ette thèse se situe dans le domaine de l'étude des représentations de<br />groupes de surfaces dans le groupe de Lie réel non-compact PU(2,1), groupe des isométries du plan hyperbolique complexe. Nous nous intéressons plus particulièrement aux \-représentations du groupe fondamental du tore épointé dans PU(2,1). Notre principal résultat est l'existence d'une famille à trois paramètres de représentations discrètes, fidèles et préservant le type du groupe fondamental du tore épointé dans PU(2,1). Pour le démontrer, nous sommes amenés à définir un nouveau type d'hypersurfaces du plan hyperbolique complexe, que nous utilisons pour construire des domaines fondamentaux. Nous étudions également la propriété de décomposabilité des représentations, et donnons des critères de décomposabilité, exprimés en termes de traces et de birapports.

La première partie de la thèse concerne certaines compactifications. On se donne un espace symétrique à courbure négative et on cherche à déterminer ses compactifications différentiables, c'est-à-dire les plongement de l'espace dans une variété à bord pour lesquels l'action des isométries se prolonge de façon différentiable. Les résultats principaux sont : la classification de ces compactifications dans le cas de l'espace hyperbolique réel, et l'inexistence d'une telle compactification dans le cas des espaces de rang supérieur.<br /> La seconde partie concerne les remplissages holomorphes. On se donne une variété CR compacte M et un sous-groupe d'automorphismes F. La question est alors de déterminer quelles sont les variétés compactes à bord X dont le bord est M et telles que l'action de F se prolonge par biholomorphismes sur tout X. On montre sous des hypothèses de convexité, de dimension et de taille de F un résultat d'unicité (à éclatement près).

Nous étudions certaines décompositions de M en polyèdres idéaux, où M est une variété hyperbolique à pointe(s), de dimension 3. Par un théorème d'Epstein et Penner, il existe une telle décomposition, dite ``de Delaunay'', canonique en un sens géométrique. <br /><br />Au chapitre 1 nous trouvons la décomposition de Delaunay quand M fibre sur le cercle avec pour fibre un tore percé. La méthode consiste à ``deviner'' la <br />combinatoire de la décomposition, puis à trouver des angles dièdres positifs pour ses polyèdres combinatoires : un théorème de Rivin dit que tout point critique de la fonctionelle volume dans l'espace de déformation des angles dièdres fournit la métrique hyperbolique. Les inégalités établies pour montrer l'existence d'un tel point critique permettent alors de vérifier que la décomposition est bien de Delaunay. <br /><br />Au chapitre 2 nous étendons la méthode à certains complémentaires d'entrelacs (entrelacs à 2 ponts notamment). Au chapitre 3 nous l'étendons aux coeurs convexes de groupes quasi-fuchsiens du tore percé (la décomposition est alors infinie, et certaines <br />pièces ne sont pas des polyèdres). Nous obtenons ainsi une nouvelle preuve du théorème des laminations de plissage pour le tore percé. Au chapitre 4, nous étendons partiellement la méthode aux complémentaires d'entrelacs arborescents : sans <br />trouver de point critique, nous caractérisons les entrelacs arborescents hyperboliques. <br /><br />Au chapitre 5, qui éclaire un passage du chapitre 3, nous montrons que certains polynômes de Laurent, qui généralisent les nombres de Markoff, n'ont que des coefficients positifs.

Cette recherche s'intéresse à l'apprentissage de la notion de propriété géométrique en début de collège en tant que relation de subordination entre les contraintes (données) et une conclusion. Les choix dans la structure de cet enseignement reposent sur un travail de distinction entre les données et la conclusion dans un énoncé. Cette distinction est nécessaire pour le réinvestissement des propriétés dans le raisonnement déductif. A partir des travaux de Vygotsky sur la médiation sémiotique et les travaux de Rabardel et Trouche sur l'instrumentation, nous avons conçu des situations didactiques intégrant un logiciel de géométrie dynamique, pour introduire la notion de propriété. L'outil déplacement du logiciel est utilisé pour réaliser les données d'une propriété. Les objets géométriques sur lesquels travaillent les élèves sont des constructions « molles », issues du déplacement, dans lesquelles les nouvelles caractéristiques des figures sont éphémères. Le processus de médiation sémiotique est amorcé au cours de la construction, par l'élève, de l'instrument Déplacement, il se poursuit au cours des échanges collectifs avec l'enseignant. La construction du lien entre les données et la conclusion s'appuie sur l'utilisation du dynamisme de l'environnement et sur l'interaction entre les registres visuels et discursifs. Nous avons étudié comment les élèves s'approprient la relation entre les données et la conclusion à travers l'étude de :<br />¬ la construction de l'instrument déplacement que nous visons lors des activités avec Cabri<br />¬ l'articulation entre les registres graphiques et discursifs en lien avec le processus de médiation sémiotique

Le sujet principal de cette thèse est d'interpréter le tenseur d'impulsion-énergie dans le cadre des feuilletages. On s'intéresse dans un premier temps à la géométrie spinorielle transverse, i.e. celle du fibré normal. On définit l'opérateur de Dirac basique sur un feuilletage riemannian et on établit une formule de type Schrodinger-Lichnerowicz. On donne ainsi des inégalités de type Friedrich et de type Kirchberg dans le cas d'un feuilletage kahlérien et une estimation dans le cas d'un feuilletage kahler-quaternionien. Le cas des flots riemanniens va permettre de mieux comprendre le tenseur d'impulsion-énergie dans le cadre des feuilletages. Il apparait comme un tenseur naturel antisymétrique permettant de le voir comme le tenseur d'O'Neill du flot. Finalement, on caractérise le cas de dimension 3 par une solution de l'équation de Dirac.

