Notre recherche s'intéresse aux difficultés que les élèves éprouvent dans l'apprentissage de la preuve au secondaire, notamment celles relatives au changement du statut de la géométrie, lors du passage de la géométrie dite pratique à la géométrie dite théorique. Dans cette optique, nous avons cherché à comprendre comment progressent les exigences de production de la preuve dans les deux premières années du premier cycle du secondaire, à travers les activités géométriques proposées dans les manuels scolaires issus du renouveau pédagogique, en usage dans les deux premières années du secondaire au Québec. Cette interrogation nous a amené à mettre en exergue les orientations qui portent sur l'apprentissage de la preuve dans les nouveaux programmes, à partir de la compétence « Déployer un raisonnement mathématique ». Nous avons ensuite élaboré une grille d'analyse des exercices et problèmes géométriques, sur la base de deux paradigmes géométriques : géométrie I, (GI) et géométrie II, (GII), suggérés par Houdement et Kuzniak dans leurs divers travaux, que nous avons complétée avec la typologie développée par Rouche (1989) et une catégorie de la grille d'analyse de Tanguay (2000). Avec cette grille, nous avons classifié les exercices et problèmes géométriques, spécifiquement en géométrie. De plus, nous avons établi des critères qui nous ont permis d'évaluer l'évolution du statut du dessin, à travers certaines activités classifiées. L'analyse et l'interprétation des résultats de la classification montrent que les exigences de production de preuve ne progressent pas à cause des faibles taux de problèmes qui portent sur la production de la preuve. Aussi, les dessins qui ont un statut d'objet matériel sont dominants dans l'ensemble des deux premières années du secondaire. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Renouveau pédagogique, Preuve, Géométrie pratique, Géométrie théorique.

De nombreuses recherches ont mis en évidence la difficulté des élèves quant au passage de la géométrie pratique à la géométrie théorique entre l'enseignement primaire et secondaire. Néanmoins, peu de celles-ci se sont penchées sur les solutions à mettre de l'avant afin d'atténuer cette rupture. C'est ce point qui retient notre attention dans le cadre de cette étude. Plusieurs possibilités sont envisageables pour diminuer la rupture entre les deux géométries. Pour notre part, nous avons choisi de nous concentrer sur des activités de géométrie pouvant mener graduellement les élèves de la géométrie pratique à la géométrie déductive. Notre hypothèse étant que les élèves de troisième cycle de l'école primaire sont en mesure de faire de la déduction et d'être initiés à la géométrie théorique. Cette hypothèse est d'ailleurs soutenue par les travaux de Lester (1975) et Douaire (1999). Afin de bien cerner les éléments qui distinguent la géométrie pratique de la géométrie théorique, nous avons fait appel aux travaux de Parzysz (2002) basés sur ceux de van Riele (1984) et de Houdement et Kuzniak (1999). Les outils qu'ils ont développés nous permettent de distinguer plusieurs paradigmes géométriques ainsi que les éléments clés qui les différencient. En nous basant sur ces précédentes études, nous avons mis sur pied une séquence d'activités mettant en lumière les limites de la démarche instrumentée (utilisation de la règle graduée et rapporteur d'angle) tout en souhaitant mettre à profit le développement du raisonnement déductif. Pour la construction de ces activités, nous avons utilisé une démarche de Design Research (Edelson 2002). De plus, nous avons fait appel aux travaux de Coppé et coll. (2005) quant aux différents types de dessin que l'élève rencontre en classe de géométrie. La séquence de neuf activités bâties a été expérimentée dans deux classes de 6e année sur une durée d'environ 4 mois. Les analyses découlant de ces expérimentations ont mis en évidence dans quelle mesure il est possible de favoriser le développement du raisonnement déductif chez les élèves en utilisant des activités d'initiation à la géométrie déductive. De plus, les analyses nous ont aussi permis d'identifier quelles étaient les tâches pouvant mener l'élève à délaisser la mesure au profit de la déduction, tâches qui étaient construites dans l'objectif que l'élève fasse le passage de la géométrie pratique vers la géométrie déductive. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : didactique des mathématiques, raisonnement déductif, paradigmes géométriques, niveaux de van Hiele.

