Le travail soumis commence par un aperçu du micro-crédit tel qu'il a été introduit au Bangladesh par M. Yunus. Puis on donne un modèle stochastique des retards de versement. Comme ces retards ne donnent pas lieu à une sanction financière, ils constituent, de fait, une baisse du taux réel de crédit. Ce taux est alors, lui-même, aléatoire. On calcule un taux espéré en fonction de la probabilité de retard de remboursement hebdomadaire. On déduit que ce taux espéré est d'environ 3.5% inférieur au taux (annoncé) du cas déterministe si l'on considère que 3% des retards atteignent 4 semaines. Le travail se poursuit par une étude statistique de données du micro-crédit en Thaïlande. On commence par présenter un modèle de régression logistique du taux de remboursement par rapport aux 23 variables mesurées sur un échantillon de 219 groupes d'emprunteurs. On présente ensuite une sélection des variables les plus pertinentes selon un critère AIC ou BIC par une méthode "backward stepwise". Finalement des expériences sur des sous-échantillons montrent une bonne stabilité du choix des variables obtenues par la sélection.

Le but de cette thèse est d'étendre les résultats de l'article [B-M] sur les relations entre variétés moment-angle et variétés complexes. On s'intéressera ici aux variétés moment-angle issues d'une décomposition simpliciale (et non simplement polytopale) de la sphère. On cherchera ensuite à utiliser la relation entre ces deux types d'objets pour comprendre la topologie de certaines variétés complexes.[B-M] F.Bosio, L.Meersseman, Real quadrics in Cn, complex manifolds and polytopes, Acta Mathematica, 197 (2006), n° 1, 53 -- 127.

Cette thèse étudie la fibre de Milnor d'un arrangement d'hyperplans complexe central, et l'opérateur de monodromie sur ses groupes de cohomologie. On s'intéresse à la problématique suivante : peut-on déterminer l'opérateur de monodromie, ou au moins les nombres de Betti de la fibre de Milnor, à partir de l'information contenue dans le treillis d'intersection de l'arrangement? On donne deux théorèmes d'annulation des sous-espaces propres non triviaux de l'opérateur de monodromie. Le premier résultat s'applique à une large classe d'arrangements, le deuxième à des arrangements de droites projectives tels qu'il existe une droite contenant exactement un point de multiplicité supérieure ou égale à trois. Dans le dernier chapitre, on considère la structure de Hodge mixte des groupes de cohomologie de la fibre de Milnor d'un arrangement central et essentiel dans l'espace complexe de dimension quatre. On donne ensuite l'équivalence entre la trivialité de la monodromie, la nullité des coefficients non entiers du spectre de l'arrangement, et la nullité des nombres de Hodge mixtes des groupes de cohomologie de la fibre de Milnor.

Cette thèse traite de la détection de zones de convergence dans une image, dans un cadre a contrario. C'est un travail théorique préliminaire qui explore différentes altérations du cadre a contrario. Elle a pour application dans le domaine médical la détection des lésions stellaires dans les mammographies, responsables de nombreux cancers du sein et qui se matérialisent par un centre intense vers lequel convergent les spicules, structures linéaires normalement présents dans le sein. Les lésions stellaires et distorsions architecturales ont suscité de nombreux travaux. La plupart des méthodes de détection sont basées sur l'extraction de caractéristiques locales de l'image (orientation du gradient, orientation des pixels, variance de l'histogramme de l'orientation...) puis utilisent une méthode de classification pour attribuer à chaque pixel une probabilité d'appartenir à une lésion stellaire. Ces méthodes nécessitent souvent l'utilisation de filtres en pré-traitement et en post-traitement afin de réduire le bruit, ou de seuiller les résultats finaux. La méthodologie a contrario offre un nouveau cadre pour la détection de structures dans les images. Elle s'appuie sur la définition d'un modèle de bruit, et sur une mesure de l'écart des observations à ce modèle. Le modèle porte sur des structures élémentaires et est souvent choisi "uniforme" : c'est-à-dire que les structures sont supposées suivre la loi uniforme et indépendantes. Or dans les mammographies on observe que les spicules ont une orientation privilégiée, et ne sont pas uniformément distribuées. Nous proposons l'utilisation de la méthode a contrario dans un cadre anisotrope pour mieux tenir compte de la distribution normale des spicules dans une mammographie. Les modèles anisotropes proposés modélisent le fait qu'une partie des structures linéaires est normalement convergentes vers un point commun. Ils portent soit sur les droites de l'image quand il s'agit de détecter les convergences globales, soit sur les segments quand on chercher les convergences locales dans une image. Concernant la détection des convergences locales, le cadre a contrario offre de nombreuses possibilités : sur le choix du nombre de fausses alarmes ou sur le choix du modèle de bruit. Ces choix sont détaillés sur des exemples synthétiques, sur des mammographies et sur des images naturelles. Les modèles a contrario que l'on étudie sont donnés sous la forme de mélanges paramétriques de deux termes : un terme uniforme et un terme "gaussien", modélisant le fait qu'une partie des structures est naturellement convergente. Pour ces différents types de modèles nous proposons d'estimer leurs paramètres. Le point de convergence globale est estimé par minimisation du nombre de fausses alarmes, et l'estimation des autres paramètres est faite par maximisation de la log-vraisemblance. Les modèles estimés sont ensuite testés en tant que modèles a contrario pour la détection des convergences et les résultats sont comparés à ceux que donnait le modèle uniforme.

