Ce mémoire porte sur l’étude des maxima de champs gaussiens. Plus précisément, l’étude portera sur la convergence en loi, la convergence du premier ordre et la convergence du deuxième ordre du maximum d’une collection de variables aléatoires gaussiennes. Les modèles de champs gaussiens présentés sont le modèle i.i.d., le modèle hiérarchique et le champ libre gaussien. Ces champs gaussiens diffèrent par le degré de corrélation entre les variables aléatoires. Le résultat principal de ce mémoire sera que la convergence en probabilité du premier ordre du maximum est la même pour les trois modèles. Quelques résultats de simulations seront présentés afin de corroborer les résultats théoriques obtenus. / In this study, results about maxima of different Gaussian fields will be presented. More precisely, results for the convergence of the first order of the maximum of a set of Gaussian variables will be presented. Some results on the convergence of the second order, and of the law will also be explained. The models presented here are the Gaussian field of i.i.d. variables, the hierarchical model and the Gaussian free fields model. These fields differ from one another by their correlation structure. The main result of this study is that the first order convergence in probability of the maximum is the same for the three models. Finally, numerical simulations results will be presented to confirm theoretical results.

Thèse diffusée initialement dans le cadre d'un projet pilote des Presses de l'Université de Montréal/Centre d'édition numérique UdeM (1997-2008) avec l'autorisation de l'auteur.

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Les malformations cardiaques congénitales sont la première cause de décès liés à une anomalie congénitale. L’´electrocardiogramme du fœtus (ECGf), qui est censé contenir beaucoup plus d’informations par rapport aux méthodes échographiques conventionnelles, peut ˆêtre mesuré´e par des électrodes sur l’abdomen de la mère. Cependant, il est tr`es faible et mélangé avec plusieurs sources de bruit et interférence y compris l’ECG de la mère (ECGm) dont le niveau est très fort. Dans les études précédentes, plusieurs méthodes ont été proposées pour l’extraction de l’ECGf à partir des signaux enregistrés par des électrodes placées à la surface du corps de la mère. Cependant, ces méthodes nécessitent un nombre de capteurs important, et s’avèrent inefficaces avec un ou deux capteurs. Dans cette étude trois approches innovantes reposant sur une paramétrisation algébrique, statistique ou par variables d’état sont proposées. Ces trois méthodes mettent en œuvre des modélisations différentes de la quasi-périodicité du signal cardiaque. Dans la première approche, le signal cardiaque et sa variabilité sont modélisés par un filtre de Kalman. Dans la seconde approche, le signal est découpé en fenêtres selon les battements, et l’empilage constitue un tenseur dont on cherchera la décomposition. Dans la troisième approche, le signal n’est pas modélisé directement, mais il est considéré comme un processus Gaussien, caractérisé par ses statistiques à l’ordre deux. Dans les différentes modèles, contrairement aux études précédentes, l’ECGm et le (ou les) ECGf sont modélisés explicitement. Les performances des méthodes proposées, qui utilisent un nombre minimum de capteurs, sont évaluées sur des données synthétiques et des enregistrements réels, y compris les signaux cardiaques des fœtus jumeaux. / Congenital heart defects are the leading cause of birth defect-related deaths. The fetal electrocardiogram (fECG), which is believed to contain much more information as compared with conventional sonographic methods, can be measured by placing electrodes on the mother’s abdomen. However, it has very low power and is mixed with several sources of noise and interference, including the strong maternal ECG (mECG). In previous studies, several methods have been proposed for the extraction of fECG signals recorded from the maternal body surface. However, these methods require a large number of sensors, and are ineffective with only one or two sensors. In this study, state modeling, statistical and deterministic approaches are proposed for capturing weak traces of fetal cardiac signals. These three methods implement different models of the quasi-periodicity of the cardiac signal. In the first approach, the heart rate and its variability are modeled by a Kalman filter. In the second approach, the signal is divided into windows according to the beats. Stacking the windows constructs a tensor that is then decomposed. In a third approach, the signal is not directly modeled, but it is considered as a Gaussian process characterized by its second order statistics. In all the different proposed methods, unlike previous studies, mECG and fECG(s) are explicitly modeled. The performances of the proposed methods, which utilize a minimal number of electrodes, are assessed on synthetic data and actual recordings including twin fetal cardiac signals.

