La stratégie de Capture et Séquestration du dioxyde de carbone (CO2) (CCS) a pour objectif de récupérer ce gaz en sortie des fumées de combustion des centrales thermoélectriques. La technologie membranaire est une des technologies envisageables. Pour les membranes polymères, de nouvelles voies d'élaboration de matériaux sont entreprises pour la séparation de gaz. Une de ces voies nous a conduits à utiliser le concept de la Chimie Dynamique Constitutionnelle (CDC). Appliqué au domaine des polymères, ce concept conduit aux polymères dynamiques moléculaires covalents (dynamères). Ils sont rendus dynamiques par création de liaisons covalentes réversibles entre unités monomériques moléculaires ou macromoléculaires, ce qui permet de moduler leurs paramètres intrinsèques et leur donnent un caractère adaptif et évolutif. L'objectif de notre étude consiste à élaborer des dynamères susceptibles d'être utilisées comme membrane permsélective par rapport au dioxyde de carbone. Dans un premier temps, le changement climatique ainsi que la technologie de séparation membranaire appliquée aux gaz sont exposés. Par la suite, les mécanismes de transferts de gaz à travers une membrane à base de polymères sont développés. Puis nous avons synthétisé trois séries de dynamères par auto-assemblage de monomères et de macromonomères de géométries et de tailles différentes en créant des liaisons imines. La variation des pourcentages en précurseurs nous permet de moduler la géométrie architecturale du système macromoléculaire. Pour vérifier cela, plusieurs méthodes de caractérisation ont été entreprises. Les analyses spectroscopiques infrarouges et RMN 1H ont permises de mettre en évidence la bonne connexion de nos précurseurs ainsi que le respect des quantités des précurseurs introduites. Les résultats des analyses DSC et de fractions de volumes libres des systèmes macromoléculaires indiquent une évolution dans la géométrie architecturale du système en fonction du pourcentage de précurseurs macromonomériques. Nous avons déterminé le coefficient de perméabilité, de diffusion et de solubilité de gaz pour les membranes dynamères synthétisées par la méthode dit du temps de retard. Au final, pour évaluer les performances de ces membranes dynamères, les résultats de permsélectivité sont reportés sur les diagrammes de Robeson. Ils indiquent que certaines membranes dynamères possèdent des performances en termes de perméabilité et de sélectivité qui sont tout à fait correctes, et ce pour plusieurs couples de gaz et en particulier ceux qui concernent le dioxyde de carbone. / The strategy of Capture and sequestration of carbon dioxide (CO2) (CCS) aims to recover the gases leaving the combustion gases of thermoelectric plants. Membrane technology is one of feasible technologies. For polymeric membranes, new ways of developing materials are undertaken for gas separation. One route led us to use the concept of Dynamic Constitutional Chemistry (DCC) molecular. When applied to polymers, this concept leads to covalent polymer molecular dynamics (dynamères). They are made dynamic by creating reversible covalent bonds between molecular or macromolecular monomer units, which allows modulating their intrinsic parameters and gives them an adaptive and evolutionary nature. The aim of our study was to develop dynamers could be used as membrane for carbone dioxide separation. Firstly, climate change and membrane separation technology applied to gases are exposed. Thereafter, the transfer mechanisms of gases through membrane-based polymers are developed. Then we synthesized three series of dynamers by self-assembly of monomers and macromonomers of geometries and sizes by creating links imines. The percentage change in precursors allows us to modulate the architectural geometry of macromolecular system. To verify this, several methods of characterization were undertaken. Infrared spectroscopic analysis and 1H NMR allowed us to highlight the good connection of our precursors and respect quantities of precursors introduced. The results of DSC analysis and free volume fraction of macromolecular systems show a marked change in the geometry of the system architecture based on the percentage of precursor's macromonomerics. We determined the permeability coefficient, diffusion and solubility of gas for dynamères membranes synthesized by the method of said delay. Finally, to evaluate the performance of these membranes dynamers, permselectivity results are shown in the diagrams of Robeson. They indicate that some membranes have dynamères performance in terms of permeability and selectivity are quite correct, and those for several pairs of gases and in particular those concerning carbon dioxide.