Nous nous intéressons à l'effet des fonds d'ondes gravitationnelles sur la polarisation de la lumière et aux conséquences induites sur des systèmes dans lesquels l'information est portée par la polarisation de photons. A cet effet, nous construisons l'approximation eikonale sur un espace courbe et étudions l'évolution des objets obtenus dans un bain d'ondes gravitationnelles. Nous développons alors un formalisme géométrique permettant de construire efficacement les observables physiques associées à un système optique, puis d'exprimer et d'évaluer ces observables en fonction des perturbations gravitationnelles. Nous montrons ainsi que pour des dispositifs de type EPR où l'évolution de la phase n'affecte pas les mesures, l'effet des ondes gravitationnelles sur les polarisations des photons est trop faible pour détruire les corrélations ce qui garantit la possibilité d'utiliser des corrélations EPR dans le cadre de communications spatiales.

Dans un contexte d'exploration et d'exploitation pétrolières, le traitement des données acquises par sismique réflexion requiert une analyse structurale à des fins de modélisation. Cette analyse passe par une phase d'extraction des structures horizontales représentant les empilements géologiques. Les techniques actuelles nécessitent beaucoup de temps et l'attention quasi permanente d'un spécialiste pour réaliser et valider cette opération effectuée structure par structure. De plus, la quantité de données sismiques augmentant rapidement avec l'évolution des techniques d'acquisition, leur traitement représente une charge de travail de plus en plus importante. Dans cette thèse, nous nous proposons d'alléger la phase d'extraction des structures horizontales en réalisant une segmentation presque automatique de ces dernières à l'aide d'outils basés sur des techniques morphologiques et topologiques. Nous présentons également quelques applications s'appuyant sur les structures que nous avons extraites. Ces applications facilitent l'analyse des données 3D en proposant de nouvelles méthodes de calcul d'attributs sismiques à partir des données d'amplitude.

Si la communauté internationale de géométrie algorithmique a souvent<br />la tentation de s'engouffrer dans des recherches essentiellement<br />théoriques, et en particulier combinatoires, la grande originalité des<br />travaux à l'INRIA résidait déjà à l'époque de mes débuts dans le<br />souci de leur validation expérimentale et de leur applicabilité. <br /><br />Le domaine a suivi globalement une évolution dans cette direction,<br />en particulier grâce à l'``Impact Task Force Report''. Notre intérêt pour le transfert technologique et<br />industriel, ainsi que pour l'établissement d'une plateforme pour la<br />recherche, a pris pendant ce temps une tournure encore plus concrète<br />avec notre implication très forte dans le projet CGAL<br />dont notre équipe est l'un des moteurs.<br /><br />Ce document prend le parti de présenter les travaux sous l'angle de<br />cette préoccupation pratique.<br />Il comporte deux chapitres principaux : le premier rassemble<br />des travaux sur les triangulations, le second présente des travaux sur<br />les objets courbes. Ces deux chapitres se concluent par un ensemble de<br />directions ouvertes. Le troisième chapitre survole rapidement d'autres<br />résultats.

Le modèle à deux matrices a été introduit pour étudier le modèle d'Ising sur surface aléatoire. Depuis, le lien entre les modèles de matrices et la combinatoire de surfaces discrétisées s'est beaucoup développé Cette thèse a pour propos d'approfondir ces liens et de les étendre au delà des modèles de matrices en suivant l'évolution de mes travaux de recherche. Tout d'abord, je m'attache à définir rigoureusement le modèle à deux matrices hermitiennes formel donnant accès aux fonctions génératrices de surfaces discrétisées portant une structure de spin. Je montre alors comment calculer, par des méthodes de g'eométrie algébrique, tous les termes du développement topologique des observables comme formes différentielles définies sur une courbe algébrique associée au modèle: la courbe spectrale. Dans un second temps, je montre comment, imitant la construction du modèle à deux matrices, on peut définir de telles formes différentielles sur n'importe quelle courbe algébrique possédant de nombreuses propriétés d'invariance sous les déformations de la courbe algébrique considérée. En particulier, on peut montrer que si cette courbe est la courbe spectrale d'un modèle de matrices, ces invariants reconstituent les termes des développements topologiques des observables du modèle. Finalement,<br /><br />je montre que pour un choix particulier des paramètres, ces objets peuvent être rendus invariants modulaires et sont solutions des équations d'anomalie holomorphe de la théorie de Kodaira-Spencer donnant un nouvel élément vers la preuve de la conjecture de Dijkgraaf-Vafa.