De récentes études expérimentales de la dynamique de colloïdes illuminés par une figure d'interférence optique aléatoire (tavelures ou speckle) ont montré l'existence de phénomènes de sous-diffusion, de piégeage, ou de ségrégation dans le cas de mélanges, sous l'effet de cet environnement désordonné. L'objet de ce travail de doctorat est d'approfondir la compréhension de ces phénomènes par une étude théorique. Dans ce but, une version de la théorie de couplage de modes (MCT), initialement développée pour les fluides confinés dans des solides poreux désordonnés, a été appliquée au cas d'un fluide plongé dans un potentiel aléatoire gaussien de covariance gaussienne. La résolution numérique des équations asymptotiques de cette théorie a permis la construction de diagrammes d'état, lesquels reproduisent, par exemple, le comportement réentrant non trivial de la diffusivité observé dans les expériences, dont une interprétation physique simple est proposée.Les résultats suggèrent en outre une forte dépendance de la dynamique du système par rapport à la longueur de corrélation du désordre. Une étude détaillée de la relaxation du fluide a été effectuée, dans le but d'apporter une compréhension de la dynamique à toutes les échelles de temps. En parallèle, il a été montré que de nombreuses approximations classiques utilisées dans le calcul des propriétés structurales des fluides conduisent à des résultats non physiques dans le cas présent.Finalement, un programme de simulation Monte Carlo a été développé, et les premiers résultats sont comparés à la théorie et aux expériences. / Recent experimental studies of the dynamics of colloids beamed by a random light pattern (speckle) showed the existence of subdiffusion, trapping, or mixture separation phenomena, under the action of that disordered environment.To this end, a version of the Mode Coupling Theory (MCT), initially developed for fluids in confinement in sol id porous matrices has been applied to the case of a fluid plunged in a random Gaussian potential with a Gaussian correlation function.The aim of this PhD work is to further improve the understanding of these phenomena by the addition of a theoretical study.The numerical resolution of the asymptotic equations of this theory leads to the construction o phase diagrams, which reproduce for example the non trivial reentrent behaviour of the diffusivity, observed in related experiments, for which a physical interpretation is proposed. Furthermore, results suggest a strong depend ence of the dynamics on the disorder correlation length. A detailed study of the relaxation of the fluid has been made, in order to bring an understandin( of the dynamics at ali timescales. Simultaneously, it has been showed that a number of common approximations used in the calculation of the structural properties of fluids lead in the present case to non-physical results. Finally, a Monte-Carlo simulation program has been developed, and the first results are compared to theory and experiments.

