Ce travail cherche a comprendre comment l'ajout d'une géométrie non euclidienne dans un problème de Schrödinger non linéaire influe sur l'existence et l'unicité des solutions explosives de masse critique. On s'inspire pour beaucoup des travaux de Merle et Raphaël sur la méthode de modulation des paramètres d'invariance géométrique pour une EDP qui possède de bonnes lois de conservations. On s'appuie ici plus particulièrement sur un article de Raphaël et Szeftel qui prouve l'existence et l'unicité d'une solution de masse critique en dimension 2 pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec potentiel d'inhomogénéité devant la non-linéarité, et qui explose par ailleurs au maximum de l'inhomogénéité. Dans un premier temps, il s'agit de reprendre la méthode dans son ensemble afin de l'adapter à des cas où le Laplacien n'est plus plat, et est remplacé par un opérateur de type Laplace-Beltrami ou Laplacien généralisé. Ayant mis en avant le rôle de la courbure au point d'explosion, en termes de conditions sur les dérivées de termes métriques, on reprend dans un deuxième temps l'étude dans le cas plus général d'une variété riemannienne. Grâce à un ansatz sur la solution qui intègre maintenant la transformation induite par la métrique, on est capable d'énoncer un résultat d'existence et d'unicité en termes de conditions géométriques sur la variété elle même. Par soucis de simplicité, on se limite néanmoins au rôle local de la métrique, en la supposant globalement définie dans une certaine carte, et asymptotiquement équivalente a la métrique euclidienne.

La tomographie par émission de positrons est une technique d'imagerie nucléaire utilisant des noyaux radioactifs. Elle est utilisée dans le domaine clinique et préclinique. Cette dernière nécessite l'utilisation de petits animaux, comme la souris. Comme en imagerie clinique, l'objectif est d'obtenir le meilleur signal avec la meilleure précision spatiale possible. Cependant, un rapport d'échelle homme-souris suggère une résolution inférieure à 1 mm3. Un imageur conventionnel est constitué de modules de détection entourant le patient, orientés radialement. Cette approche lie efficacité et résolution spatiale. Ce travail concerne l'étude de la géométrie axiale. Les éléments de détection sont ici orientés parallèlement à l'objet. Ceci limite la corrélation entre efficacité de détection et résolution spatiale, et ainsi permet d'obtenir une haute résolution et haute sensibilité. La simulation de prototypes a permis d'envisager une résolution spatiale moyenne inférieure au millimètre et une efficacité de 15 ou 40% selon l'extension axiale. Ces résultats permettent de présager de bonnes perspectives en imageries préclinique et clinique.

Le mouvement Nouvelle tendance (NT) est un groupe international d’artistes formé pendantles années soixante (1961 - 1973) autour d’un programme d’expositions de la Galerie d’ArtContemporain (Galerija suvremene umjetnosti) de Zagreb. Au cours de son existence, lemouvement NT a rassemblé presque deux cents artistes et plusieurs groupes tels que GRAV,T, N, Zero, Equipo 57, Dvizhenije, MID etc. La première étape de ce mouvement jusqu’en 1968est caractérisée par l’abstraction géometrique et l’art lumino-cinétique tandis que dans laseconde partie (1968 -1973), Nouvelle tendance ouvre le chapitre de l’art numérique. / New Tendancy movement (NT) is an international group of artists united in the sixties(1961 - 1973) around the exhibition programme at the Gallery of Contemporary Art (Galerijasuvremene umjetnosti) in Zagreb. During its existence, the movement gathered around twohundred artists and differents groups such as GRAV, T, N, Zero, Equipo 57, Dvizhenije, MID etc.The first phase of the movement that lasted until 1968 was characterized by the geometricabstraction and lumino-kinetic art. During the second phase, New Tendancy opened thechapter of numerical arts.