Cette thèse se situe dans le cadre de la géométrie discrète qui constitue l'une des grandes familles de méthodes dédiées à l'analyse automatisée des formes dans les images numériques 2D et 3D. Tous les systèmes d'acquisition d'images fournissent des données organisées sur une grille régulière, appelées données discrètes. Les méthodes que nous nous proposons d'explorer et d'étendre conservent aux données ce caractère discret, par opposition aux techniques qui construisent préalablement un modèle continu approximant les objets à analyser. Nous nous intéressons plus particulièrement à l'étude des courbes et des surfaces discrètes. Dans un premier temps, nous analysons les objets de base que sont les droites, les plans et les cercles discrets. Nous présentons des algorithmes qui permettent de les caractériser et proposons des extensions à ces méthodes. Ensuite, nous étudions des métriques sur les objets discrets comme la transformation en distance euclidienne ou la notion de géodésique discrète. Une approche basée sur la visibilité dans les domaines discrets est introduite. La troisième partie est consacrée à la définition et à l'évaluation d'estimateurs de mesures euclidiennes telles que la longueur, la courbure ou l'aire. Des résultats de convergence de ces estimateurs sont établis. Enfin, nous présentons les applications dans lesquelles ces recherches ont été utilisées~: classification automatisée d'objets archéologiques et analyse des micro-structures d'échantillon de neige.

Nous étudions les espaces de modules pour les applications stables de genre zéro à $k$ points marqués réalisant une classe d'homologie $\beta$ dans une variété complexe $X$ projective et lisse. Ces espaces sont habituellement notés $\overline{\mathcal{M}}_{0,k}(\beta,X)$ ou $\overline{\mathcal{M}}_k^{\beta}(X)$.<br />Lorsque $X$ est une variété convexe, ce sont des orbivariétés projectives normales. Lorsque $X$ est une variété réelle, ils possèdent naturellement une structure réelle dont la partie réelle, notée $\mathbb{R}\overline{\mathcal{M}}_k^{\beta}(X)$, hérite des mêmes propriétés. L'étude de ces espaces a des applications importantes en géométrie énumérative.<br />Dans cette thèse on détermine un représentant spécifique, en termes géométriques, pour la première classe de Stiefel-Whitney de tels espaces. Nommément, nous donnons une description de cette classe pour $\mathbb{R}\overline{\mathcal{M}}_{c_1(X)\beta-1}^{\beta}(X)$ où $X$ est une surface réelle convexe quelconque. Ensuite, nous réalisons un tel calcul pour $\mathbb{R}\overline{\mathcal{M}}_{2d}^{d[L]}(\mathbb{C}P^3)$ où $d \in \N$ est un degré (et $[L]$ la classe de la droite dans $\mathbb{C}P^3$).

Ce mémoire aborde plusieurs domaines :<br />- le calcul de Lie et en particulier les séries de Lie et leurs applications en théorie du contrôle (avec F. JEAN), en mécanique hamiltonienne et dans l'étude de relations dans des groupes ; <br />- l'étude des déformations de groupes triangulaires discrets dans l'espace PU(2,1) des automorphismes<br />de la boule unité complexe de dimension 2 (avec E. FALBEL).<br />- ainsi qu'un travail en collaboration avec Serge GALAM sur l'étude d'un modèle particulier du problème<br />d'Ising triangulaire antiferromagnétique.

La thèse porte sur la formation initiale d'enseignants de mathématiques à l'intégration de technologies informatiques, plus précisément dans le cas des logiciels de géométrie dynamique. Le but de la thèse est d'une part d'évaluer l'impact d'une formation à l'usage des technologies informatiques sur les usages du logiciel par les futurs enseignants. Le travail cherche d'autre part à préciser les éléments d'une telle formation qui favorisent l'instrumentation au plan didactique des différentes spécificités de la technologie pour concevoir des tâches didactiques intégrant cette dernière. <br />Le travail est fondé sur l'hypothèse que l'intégration par l'enseignant d'environnements informatiques embarquant des connaissances mathématiques fait appel de façon imbriquée à quatre types de savoirs : savoir mathématique, savoir instrumental, savoir didactique mathématique et savoir didactique instrumental. <br />La partie A montre l'importance de la formation des enseignants pour l'intégration, et expose les outils d'analyse utilisés pour déterminer l'impact d'une telle formation. <br />La partie B est consacrée à l'analyse des séances de formation. Cette analyse s'effectue par rapport à la place des différentes spécificités du logiciel Cabri-Géomètre pour chaque type de savoir. <br />La partie C est consacrée aux expérimentations conduites pour étudier les effets de la formation. Il s'agit de trois expérimentations qui mettent en évidence l'évolution des stagiaires au cours de la formation relativement au savoir instrumental et au savoir didactique instrumental. Sont ensuite dégagés les éléments des modules de formation qui participent à cette évolution.