the same behavior as in the case of measures

Un modèle de comportement thermomécanique pour les alliages à mémoire de forme est présenté. Il prend en compte la transformation de phase martensitique, l'orientation des variantes de martensite ainsi que l'accommodation inélastique des macles au sein de la martensite formée sous une structure auto-accommodée. Un potentiel thermodynamique pour un volume élémentaire représentatif est proposé. Il est décrit à l'aide de trois variables internes définies à l'échelle macroscopique. Des forces thermodynamiques sont dérivées de ce potentiel et équilibrées en faisant intervenir des phénomènes dissipatifs. Le modèle est ensuite implanté dans un code de calcul par élément finis afin de dimensionner des structures en deux et trois dimensions. Ce modèle a servi par la suite de base à une description non locale du comportement superélastique permettant de prendre en compte les phénomènes de localisation observés dans les fils et les films minces d'AMF. Des éléments finis spécifiques sont développés afin de pouvoir prendre en compte ce type d'approche dans le cadre d'un calcul de structures. / A constitutive thermomechanical model for the behavior of shape memory alloys is presented. It takes into account the martensitic phase transformation, the orientation of martensite variants and the inelastic accommodation of twins inside self-accommodated martensite. A thermodynamical potential is built using three internal variables described at macroscopic scale. Driving forces are derived from this potential and the equilibrium is reached by considering dissipative phenomena. The model is then implemented into a finite element code in order to design two or three-dimensional structures. It was adopted as a fundamental for a non-local description of the superelastic behavior in order to take into account the localization phenomenon observed in SMA wires and thin films. Specific finite elements are developed to account with this type of approach in the framework of structures computation.

Le formage incrémental consiste à utiliser un poinçon de forme simple dont le mouvement va progressivement mettre en forme une tôle. Il ouvre de nouvelles perspectives quant au potentiel des procédés de mise en forme des tôles métalliques. La mise en oeuvre du formage incrémental par des systèmes mécaniques ayant des capacités dynamiques accrues et des volumes accessibles importants tels que les robots manipulateurs sériels ou parallèles est un moyen efficace d’améliorer, d’une part la productivité mais aussi la complexité des pièces formées. L’objectif scientifique de ce travail est de contribuer au développement d’une approche globale du problème, en se plaçant à la fois à l’échelle « mésoscopique » du procédé et à l’échelle « macroscopique » du système de fabrication. C’est dans ce contexte qu’est proposée une approche couplée matériau/structure combinant d’une part l’analyse éléments finis du procédé et d’autre part un modèle élastique de la structure du robot.Tout d’abord, les efforts requis au niveau de l’outil pour former la pièce sont calculés sous l’hypothèse d’une structure de machine parfaitement rigide. Afin de minimiser l’erreur entre la prédiction et la mesure des efforts de formage, trois facteurs identifiés comme influents sur le niveau d’effort sont étudiés. Il est alors démontré, qu’à partir d’un choix de paramètres adapté, il est possible de s’affranchir de la mesure des efforts de formage, ce qui n’est actuellement pas le cas dans la littérature.Les efforts prédits sont ensuite définis comme une donnée d’entrée du modèle élastique de la structure robot afin de calculer les erreurs de poses du centre outil. Pour prendre en compte le comportement élastique de la structure, la modélisation des structures robotisées par des éléments de type poutre est retenue puis appliquée à un robot industriel Fanuc S420if. Elle permet de prédire ce comportement avec une précision maximale de ± 0,35 mm, quelque soit le chargement en bout d’outil supportable par le robot.Afin de valider l’approche, deux pièces sont formées par le robot : un cône tronqué et une pyramide vrillée. La géométrie de ces deux pièces permet de valider à la fois les hypothèses de la simulation ainsi que l’approche globale. Ces deux expérimentations entraînent une amélioration de 80 % de l’exactitude de pose du robot, rapprochant ainsi celui-ci des performances d’une machine à commande numérique à structure cartésienne.Finalement, dans la dernière partie, une boucle d’optimisation permet de prendre en compte, dès le calcul de la trajectoire, l’effet du retour élastique de la tôle avant le débridage de la pièce afin de minimiser l’écart entre le profil nominal et le profil formé. L’application de l’approche couplée à cette trajectoire se traduit par une précision géométrique de ± 0,15 mm du profil formé avant desserrage de la tôle, ouvrant ainsi des perspectives intéressantes quant à l’application de la méthodologie. / The incremental forming is an innovative process which consists in forming a sheet by the progressive movements of a punch. A solution to improve the productivity of the process and the complexity of the parts shapes is to use robots (serial or parallel). The scientific aim of this work is to define a global approach of the problem by studying the mesoscopic scale of the process and the macroscopic scale of the machine. In this context, a process/machine coupling approach which combines a Finite Element Analysis (FEA) of the process and an elastic modeling of the robot structure is presented.First, the punch forces necessary to form the part are computed assuming a machine structure perfectly stiff. To minimize the error between the predicted forming forces and the measured ones, the weight of three numerical and material parameters of the FEA is investigated. This study shows that an appropriate choice of parameters avoids the force measurement step, unlike the available approaches in the literature.Then, the predicted forces are defined as input data of the elastic model of the robot structure to compute the Tool Center Point (TCP) pose errors. To consider the behavior of the elastic structure, the modeling of robotized structures by beam elements is chosen and applied to an industrial robot Fanuc S420if. The identified elastic model permits to predict the TCP displacements induced by the elastic behavior of the robot structure over the workspace whatever the load applied on the tool. The prediction maximum error of ±0.35 mm remains compatible with the process requirements.To validate the approach, two parts are formed by the robot: a truncated cone and a twisted pyramid. The geometry of these two parts confirms the hypothesis of the simulation and the global approach. These two tests give very interesting results since an improvement of 80 % of the TCP poseaccuracy is identified.Finally, an optimization loop based on a parametric trajectory and on a FEA anticipates the springback effects before the unclamping of the sheet, and then minimizes the error between the nominal shape and the formed one. The application of the process/machine coupling approach for this trajectory leads to a geometric accuracy of the part before unclamping of ± 0.15 mm. These results open interesting perspectives for the methodology application.