Nous étudions la stratification de Newton des variétés de Shimura de type PEL aux places de bonne réduction. Nous considérons la strate basique de certaines variétés de Shimura simples de type PEL modulo une place de bonne réduction. Sous des hypothèses simplificatrices nous prouvons une relation entre la cohomologie l-adique de ce strate basique et la cohomologie de la variété de Shimura complexe. En particulier, nous obtenons des formules explicites pour le nombre de points dans la strate basique sur des corps finis, en termes de représentations automorphes. Nous obtenons les résultats à l'aide de la formule des traces et de la troncature de la formule de Kottwitz pour le nombre de points sur une variété de Shimura sur un corps fini. Nous montrons, en utilisant la formule des traces, que n'importe quelle strate de Newton d'une variété de Shimura de type PEL de type (A) est non vide en une place de bonne réduction. Ce résultat a déjà été établi par Viehmann-Wedhorn; nous donnons une nouvelle preuve de ce théorème. Considérons la strate basique des variétés de Shimura associées à certains groupes unitaires dans les cas où cette strate est une variété finie. Alors, nous démontrons un résultat d' équidistribution pour les opérateurs de Hecke agissant sur cette strate. Nous relions le taux de convergence avec celui de la conjecture de Ramanujan. Dans nos formules ne figurent que des représentations automorphes cuspidales sur Gl_n pour lesquelles cette conjecture est connue, et nous obtenons donc des estimations très bonnes sur la vitesse de convergence. En collaboration avec Erez Lapid nous calculons le module de Jacquet d'une représentation en échelle pour tout sous-groupe parabolique standard du groupe général linéaire sur un corps local non-archimédien.

Cette thèse traite de la synchronisation et de la désynchronisation des systèmes dynamiques. Dans une première partie nous abordons, sous l'angle de la biologie systémique, le problème de la désynchronisation qui consiste à induire un comportement chaotique dans un système ayant une dynamique stable. Nous étudions ce problème sur un réseau génétique appelé V-système, inventé afin de coupler le plus simplement possible une bifurcation de Hopf et une hystérèse. Après avoir démontré qu'un champ de vecteurs de R^n présentant un tel couplage peut, sous certaines conditions, avoir un comportement chaotique, nous donnons un ensemble de paramètres pour lequel le V-système associé satisfait ces conditions et vérifions numériquement que le mécanisme responsable du chaos prend place dans ce système. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons à la synchronisation de systèmes organisés hiérarchiquement. Nous commençons par définir une structure hiérarchique pour un ensemble de 2^n systèmes par une matrice représentant les étapes d'un processus de regroupement deux par deux. Cela nous amène naturellement au cas d'un ensemble de Cantor de systèmes, pour lequel nous obtenons un résultat de synchronisation globale généralisant le cas fini. Enfin nous traitons de la situation où certains défauts apparaissent dans la hiérarchie, i.e que certains liens entre les systèmes sont brisés. Nous montrons que l'on peut accepter un nombre infini de liens brisés, tout en gardant une synchronisation locale, à condition que ces liens soient uniquement présents aux N premiers étages de la hiérarchie (pour un N fixé) et qu'ils soient suffisamment espacés dans ces étages.

Cette thèse se situe à l'interface entre théorie des nœuds et théorie des systèmes dynamiques. Le thème central consiste, étant donné un champ de vecteurs dans une variété de dimension 3, à considérer ses orbites périodiques, et à s'interroger sur les informations qu'elles donnent sur le champ de vecteurs et la variété initiaux.La première partie est consacrée au flot géodésique défini sur le fibré unitaire tangentd'une surface, ou d'une orbiface, à courbure constante. L'observation de certains exemples (sphère, tore, surface modulaire) suggère la conjecture suivante, due à Étienne Ghys : l'enlacement entre deux familles homologiquement nulles quelconques d'orbites périodiques est toujours négatif. En d'autres termes, le flot géodésique serait lévogyre. Quand la courbure est négative, par les travaux de David Fried sur les flots d'Anosov, cette conjecture implique une propriété étonnante et très particulière : n'importe quelle collection homologiquement nulle d'orbites périodiques borde une section de Birkhoff pour le flot géodésique, et est par conséquent la reliure d'un livre ouvert. En ce sens, cette conjecture propose une généralisation de la construction de Norbert A'Campo de livres ouverts sur les fibrés unitaires tangents. Nous proposons la démonstration de cette conjecture dans les cas du tore, des orbifolds de type (2, q, infini), et de l'orbifold de type (2, 3, 7). La seconde partie est consacrée au comportement asymptotique des invariants des nœuds formés par les orbites périodiques d'un champ de vecteur, quand la longueur de l'orbite tend vers l'infini. Le but est de définir des invariants de champs de vecteurs stables par difféomorphisme. Dans le cas particulier des nœuds de Lorenz, nous montrons que les racines du polynôme d'Alexander admettent un comportement particulier : elles s'accumulent au voisinage du cercle-unité.