Les écoulements de fluides complexes à l’échelle sub-micronique est une problématique rencontrée dans des domaines aussi divers que la récupération assistée du pétrole ou la lubrification des surfaces. Un fluide complexe a des propriétés rhéologiques riches, dues à la présence d’objets déformables en solution, comme les pelotes de polymère. Les phénomènes de surface, comme le glissement jouent un rôle important aux petites échelles. La question de l’effet du confinement sur la rhéologie de solutions de polymères est abordée. Nous caractérisons la taille des objets en solution et la rhéologie volumique des fluides. Grâce au développement d’une technique de photobleaching de fluorescence pour la mesure de vitesse d’écoulement dans des canaux sub-microniques, nous déterminons la viscosité effective des fluides en géométrie confinée. Cette approche expérimentale nous permet de montrer que le confinement induit une diminution de la viscosité effective des fluides. Une mesure directe des vitesses et longueurs de glissement est réalisée en microcanaux par vélocimétrie de particules (micro-PIV). Ces données mettent en évidence une réduction du glissement en géométrie confinée, qui est interprétée en termes de modification du mécanisme de glissement. Une distinction entre le comportement volumique et les phénomènes de surface ne permet plus de rendre compte du comportement du fluide à l’échelle sub-micronique. Une étude préliminaire des écoulements de solutions de tensioactifs à l’échelle sub-micronique est également proposée. / Rheology of high molecular weight polymer solutions at submicroscale is investigated, with a particular emphasis on the wall slip characterization. Our approach is to measure the velocity of a pressure-driven flow in sub-microchannels in order to determine an effective viscosity of fluids. We have been using fluorescence photobleaching as a non-invasive technique to evaluate the velocity of a pressure-driven flow in 175 to 4000 nm high channels. A striking reduction of the effective viscosity is observed with the confinement, as compared to the bulk one. Direct measurement of slip velocity in microchannels is performed, using z-resolved micro-Particle Image Velocimetry (PIV). This study enables to draw two important conclusions, which have never been experimentally demonstrated. Slippage of polymer solutions in the semi-dilute unentangled regime is greatly reduced by confinement. A distinction of bulk and surface phenomena seems no longer valid at the submicroscale. This experimental method is also adapted to the study of surfactant solutions flows at the submicroscale.

La théorie des groupes de tresses s'inscrit au croisement de plusieurs domaines des mathématiques, en particulier, l'algèbre et la géométrie. La recherche actuelle s'étend dans chacune de ces directions, et de riches développements naissent du mariage de ces deux aspects. D'un point de vue géométrique, le groupe des tresses à n brins est vu comme le groupe modulaire d'un disque à n trous, avec composante de bord. On peut représenter une tresse par un diagramme de courbes, c'est-à-dire l'image d'une famille fixée d'arcs sur le disque, par l'élément correspondant du groupe modulaire. Dans cette thèse est présenté l'algorithme de relaxations par la droite, qui permet de retrouver, étant donné un diagramme de courbes, la tresse à partir de laquelle il a été obtenu. Cet algorithme aide à faire le lien entre des propriétés géométriques du diagramme de courbes, et des propriétés algébriques du mot de tresse, en permettant de repérer de grandes puissances d'un générateur sous forme de spirales dans le diagramme de courbes. D'un point de vue algébrique, le groupe de tresses est l'exemple classique de groupe de Garside. L'un des objectifs actuels des recherches en théorie de Garside est d'obtenir un algorithme de résolution en temps polynomial du problème de conjugaison dans les groupes de tresses. À cette fin, on cherche à exploiter les propriétés de certains ensembles finis de conjugués d'une tresse, qui sont des invariants de conjugaison. L'un des résultats de cette thèse concerne la taille d'un de ces invariants, l'ensemble super-sommital : on exhibe une famille de tresses pseudo-anosoviennes dont l'ensemble super-sommital est de taille exponentielle. González-Meneses avait déjà établi le résultat similaire pour une famille de tresses réductibles. La conséquence de ces résultats est qu'on ne peut pas espérer résoudre le problème de conjugaison en temps polynomial au moyen de cet ensemble, et qu'il vaut mieux chercher à exploiter des invariants plus petits. Dans le cas des tresses pseudo-anosoviennes, des espoirs résident actuellement en l'ensemble des circuits glissants. Dans cette thèse, un algorithme en temps polynomial s'appuyant sur ce dernier ensemble résout génériquement le problème de conjugaison, c'est-à-dire qu'il le résout pour une proportion de tresses tendant exponentiellement vite vers 1 lorsque la longueur de la tresse tend vers l'infini. On montre également que, dans une boule du graphe de Cayley avec pour générateurs les tresses simples, une tresse générique est pseudo-anosovienne, ce qui était une conjecture bien connue des spécialistes de la théorie de Garside. / The theory of braid groups is at the intersection of several areas of mathematics, especially algebra and geometry. The current