Orientador: Prof. Dr. Márcio Fabiano da Silva / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2015. / Este trabalho tem por objetivo estudar o processo de inversão geométrica na elipse que nada mais é do que uma transformação geométrica sofrida em uma superfície não plana. Mais do que isso, é uma forma de propor um trabalho diferenciado ao professor do Ensino Médio baseado nas aplicações da Elipse e de suas propriedades e que a partir de um trabalho de pesquisa pode ser estendido para as demais cônicas. Diferente da inversão geométrica clássica na circunferência, utilizamos a elipse como agente inversor. Primeiramente trazemos um apanhado da história da elipse. Apresentamos seus elementos, seus conceitos e propriedades básicas.Recordamos a homotetia, que é uma transformação geométrica do plano e que faz parte do estudo dos resultados das inversões estudadas. Em seguida, passamos a estudar as inversões na elipse. Então, para finalizar, são sugeridas atividades envolvendo as elipses e outras as inversões que nela ocorrem. Tais atividades podem ser aplicadas em sala de aula desde as primeiras séries do ensino fundamental II, desmistificando a famosa pergunta: Onde e/ou para que vou usar "isso", professor? São atividades de pesquisa, atividades interativas e de trabalho com o software de geometria dinâmica Geogebrar. / This work aims to study the geometric inversion process on the ellipse which is nothing more than a geometric transformation suffered in a non-planar surface. More than that, it¿s a way of proposing a differentiated work to high school teacher based on practical applications of Ellipse and its properties and that from a research paper can be extended to other conical. Unlike the classic geometric inversion in the circle, we use the ellipse as inverter agent. First we bring an overview of the history of the ellipse. We present its elements, its concepts and basic properties. We recall about dilation, which is a geometric transformation on plane very important to study the results of studied inversions. Then, we began to study the inversions on Ellipse. Finally, we suggest activities involving the ellipses and other inversions that occur in it. Such activities can be applied in the classroom from the early grades of elementary school, demystifying the famous question: Where and / or I will use " it ", Professor? Are research activities, interactive activities and work with dynamic geometry software Geogebrar.

A dissertação discute a abordagem de conceitos de construção geométrica nos livros didáticos dos anos finais do ensino fundamental do Brasil e Canadá. Para isso, pesquisamos o papel da construção geométrica na educação, da utilização dos livros didáticos e a relevância da análise comparativa na área. As fontes utilizadas foram os documentos oficiais: orientações curriculares brasileiras (PCN) e canadenses (the Ontario Curriculum); quatro coleções de livros: Projeto Teláris, Matemática na Medida Certa, Nelson Mathematics e Math Makes Sense; guia do livro didático (Brasil e Canadá). Usando a análise documental como modalidade de pesquisa, buscamos responder à pergunta: como os saberes relacionados ao desenho geométrico são representados em cada coleção e quais as principais diferenças e semelhanças entre os livros didáticos brasileiros e canadenses? Concluímos que algumas obras se destacam, como Projeto Teláris e Math Makes Sense, pois se aproximam das orientações de seus respectivos currículos. Encontramos, também, poucas construções comuns a todas as obras, apenas circunferência e triângulo, e que o conteúdo de construção geométrica por muitas vezes encontra-se incompleto nas coleções. / The dissertation discusses the approach of geometric construction concepts in both Brazilian and Canadian mathematics textbooks in the final years of elementary school. A study was conduct on the role of geometric construction and the use of textbooks, as well as the relevance of comparative analysis within the discipline. The research primary sources were based on official documents, including the Brazilian curricular orientation (PCN) and the Canadian one (the Ontario Curriculum); four textbook collections: Projeto Teláris, Matemática na Medida Certa, Nelson Mathematics and Math Makes Sense; and the guide of textbooks (Brazil and Canada).The method used to carry out the research is documental analysis, and the goal of the study is to identify and explain how the content of geometric shapes are represented on each book collection and which are the main differences and similarities between Brazilian and Canadian textbooks. The findings showed that the book Projeto Teláris and Math Makes Sense stand out for following their respective curricular orientations. It was also concluded that only a small amount of shapes were common to all textbooks, specifically circle and triangle, and that the geometric construction content is, in great majority, incomplete in all colections.