Cette thèse présente une étude sur les rotations dans les espaces discrets en 2 dimensions et en 3 dimensions. Dans le cadre de l'informatique, l'utilisation des nombres flottants n'est pas recommandée du fait des erreurs de calculs que cela implique. Nous avons donc fait le choix de nous concentrer sur les espaces discrets. Dans le domaine de la vision par ordinateur, la rotation est une transformation requise pour de nombreuses applications. L'utilisation de la rotation continue discrétisée donne des résultats de mauvaise qualité. Pour cette raison, il est nécessaire de développer de nouvelles méthodes de rotation adaptées aux espaces discrets. Nous nous sommes principalement intéressés aux angles charnières qui représentent la discontinuité de la rotation dans les espaces discrets. Dans ces espaces, deux rotations d'une image avec deux angles très proches peuvent donner le même résultat, ce qui est capturé par les angles charnières. L'utilisation de ces angles permet de décrire une rotation qui donne les mêmes résultats que la rotation continue discrétisée tout en n'utilisant que des nombres entiers. Ils permettent aussi de définir une rotation incrémentale qui décrit toutes les rotations possibles d'une image digitale donnée. Les angles charnières peuvent être étendus dans les espaces discrets en trois dimensions. Pour cela, on définit les multi-grilles qui sont des plans de rotations contenant trois ensembles de droites parallèles. Elles représentent les discontinuités de la rotation en 3D. Les multi-grilles permettent d'obtenir les mêmes résultats en 3D que ceux obtenus en 2D / This thesis presents a study on rotation in 2 dimensional and 3 dimensional discrete spaces. In computer science, using floating numbers is problematic due to computation errors. Thus we chose during this thesis to work only in discrete space. In the field of computer vision, the rotation is a transformation required for many applications. Using discretized Euclidean rotation gives bad results. Then, it is necessary to develop new rotation methods adapted to the discrete spaces. We mainly studied the hinge angles that represent the discontinuity of the rotation in the discrete space. Indeed, it is possible to perform two rotations of the same digital image with two angles that are slightly different and obtain the same result. This is captured by hinge angles. Using these angles allow us to describe a discrete rotation that gives the same results than the discretized Euclidean rotation without using floating numbers. They also allow describing an incremental rotation that performs all possible rotations of a given digital image. Using hinge angles can also be extended to the rotations in 3 dimensional discrete spaces. The extension requires the multi-grids that are rotation planes containing three sets of parallel lines. These parallel lines represent the discontinuities of the rotation in 3D discrete space. Thus they are useful to describe the hinge angles in rotation planes. Multi-grids allow obtaining the same results in 3D discrete rotations than the results obtained in 2D discrete rotations. This thesis presents a study on rotation in 2 dimensional and 3 dimensional discrete spaces. In computer science, using floating numbers is problematic due to computation errors. Thus we chose during this thesis to work only in discrete space. In the field of computer vision, the rotation is a transformation required for many applications. Using discretized Euclidean rotation gives bad results. Then, it is necessary to develop new rotation methods adapted to the discrete spaces. We mainly studied the hinge angles that represent the discontinuity of the rotation in the discrete space. Indeed, it is possible to perform two rotations of the same digital image with two angles that are slightly different and obtain the same result. This is captured by hinge angles. Using these angles allow us to describe a discrete rotation that gives the same results than the discretized Euclidean rotation without using floating numbers. They also allow describing an incremental rotation that performs all possible rotations of a given digital image. Using hinge angles can also be extended to the rotations in 3 dimensional discrete spaces. The extension requires the multi-grids that are rotation planes containing three sets of parallel lines. These parallel lines represent the discontinuities of the rotation in 3D discrete space. Thus they are useful to describe the hinge angles in rotation planes. Multi-grids allow obtaining the same results in 3D discrete rotations than the results obtained in 2D discrete rotations

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette recherche, réalisée en milieu scolaire québécois, concerne l’enseignement et l’apprentissage de la géométrie à l’entrée au secondaire. Ce contexte est caractérisé par une géométrie non clairement définie d’un point de vue épistémologique, tant dans le programme d’études du premier cycle que dans les manuels scolaires. Ainsi, nous avons cherché à voir d’une part, l’activité géométrique souhaitée et actualisée par des enseignants incluant les problèmes proposés et, d’autre part, les conceptions d’élèves développées par ces problèmes. À partir de données recueillies auprès de quatre classes, nous avons déterminé cette activité géométrique et répertorié six types de problèmes dont quatre sont dominants ainsi que des conceptions d’élèves. L’activité géométrique en classe a donné lieu à des moments d’hésitation épistémologique, lesquels ne sont pas sans effet dans le développement des conceptions des élèves. / This research was conducted in a Quebec classroom environment. It pertains to the teaching and learning of geometry at the outset of secondary school. This context is characterized by a geometry that is not clearly defined from the epistemological point of view in either the secondary cycle one program or in textbooks. We attempted to find firstly, the desired geometric activity and updated by teachers with the proposed problems and, secondly, students conceptions developed by these problems. Using data collected from four classes, we then determined this geometric activity and identified six types of problems from which four were predominant. We also observed students conceptions. The classroom activity gave birth to moments of epistemological hesitance that may have had a certain effect on the development of the students’conceptions.