research extends in each of these directions, leading to rich developments. From a geometrical point of view, the braid group on n strands is seen as the mapping class group of a disc with n punctures, with boundary component. A braid can be represented by a curve diagram, that is to say, the image of a family of arcs attached to the disc, by the corresponding mapping class. In this thesis we present the algorithm of relaxations from the right, which, given a curve diagram, determines the braid from which it was obtained. This algorithm helps us to make the link between geometric properties of the curve diagram and algebraic properties of the braid word, allowing us to identify great powers of a generator as spirals in the curve diagram. From an algebraic point of view, the braid group is the classical example of a Garside group. One of the objectives of current research in Garside theory is to obtain a polynomial time algorithm to solve the conjugacy problem in braid groups. For this, a possibility is to exploit the properties of some finite sets of conjugates of a braid, which are invariants of the conjugacy classes. One of the results of this thesis concerns the size of one of these invariants, the super summit set: we construct a family of pseudo-Anosov braids whose super summit set has exponential size. González- Meneses had already established the similar result for a family of reducible braids. These results implies that we cannot hope to solve the conjugacy problem in polynomial time through this set, and it is better to try to use smaller invariants. In the case of pseudo-Anosov braids, one may hope that the so-called sliding circuit set is more useful. In this thesis, we present a polynomial time algorithm based on this last set which generically solves the conjugacy problem, that is to say, it solves it for a proportion of braids that tends exponentially fast to 1 as the length of the braid tends to infinity. We also show that, in a ball of the Cayley graph with generators the simple braids, a braid is generically pseudo-Anosov, which was a well-known conjecture for the specialists in Garside theory.

Les travaux de cette thèse s'inscrivent dans le cadre de la géométrie discrète, une discipline ayant pour objectif de définir un cadre théorique pour transposer dans Z^n les bases de la géométrie euclidienne -- les notions discrètes définies étant le plus proche possible des notions continues que nous connaissons (telles que distance, droite, convexité, ...). De nombreuses études ont déjà été menées au sein de cette discipline, pour en définir l'espace de travail ainsi que les objets fondamentaux manipulés et en saisir leurs propriétés. Des algorithmes de reconnaissance pour ces primitives discrètes ont été développés et utilisés dans des problèmes comme la reconnaissance de formes, l'extraction de caractéristiques géométriques et bien d'autres encore. Néanmoins, la majorité des études ont été effectuées en se reposant sur la régularité des structures fondamentales de l'espace discret, souvent issues de définitions arithmétiques, et ces critères de régularité sont généralement essentiels aux différents algorithmes développés. Or, en pratique, les objets manipulés sont très souvent bruités par les méthodes d'acquisition (scanners, IRM, ...) qui suppriment ce caractère régulier des objets. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux objets discrets 3D et proposons une nouvelle primitive discrète, le morceau flou de plan discret, destinée à apporter plus de flexibilité dans les traitements, afin de proposer des algorithmes capables de fournir des résultats satisfaisants aussi bien sur des objets réguliers que non réguliers. Avec l'emploi de cette nouvelle primitive discrète, nous définissons différents estimateurs de caractéristiques géométriques au bord d'objets discrets et montrons comment les utiliser dans des problèmes de segmentation et de polyédrisation d'objets discrets possiblement bruités. / The context of this thesis is the digital geometry. An aim of this field is to develop a theoretical framework to implement in Z^n the basis of the Euclidean geometry. The discrete concepts are thus defined as close as possible to their continuous counterparts (such as distance, straight line, convexity, ...). Many studies have already been led within this research area to define the workspace, the fundamental objects and figure their properties out. Recognition algorithms have been designed for these discrete primitives and used in problems such as pattern recognition, geometric features estimation and many more. However, most of these studies rely on the regularity of fundamental structures of the digital space, that usually comes from their arithmetical definitions. But in practice, objects may be corrupted by the acquisition devices (like scanners or MRI) which eliminate this regularity. This thesis is focused on 3D digital objects. We introduce a new discrete primitive: the blurred piece of a discrete plane. Its aim is to bring some flexibility in treatments in order to design algorithms that yield statisfying results on both noisy and non-noisy digital objects. Relying on this new primtive, we define different geometric feature estimators on the border of such objects and show how to use them to guide the segmentation and polyhedrization processes of this border.