In this work, we study the statistical properties of deterministic and stochastic dynamical systems. We are particularly interested in extreme values and recurrence. We prove the existence of Extreme Value Laws (EVLs) and Hitting Time Statistics (HTS)/ ReturnTime Statistics (RTS) for systems with decay of correlations against L1 observables. We also carry out the study of the convergence of Rare Event Point Processes (REPP). In the first part, we investigate the problem for deterministic dynamics and completely characterise the extremal behaviour of expanding systems by giving a dichotomy relying on the existence of an Extremal Index (EI). Namely, we show that the EI is strictly less than 1 for periodic centres and is equal to 1 for non-periodic ones. In a more general setting, we prove that the REPP converges to a standard Poisson if the centre is non-periodic, and to a compound Poisson with a geometric multiplicity distribution for the periodic case. Moreover, we perform an analysis of the convergence of the REPP at discontinuity points which gives the convergence to a compound Poisson with a multiplicity distribution different than the usual geometric one.In the second part, we consider stochastic dynamics by randomly perturbing a deterministic system with additive noise. We present two complementary methods which allow us to obtain EVLs and statistics of recurrence in the presence of noise. The first approach is more probabilistically oriented while the second one uses spectral theory. We conclude that, regardless of the centre chosen, the EI is always equal to 1 and the REPP converges to the standard Poisson.

Cette thèse contribue au domaine de la morphologie mathématique et illustre comment la statistique multivariée et les techniques d'apprentissage numérique peuvent être exploitées pour concevoir un ordre dans l'espace des vecteurs et pour inclure les résultats d'opérateurs morphologiques au processus d'analyse d'images multivariées. En particulier, nous utilisons l'apprentissage supervisé, les projections aléatoires, les représentations tensorielles et les transformations conditionnelles pour concevoir de nouveaux types d'ordres multivariés et de nouveaux filtres morphologiques pour les images multi/hyperspectrales. Nos contributions clés incluent les points suivants :* Exploration et analyse d'ordre supervisé, basé sur les méthodes à noyaux.* Proposition d'un ordre nonsupervisé, basé sur la fonction de profondeur statistique calculée par projections aléatoires. Nous commençons par explorer les propriétés nécessaires à une image pour assurer que l'ordre ainsi que les opérateurs morphologiques associés, puissent être interprétés de manière similaire au cas d'images en niveaux de gris. Cela nous amènera à la notion de décomposition en arrière plan. De plus, les propriétés d'invariance sont analysées et la convergence théorique est démontrée.* Analyse de l'ordre supervisé dans les problèmes de correspondance morphologique de patrons, qui correspond à l'extension de l'opérateur tout-ou-rien aux images multivariées grâce à l'utilisation de l'ordre supervisé.* Discussion sur différentes stratégies pour la décomposition morphologique d'images. Notamment, la décomposition morphologique additive est introduite comme alternative pour l'analyse d'images de télédétection, en particulier pour les tâches de réduction de dimension et de classification supervisée d'images hyperspectrales de télédétection.* Proposition d'un cadre unifié basé sur des opérateurs morphologiques, pour l'amélioration de contraste et pour le filtrage du bruit poivre-et-sel.* Introduction d'un nouveau cadre de modèles Booléens multivariés en utilisant une formulation en treillis complets. Cette contribution théorique est utile pour la caractérisation et la simulation de textures multivariées.

This dissertation contributes to two fundamental problems of digital image formation: the modeling and estimation of the blur introduced by an optical digital camera and the fast generation of realistic synthetic images. The accurate estimation of the camera's intrinsic blur is a longstanding problem in image processing. Recent technological advances have significantly impacted on image quality. Thus improving the accuracy of calibration procedures is imperative to further push this development. The first part of this thesis presents a mathematical theory that models the physical acquisition of digital cameras. Based on this modeling, two fully automatic algorithms to estimate the intrinsic camera blur are introduced. For the first one, the estimation is performed from a photograph of a specially designed calibration pattern. One of the main contributions of this dissertation is the proof that a pattern with white noise characteristics is near optimal for the estimation purpose. The second algorithm circumvents the tedious process of using a calibration pattern. Indeed, we prove that two photographs of a textured planar scene, taken at two different distances with the same camera configuration, are enough to produce an accurate estimation. In the second part of this thesis, we propose an algorithm to accelerate realistic image synthesis. Several hours or even days may be necessary to produce high-quality images. In a typical renderer, image pixels are formed by averaging the contribution of stochastic rays cast from a virtual camera. The simple yet powerful acceleration principle consists of detecting similar pixels by comparing their ray histograms and letting them share their rays. Results show a significant acceleration while preserving image quality.