Um dos grandes desafios em medidas de espectrometria gama utilizando fontes que não podem ser consideradas pontuais é a determinação da eficiência de detecção do sistema, uma vez que a geometria da fonte impõe complexidades na tarefa como o tratamento do ângulo sólido e da auto-absorção. Alguns métodos para o cálculo dessa eficiência já são bem estabelecidos e podem ser encontrados na literatura. Neste trabalho é proposto um método com características distintas aos já existentes cujas principais vantagens são, não depender de conhecimento prévio da geometria de detecção e da composição química da amostra a ser medida, e permitir o cálculo da eficiência de uma fonte extensa a partir de medidas com fontes padrão em formato pontual. O método proposto foi testado comparando os valores das eficiências obtidas por ele com os valores obtidos usando uma fonte padrão extensa. Para testar o método proposto em diferentes condições foi utilizado solo como matriz para a amostra em duas diferentes espessuras, 1cm e 3cm. Testou-se também o comportamento do método quando a matriz tem número atômico efetivo mais alto (aqui utilizou-se solo misturado à limalha de ferro) e mais baixo (adição de pó de grafite ao solo). Os resultados indicaram que o método é adequado para amostras de solo com espessura mais fina; já para fontes mais espessas, dois dos três resultados indicaram que a eficiência foi subestimada pelo método proposto, sugerindo que uma geometria mais adequada deva ser escolhida para a amostragem das medidas / One of the greatest challenges in gamma spectroscopy measurements using extense sources is the determination of the system\'s detection efficiency, since the source\'s geometry leads to added complexity to the treatment of parameters as geometry and self-absorption. Some well-established methods for the efficiency determination can be found in the literature. In the present work a method with distinct characteristics is proposed with the main advantages that it doesn\'t require previous knowledge of the detection geometry or of the sample composition; moreover, it allows the determination of the detection efficiency for a large sample based only on measurements using a point-like standard source. The proposed method was tested comparing the efficiency values obtained using the method with the values obtained using a real large source with the same composition and geometry. In order to verify the performance of the method under different conditions, soil matrixes of two different thicknesses (1cm and 3cm) were used; also, to asses the method under different sample compositions, 3cm-thick soil matrixes with increased effective atomic number (where iron filings was added) and with reduced effective atomic mass (where graphite powder was added) were used. The results indicate that the proposed method is suitable for thinner soil samples; as for thicker samples, two of the three results showed a subestimation of the detection efficiency value determined, suggesting that a more suitable sampling geometry should be analyzed.

A batata-doce é uma das fontes de alimento mais importantes do mundo, sendo muito cultivada no Brasil por agricultores tradicionais. Os caiçaras, habitantes do litoral do Sudeste brasileiro, têm exercido enorme influência na manutenção da diversidade genética em muitas culturas, incluindo a batata-doce. Como os processos de mudanças socioeconômicas e agrícolas nesta região são muito rápidos e têm provocado alterações constantes nesses sistemas agroecológicos, pretendeu-se capturar o nível de diversidade genética mantida por estes agricultores, por meio da morfometria geométrica e caracteres morfoagronômicos, além de avaliar o potencial da cultura para a produção de etanol. Assim, 71 acessos coletados no litoral Norte e do Vale do Ribeira mais seis acessos de um antigo banco de germoplasma e três variedades comerciais de um produtor de Piracicaba foram utilizados nestas avaliações. Para a caracterização morfoagronômica, os acessos foram submetidos às avaliações, com base em 10 descritores quantitativos e 27 qualitativos. Nas avaliações quantitativas, o método de Tocher e UPGMA apresentaram concordância, indicando a produtividade como caráter fundamental na formação dos grupos, por outro lado, não existiu consistência na formação dos grupos entre os métodos ADCP e UPGMA, com base nos caracteres qualitativos. A maior parte da variabilidade encontrada