Dans la première partie, on s'intéresse à la multi-diffusion d'une onde acoustique avec une matrice homogène 2D contenant N inclusions. Dans le cas particulier de deux inclusions, on met alors en évidence l'importance du contraste matrice/inclusion dans les termes d'interactions entre inclusions. Le cas général de la multi-diffusion, pour distribution aléatoire de N inclusions, est ensuite développé dans l'esprit de Foldy-Lax basé sur des moyennes d'ensembles. Ainsi on cherche à déterminer le nombre d'onde effectif de l'onde effective, définie comme la moyenne du champ total, dans le cas d'une onde incidente émise par un point source. La deuxième partie est consacrée au cloaking actif dans une plaque. On détermine ainsi les amplitudes modales des sources multipolaires afin d'éteindre une onde plane ou émise par un point source, dans une région donnée. En outre, cette méthode peut s'appliquer pour éteindre l'onde diffractée par un défaut. Enfin dans la dernière partie, on se propose d'étudier la propagation d'onde au sein d'un milieu comportant des dislocations. On utilise la géométrie de Riemann-Cartan afin de modéliser ce milieu continu. Afin d'illustrer les différences que peuvent induire deux définitions possibles de la déformation (spatiale et matérielle), nous étudions la propagation d'ondes 3D dans l'exemple simple d'un milieu continu avec une densité uniforme et stationnaire de défauts. L'anisotropie et l'atténuation sont présentes dans les deux modèles mais sous forme différente. Enfin la déformation matérielle induit des modes de respiration et, en régime haute fréquence, des ondes transverses qui suivent l'escalier en spirale de Cartan. / In the first part, we investigate the multiple scattering of an acoustic wave within an homogeneous matrix containing N obstacles. In the particular case with 2 obstacles, we show the importance of the contrast matrix /obstacle in the coupling terms between inclusions. The general case of multiple scattering by N obstacles randomly distributed is then developed following the Foldy-Lax theory based on ensemble averaging. We aim to evaluate the effective wavenumber of the effective wave, defined as the average of the total field, in the case where the incoming wave is emitted by a point-like source. The second part is dedicated to the active cloaking in a thin plate. Hence we determine the modal amplitudes of the sources in order to extinct an incoming wave in a given region. This method can be applied to extinct the wave scattered by an obstacle. Finally, in the last part, the Riemann-Cartan geometry is used to model continuum with dislocations. In order to illustrate the differences induced by two possible definitions for the strain (spatial or material) in this framework, propagation of 3D waves is studied for a simple example of infinite continuum with uniform and stationary defects density. Anisotropy and attenuation are caught by both models even if these effects are quite different. Furthermore the material strain uniform breathing modes and, in the high frequency regime, transverse waves which follow the Cartan's spiral staircase.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la reconnaissance des primitives discrètes multi-échelles. Nous considérons qu'une primitive discrète multi-échelles est une superposition de primitives discrètes de différentes échelles ; et nous proposons des approches qui permettent de déterminer les caractéristiques d'une primitive discrète ou d'une partie d'une primitive discrète.Nous proposons une nouvelle approche de reconnaissance de sous-segment discret qui se base sur des propriétés portant sur l'ordre des restes arithmétiques de la droite discrète. Nous établissons des liens entre les points d'appuis du sous-segment discret et les points ayant des restes arithmétiques minimaux et maximaux sur la droite discrète. D'après les résultats de nos comparaisons, cette approche se relève être plus efficace que des approches existantes.Nous nous intéressons ensuite à des approches de reconnaissance d'arcs et de cercles discrets par le centre généralisé. Nous étudions le dual de la médiatrice généralisée et proposons de calculer le centre généralisé par des calculs de visibilité dans l'espace dual afin de réduire son temps de calcul. Cette approche est valide aussi bien dans une grille régulière que dans une grille irrégulière isothétique.Finalement, nous nous intéressons à des approches de reconnaissance de droite discrète par la préimage généralisée. Nous utilisons la notion de frontière afin de diminuer le nombre d'éléments rentrant dans le calcul de la préimage généralisée ; ce qui simplifie le calcul et réduit