Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Pour résoudre un problème de mathématiques ou comprendre une démonstration, une figure bien choisie est parfois d’un grand secours. Ce fait souvent remarqué peut être vu comme un cas particulier d’un phénomène plus général. Utiliser une figure plutôt que des phrases, reformuler un problème sous la forme d’une équation, employer telles notations plutôt que telles autres : dans tous ces cas, en un sens, on ne fait que représenter sous une nouvelle forme ce qu’on sait déjà, et pourtant, cela peut permettre d’avancer. Comment est-ce possible ? Pour répondre à cette question, la première partie de cette thèse étudie ce qu’apporte un changement notationnel précis introduit par Leibniz à la fin du XVIIe siècle. La suite de ce travail analyse, et confronte à l’exemple précédent, plusieurs manières de penser les différences représentationnelles proposées dans la littérature philosophique récente. Herbert Simon, étudié dans la deuxième partie, s’appuie sur le modèle informatique des structures de données : deux représentations peuvent être « informationnellement » équivalentes, mais « computationnellement » différentes. Les logiciens Barwise et Etchemendy, étudiés dans la troisième partie, cherchent à élargir les concepts de la logique mathématique (en particulier ceux de syntaxe et de sémantique) aux diagrammes et figures. Enfin, certains philosophes des mathématiques contemporains, comme Kenneth Manders, remettent en cause la notion même de représentation, en soutenant qu’elle n’est pas éclairante pour comprendre l’usage de figures, formules ou autres supports externes en mathématiques. C’est à ces critiques qu’est consacrée la quatrième et dernière partie. / When solving a mathematical problem or reading a proof, drawing a well-chosen diagram may be very helpful. This well-known fact can be seen as an instance of a more general phenomenon. Using a diagram rather than sentences, reformulating a problem as an equation, choosing a particular notation rather than others : in all these cases, in a sense, we are only representing in a new form what we already knew; and yet, it can help us make progress. How is this possible? To address this question, the first part of this thesis explores the benefits afforded by a specific notational change introduced by Leibniz in the late seventeenth-century. The rest of this work analyses, and puts to the test of the preceding case study, several ways of understanding representational differences which have been put forward in the recent philosophical literature. Herbert Simon, studied in the second part, relies on a comparison with the notion of data structures in computer science: two representations, he writes, can be “informationally” equivalent yet “computationnally” different. The logicians Barwise and Etchemendy, studied in the third part, try to broaden the concepts of mathematical logic (in particular those of syntax and semantics) to cover diagrams and figures. Finally, some contemporary philosophers of mathematics, for instance Ken Manders, argue that the notion of representation itself is not helpful to understand the use of diagrams, formulas or other external reasoning tools in mathematics. Such arguments are the focus of the fourth (and last) part.