ficou entre os acessos e não se observou qualquer estruturação espacial da varibilidade. A análise elíptica de Fourier (AEF) realizada em 1.437 folhas permitiu a extração dos seis primeiros componentes principais para explicar a maior parte da variabilidade existente nas amostras. A reconstrução do contorno foliar indicou que os dois primeiros componentes principais descreveram as variações quanto ao índice de lobação do limbo e as diferenças na profundidade do seio peciolar, sendo estes caracteres provavelmente de herança qualitativa e quantitativa, respectivamente. A análise multivariada de variância (MANOVA) revelou diferenças significativas entre os acessos avaliados, indicando a presença de variabilidade genética. O método UPGMA demonstrou a existência de grupos com folhas cordiformes, com três lóbulos e com cinco ou mais lóbulos. Na identificação do potencial de etanol foram avaliados os caracteres teor de amido, produtividade (t.ha-1), rendimento de amido, rendimento de etanol em litros por hectare (L.ha-1) e rendimento de etanol em litros por tonelada (L.t-1). O método de Tocher possibilitou a formação de nove grupos. Os acessos mais dissimilares e com média elevada para os caracteres indicaram a possibilidade de seleção de genótipos superiores. Os resultados obtidos nestas avaliações permitem inferir que (1) existe uma alta diversidade genética mantida pelos caiçaras, (2) a AEF pode ser utilizada com sucesso na avaliação da diversidade nesta espécie e (3) a batata-doce apresenta-se como fonte alternativa para geração de bioetanol. / Sweet potato is one of the most important food sources in the world and is widely cultivated in Brazil by traditional farmers. The native human population of the southeastern Brazilian coast, has exerted enormous influence in maintaining genetic diversity in many crops, including sweet potato. As the processes of socioeconomic and agricultural change in this region are very fast and have caused constant changes in their agroecological system, it was intended to capture the genetic diversity level maintained by these farmers through the geometric morphometrics and morphological traits, to evaluate the potential of the crop for the production of ethanol. Thus, 71 accessions collected in the Northern Coast of São Paulo State and in the coast of the Ribeira Valley region, in Southern São Paulo State, plus six accessions from a former germplasm bank and three commercial varieties from a farm in Piracicaba, SP, were used in these assessments. For morphoagronomic characterization, accessions were subjected to evaluation using 10 quantitative and 27 qualitative descriptors. In quantitative assessments, Tocher and UPGMA method showed agreement, indicating productivity as fundamental in the formation of groups. On the other hand, there was no consistency in the groups between the DAPC and UPGMA methods, based on qualitative characters. Most of the variability was found among the accessions and the genetic variability had no spatial structure. The elliptical Fourier analysis (EFA) performed on 1,437 leaves allowed the extraction of the first six principal components and explained most of the variability of the samples. The reconstruction of the leaf outline indicated that the first two principal components described the variation in the leaf blade lobation index and the differences in the depth of the petiole sinus, and these characters probably have qualitative and quantitative inheritance, respectively. Multivariate analysis of variance (MANOVA) revealed significant differences among accessions, indicating the presence of genetic variability. The UPGMA method showed the existence of groups with heart-shaped leaves, both with three lobes and five or more lobes. The potential for ethanol production was evaluated through the starch content, starch yield (t.ha-1), ethanol yield in liters per hectare (L.ha-1) and ethanol yield in liters per tonne (L.t-1). Tocher\'s method made possible the formation of nine groups. The most dissimilar accessions with high average for the traits indicated the possibility of selection of superior genotypes. The results obtained in these assessments allow us to infer that (1) there is a high genetic diversity maintained by the native population, (2) EFA can be successfully used in the evaluation of diversity in this species and (3) the sweet potato is presented as an alternative source to generate bioethanol.

