Les trois chapitres, relativement indépendants, de la thèse étudient des variétés pseudo-riemanniennes (variétés munies d'une métrique non-dégénérée mais non définie) dont l'holonomie restreinte est indécomposable mais stabilise des sous-espaces totalement isotropes. Chapitre 1. Une variété riemanienne de courbure de Ricci parallèle est localement (globalement si elle est complète et simplement connexe) un produit de variétés d'Einstein. Cela résulte de la positivité de la métrique et n'est plus vrai dans le cas pseudo-riemannien. Cependant, en utilisant les propriétés classiques de l'holonomie ainsi qu'un travail de Klingenberg de 1954 sur les paires de formes bilinéaires symétriques le chapitre 1 montre un résultat proche : décomposition en produit de variétés d'Einstein et de deux autres types, <> et < pour les paires de formes réflexives, voir pp.96-100 de la thèse. Chapitre 3. Le plus significatif, il construit, sur une certaine classe de variétés pseudo-riemanniennes réductibles, indécomposables sous l'action de leur holonomie restreinte, des coordonnées privilégiées, <> en un sens qu'il précise (th. 1 p. 167). Ces coordonnées sont un outil pour une première compréhension de la géométrie locale, complexe, de ces variétés. Elles permettent en particulier de paramétrer l'espace des germes de métriques lorentziennes correspondant à chacun des quatre types d'holonomie lorentzienne possibles donnés par A. Ikemakhen et L. Bérard Bergery. (voir pp. 204--205 et 211).

Ce mémoire porte sur l'étude des antiautomorphismes d'algèbres et en particulier sur les antiautomorphismes linéaires d'algèbres centrales simples (sur un corps commutatif). Si l'algèbre est une algèbre de matrices, alors un tel antiautomorphisme est l'adjonction pour une forme bilinéaire. Ainsi la classification des antiautomorphismes linéaires (resp. de type II) à isomorphisme près est une généralisation de celle des formes bilinéaires (resp. sesquilinéaires) à similitude près. Dans la première partie, on définit la notion d'asymétrie d'une forme sesquilinéaire, et on étudie les éléments d'une algèbre d'endomorphismes qui sont une asymétrie. La notion de produit de formes sesquilinéaires conduit à une théorie de Morita pour les algèbres à antiautomorphismes, qui permet de généraliser la notion de somme orthogonale connue pour les involutions d'algèbres centrales simples aux algèbres à antiautomorphisme Morita équivalentes avec asymétrie. Dans la deuxième partie, après avoir rappelé comment l'asymétrie permet d'obtenir une classification des formes bilinéaires, on généralise au cas non déployé linéaire la notion d'asymétrie et on explique comment on peut espérer obtenir de bons résultats en étudiant l'involution induite sur le centralisateur de l'asymétrie et la pseudo-involution linéaire associée à cette asymètrie. L'étude du principe de Hasse pour les similitudes de formes bilinéaires conduit natu- rellement au calcul de certains groupes de Tate-Schafarevich de tores algébriques de type normique. Ceci permet, dans une troisième partie, de donner des contre-exemples à ce principe sur des corps de nombres, ainsi qu'une interprétation de type corps de classe à l'obstruction à ce principe. Ce type de calculs pour d'autres tores normiques permet de démontrer qu'ils ne sont pas stablement rationnels. Ce résultat permet alors de déterminer les groupes algébriques simples dont le tore générique est rationnel, et délimite donc les cas pour lesquels l'étude du tore générique donne la rationalité du groupe. La quatrième partie est dédiée à la définition et à l'étude d'invariants des algèbres centrales simples à antiautomorphismes qui généralisent ceux donnant de bons résultats de classification pour les involutions : le discriminant, l'algèbre de Clifford et la forme trace. On y développe alors les résultats espérés en petite dimension cohomologique ou en petit degré.

L'histoire du théorème de Jordan est abordée sous l'angle d'une question d'identité posée sur la période qui sépare la date de 1870 et l'énoncé par Camille Jordan d'une forme canonique des substitutions linéaires des années trente du vingtième siècle au cours desquelles le théorème de Jordan de la décomposition matricielle acquiert une place centrale dans la théorie des matrices canoniques. A partir d'un moment historique de référence, la controverse entre Jordan et Kronecker de 1874, le théorème de Jordan permet de jeter un regard original sur l'histoire de la période 1870-1930 en suivant le rôle joué par des savoirs tacites, des idéaux et des pratiques propres à des réseaux et des communautés. Ce regard permet notamment de mettre en évidence la dynamique d'une tension entre formes canoniques et invariants dans l'évolution de la signification de la notion de forme en mathématiques et contribue à l'histoire de l'algèbre linéaire en décrivant le rôle joué par une méthode de décomposition indissociable d'un mode particulier de représentation : la décomposition matricielle.