Alors que l’applicabilité des mathématiques est devenue un sujet d’intérêt pour le débat philosophique récent, celui-ci n’a pas encore clairement mis l’accent sur les questions épistémiques posées par l’intervention des mathématiques dans les sciences et dans la vie quotidienne. Ces questions peuvent être formulées comme suit : comment pouvons-nous connaître la vérité d’une proposition scientifique, ou plus généralement d’une proposition sur certaines caractéristiques du monde naturel, lorsque cette proposition comprend des éléments mathématiques? Quelle sorte de justification avons-nous pour les parties mathématiques de notre connaissance empirique? Cette thèse de doctorat a un double objectif : d’une part, offrir une systématisation critique du débat philosophique en cours sur l’applicabilité. D’autre part, clarifier le problème épistémique posé par l’applicabilité des mathématiques et le séparer des problèmes métaphysiques corrélés. La première partie du travail est consacrée à la formulation des questions propres à une enquête épistémologique sur les mathématiques appliquées, ainsi qu’à la présentation de l’analyse classique de l’applicabilité offerte par Steiner. Dans la partie II, la présentation du débat récent sur l’applicabilité est organisée autour d’une distinction entre les approches qui considèrent les mathématiques pures et appliquées sur le même niveau épistémique, et celles qui distinguent le niveau de mathématiques pures du niveau des applications. Les positions étudiées sont, respectivement, les points de vue fregéen et néo-fregéen, et ce que l’on considère comme des points de vue ‘structurels’, à savoir le structuralisme mathématique (à la fois ante rem et éliminatif), la position de Field et la théorie de la mesure. La partie III introduit le débat sur l’indispensabilité des mathématiques dans les sciences, pour montrer comment les différentes formulations des arguments d’indispensabilité et les critiques qui leur sont adressées renouvellent l’attention sur les questions philosophiques liées à l’applicabilité, et clarifient la séparation entre les questions épistémiques sur les mathématiques pures (par exemple, le problème de l’accès) et les questions épistémiques sur les applications (par exemple, la justification des parties mathématiques de notre connaissance scientifique). La position de Christopher Pincock, qui théorise un traitement épistémique distinct pour les mathématiques pures et appliquées, est spécifiquement analysée. Enfin, la dernière partie en conclut ce que peuvent être les caractéristiques d’une théorie épistémologique adéquate pour les mathématiques pures et pour les mathématiques appliquées, et présentent plusieurs problématiques connexes et cruciales pour de futures recherches. / While the applicability of mathematics has become a topic of great interest in recent philosophical debate, the debate has not yet clearly focused on the fundamental epistemic questions that arise from the use of mathematics in science and in daily life. These questions can be basicallystated as follows: how can we affirm to know the truth of a scientific statement, or more generally that of any statement about a feature of the natural world, when that statement includes some elements of mathematics? What kind of justification do we have for the mathematical portions of our empirical knowledge? My PhD dissertation has a twofold purpose: on the one hand, it offers a critical systematization of the on-going philosophical debate on applicability. On the other hand, the epistemic problem posed by the applicability of mathematics is clarified and separated from correlated metaphysical issues. The first part of the work is devoted to the definition of the specific epistemic questions and the presentation of the classic analysis of applicability problem(s) offered by Steiner. In Part II, the recent debate on applicability is organized around a distinction between those approaches that take pure and applied mathematics to be on the same epistemic level, and those that keep the level of pure mathematics separate from the level of application. The positions investigated are, respectively, Fregean and Neo-Fregean views for the one-stage side, and what I refer to as ‘structural’ views for the two-stageside, namely, mathematical structuralism (both ante rem and eliminative), Field’s account, and measurement theory. Part III takes into account the related debate on the indispensability of mathematics to science, showing how the different formulations of indispensability arguments and the criticisms led to renewed attention to the philosophical questions about applicability in the early 2000s, along with a clarification of the separation between epistemic questions about pure mathematics (e.g. the access problem) and epistemic questions about applications (e.g. the justification of the mathematical portions of scientific knowledge). The account offered by Christopher Pincock, which provides a separate epistemic treatment for pure and appliedmathematics, is specifically analyzed. Finally, in the last part of the work, we draw particular conclusions about what would be, following our analysis, the features of a suitable epistemological treatment of both pure and applied mathematics, while several connected issues are identified as crucial for further inquiry. / L’applicabilità della matematica è diventata un argomento di grande interesse per il dibattito filosofico recente, ma il dibattito non si è ancora focalizzato sulle fondamentali questioni epistemologiche poste dall’uso della matematica nella scienza e nella vita quotidiana. Queste domande possono essere formulate come segue: come possiamo dire di conoscere la verità di un asserto