Neste trabalho estudamos a continuidade da dinâmica assintótica relativamente a perturbações e, em particular, exploramos a obtenção de melhorias para as taxas de convergência de atratores globais através da introdução de fatores de correção, inspirados pelos resultados da teoria de homogeneização e nos trabalhos de (BABIN; VISHIK, 1992) e (CARVALHO; CHOLEWA, 2011), e através da introdução de mecanismos que melhoram a transferência da taxa de convergência de semigrupos para a taxa de convergência de atratores, inspirados pelos trabalhos (SANTAMARÍA, 2013) e (BABIN; VISHIK, 1992; CARVALHO; CHOLEWA, 2011). A proposta inicial está centrada na obtenção de melhores taxas de convergência de atratores globais através da obtenção de equiatração e da melhoria da taxa de convergência dos semigrupos. Para isto, buscamos melhorar a taxa de convergência do resolvente dos operadores setoriais envolvidos, por meio de uma perturbação singular do resolvente limite que ainda gere uma família de operadores setoriais com resolventes que aproximam o resolvente do problema limite e aproximam melhor os resolventes das perturbações iniciais. Feito isto, obtemos uma melhora imediata de convergência dos semigrupos lineares, depois dos não lineares (através da fórmula da variação das constantes). Motivados pelos resultados de (SANTAMARÍA, 2013), que oferecem uma menor perda na transferência das taxas de convergência dos semigrupos para as taxas de convergência dos atratores, buscamos melhor compreender a propriedade Lipschitz Shadowing, que é responsável direta pela obtenção da taxa de convergência dos atratores diretamente da taxa de convergência dos semigrupos. Isto nos levou a descobrir que podemos obter as propriedade Lipschitz Shadowing e estabilidade estrutural para perturbações Lipschitz de semigrupos Morse-Smale. / Here we compare the continuity of the asymptotic dynamics with respect to perturbations and, in particular, we explored to obtain improvement of rates of convergence of the global attractor through the introduction of correction factors, inspired by the results of homogenization theory and work of (BABIN; VISHIK, 1992) and (CARVALHO; CHOLEWA, 2011), and the introduction of mechanisms that improve the transference of the convergence rate of semigroups to the convergence rate of attractors, inspired by the work of (SANTAMARÍA, 2013) and (BABIN; VISHIK, 1992; CARVALHO; CHOLEWA, 2011). The initial proposal is focused on achieving best rates of convergence of the global attractors by obtaining equi-atraction and improving the convergence rate of semigroups. For this, we seek to improve the rate of convergence of the resolvents of sectorial operators, through a singular perturbation of the resolvent associated with the limit problem and generate a new family of sectorial operators whose resolvents both approximate the resolvent of the limit problem as they were closer to the resolvents the initial perturbation. Having done this, we obtain an immediate improvement of convergence of linear semigroups, after the non-linear (using the variation of constants formula). Motivated by the results of (SANTAMARÍA, 2013), which offer an improvement in obtaining convergence rates, we seek to study property better Lipschitz Shadowing, which is basically responsible for obtaining the distance of the attractors directly from the convergence rate of the semigroups. This has led us to discover that we can both preserve the Lipschitz Shadowing property under Lipschitz perturbations of Morse-Smale semigroups, and The geometric stability of the attractors.

Este trabalho visa resgatar a importância do ensino do desenho geométrico em especial dos Métodos dos Lugares Geométricos, aplicado à resolução de problemas de construção geométrica plana. A abordagem apresentada é tradicional, com o uso da régua e do compasso. Nesse sentido, o trabalho é composto da apresentação(conceito e construção), de vários Lugares Geométricos que podem ser considerados fundamentais para a resolução de problemas elementares de Desenho Geométrico, e a apresentação de construções das cônicas como algo mais elaborado destes lugares geométricos considerados fundamentais. Para a fixação dos conceitos, cada Lugar Geométrico (L.G.) contará com alguns exemplos de aplicação e, ao final dos capítulos, serão apresentados alguns exercícios propostos (para o leitor que se interessar em praticar os conceitos e as construções abordadas). Finalizando será feito um breve comentário das origens do desenho geométrico, bem como seu ensino no Brasil, evidenciando a resolução de problemas como método eficaz para o ensino da geometria. / This study reviews the importance of education in special geometric design of the \"Methods of Geometric Places\", applied to the resolution of flat geometric construction problems. The presented approach is traditional, using ruler and compass. In this sense, the work consists of the presentation (concept and construction), several Geometric places that may be considered fundamental to solving elementary geometric design problems, and the presentation of conical constructions as something more elaborate of these loci considered fundamental. For fixing the concepts, each geometric place will feature some application examples and at the end of chapters, some proposed exercises will be presented ( to the reader who is interested iun practing the concepts and addressed buildings). Finalizing will be a brief review of the origins of geometric design and its teaching in Brazil, emphasizing problem solving as an effective method for teaching geometry.