Le contexte est la géométrie discrète dans Zn. Il s'agit de décrire les courbes et surfaces discrètes composées de voxels: les définitions usuelles de droites et plans discrets épais se comportent mal quand on passe à des ensembles courbes. Comment garantir un bon comportement topologique, les connexités requises, dans une situation qui généralise les droites et plans discrets?Le calcul de données sur ces courbes, normales, tangentes, courbure, ou des fonctions plus générales, fait appel à des moyennes utilisant des masques. Une question est la pertinence théorique et pratique de ces masques. Une voie explorée, est le calcul de masques fondés sur la marche aléatoire. Une marche aléatoire partant d'un centre donné sur une courbe ou une surface discrète, permet d'affecter à chaque autre voxel un poids, le temps moyen de visite. Ce noyau permet de calculer des moyennes et par là, des dérivées. L'étude du comportement de ce processus de diffusion, a permis de retrouver des outils classiques de géométrie sur des surfaces maillées, et de fournir des estimateurs de tangente et de courbure performants. La diversité du champs d'applications de ce processus de diffusion a été mise en avant, retrouvant ainsi des méthodes classiques mais avec une base théorique identique.} motsclefs{Processus Markovien, Géométrie discrète, Estimateur tangentes, normales, courbure, Noyau de diffusion, Analyse d'images / The context of discrete geometry is in Zn. We propose to discribe discrete curves and surfaces composed of voxels: how to compute classical notions of analysis as tangent and normals ? Computation of data on discrete curves use average mask. A large amount of works proposed to study the pertinence of those masks. We propose to compute an average mask based on random walk. A random walk starting from a point of a curve or a surface, allow to give a weight, the time passed on each point. This kernel allow us to compute average and derivative. The studied of this digital process allow us to recover classical notions of geometry on meshes surfaces, and give accuracy estimator of tangent and curvature. We propose a large field of applications of this approach recovering classical tools using in transversal communauty of discrete geometry, with a same theorical base.

La description aux échelles macroscopiques et gigascopiques des feux de forêts permet l'établissement de modèles physiques aptes à représenter l'évolution d'un feu avec une meilleure précision que les modèles empiriques de type Rothermel développés jusqu'alors. Cependant ces modèles nécessitent l'ajustement de paramètres dont la mesure directe est impossible, car les équations associées à ces modèles ne sont pas relatives à l'air et à la matière végétale mais aux milieux équivalents à la végétation pour l'échelle considérée. Les propriétés des milieux équivalents sont alors liées aux propriétés des milieux les constituant, mais la connaissance des propriétés des milieux constitutifs ne permet pas de connaître directement les propriétés du milieu équivalent. Ce travail consistera tout d'abord en la reconstruction du milieu végétal à l'aide d'outils issus de la géométrie fractale. Des méthodes de mesures de paramètres géométriques venant de la foresterie ont ensuite été utilisées pour valider nos modèles de végétation. Enfin, des expériences numériques ont été menées sur nos structures reconstruites afin d'identifier les paramètres macroscopiques qui nous intéressent. Ces expériences permettent également de valider ou non les hypothèses effectuées lors de l'établissement des équations du milieu équivalent. Les paramètres ajustés sont la viscosité du milieu équivalent, le coefficient d'échange convectif et le coefficient d'extinction / The macroscopic and gigascopic scale description of forest fires allows physical modelings of the propagation which can predict the fire evolution with a better accuracy than usually developed empirical Rothermel-like models. However, those models need fitting for their parameters which cannot be measured directly as the models equations are related to the equivalent media at the considered scale and not related to the air and the vegetal material. The equivalent media properties are related to the inner media properties, but the inner media properties knowledge does not allow directly the equivalent media properties knowledge. This work is then aiming on the vegetal medium reconstruction using fractal geometry. Geometrical parameters measurement methods used in forestry sciences are applied for the vegetal modeling validation. Numerical studies are finally done on the reconstructed structures to fit the relevant macroscopic scale parameters. Those studies also allow us to validate or invalidate the assumptions which have been done for the equivalent medium equation development. Those parameters are: the equivalent medium viscosity, the convective heat transfer coefficient and the extinction coefficient