scientifico, o più in generale di qualsiasi asserto su alcune caratteristiche del mondo naturale, quando tale asserto include elementi matematici? Che tipo di giustificazione possiamo avere per le porzioni matematiche della nostra conoscenza empirica? La presente tesi di dottorato ha un duplice scopo: da un lato, si offre una presentazione sistematica deldibattito filosofico in corso sull’applicabilità. Dall’altro lato, il problema epistemico posto dall’applicabilità della matematica è chiarito e separato dai correlati problemi metafisici. La prima parte del lavoro è dedicata alla definizione delle specifiche domande epistemiche sulla matematica applicata; si presenta inoltre l’analisi classica dei problemi legati all’applicabilità offerta da Steiner. Nella seconda parte, la presentazione del dibattito recente sull’applicabilità è organizzata attorno ad una distinzione tra le posizioni che considerano matematica pura e applicata sullo stesso livello epistemico e quelle che mantengono il livello della matematica pura separato dal livello applicativo. Le posizioni indagate sono, rispettivamente, la posizionefregeana e neo-fregeana da un lato, e le posizioni che definiremo ‘strutturali’ dall’altro, ovvero lo strutturalismo matematico (sia ante rem che eliminativo), la posizione di Field e la teoria della misura. La terza parte del lavoro affronta il dibattito sull’indispensabilità della matematica nella scienza, mostrando come le diverse formulazioni degli argomenti di indispensabilità e le critiche ad esse rivolte contribuiscano a rinnovare l’interesse per le domande filosofiche sull’applicabilità, oltre che a chiarire la separazione tra domande epistemiche sulla matematica pura (ad esempio Il problema dell’accesso) e domande epistemiche sulle applicazioni (ad esempio la giustificazione delle porzioni matematiche della nostra conoscenza scientifica). La proposta teorica di Christopher Pincock, che tratta separatamente l’epistemologia di matematica pura e applicata, è analizzata in modo specifico. Nell’ultima parte del lavoro, si traggono alcuni conclusioni su quali potrebbero essere, in seguito allo studio svolto, le caratteristiche di un trattamento adeguato dell’epistemologia della matematica pura e applicata. Infine, alcuni ulteriori problemi connessi sono individuati come cruciali per indagini future.

Ce travail vise à identifier et définir une nouvelle tendance du platonisme mathématique que l'on propose d'appeler « platonisme sobre ». Comme le platonisme mathématiques classique, le platonisme sobre admet la fiabilité de la connaissance mathématique et l'existence d'objets mathématiques. Contrairement au platonisme mathématique classique, son engagement ontologique aux objets mathématiques est atténué par des arguments démontrant qu'un monde sans objets mathématiques ne serait pas cohérent. Quand bien même il le serait, on ne pourrait pas accepter de rejeter les mathématiques pour des raisons philosophiques. Le platonisme sobre suggère donc de concilier l'enquête philosophique avec la pratique mathématique. Dans le premier chapitre, on analyse le platonisme mathématique classique. Le deuxième, troisième, quatrième et cinquième chapitre sont respectivement dévoués à l'examen du platonisme pur-sang, du structuralisme ante rem, de la théorie de l'objet abstrait du trivialisme. Cette théories sont explicitement platoniciennes, mais seulement sobrement engagées dans l'existence d'objets mathématiques. Elles traitent l'existence d'objets mathématiques, la possibilité d'accéder à la connaissance mathématique, le sens des énoncés mathématiques et la référence de leur termes en tant que questions philosophiquement pertinentes. Cependant, elles sont dévouées à l'élaboration d'une description précise des mathématiques en tant que telles. Dans le dernier chapitre, le platonisme sobre est défini comme une description méthodologique de la façon dont les mathématiques sont réalisées, plutôt que comme une prescription normative de la façon dont les mathématiques doivent être réalisées. / This work aims at identifying and defining a new trend in mathematical platonism I propose to call “Sober Platonism”. As classical mathematical platonism, Sober Platonism acknowledges the reliability of mathematical knowledge and the existence of mathematical objects. But, contrary to classical mathematical Platonism, its ontological commitment with mathematical objects is softened by several arguments that demonstrate the claim that a world without mathematical abjects wouldn't be consistent. And even if it would be, rejecting mathematics for philosophical reasons wouldn't be acceptable. As a result, Sober Platonism suggests to lined up philosophical inquiry with mathematics as practiced. In the first chapter, I analyzed classical mathematical Platonism. The second, third, fourth and fifth chapters are devoted to the examination of full-blooded Platonism, ante rem Structuralism, Object Theory and Trivialism respectively. This theories are explicitly platonist, but only soberly committed with the existence of mathematical abjects. They take into account the existence of mathematical abjects, the possibility to access to mathematical knowledge, the meaning of mathematical statements and the reference of their terms as philosophically relevant questions. But they are firstly focused on providing an accurate description of mathematics by its own. In the last chapter, Sober Platonism is defined as a methodological description of how mathematics is performed, rather than as a normative prescription of how mathematics should be performed. In conclusion, Sober Platonism admittedly achieves the goal of providing both philosophy and mathematics with a proper domain of inquiry.