Ce travail s’inscrit dans l’effort de recherche ayant pour but d’identifier des sous-types de schizophrénie à travers des données de connectivité cérébrale tirées de l’imagerie par résonance magnétique fonctionelle. Des techniques de regroupement en grappes, dont l’algorithme Espérance-Maximisation (EM) pour l’estimation des paramètres de modèles de mé- lange gaussien, ont été utilisées sur des données de ce type dans des recherches précédentes. Cette approche capture des effets de processus cérébraux normaux qui sont sans intérêt pour l’identification de sous-types maladifs. Dans le présent travail, les données de la population des individus témoins (non-atteints de la maladie) sont modélisées par un mélange fini de densités gaussiennes. Chaque densité représente un sous-type supposé de fonctionnement cé- rébral normal. Une nouvelle modélisation est proposée pour les données de la population des individus atteints : un mélange de densités gaussiennes où chaque densité a une moyenne correspondant à la somme d’un état normal et d’un état maladif. Il s’agit donc d’un modèle de mélange gaussien dans lequel se superposent des sous-types de fonctionnement cérébral normal et des sous-types de maladie. On présuppose que les processus normaux et maladifs sont additifs et l’objectif est d’isoler et d’estimer les effets maladifs. Un algorithme de type EM spécifiquement conçu pour ce modèle est développé. Nous disposons en outre de données de connectivité cérébrale de 242 individus témoins et 242 patients diagnostiqués schizophrènes. Des résultats de l’utilisation de cet algorithme sur ces données sont rapportés. / This work is part of the research effort to identify subtypes of schizophrenia through brain connectivity data from functional magnetic resonance imaging. Clustering techniques, including the Esperance-Maximization algorithm (EM) for estimating parameters of Gaussian mixture models, have been used on such data in previous research. This approach captures the effects of normal brain processes that are irrelevant to the identification of disease subtypes. In this work, the population data of control (non-disease) individuals are modeled by a finite mixture of Gaussian densities. Each density represents an assumed subtype of normal brain function. A new model is proposed for the population data of affected individuals : a mixture of Gaussian densities where each density has an mean corresponding to the sum of a normal state and a disease state. Therefore, it is a mixture in which subtypes of normal brain function and subtypes of disease are superimposed. It is assumed that normal and unhealthy processes are additive and the goal is to isolate and estimate the unhealthy effects. An EM algorithm specifically designed for this model is developed. Data were obtained from functional magnetic resonance imaging of 242 control individuals and 242 patients diagnosed with schizophrenia. Results obtained using this algorithm on this data set are reported.

Cette thèse de doctorat porte sur l’étude de deux objets probabilistes, les mesures de chaos multiplicatif gaussien (GMC) et la théorie conforme des champs de Liouville (LCFT). Le GMC fut introduit par Kahane en 1985 et il s’agit aujourd’hui d’un objet extrêmement important en théorie des probabilités et en physique mathématique. Très récemment le GMC a été utilisé pour définir les fonctions de corrélation de la LCFT, une théorie qui est apparue pour la première fois en 1981 dans le célèbre article de Polyakov, “Quantum geometry of bosonic strings”. Grâce à ce lien établi entre GMC et LCFT, nous pouvons traduire les techniques de la théorie conforme des champs dans un langage probabiliste pour effectuer des calculs exacts sur les mesures de GMC. Ceci est précisément ce que nous développerons pour le GMC sur le cercle unité. Nous écrirons les équations BPZ qui fournissent des relations non triviales sur le GMC. Le résultat final est la densité de probabilité pour la masse totale de la mesure de GMC sur cercle unité ce qui résout une conjecture établie par Fyodorov et Bouchaud en 2008. Par ailleurs, il s'avère que des techniques similaires permettent également de traiter un autre cas, celui du GMC sur le segment unité, et nous obtiendrons de même des formules qui avaient été conjecturées indépendamment par Ostrovsky et par Fyodorov, Le Doussal, et Rosso en 2009. La dernière partie de cette thèse consiste en la construction de la LCFT sur un domaine possédant la topologie d’une couronne. Nous suivrons les méthodes introduites par David- Kupiainen-Rhodes-Vargas même si de nouvelles techniques seront requises car la couronne possède deux bords et un espace des modules non trivial. Nous donnerons également des preuves plus concises de certains résultats connus. / Throughout this PhD thesis we will study two probabilistic objects, Gaussian multiplicative chaos (GMC) measures and Liouville conformal field theory (LCFT). GMC measures were first introduced by Kahane in 1985 and have grown into an extremely important field of probability theory and mathematical physics. Very recently GMC has been used to give a probabilistic definition of the correlation functions of LCFT, a theory that first appeared in Polyakov’s 1981 seminal work, “Quantum geometry of bosonic strings”. Once the connection between GMC and LCFT is established, one can hope to translate the techniques of conformal field theory in a probabilistic framework to perform exact computations on the GMC measures. This is precisely what we develop for GMC on the unit circle. We write down the BPZ equations which lead to non-trivial relations on the GMC. Our final result is an exact probability density for the total mass of the GMC measure on the unit circle. This proves a conjecture of Fyodorov and Bouchaud stated in 2008. Furthermore, it turns out that the same techniques also work on a more difficult model, the GMC on the unit interval, and thus we also prove conjectures put forward independently by Ostrovsky and by Fyodorov, Le Doussal, and Rosso in 2009. The last part of this thesis deals with the construction of LCFT on a domain with the topology of an annulus. We follow the techniques introduced by David-Kupiainen- Rhodes-Vargas although novel ingredients are required as the annulus possesses two boundaries and a non-trivial moduli space. We also provide more direct proofs of known results.