Este trabalho aborda a formulação geométrica das teorias clássicas de calibre, ou Yang-Mills, considerando-as como uma importante classe de modelos que deve ser incluída em qualquer tentativa de estabelecer um formalismo matemático geral para a teoria clássica dos campos. Tal formulação deve vir em (pelo menos) duas variantes: a versão hamiltoniana, que passou por uma fase de desenvolvimento rápido durante os últimos 10-15 anos, levando ao que hoje é conhecido como o ``formalismo multissimplético\'\', e a mais tradicional versão lagrangiana utilizada nesta tese. O motivo principal justificando tal investigação é que teorias de calibre constituem os mais importantes exemplos de sistemas dinâmicos que são altamente relevantes na Física e onde a equivalência entre a versão lagrangiana e a versão hamiltoniana, que no caso de sistemas não-singulares é estabelecida pela transformação de Legendre, deixa de ser óbvia, pois teorias de calibre são sistemas degenerados do ponto de vista lagrangiano e são sistemas vinculados do ponto de vista hamiltoniano. Esta propriedade característica das teorias de calibre é uma consequência direta do seu alto grau de simetria, isto é, da sua invariância de calibre. No entanto, numa formulação plenamente geométrica da teoria clássica dos campos, capaz de incorporar situações topologicamente não-triviais, a invariância sob transformações de calibre locais (transformações de calibre de segunda espécie) e, surpreendentemente, até mesmo a invariância sob as transformações de simetria globais correspondentes (transformações de calibre de primeira espécie) não podem ser adequadamente descritas em termos de grupos de Lie e suas ações em variedades, mas requerem a introdução e o uso sistemático de um novo conceito, a saber, fibrados de grupos de Lie e suas ações em fibrados (sobre a mesma variedade base). A meta principal da presente tese é tomar os primeiros passos no desenvolvimento de ferramentas matemáticas adequadas para lidar com este novo conceito de simetria e, como uma primeira aplicação, dar uma definição clara e simples do procedimento de ``acoplamento mínimo\'\' e uma demonstração simples do teorema de Utiyama, segundo o qual lagrangianas para potenciais de calibre (conexões) de primeira ordem (i.e., que dependem apenas dos próprios potenciais de calibre e de suas derivadas parciais até primeira ordem) que são invariantes sob transformações de calibre são necessariamente funções dos campos de calibre (i.e., do tensor de curvatura) invariantes sob as transformações de simetria globais correspondentes. / This thesis deals with the geometric formulation of classical gauge theories, or Yang-Mills theories, regarded as an important class of models that must be included in any attempt to establish a general mathematical framework for classical field theory. Such a formulation must come in (at least) two variants: the hamiltonian version which has gone through a phase of rapid development during the last 10-15 years, leading to what is now known as the ``multisymplectic formalism\'\', and the more traditional lagrangian version studied in this thesis. The main motivation justifying this kind of investigation is that gauge theories constitute the most important examples of dynamical systems that are highly relevant in physics and where the equivalence between the lagrangian and the hamiltonian version, which for non-singular systems is established through the Legendre trans% formation, is far from obvious, since gauge theories are degenerate systems from the lagrangian point of view and are constrained systems from the hamiltonian point of view. This characteristic property of gauge theories is a direct consequence of their high degree of symmetry, that is, of gauge invariance. However, in a fully geometric formulation of classical field theory, capable of incorporating topologically non-trivial situations, invariance under local gauge transformations (gauge transformations of the second kind) and, surprisingly, even invariance under the corresponding global symmetry transformations (gauge transformations of the first kind) cannot be described adequately in terms of Lie groups and their actions on manifolds but requires the introduction and systematic use of a new concept, namely Lie group bundles and their actions on fiber bundles (over the same base manifold). The main goal of the present thesis is to take the first steps in developing adequate mathematical tools for handling this new concept of symmetry and, as a first application, give a simple clear-cut definition for the prescription of ``minimal coupling\'\' and a simple proof of Utiyama´s theorem, according to which lagrangians for gauge potentials (connections) that are gauge invariant and of first order, i.e., dependent only on the gauge potentials themselves and on their partial derivatives up to first order, are necessarily functions of the gauge field strengths (i.e., the curvature tensor) invariant under the corresponding global symmetry transformations.