le temps de calcul. Cette approche s'applique aussi dans une grille régulière comme dans une grille irrégulière isothétique. / This thesis is about discrete geometry and particularly recognition of multi-scale discrete primitives. We consider that a multiscale discrete primitive is a superimposition of many discrete primitives of different scales. Then we propose approaches of recognition of discrete primitives or parts of a discrete primitives.Firstly we propose a new approach for the recognition of digital subsegment that is based on properties of the sequence of arithmetic remainders of the digital straight line. We show there are sorne links between the leaning points of the digital subsegment and the points that have the minimal and maximal arithmetic remainders on the digital straight line. Based on the results of comparisons with others approaches, the approach seems more efficient. Secondly we present sorne work on improving digital rings and circles recognition by general circumcenter. We use the dual of the generalized bissector in order to simplify the computation of the intersections of generalized bissectors as a polygon stabbing problem. The dual of the generalized bissector is computed likely for pixels of a regular grid or paves of an irregular isothetic grid. Finaly we present some work on improving digital straight line recogrutlon by generalized preimage. To reduce the number of elements to take into account for the computation of the generalized preimage we introduce the concept of boundary. The approach based on boundary could be used in a regular grid or an irregular isothetic grid.

L'analyse des techniques d'approximation est centrale en géométrie algorithmique, pour des raisons pratiques comme théoriques. Dans cette thèse nous traitons de l'échantillonnage des structures géométriques et des algorithmes d'approximation géométriques en optimisation combinatoire. La première partie est consacrée à la combinatoire des hypergraphes. Nous débutons par les problèmes de packing, dont des extensions d'un lemme de Haussler, particulièrement le lemme dit de Shallow packing, pour lequel nous donnons aussi un minorant optimal, conjecturé mais pas établi dans les travaux antérieurs. Puis nous appliquons ledit lemme, avec la méthode de partition polynomiale récemment introduite, à l'étude d'un analogue combinatoire des régions de Macbeath de la géométrie convexe : les M-réseaux, pour lesquels nous unifions les résultats d'existence et majorations existants, et donnons aussi quelques minorants. Nous illustrons leur relation aux epsilon-réseaux, structures incontournables en géométrie combinatoire et algorithmique, notamment en observant que les majorants de Chan et al. (SODA 2012) ou Varadarajan (STOC 2010) pour les epsilon-réseaux (uniformes) découlent directement de nos résultats sur les M-réseaux. La deuxième partie traite des techniques de recherche locale appliquées aux restrictions géométriques de problèmes classiques d'optimisation combinatoire. En dix ans, ces techniques ont produit les premiers schémas d'approximation en temps polynomial pour divers problèmes tels que celui de calculer un plus petit ensemble intersectant pour un ensemble de disques donnés en entrée parmi un ensemble de points donnés en entrée. En fait, il a été montré que pour de nombreux tels problèmes, la recherche locale de rayon Θ (1/epsilon²) donne une (1 + epsilon)-approximation en temps n^{O(1/epsilon²)}. Savoir si l'exposant de n pouvait être ramené à o (1/epsilon²) demeurait une question ouverte. Nous répondons par la négative : la garantie d'approximation de la recherche locale n'est améliorable pour aucun desdits problèmes / The analysis of approximation techniques is a key topic in computational geometry, both for practical and theoretical reasons. In this thesis we discuss sampling tools for geometric structures and geometric approximation algorithms in combinatorial optimization. Part I focuses on the combinatorics of geometric set systems. We start by discussing packing problems in set systems, including extensions of a lemma of Haussler, mainly the so-called shallow packing lemma. For said lemma we also give an optimal lower bound that had been conjectured but not established in previous work on the topic. Then we use this lemma, together with the recently introduced polynomial partitioning technique, to study a combinatorial analogue of the Macbeath regions from convex geometry: Mnets, for which we unify previous existence results and upper bounds, and also give some lower bounds. We highlight their connection with epsilon-nets, staples of computational and combinatorial geometry, for