Cette thèse se propose de déterminer les apports d’Oronce Fine (1494-1555) à la philosophie des mathématiques de la Renaissance. En tant que premier titulaire de la première chaire royale de mathématiques, ce mathématicien a joué un rôle important dans la revalorisation de l’enseignement des mathématiques dans la France du XVIe siècle. Dans cette mesure, sa conception des mathématiques permet de montrer l’évolution du statut épistémologique et institutionnel de ces disciplines dans le milieu académique parisien de cette période. Parmi les thèmes abordés par Fine dans sa définition du statut des mathématiques, nous avons choisi d’étudier, dans une première partie, la nature des objets du mathématicien, le statut épistémologique de l’astronomie, la nature des procédures démonstratives et des principes des mathématiques, ainsi que la fonction du quadrivium dans le processus éducatif. Dans une seconde partie, notre analyse de la pensée de Fine porte sur le statut des mathématiques pratiques et des disciplines subalternes des mathématiques, à savoir la perspective et la géométrie, ainsi que sur le profit qui peut être obtenu de l’apprentissage du quadrivium. / The aim of this study is to determine the contributions of Oronce Fine (1494-1555) to Renaissance philosophy of mathematics. As first Royal lecturer in mathematics, Fine played a major part in the reassertion of the value of mathematical teaching in sixteenth-century France. Thus, his thought concerning mathematics allows to set forth the evolution of the epistemological and institutional status of these sciences within the parisian academic context of the period. Among the questions tackled by Fine in his definition of the status of mathematics, we consider, in a first part, the ontological status of mathematical things, the epistemological status of astronomy, the nature of mathematical demonstrations and principles, as well as the function of the quadrivium in the educative process. In a second part, our analysis of Fine’s conception on mathematics deals with the status of practical mathematics and of the sciences which are subalternated to mathematics, that is optics and geography, concluding with the definition of the profit which may be obtained from learning mathematics.