Os padrões de conformação craniana resultantes da seleção das raças durante o processo de domesticação do cão evidenciam as relações entre as diversas partes que compõe o crânio. As raças braquicefálicas apresentam as maiores variações na forma quando comparadas aos mesaticefálicos, padrão este já descrito de forma qualitativa na literatura. Neste estudo, por meio da morfometria geométrica, as diferentes regiões do crânio e mandíbula de exemplares pertencentes aos dois grupos foram analisadas quantitativamente. Foram selecionados 52 crânios e 57 pontos anatômicos, digitalizados em três dimensões representando a forma destes crânios. As coordenadas foram utilizadas em análises multivariadas, buscando a caracterização quantitativa das diferenças na forma entre os grupos. Para o estudo da assimetria, foram analisados o crânio e mandíbula separadamente: regiões de contato da dentição com o crânio e com a mandíbula; caixa craniana; fossa mandibular; processo condilar; arco zigomático e processo coronóide. Para a caracterização dos padrões de covariância, as regiões de interesse foram analisadas aos pares: contato da dentição com o crânio e a com a mandíbula; fossa mandibular e processo condilar; arco zigomático e processo coronóide; dentes 4o pré-molar superior e 1o molar inferior; crânio e mandíbula. As análises estatísticas mostraram diferenças significativas entre os dois grupos, braquicefálicos e mesaticefálicos, com assimetrias nas regiões do crânio e no contato da dentição com o crânio e com a mandíbula. Na análise do índice de covariância houve diferença estatisticamente significativa entre os dois grupos no contato da dentição com o crânio e com a mandíbula; crânio e mandíbula; relação dos dentes 4o pré-molar superior e 1o molar inferior. Concluiu-se que as principais diferenças estão concentradas na região rostral do crânio e mandíbula, nas regiões de contato da dentição nestas regiões e entre o 4o pré-molar superior e 1o molar inferior. Estes resultados sugerem que as maiores variações no crânio dos braquicefálicos estão concentradas nas regiões que participam conjuntamente da mastigação, sem diferenças na parte caudal do sincrânio. / The observed variation in skull conformation of the breeds of domestic dogs is the result of selection during domestication process and it provide information about the patters of interaction among the different parts that constitutes this structure. Qualitative studies published in the literature shown that brachycephalic breeds have the highest variability in skull shape when compared to mesaticephalics. In this study, different regions of the skull of specimens belonging to both groups were analyzed quantitatively, using geometric morphometric techniques. Fifty-two skulls and 57 landmarks were selected and digitalized to perform a 3-D reconstruction of the skulls. Multivariated analyses over the coordinates were used to analize and quantify shape differences between the two groups. Patterns of asymmetry were explored for both, the cranium and mandible, analyzing separately six regions of interest: teeth contact between upper and lower jaw; braincase; mandibular fossae; condilar processes; zygomatic arches and coronoid processes. To evaluate covariance patterns the regions were analyzed in pairs: teeth contact between upper and lower jaw; mandibular fossae and condilar process; zygomatic arch and coronoid process; upper fourth premolar and lower first molar; cranium and mandible. The statistical analyses indicated significant differences between the brachycephalic and mesaticephalic groups for asymmetry at the different regions of the skull and teeth contact between upper and lower jaw. For the covariance patterns there is statistical significant difference for teeth occlusion between upper and lower jaw; skull and jaw; upper fourth premolar and lower first molar relationship. In conclusion, the main differences are located in the rostrum contact between upper and lower rostral teeth and upper fourth premolar and lower first molar. These results suggest that the highest shape variability in the skull of braquicephalics dogs is concentrated in structures that are used in the mastication, without differences at the caudal region of the jaws.

O objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimento de uma formulação e sua implementação computacional para se analisar, via Método dos Elementos Finitos (MEF),o comportamento dinâmico não linear geométrico de sólidos bidimensionais. Trata-se o comportamento geometricamente não linear através de uma formulação posicional classificada como lagrangeana total com cinemática exata. No estudo do comportamento dinâmico utiliza-se um algoritmo de integração temporal baseado na família de integradores temporais de Newmark. Para a consideração do impacto adota-se uma técnica que utiliza como integrador temporal o algoritmo de Newmark, modificado de forma a garantir sua estabilização, e limita-se a posição de cada nó da estrutura que por ventura sofra impacto. O código computacional desenvolvido é validado através de exemplos tradicionais da literatura científica. Analisam-se exemplos com comportamento apenas não linear geométrico e não linear geométrico dinâmico com ou sem impacto / The main goal of this work is the development of a formulation and its computational implementation, based on the finite element method (FEM), to analyze the dynamic geometrically nonlinear behavior of bidimensional solids. The geometrically nonlinear behavior is treated with a positional formulation classified as total Lagrangean with exact kinematics. In the study of the dynamic behavior, a time integration algorithm based on the family of time integrators of Newmark is applied. In order to consider the impact, a technique based on the time integrator of Newmark, modified to assure its stabilization, is used. This technique limits the position of each node that suffers impact. The developed computational code is validated through benchmarks of scientific literature. Examples with static geometrically nonlinear and dynamic geometrically nonlinear behavior, with or without impact, are analyzed

As abelhas da tribo Meliponini apresentam distribuição pantropical. São encontradas mais de 400 espécies pertencentes a 50 gêneros, sendo que mais de 300 estão presentes nas Américas. Os meliponíneos são responsáveis por grande parte da polinização das plantas nativas. A destruição das florestas tem ameaçado seriamente as abelhas sem ferrão, isolando-as em fragmentos e expondo-as ao endocruzamento e aos efeitos de perda de variabilidade genética. No presente estudo, foram empregadas análises moleculares (PCR-RFLP, análise de locos de microssatélites e o sequenciamento de um trecho do gene COI) e morfométrica (Análise da Morfometria Geométrica das asas) no intuito de se verificar a variabilidade em uma pequena população de Frieseomelitta varia residente no campus da USP de Ribeirão Preto (n=33). Para comparação, foram coletados e analisados indivíduos de áreas externas ao campus, ao longo da distribuição natural da espécie (n=36) e também de duas outras espécies F. trichocerata (n=30) e F. doederleini (n=3). Os resultados mostraram maior variabilidade mitocondrial e nuclear para o campus da USP em relação às amostras externas. Pelo menos nove matrilinhagens originaram a população do campus. O grande número de alelos encontrados nas amostras do campus pode ser explicado pela introdução de ninhos, por alta variabilidade já existente nos ninhos fundadores e/ou fluxo gênico via machos. Os resultados moleculares e morfológicos mostram grande similaridade entre F. varia e F. trichocerata, e em contraste, grande distância entre F. varia e F. doederleini, indicando que F. trichocerata deve ser considerada como uma variação geográfica (ecótipo) de F. varia. / The stingless bees present a pantropical distribution. There are more than 400 species belonging to 50 genera. More than 300 are present in the Americas. These bees have a remarkable role in the pollination of native plants. Forest destruction has threatened stingless bees populations by isolating them in forest fragments and exposing them to the effects of inbreeding and loss of genetic variability. In the present study we applied molecular (PCR-RFLP, microsatellite loci analysis and COI sequencing) and morphometric (Geometric Morphometry of Wings) analysis to verify the genetic variability of a small population of Frieseomelitta varia (n=33) resident in the campus of USP - Ribeirão Preto. For comparison, individuals collected across the species natural geographic range and also samples of two other species, F. trichocerata(n=30) and F. doederleini (n=3), were analyzed. The results showed greater mitochondrial and nuclear variability for the samples from the campus in relation to the species overall. Nine matrilines, at least, gave rise to the current campus colonies. The large microsatellite allele number can be explained by recurrent nests introduction, or by high variability already present in the founder nests and/or current gene flow mediated by males. The molecular and morphometric data show high similarity between F. varia and F. trichocerata, and in contrast, high distance between F. varia and F. doederleini, indicating that F. trichocerata should be considered as a geographic variation (ecotype) of F. varia.