example by observing that the unweighted epsilon-net bound of Chan et al. (SODA 2012) or Varadarajan (STOC 2010) follows directly from our results on Mnets. Part II deals with local-search techniques applied to geometric restrictions of classical combinatorial optimization problems. Over the last ten years such techniques have produced the first polynomial-time approximation schemes for various problems, such as that of computing a minimum-sized hitting set for a collection of input disks from a set of input points. In fact, it was shown that for many of these problems, local search with radius Θ(1/epsilon²) gives a (1 + epsilon)-approximation with running time n^{O(1/epsilon²)}. However the question of whether the exponent of n could be decreased to o(1/epsilon²) was left open. We answer it in the negative: the approximation guarantee of local search cannot be improved for any of these problems. The key ingredient is a new lower bound on locally expanding planar graphs, which is then used to show the impossibility results

En géométrie discrète, les objets euclidiens sont représentés par leurs approximations discrètes, telles que des sous-ensembles du réseau des points à coordonnées entières. Les déplacements de ces ensembles doivent être définis comme des applications depuis et sur un espace discret donné. Une façon de concevoir de telles transformations est de combiner des déplacements continus définis sur un espace euclidien avec un opérateur de discrétisation. Cependant, les déplacements discrétisés ne satisfont souvent plus les propriétés de leurs équivalents continus. En effet, en raison de la discrétisation, de telles transformations ne préservent pas les distances, et la bijectivité et la connexité entre les points sont généralement perdues. Dans le contexte des espaces discrets 2D, nous étudions des déplacements discrétisés sur les réseaux d'entiers de Gauss et d'Eisenstein. Nous caractérisons les déplacements discrétisés bijectifs sur le réseau carré, et les rotations bijectives discrétisées sur le réseau hexagonal régulier. En outre, nous comparons les pertes d'information induites par des déplacements discrétisés non bijectifs définis sur ces deux réseaux. Toutefois, pour des applications pratiques, l'information pertinente n'est pas la bijectivité globale, mais celle d'un déplacement discrétisé restreint à un sous-ensemble fini donné d'un réseau. Nous proposons deux algorithmes testant cette condition pour les sous-ensembles du réseau entier, ainsi qu'un troisième algorithme fournissant des intervalles d'angles optimaux qui préservent cette bijectivité restreinte. Nous nous concentrons ensuite sur les déplacements discrétisés sur le réseau cubique 3D. Tout d'abord, nous étudions à l'échelle locale des défauts géométriques et topologiques induits par des déplacements discrétisés. Une telle analyse consiste à générer toutes les images d'un ensemble du réseau fini sous des déplacements discrétisés. Un tel problème revient à calculer un arrangement d'hypersurfaces dans un espace de paramètres de dimension six. La dimensionnalité et les cas dégénérés rendent le problème insoluble, en pratique, par les techniques usuelles. Nous proposons une solution ad hoc reposant sur un découplage des paramètres, et un algorithme pour calculer des points d'échantillonnage de composantes connexes 3D dans un arrangement de polynômes du second degré. Enfin, nous nous concentrons sur le problème ouvert de déterminer si une rotation discrétisée 3D est bijective ou non. Dans notre approche, nous explorons les propriétés arithmétiques des quaternions de Lipschitz. Ceci conduit à un algorithme qui détermine si une rotation discrétisée donnée, associée à un quaternion de Lipschitz, est bijective ou non / In digital geometry, Euclidean objects are represented by their discrete approximations, e.g. subsets of the lattice of integers. Rigid motions of such sets have to be defined as maps from and onto a given discrete space. One way to design such motions is to combine continuous rigid motions defined on Euclidean space with a digitization operator. However, digitized rigid motions often no longer satisfy properties of their continuous siblings. Indeed, due to digitization, such transformations do not preserve distances, while bijectivity and point connectivity are generally lost. In the context of 2D discrete spaces, we study digitized rigid motions on the lattices of Gaussian and Eisenstein integers. We characterize bijective digitized rigid motions on the integer lattice, and bijective digitized rotations on the regular hexagonal lattice. Also, we compare the information loss induced by non-bijective digitized