L'objectif principal de cette étude consiste à réduire les temps de calcul des simulations de procédés de mise en forme continus sous le logiciel Forge3®. Ces procédés, tel que le laminage et le tréfilage, sont caractérisés par des pièces dont la longueur est très importante en comparaison des dimensions de la section ainsi que de la zone de contact. Une approche incrémentale générale implique des temps de calcul conséquents allant de quelques heures à plusieurs jours. En se concentrant sur le régime quasi permanant de ces procédés, une formulation stationnaire est développée pour accélérer leur simulation. Le domaine de calcul correspond initialement à une estimation de la forme de l'écoulement solution au voisinage des outils. Une étape de correction du domaine est ajoutée en plus du calcul stationnaire de l'écoulement. Comme les conditions aux limites sont modifiées, ces deux étapes sont répétées jusqu'à convergence.L'étude s'est concentrée principalement sur l'étape de correction du domaine correspondant à la résolution d'un problème de surface libre par la méthode des éléments finis. Le caractère purement convectif du problème ainsi que la prise en compte du contact nécessite l'utilisation de formulations faibles faisant apparaître un décalage amont (SUPG). Deux nouvelles formulations basées sur la méthode des moindres carrés sont développées avec succès (MC_supg et MC_lc). Pour appliquer la méthode à des géométries complexes, différentes méthodes de généralisations sont développées où un 2ème degré de liberté est ajouté aux nœuds de surface. La méthode la plus performante (CSL_dif) consiste à utiliser ce 2ème degré de liberté pour le calcul de surface libre uniquement sur les nœuds appartenant à une arête géométrique, pour les autres une régularisation du maillage dans la direction tangente y est effectuée. Des résultats excellents ont été observés sur un grand nombre de cas tests analytiques. Le contact est appliqué par une méthode de pénalisation aux nœuds. Afin de renforcer le couplage entre cette étape et celle du calcul de l'écoulement, un contact bilatéral glissant est attribué aux nœuds en compression alors que pour les autres nœuds un contact unilatéral est employé. Un algorithme spécifique est développé pour déterminer avec précision la zone de contact.Cette formulation itérative pour la recherche de l'état stationnaire a été appliquée avec succès sur un grand nombre de cas tests de mise en forme. Des accélérations comprises entre 10 et 60 ont été obtenues par rapport à Forge3®. / The aim of this study is to reduce the computational time for the simulation of continuous material forming processes with Forge3® software. These processes, like rolling and wire drawing, are characterized by an important length of the pieces in comparison to their sectional's dimensions and to the local contact area. A general and incremental approach requires important computational times ranging from a few hours to several days. By focusing on the quasi permanent regime of these processes, a stationary approach is developed to speed up their simulation. The computational domain consists of an initial guess of the steady flow near the tools. A domain correction stage is added after the computation of the steady flow. As boundary conditions are changed, these two stages are repeated until the convergence is reached.Most of the works is concentrated on the domain correction which is a free surface problem solved by the finite elements method. As it is a case of a pure convection problem where the treatment of contact is necessary, weak formulations have to show up an upwind shift (SUPG). Two new formulations based on the least squares method have been successfully developed (MC_supg, MC_lc). To take into account complex geometries, severals new methods have been developed by adding a second degree of freedom for surface nodes. The most efficient method (CSL_dif) uses this second degree of freedom for free surface computation only for nodes belonging to geometric edges, whereas the other nodes have a mesh regularization in tangent direction of the surface. Excellent results are obtained for many analytical test cases. A penalization method is used to apply contact equations on nodes. In order to enforce the coupling between this stage and the one for the computation of the flow, a bilateral sliding contact is assigned to the nodes in compression, whereas for the others a unilateral contact is used. A specific algorithm has been developed to efficiently compute the contact area.This iterative formulation for the search of the steady state is successfully used on a large number of material forming test cases. Important accelerations are gained compared to Forge3®, ranging from 10 to 60.