Ce mémoire porte sur la réponse leibnizienne à la question de l’utilité des mathématiques pour la connaissance de la nature, c’est-à-dire, en l’occurrence, pour la connaissance des phénomènes corporels et de leurs relations. Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la façon dont les notions abstraites mathématiques entrent dans la connaissance la plus immédiate des choses. à travers le mode par lequel nous apparaît l’individualité des phénomènes. Après avoir fourni des éclaircissements métaphysiques sur la conception leibnizienne de l’individuation, nous nous plongeons dans l’étude de la position spatiale à la lumière de l’analyse géométrique leibnizienne. Ce dernier prédicat fournit une manière de déterminer les individus qui ne sont pas bien distingués par nous au moyen de leurs qualités réelles. Considérés sous le seul angle de leur individuation spatiale, les phénomènes ont un caractère idéal et indéterminé qui les rend immédiatement susceptibles d’un traitement mathématique. Dans le second chapitre, nous nous intéressons à la question de savoir pourquoi les explications physiques qui font usage des mathématiques sont pour Leibniz préférables épistémologiquement. Nous nous tournons en conséquence vers ses raisons d’adhérer à la philosophie mécanique, qui contient une composante mathématique essentielle, afin d’étudier celle qui tient à la plus grande intelligibilité du mécanisme. Nous tentons de montrer que la composante mathématique du mécanisme contribue à cette intelligibilité parce que les mathématiques proposent une mode de raisonnement valide et expressément adapté à la situation épistémologique des esprits finis. Ce mode produit des raisonnements nécessaires aux moyens de notions incomplètes. Il suscite également la découverte de nouvelles vérités en offrant à l’imagination un support sensible, contrôlable et évident. / This thesis explores Leibniz’s solution to the problem of how mathematics are useful to our understanding of the world, i.e., to our understanding of corporeal phenomena and their relations. In the first chapter, it focuses on how abstract mathematical notions enter in our most immediate understanding of the world. Here, the aim is connecting the pervasiveness of mathematics to the peculiar way by which the individuality of phenomena manifests itself to us. After some metaphysical remarks on Leibniz’s conception of individuation, we study spatial position in the light of the new leibnizian geometrical analysis : Analysis Situs. Spatial position provides us with a way to further distinguish between individual phenomena whose qualities relevant to their real individuation remain ignored. In the sole light of spatial individuation, phenomena are ideal and indeterminate. This situation renders them susceptible to mathematical treatment without further elaboration. In the second chapter, we turn our attention to the question of why mathematical methods in philosophy of nature are epistemologically superior in Leibniz’s eyes. We explore Leibniz’s reason to espouse a mechanical philosophy which comprise indispensable mathematical notions. Leibniz believes that mechanical philosophy is the most intelligible explanation of nature and we mean to assess how mathematics enter this picture. We try to show that the mathematical aspects of mechanical philosophy make it more intelligible by virtue of mathematics’ peculiar mode of reasoning. This mode of reasoning is valid as well as most suited for our finite minds. It provides necessary arguments through incomplete notions. It also encourages the discovery by assisting the imagination with controlled and sensible support that makes knowledge more evident.

Dans cette thèse, je propose une lecture renouvelée de l’itinéraire philosophique d’Hilary Putnam concernant la problématique du réalisme. Mon propos consiste essentiellement à défendre l’idée selon laquelle il y aurait beaucoup plus de continuité, voir une certaine permanence, dans la manière dont Putnam a envisagé la question du réalisme tout au long de sa carrière. Pour arriver à une telle interprétation de son oeuvre, j’ai essentiellement suivi deux filons. D’abord, dans un ouvrage du début des années 2000, Ethics without Ontology (2004), Putnam établit un parallèle entre sa conception de l’objectivité en philosophie des mathématiques et en éthique. Le deuxième filon vient d’une remarque qu’il fait, dans l’introduction du premier volume de ses Philosophical Papers (1975), affirmant que la forme de réalisme qu’il présupposait dans ses travaux des années 1960-1970 était la même que celle qu’il défendait en philosophie des mathématiques et qu’il souhaitait défendre ultérieurement en éthique. En suivant le premier filon, il est possible de mieux cerner la conception générale que se fait Putnam de