rigid motions defined on both lattices. Yet, for practical applications, the relevant information is not global bijectivity, but bijectivity of a digitized rigid motion restricted to a given finite subset of a lattice. We propose two algorithms testing that condition for subsets of the integer lattice, and a third algorithm providing optimal angle intervals that preserve this restricted bijectivity. We then focus on digitized rigid motions on 3D integer lattice. First, we study at a local scale geometric and topological defects induced by digitized rigid motions. Such an analysis consists of generating all the images of a finite digital set under digitized rigid motions. This problem amounts to computing an arrangement of hypersurfaces in a 6D parameter space. The dimensionality and degenerate cases make the problem practically unsolvable for state-of-the-art techniques. We propose an ad hoc solution, which mainly relies on parameter uncoupling, and an algorithm for computing sample points of 3D connected components in an arrangement of second degree polynomials. Finally, we focus on the open problem of determining whether a 3D digitized rotation is bijective or not. In our approach, we explore arithmetic properties of Lipschitz quaternions. This leads to an algorithm which answers whether a given digitized rotation—related to a Lipschitz quaternion—is bijective or not

Le développement de la numérisation systématique des formes 3D (conservation du patrimoine national, commerce électronique, reverse engineering, intégration d’objets réels dans des environnements de réalité virtuelle) et le besoin toujours croissant de ces objets géométriques dans de nombreuses applications (conception assistée par ordinateur, calcul de simulations par éléments finis, système d’informations géographiques, loisirs numériques) a entrainé une augmentation vertigineuse du volume de données à traiter, avec l’émergence de nombreuses méthodes de compression de modèles 3D. Ce volume de données devient encore plus difficile à maitriser lorsque l’aspect temporel entre en jeu. Les maillages correspondent au modèle classiquement utilisé pour modéliser les formes numérisées et certaines approches de compression exploitent la propriété qu’une bonne estimation de la connectivité peut être déduite de l’échantillonnage, lorsque ce dernier s’avère suffisamment dense. La compression de la connectivité d’un maillage revient alors au codage de l’écart entre deux connectivités proches. Dans ce mémoire, nous nous intéressons au codage compact de cette différence pour des maillages surfaciques. Nos travaux sont fondés sur l’utilisation de la bascule d’arête (edge flip) et l’étude de ses propriétés. Nos contributions sont les suivantes. Etant donné deux triangulations connexes partageant le même nombre de sommets et un même genre topologique, nous proposons un algorithme direct et efficace pour générer une séquence de bascules d’arêtes permettant de passer d’un maillage `a un autre. Nous nous appuyons sur une correspondance entre les sommets des deux maillages, qui, si elle est non fournie, peut être choisie de manière totalement aléatoire / The development of scanning 3D shapes (national heritage conservation, ecommerce, reverse engineering, virtual reality environments) and the growing need for geometric objects in many applications (computer-aided design, simulations, geographic information systems, digital entertainment) have led to a dramatic increase in the volume of data to be processed, and the emergence of many methods of compression of 3D models. This volume of data becomes even more difficult to control when the temporal aspect comes in. Meshes correspond to the pattern typically used to model the scanned forms and some approaches exploit a property of compression that a good estimation of connectivity can be derived from sampling, when it appears sufficiently dense. Compressing the connectivity of a mesh is equivalent to coding the difference between two close connectivities. In this thesis, we focus on the compact coding of this difference for 2-dimensional meshes. Our work is based on the use and study of the properties of the edge flip. Our contributions are the following : - Given two connected triangulations that share the same number of vertices and the same topological genus, we propose a direct and efficient algorithm to generate a sequence of edge flips to change one mesh into the other. We rely on a correspondence between the vertices of the two meshes, which, if not provided, may be chosen randomly. The validity of the algorithm is based on the fact that we intend to work in a triangulation of a different class from those generally used. - We then generalize the edge flips to triangulations in which we identify each edge with a label. We show that a sequence of edge flips can be used to transpose two labels, under certain conditions. From this result, the edge flip can be generalized to meshes whose faces are not necessarily triangular, which allowed us to develop an algorithm for reducing sequences of edge flips. - Finally, we present a compact coding approach for a sequence of edge flips, and determine under what conditions it is better to use this compact transformation between two connectivities instead of coding them independently by a static algorithm