L'arrivée de la norme MPEG-7 pour les vidéos exige la création de structures de haut niveau représentant leurs contenus. Le travail de cette thèse aborde l'automatisation de la fabrication d'une partie de ces structures. Comme point de départ, nous utilisons des outils de segmentation des objets en mouvement. Nos objectifs sont alors : retrouver des objets similaires dans la vidéo, utiliser les similarités entre plans caméras pour construire des regroupements de plans en scènes. Une fois ces structures construites, il est facile de fournir aux utilisateurs finaux des outils de visualisation de la vidéo permettant des navigations interactives : par exemple sauter au prochain plan ou scène contenant un personnage. La difficulté principale réside dans la grande variabilité des objets observés : changements de points de vues, d'échelles, occultations, etc. La contribution principale de cette thèse est la modélisation de la variabilité des observations par un mélange de densités basée sur la théorie du mélange gaussien. Cette modélisation permet de capturer les différentes apparences intra-plan de l'objet suivi et de réduire considérablement le nombre des descripteurs de bas niveaux à indexer par objet suivi. Autour de cette contribution se greffent des propositions qui peuvent être vues comme des mises en oeuvre de cette première pour différentes applications : mise en correspondance des objets suivis représentés par des mélanges gaussiens, fabrication initiale des catégories de tous les objets présents dans une vidéo par une technique de classification non supervisée, extraction de vues caractéristiques et utilisation de la détection d'objets similaires pour regrouper des plans en scènes.

Le domaine de l’assurance automobile fonctionne par cycles présentant des phases de profitabilité et d’autres de non-profitabilité. Dans les phases de non-profitabilité, les compagnies d’assurance ont généralement le réflexe d’augmenter le coût des primes afin de tenter de réduire les pertes. Par contre, de très grandes augmentations peuvent avoir pour effet de massivement faire fuir la clientèle vers les compétiteurs. Un trop haut taux d’attrition pourrait avoir un effet négatif sur la profitabilité à long terme de la compagnie. Une bonne gestion des augmentations de taux se révèle donc primordiale pour une compagnie d’assurance. Ce mémoire a pour but de construire un outil de simulation de l’allure du porte- feuille d’assurance détenu par un assureur en fonction du changement de taux proposé à chacun des assurés. Une procédure utilisant des régressions à l’aide de processus gaus- siens univariés est développée. Cette procédure offre une performance supérieure à la régression logistique, le modèle généralement utilisé pour effectuer ce genre de tâche. / The field of auto insurance is working by cycles with phases of profitability and other of non-profitability. In the phases of non-profitability, insurance companies generally have the reflex to increase the cost of premiums in an attempt to reduce losses. For cons, very large increases may have the effect of massive attrition of the customers. A too high attrition rate could have a negative effect on long-term profitability of the company. Proper management of rate increases thus appears crucial to an insurance company. This thesis aims to build a simulation tool to predict the content of the insurance portfolio held by an insurer based on the rate change proposed to each insured. A proce- dure using univariate Gaussian Processes regression is developed. This procedure offers a superior performance than the logistic regression model typically used to perform such tasks.