La dérivée topologique évaluée pour une fonctionnelle d'énergie définie dans un domaine et dépendante d'une solution d'un problème aux limites, est l'outil principal de l'optimisation de formes. Elle représente le taux de variation de la fonctionnelle d'énergie quand le domaine est modifié par une création de trou. La forme de la dérivée topologique est fournie par une analyse asymptotique d'un problème aux dérivées partielles et d'une fonctionnelle d'énergie. La définition de la dérivée topologique a été introduite dans [4] et [5]. Quelques notions d'analyse asymptotique qui permetent d'évaluer la forme de la dérivée topologique, ont été évoquées dans [2], [3]. Une méthode numérique pour calculer la solution du problème d'optimisation de forme, utilisant la dérivée topologique et la méthode des courbes de niveaux (levelset) a été présentée dans [1]. L'objet de ce travail de thèse est de développer des méthodes pour déterminer la dérivée topologique. Dans la première partie, on fait l'analyse d'un problème elliptique d'équation aux dérivées partielles non-linéaire. On commence par l'approximation de la solution du problème aux limites et ensuite on obtient le développement asymptotique d'une fonctionnelle de forme, dont le terme de premier ordre est la dérivée topologique. Par la suite, on considère une approximation numérique de la dérivée topologique en utilisant une méthode d'éléments finis et on démontre sa convergence. Les résultats théoriques sont illustrés par les calculs numériques. Dans la deuxième partie, on adapte la méthode de courbes de niveau à un problème d'optimisation de formes et de topologie. On applique la dérivée topolo- gique trouvée dans la première parie pour trouver l'endroit de modification du domaine afin de minimiser une fonctionnelle de coût. Dans la troisième partie, on considère le système de l'élasticité défini dans un domaine avec une fissure. Dans ce cas, on regarde le comportement asymptotique de la solution et de la fonctionnelle d'énergie par rapport aux perturbations singulières du domaine géométrique. Dans ce chapitre la dérivée topologique de l'énergie est donnée pour des domaine fissurés en dimension deux et trois. / The dissertation concerns numerical methods of shape optimization for nonlinear elliptic boundary value problems. Two classes of equations are considered. The first class are semilinear elliptic equations. The second class are elasticity problems in domains weakened by nonlinear cracks. The method proposed in the dissertation is known for linear problems. The framework includes the topological derivatives [2]-[5], and the levelset method [1]. It is shown, that the method can be applied in order to find numerical solutions for the shape optimization problems in the case of nonlinear elliptic equations. There are three parts of the dissertation. In the first part the topological derivatives for semilinear elliptic equation are determined by the compound asymptotic expansions. The expansion of solutions with respect to the small parameter which describes the size of the hole or cavity created in the domain of integration is established and justified. There are two problems considered in details. The first problem in three spatial dimensions with the Dirichlet boundary conditions on the hole. The complete proof of asymptotic expansion of the solution in the weighted Holder spaces is given. The order of the remainder is established by the Banach fixed point theorem in the weighted Holder spaces. The expansion of the solution is plug into the shape functional, and the first order term with respect to small parameter, is obtained. The second boundary value problem in two spatial dimensions enjoys the Neumann boundary conditions on the hole. The numerical results for the topological derivatives are given in twwo spatial dimensions by the finite element method combined with the Newton method for the nonlinear problems. The error estimates for the finite element method are also established. In the second part numerical method of shape optimization is proposed , justified and tested for a semilinear elliptic problem in two spatial dimensions. The forms of the shape gradient and of the topological derivative for the tracking type shape functional are given. The existence of an optimal domain under standard assumptions on the family of admissible domains is shown. Finally, numerical results are presented, which confirm the efficiency of the proposed method. In the third part of dissertation the elasticity boundary value problems in a body weakened by cracks is introduced. The variational formulations of the problem are recalled, including the smooth domain formulation. The domain decomposition method with the Steklov-Poincaré operator is analysed, with respect to the singular perturbation by creation of a small opening. The difficulty of the analysis is due to the fact that there are nonpenetration conditions prescribed on the crack lips, which make the problem nonlinear. The asymptotics of the energy functional are introduced and justified. As a result, the form of the topological derivative of the energy functional is obtained.