l’objectivité, mais pour comprendre en quel sens une telle conception de l’objectivité n’est pas propre aux mathématiques, mais constitue en réalité une conception générale de l’objectivité, il faut suivre le second filon, selon lequel Putnam aurait endossé, durant les années 1960-1970, le même type de réalisme en philosophie des sciences et en éthique qu’en philosophie des mathématiques. Suivant cette voie, on se rend compte qu’il existe une similarité structurelle très forte entre le premier réalisme de Putnam et son réalisme interne. Après avoir établi la parenté entre le premier et le second réalisme de Putnam, je montre, en m’inspirant de commentaires du philosophe ainsi qu’en comparant le discours du réalisme interne au discours de son réalisme actuel (le réalisme naturel du commun des mortels), que, contrairement à l’interprétation répandue, il existe une grande unité au sein de sa conception du réalisme depuis les années 1960 à nos jours. Je termine la thèse en montrant comment mon interprétation renouvelée de l’itinéraire philosophique de Putnam permet de jeter un certain éclairage sur la forme de réalisme que Putnam souhaite défendre en éthique. / In this dissertation I propose a new reading of the philosophical itinerary of Hilary Putnam on the matter of realism. In essence, my purpose is to argue that there is much more continuity than is normally understood, and even a degree of permanence, in the way in which Putnam has viewed the question of realism throughout his career. To arrive at this interpretation of Putnam I essentially followed two veins in his work. First, in a volume published in the early 2000s entitled Ethics without Ontology (2004), Putnam establishes a parallel between his conception of objectivity in the philosophy of mathematics and in ethics. The second vein comes from a comment he made in the introduction to the first volume of his Philosophical Papers (1975) to the effect that the kind of realism he presupposed in his work of the 1960s and 70s was the same that he upheld in the philosophy of mathematics and wished to argue for at a later date in ethics. Following the first vein makes it possible to better grasp Putnam’s general conception of objectivity, but in order to understand how such a conception of objectivity is not unique to mathematics but is instead a general conception of objectivity one must follow the second vein. There, in the 1960s and 70s, Putnam adopted the same kind of realism in the philosophy of science and in ethics as he had in the philosophy of mathematics. Following this path, one realises that there exists a very strong structural similarity between Putnam’s first realism and his internal realism. After establishing this connection between Putnam’s first and second realism, I draw on Putnam’s remarks and compare the internal realism discourse to his current realism (the natural realism of ordinary people) to demonstrate, contrary to the prevalent interpretation, that there has been a great deal of consistency in his conception of realism from the 1960s to the present day. I conclude the dissertation by demonstrating how my new interpretation of Putnam’s philosophical itinerary makes it possible to shed light on the kind of realism he wishes to champion in ethics.

Ce travail montre l\'unité de l\'oeuvre de Pascal dans ce qui concerne la « comparabilité des incomparables » : la comparaison, langagière ou mathématique, qui se fait entre des choses qui ne pourraient pas en principe être rapprochées. Il s\'agit de faire une approche historique et linguistique pour poser des questions philosophiques par rapport à la comparaison, notamment sur le rôle de principe que l\'infini y joue selon Pascal. Nous identifions la comparaison des incomparables sous trois formes. La première partie de ce travail est consacrée à formuler une forme rhétorique d\'analogie que nous nommons l\'« analogie de disproportion » (nous inspirant de Secretan 1998). Si l\'analogie est généralement dite faire une comparaison entre deux rapports, chacun desquels existe entre des choses homogènes, l\'analogie de disproportion permet en revanche de montrer une ressemblance entre des rapports d\'hétérogénéité, entre des disproportions ou entre des distances infinies : deux choses sont aussi différentes entre elles que deux autres. Pascal étant un auteur qui souligne surtout les disproportions, nous montrons qu\'il compare ces disproportions, notamment pour délimiter à l\'homme ce qu\'il ne peut pas connaître parfaitement. La deuxième partie analyse la pratique mathématique de Pascal « en poids, nombre et mesure » : il s\'agit de montrer que dans la méthode des indivisibles des Lettres de A. Dettonville, dans le Traité du triangle arithmétique et dans la comparaison du courbe et du droit, toujours l\'infini (ou plutôt l\'indéfini) intervient comme un facteur qui permet la comparabilité de ce qui semblait être incomparable. La troisième partie fait une discussion proprement philosophique sur l\'infiniment petit et l\'infiniment grand, prenant en compte la pratique mathématique de Pascal analysée dans la deuxième partie. Il est question de discuter sur la nature des « indivisibles », des « différences » et des « distances infinies ». Nous proposons que l\'« infini » dans la pratique mathématique de Pascal relève plutôt de l\'« indéfini », reliant cela à une distinction entre le sens absolu et le sens relatif des mots. Une exception dans la pratique mathématique de Pascal est la géométrie projective, où il faut accepter des éléments à distance infinie. La « rencontre » des deux infinis, finalement, permet de montrer la réciprocité de l\'infini de grandeur et de l\'infini de petitesse. Une discussion est faite à ce propos, reliant la proportion inverse entre les deux infinis à la grandeur et la petitesse de l\'homme et au caractère paradoxal de certaines vérités selon Pascal, lesquelles sont résolues dans la personne du Christ. On conclut que Pascal propose non pas une connaissance directe de l\'infini, mais plutôt une approche à la relation que l\'homme, être fini, possède avec l\'infini. / Este trabalho mostra a unidade da obra de Pascal no que diz respeito à comparabilidade dos incomparáveis : a comparação, linguística ou matemática, que é feita entre coisas que não poderiam, em princípio, ser aproximadas. Trata-se de fazer uma abordagem histórica e linguística para colocar questões filosóficas sobre a comparação, em particular sobre o papel fundamental que o infinito desempenha de acordo com Pascal. Identificamos a comparação de incomparáveis sob três formas. A primeira parte deste trabalho é dedicada à formulação de uma forma de analogia retórica que chamamos de analogia de desproporção (inspirada por Secretan 1998). Se geralmente se diz que a analogia faz uma comparação entre duas relações, cada uma das quais existe entre coisas homogêneas, a analogia da desproporção torna possível, por outro lado, mostrar uma semelhança entre relações de heterogeneidade, entre desproporções ou entre distâncias infinitas : duas coisas são tão diferentes entre si quanto duas outras. Pascal sendo um autor que enfatiza as desproporções acima de tudo, mostramos que ele compara as desproporções, em especial para delimitar o que o homem não conhece perfeitamente. A segunda parte analisa a prática matemática de Pascal em peso, número e medida : trata-se de mostrar que no método dos indivisíveis das Cartas de A. Dettonville, no Tratado do triângulo aritmético e na comparação das linhas curvas e retas, sempre o infinito (ou melhor, o indefinido) intervém como um fator que permite a comparabilidade do que parecia incomparável. A terceira parte faz uma discussão filosófica sobre o infinitamente pequeno e o infinitamente grande, levando em consideração a prática matemática de Pascal analisada na segunda parte. Discutimos a natureza dos indivisíveis, diferenças e distâncias infinitas. Propomos que o infinito na prática matemática de Pascal é melhor compreendido como um indefinido, ligando-o a uma distinção entre o significado absoluto e o significado relativo das palavras. Uma exceção na prática matemática de Pascal é a geometria projetiva, onde devemos aceitar elementos a distância infinita. O encontro dos dois infinitos, finalmente, permite mostrar a reciprocidade do infinito de grandeza e do infinito de pequenez. Uma discussão é feita sobre este assunto, ligando a proporção inversa entre os dois infinitos à grandeza e à pequenez do homem, e ao caráter paradoxal de certas verdades de acordo com Pascal, as quais são resolvidas na pessoa de Jesus Cristo. Concluímos que Pascal traz do infinito não um conhecimento direto, mas uma abordagem da relação que o homem, ser finito, tem com o infinito.

The goal of this thesis in finance is to combine the use of advanced mathematical methods with a return to foundational economic issues. In that perspective, I study generalized rational expectations and asset pricing in Chapter 2, and a converse comparison principle for backward stochastic differential equations with jumps in Chapter 3. Since the use of stochastic methods in finance is an interesting and complex issue in itself - if only to clarify the difference between the use of mathematical models in finance and in physics or biology - I also present a philosophical reflection on the interpretation of mathematical models in finance (Chapter 4). In Chapter 5, I conclude the thesis with an essay on the history and interpretation of mathematical probability - to be read while keeping in mind the fundamental role of mathematical probability in financial models.