Les appareils d'acquisition d'image 3D sont désormais omniprésents dans plusieurs domaines scientifiques, dont l'imagerie biomédicale, la science des matériaux ou encore l'industrie. La plupart de ces appareils (IRM, scanners à rayons X, micro-tomographes, microscopes confocal, PET scans) produisent un ensemble de données organisées sur une grille régulière que nous nommerons des données digitales, plus couramment des pixels sur des images 2D et des voxels sur des images 3D. Lorsqu'elles sont bien récupérées, ces données approchent la géométrie de la forme capturée (comme des organes en imagerie biomédicale ou des objets dans l'ingénierie). Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l'extraction de la géométrie sur ces données digitales, et plus précisément, nous nous concentrons à nous approcher des quantités géométriques différentielles comme la courbure sur ces objets. Ces quantités sont les ingrédients critiques de plusieurs applications comme la reconstruction de surface ou la reconnaissance, la correspondance ou la comparaison d'objets. Nous nous focalisons également sur les preuves de convergence asymptotique de ces estimateurs, qui garantissent en quelque sorte la qualité de l'estimation. Plus précisément, lorsque la résolution de l'appareil d'acquisition est augmenté, notre estimation géométrique est plus précise. Notre méthode est basée sur les invariants par intégration et sur l'approximation digitale des intégrations volumiques. Enfin, nous présentons une méthode de classification de la surface, qui analyse les données digitales dans un système à plusieurs échelles et classifie les éléments de surface en trois catégories : les parties lisses, les parties planes, et les parties singulières (discontinuités de la tangente). Ce type de détection de points caractéristiques est utilisé dans plusieurs algorithmes géométriques, comme la compression de maillage ou la reconnaissance d'objet. La stabilité aux paramètres et la robustesse au bruit sont évaluées en fonction des méthodes de la littérature. Tous nos outils pour l'analyse de données digitales sont appliqués à des micro-structures de neige provenant d'un tomographe à rayons X, et leur intérêt est évalué et discuté. / 3D image acquisition devices are now ubiquitous in many domains of science, including biomedical imaging, material science, or manufacturing. Most of these devices (MRI, scanner X, micro-tomography, confocal microscopy, PET scans) produce a set of data organized on a regular grid, which we call digital data, commonly called pixels in 2D images and voxels in 3D images. Properly processed, these data approach the geometry of imaged shapes, like organs in biomedical imagery or objects in engineering. In this thesis, we are interested in extracting the geometry of such digital data, and, more precisely, we focus on approaching geometrical differential quantities such as the curvature of these objects. These quantities are the critical ingredients of several applications like surface reconstruction or object recognition, matching or comparison. We focus on the proof of multigrid convergence of these estimators, which in turn guarantees the quality of estimations. More precisely, when the resolution of the acquisition device is increased, our geometric estimates are more accurate. Our method is based on integral invariants and on digital approximation of volumetric integrals. Finally, we present a surface classification method, which analyzes digital data in a multiscale framework and classifies surface elements into three categories: smooth part, planar part, and singular part (tangent discontinuity). Such feature detection is used in several geometry pipelines, like mesh compression or object recognition. The stability to parameters and the robustness to noise are evaluated with respect to state-of-the-art methods. All our tools for analyzing digital data are applied to 3D X-ray tomography of snow microstructures and their relevance is evaluated and discussed.