Issue des travaux sur la logique linéaire et l'analyse calculatoire de la logique classique, la notion de polarités semble jouer un rôle essentiel dans l'étude actuelle des systèmes logiques. La polarisation est une contrainte qui simplifie les objets tout en conservant une expressivité suffisante d'un point de vue informatique.<br /><br />L'objet de cette thèse est d'étudier et d'exploiter cette nouvelle structure afin en particulier de mettre à jour les relations entre la logique classique et la logique linéaire (LL). L'introduction des polarités dans LL permet de mieux appréhender ce vaste système et de prolonger le développement de différents outils trop complexes en l'absence de cette contrainte. Nous définissons ainsi, pour la logique linéaire polarisée (LLP), des réseaux de preuve intégrant les connecteurs additifs de manière satisfaisante, une sémantique des jeux polarisés qui réconcilie jeux et dualité, une géométrie de l'interaction parallèle et d'autres sémantiques dénotationnelles basées sur des notions connues (espaces de corrélation, catégories de contrôle).<br /><br />Il est important de montrer que malgré cette contrainte, LLP reste un système suffisamment expressif. Pour cela nous étudions en détail les traductions des différents systèmes de logique classique déterministe connus (LC, lambda-mu calcul, ...) aussi bien en appel par nom qu'en appel par valeur. De surcroît, les traductions obtenues pour ces systèmes sont plus simples que celles vers LL.<br /><br />Enfin la souplesse de ces traductions nous permet d'analyser plus finement certaines propriétés de la logique classique tout comme LL permet d'analyser la logique intuitionniste. On peut ainsi étudier un équivalent linéaire des CPS-traductions.

Le problème de la reconstruction 3D à partir d'une séquence d'images acquise par une caméra en mouvement est un sujet important dans le domaine de la vision par ordinateur. Ce travail de thèse présente une méthode qui permet d'estimer conjointement des points 3D de la scène filmée et le mouvement de la caméra en combinant la précision des méthodes "horsligne" (basées sur une optimisation globale de tous les paramètres par ajustement de faisceaux) et la vitesse de calcul des méthodes incrémentales. La nouvelle approche est considérée comme une accélération des techniques classiques de reconstruction 3D qui utilisent l'ajustement de faisceaux, permettant ainsi de traiter de longues séquences vidéos. L'algorithme développé peut être résumé de la façon suivante : détection de points d'intérêt dans les images, mise en correspondance de ces points et souséchantillonnage temporel de la vidéo. En effet, seul un sousensemble d'images dites "images clef" est sélectionné pour la reconstruction des points 3D alors que la localisation de la caméra est calculée pour chaque image. Le point clef de l'approche est l'ajustement de faisceaux local : les paramètres de la reconstruction sont affinés sur la fin de la séquence uniquement, à chaque fois qu'une image est choisie comme nouvelle image clef. La méthode, initialement prévue pour les caméras perspectives, a ensuite été généralisée de manière à rendre possible l'utilisation d'autres types de caméras, comme les caméras catadioptriques ou encore les paires rigides de caméras. Les résultats obtenus montrent que la précision atteinte est du même ordre que celle des méthodes par optimisation globale, avec des temps de calcul très réduits, ce qui permet de viser des applications d'odométrie visuelle temps réel pour la robotique mobile ou l'aide à la conduite en automobile. Realtime

Dans les années quatre-vingts dix du siècle dernier, R. W. Thomason a démontréun théorème de concentration pour la K-théorie équivariante algébrique sur lesschémas munis d'une action d'un groupe algébrique G diagonalisable. Comme d'habitude,un tel théorème entraîne une formule des points fixes de type Lefschetz qui permetde calculer la caractéristique d'Euler-Poincaré équivariante d'un G-faisceau cohérent surun G-schéma propre en termes d'une caractéristique sur le sous-schéma des points fixes.Le but de cette thèse est de généraliser les résultats de R.W. Thomason dans le contextede la géométrie d'Arakelov. Dans ce travail, nous considérons les schémas arithmétiquesau sens de Gillet-Soulé et nous tout d'abord démontrons un analogue arithmétiquedu théorème de concentration pour les schémas arithmétiques munis d'une action duschéma en groupe diagonalisable associé à Z/nZ. La démonstration résulte du théorèmede concentration algébrique joint à des arguments analytiques. Dans le dernier chapitre,nous formulons et démontrons deux types de formules de Lefschetz arithmétiques. Cesdeux formules donnent une réponse positive à deux conjectures énoncées par K. Köhler,V. Maillot et D. Rössler.