La présente thèse est consacrée à l’étude de la probabilité du chemin d’un mouvement aléatoire sur la base d’une extension de la mécanique Hamiltonienne/Lagrangienne à la dynamique stochastique. La probabilité d’un chemin est d’abord étudiée par simulation numérique dans le cas du mouvement stochastique Gaussien des systèmes non dissipatifs. Ce modèle dynamique idéal implique que, outre les forces aléatoires Gaussiennes, le système est seulement soumis à des forces conservatrices. Ce modèle peut être appliqué à un mouvement aléatoire réel de régime pseudo-périodique en présence d’une force de frottement lorsque l’énergie dissipée est négligeable par rapport à la variation de l’énergie potentielle. Nous constatons que la probabilité de chemin décroît exponentiellement lorsque le son action augmente, c’est à dire, P(A) ~ eˉγA, où γ est une constante caractérisant la sensibilité de la dépendance de l’action à la probabilité de chemin, l’action est calculée par la formule A = ∫T0 Ldt, intégrale temporelle du Lagrangien. L = K–V sur une période de temps fixe T, K est l’énergie cinétique et V est l’énergie potentielle. Ce résultat est une confirmation de l’existence d’un analogue classique du facteur de Feynman eiA/ħ pour le formalisme intégral de chemin de la mécanique quantique des systèmes Hamiltoniens. Le résultat ci-dessus est ensuite étendu au mouvement aléatoire réel avec dissipation. A cet effet, le principe de moindre action doit être généralisé au mouvement amorti de systèmes mécaniques ayant une fonction unique de Lagrange bien définie qui doit avoir la simple connexion habituelle au Hamiltonien. Cela a été fait avec l’aide du Lagrangien suivant L = K − V − Ed, où Ed est l’énergie dissipée. Par le calcul variationnel et la simulation numérique, nous avons prouvé que l’action A = ∫T0 Ldt est stationnaire pour les chemins optimaux déterminés par l’équation newtonienne. Plus précisément, la stationnarité est un minimum pour les mouvements de régime pseudo-périodique, un maximum pour les mouvements d’amortissement apériodique et une inflexion dans le cas intermédiaire. Sur cette base, nous avons étudié la probabilité du chemin du mouvement stochastique Gaussien des systèmes dissipatifs. On constate que la probabilité du chemin dépend toujours de façon exponentielle de l’action Lagrangien pour les mouvements de régime pseudo-périodique, mais dépend toujours de façon exponentielle de l’action cinétique A = ∫T0 Kdt pour régime apériodique. / The present thesis is devoted to the study of path probability of random motion on the basis of an extension of Hamiltonian/Lagrangian mechanics to stochastic dynamics. The path probability is first investigated by numerical simulation for Gaussian stochastic motion of non dissipative systems. This ideal dynamical model implies that, apart from the Gaussian random forces, the system is only subject to conservative forces. This model can be applied to underdamped real random motion in the presence of friction force when the dissipated energy is negligible with respect to the variation of the potential energy. We find that the path probability decreases exponentially with increasing action, i.e., P(A) ~ eˉγA, where γ is a constant characterizing the sensitivity of the action dependence of the path probability, the action is given by A = ∫T0 Ldt, a time integral of the Lagrangian L = K–V over a fixed time period T, K is the kinetic energy and V is the potential energy. This result is a confirmation of the existence of a classical analogue of the Feynman factor eiA/ħ for the path integral formalism of quantum mechanics of Hamiltonian systems. The above result is then extended to real random motion with dissipation. For this purpose, the least action principle has to be generalized to damped motion of mechanical systems with a unique well defined Lagrangian function which must have the usual simple connection to Hamiltonian. This has been done with the help of the following Lagrangian L = K – V – Ed, where Ed is the dissipated energy. By variational calculus and numerical simulation, we proved that the action A = ∫T0 Ldt is stationary for the optimal paths determined by Newtonian equation. More precisely, the stationarity is a minimum for underdamped motion, a maximum for overdamped motion and an inflexion for the intermediate case. On this basis, we studied the path probability of Gaussian stochastic motion of dissipative systems. It is found that the path probability still depends exponentially on Lagrangian action for the underdamped motion, but depends exponentially on kinetic action A = ∫T0 Kdt for the overdamped motion.