Dans cette thèse, nous étudions des problèmes algorithmiques dans les complexes CAT(0) planaires et rectangulaires munis d'une m ́etrique intrinsèque l_2. Nous proposons des algorithmes de calcul du plus court chemin dans les complexes CAT(0) planaires et rectangulaires et de construction de l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points dans les complexes CAT(0) planaires. E ́tant donné un complexe CAT(0) rectangulaire 2-dimensionnel K à n sommets, nous proposons un algorithme qui, pour toute paire de points calcule la distance et le plus court chemin en temps sous-lin ́eaire en nombre de sommets de K, en utilisant une structure de données de taille O(n^2). Le deuxième problème étudié est celui du plus court chemin entre un point-source donné et tout autre point dans un complexe CAT(0) planaire K a n sommets. Pour cela, nous proposons un algorithme qui, pour tout point y de K, étant donnée le point source x et la carte géodésique SPM(x), construit le plus court chemin γ(x,y) en temps O(n), en utilisant une structure de données de taille O(n^2). Enfin, nous nous intéressons au calcul de l'enveloppe convexe d'un ensemble de k points dans un complexe CAT(0) planaire à n sommets. Nous proposons un algorithme qui construit l'enveloppe convexe en temps O(n^2 + nk log k) en utilisant une structure de données de taille O(n^2 + k). / In this thesis, we study algorithmic problems in CAT(0) planar and rectangular complexes with an intrinsic l_2−metric. We present algorithms for some algorithmic problems, such as computing the shortest path and the convex hull of a finite set of points in CAT(0) planar and rectangular complexes. We present an efficient algorithm for answering two-point distance queries in a given CAT(0) rectangular complex K with n vertices. Namely, we show that for a CAT(0) rectangular complex K with n vertices, one can construct a data structure of size O(n^2) so that, given any two points in K, the shortest path can be computed in subliniar time of n. The second problem presented is computing shortest path from a single-source to the query point in a CAT(0) planar complex. We propose an algorithm which computes in O(n) time the shortest path between a given point and the query point in a CAT(0) planar complex with n vertices, using a given shortest path map and data structure of size O(n^2). Finally, we study the problem of computing the convex hull of a set of k points in a CAT(0) planar complex with n vertices. We describe an algorithm which computes the convex hull in O(n^2 + nk log k) time, using a data structure of size O(n^2 + k).

: La théorie géométrique des invariants constitue un domaine central de la géométrie algébrique d'aujourd'hui : développée par Mumford au début des années soixante, elle a conduit à des progrès considérables dans l'étude des variétés projectives, notamment par la construction d'espaces de modules. Dans les vingt dernières années des interactions entre la théorie géométrique des invariants et la géométrie arithmétique -- plus précisément la théorie des hauteurs et la géométrie d'Arakelov -- ont été étudiés par divers auteurs (Burnol, Bost, Zhang, Soulé, Gasbarri, Chen). Dans cette thèse nous nous proposons d'un côté d'étudier de manière systématique la théorie géométrique des invariants dans le cadre de la géométrique d'Arakelov ; de l'autre de montrer que ces résultats permettent une nouvelle approche géométrique (distincte aussi de la méthode des pentes développée par Bost) aux résultats d'approximation diophantienne, tels que le Théorème de Roth et ses généralisations par Lang, Wirsing et Vojta. / Geometric invariant theory is a central subject in nowadays' algebraic geometry : developed by Mumford in the early sixties, it enhanced the knowledge of projective varieties through the construction of moduli spaces. During the last twenty years, interactions between geometric invariant theory and arithmetic geometric --- more precisely, height theory and Arakelov geometry --- have been exploited by several authors (Burnol, Bost, Zhang, Soulé, Gasbarri, Chen). In this thesis we firstly study in a systematic way how geometric invariant theory fits in the framework of Arakelov geometry; then we show that these results give a new geometric approach to questions in diophantine approximation, proving Roth's Theorem and its recent generalizations by Lang, Wirsing and Vojta.