La géométrie stochastique est un outil puissant pour modéliser des grands réseaux sans fil avec une grande variation de la position des nœuds. Dans ce cadre, une hypothèse courante est que l'emplacement des nœuds forme une réalisation d'un processus ponctuel de Poisson (PPP). En utilisant les résultats disponibles concernant la transformée de Laplace du processus bruit de grenaille associé à des PPPs, on peut obtenir des solutions de forme fermée des métriques de performance de réseau telles que la probabilité d'accès au médium (MAP), la probabilité de couverture (COP) et de la densité spatiale de débit (SDT). Cependant, dans de nombreux déploiements de réseaux sans fil, il y a un mécanisme de détection des porteuses(CS) pour empêcher nœuds qui sont trop proches les uns des autres de transmettre en même temps. Dans ces réseaux, le processus des nœuds qui transmettent simultanément à tout moment ne forme plus une réalisation d'un PPP, ce qui rend l'analyse des performances des réseaux dans ces cas, un problème difficile. L'objectif de cette thèse est d'étudier ce problème dans deux directions. Dans la première direction, nous proposons un cadre complet de la géométrie stochastique qui utilise des processus ponctuels avec exclusion pour modéliser des transmetteurs dans différents types de réseaux sans fil avec un mécanisme de CS. Les réseaux considérés sont les réseaux à accès multiple en cherchant à détecter une porteuse (Carrier Sensing Multiple Access-CSMA) avec un mécanisme de détection (CS) parfait, les réseaux de radio-communications cognitifs où les utilisateurs secondaires utilisent la détection de porteuse pour détecter les utilisateurs principaux et les réeseaux CSMA avec un CS imparfait. Pour les deux premiers cas, nous dérivons des approximations des métriques de performances principales de réseau, c'est-à-dire la MAP, la COP et la SDT. Pour le dernier cas, nous donnons des bornes sur la densité spatiale critique des nœuds où CSMA commence à se comporter comme ALOHA (c'est-à-dire le processus de des nœuds qui transmettent simultanément dans le réseau forme une réalisation d'un PPP). Bien que ce phénomène ait été étudié auparavant par simulations, aucun résultat d'analyse n'a été connu à de notre connaissance. Dans la seconde direction, nous étudions la distribution processus ponctuel s' associés avec les classique Matérn modèles de type II et type III [Matérn 68]. Ce sont les deux modèles utilisés pour modéliser les réseaux CSMA avec un CS parfait. Bien que ces modèles aient été introduits il y a longtemps et qu'ils aient de nombreuses applications dans de nombreuses disciplines, la distribution de leurs processus ponctuels associés et la transformation de Laplace des processus bruit de grenaille correspondant est encore un problème ouvert. Nous montrons ici que la fonctionnelle génératrice des probabilités de ces processus ponctuels, lorsqu'elle est correctement paramétrée, est la solution unique de certain système d'équations différentielles. Grace à l'utilisation de ce système d'équations, on peut obtenir une borne inférieure et une borne supérieure de ces fonctionnelle. Ce résultat peut ensuite être appliqué au cadre de la géométrie stochastique mentionnée ci-dessus pour mieux connecter les cadres d'analyse mathématiques et les déploiements de réseaux pratiques.

La théorie des codes géométriques s'est développée au début des années 80 sur l'impulsion d'un article de V.D. Goppa publié en 1981. Etant donnée une courbe algébrique projective lisse X sur un corps fini, on dispose de deux constructions de codes correcteurs d'erreurs. Une construction dite fonctionnelle qui fait intervenir certaines fonctions rationnelles sur X et une construction différentielle qui fait appel à certaines 1-formes différentielles rationnelles sur X . L'étude de ces codes construits sur des courbes a donné lieu à la publication de plusieurs centaines d'articles. Parallèlement à ces travaux, une généralisation de la construction fonctionnelle à des variétés algébriques de dimension quelconque est proposée par Y. Manin dans un article publié en 1984. On dénombre quelques dizaines de travaux publiés portant sur l'étude de tels codes. Cependant, aucun développement n'a été effectué dans le sens d'une généralisation de la construction différentielle. Dans cette thèse nous proposons une construction différentielle de codes sur des surfaces algébriques. Nous étudions ensuite les propriétés de ces codes et plus particulièrement leurs relations avec les codes fonctionnels. De façon un peu surprenante, on observe l'apparition d'une différence majeure avec le cas des courbes. En effet, si sur une courbe l'orthogonal d'un code fonctionnel est différentiel, ce fait est en général faux sur une surface. Ce résultat motive l'étude des orthogonaux de codes fonctionnels. Des formules pour l'estimation de la distance minimale de tels codes sont données en utilisant des propriétés de systèmes linéaires sur une variété. On montre également que, sous certaines conditions sur la surface, ces codes sont somme de codes différentiels et que des réponses à certains problèmes ouverts de géométrie algébrique "à la Bertini" fourniraient des informations supplémentaires sur les paramètres de ces codes.