Comenzarnos realizando una aproximación al concepto de modelo estadístico desde el punto de vista geométrico, centrándonos principalmente en consideraciones sobre la introducción de distancias, y en particular estudiando la métrica informacional y sus propiedades. Dada una variedad paramétrica correspondiente a un modelo estadístico, hemos efectuado un estudio del espacio tangente y del espacio tangente dual en un punto a la variedad, introduciendo representaciones adecuadas de los mismos. Tales representaciones han permitido identificar a los elementos del espacio muestral con campos tensoriales covariantes de primer orden en la variedad, mientras que las variables aleatorias pueden ser identificados con campos tensoriales contravariantes también de primer orden. Hemos introducido dos definiciones de distancias, en sentido estricto pseudodistancias, entre valores muestrales basadas ambas en distancias en el espacio tangente dual entre formas lineales asociadas. La primera, a la que denominamos distancia inmediata, es definida a partir de la distancia euclídea en el espacio tangente dual. Se han obtenido expresiones explícitas para la distancia cuando los individuos estadísticos son muestras correspondientes a las distribuciones Poisson, Weibull, Gamma, Exponencial, Binomial, Binomial Negativa, Multinomial, Multinomial negativa, Wald, Logística, Normal univariante y Normal multivariante. Se han estudiarlo ciertas propiedades relacionadas con la distancia inmediata, entre las que destacamos su invarianza frente a cambios de la medida de referencia y transformaciones por estadísticas suficientes, y su no decrecimiento al aumentar el número de parámetros de las variedades. La distancia estructural es definida a partir de la distancia sobre el conjunto imagen del espacio muestral. Se demuestra que coincide con la distancia inmediata si el conjunto imagen es un conjunto convexo y también que dicho conjunto no es convexo si la dimensión del espacio muestral es uno y el número de parámetros de la variedad mayor o igual a dos. Se ha obtenido la expresión explícita para la distancia estructural entre muestras de tamaño uno correspondientes a una distribución normal univariante. Se han estudiado las aplicaciones de las distancias entre individuos a técnicas clásicas de inferencia estadística, definiendo nuevos procedimientos de estimación de parámetros y contraste de hipótesis desde el punto de vista geométrico. Se comprueba cómo utilizando la distancia inmediata se recuperan gran parte de los resultados clásicos, en particular las ecuaciones de verosimilitud y el contraste de hipótesis mediante el test de los multiplicadores de Lagrange. Hemos comprobado también como utilizando en estimación de parámetros la distancia estructural en un ejemplo en que éste difiere de la inmediata, se obtienen resultados que difieren respecto a la máxima verosimilitud clásica y que podemos considerar más acordes con resultados intuitivos al dejar indeterminada la estimación de la varianza trabajando con muestras de tamaño uno de una distribución Normal univariante. Se ha introducido una clase de funciones de densidad de probabilidad que pueden ser caracterizadas en una variedad paramétrica de dimensión finita. Se comprueba que las variedades resultantes son de curvatura constante y positiva. Se han obtenido las expresiones para las geodésicas y la distancia de Rao entre dos distribuciones. Hemos efectuado un estudio probabilístico en varios ejemplos y finalmente consideramos la aplicación de tales familias a la estimación no paramétrica de funciones de densidad gracias a su capacidad de adaptación. Se ha abordado el problema de la estimación de parámetros en las familias anteriormente citadas. Comprobamos los inconvenientes de la estimación máximo verosímil y para subsanarlos hemos propuesto un algoritmo tipo “stepwise” que toma en cuenta la significación de los incrementos de la verosimilitud al modificar el número de parámetros de las familias. Utilizamos diversas simulaciones para comprobar la bondad del algoritmo, obteniendo resultados satisfactorios tanto al trabajar con distribuciones clásicos como con las nuevas familias. Se han comparado los resultados con otros métodos clásicos de estimación no paramétrica, en particular con el método de los Kernel. También se ha estudiado el método de minimizar la esperanza del cuadrado de la distancia estructural entre individuos (MESD). Para poder llevar a cabo tal estudio se ha desarrollado una aproximación a la distinción Riemanniana y se han utilizado técnicas de minimización numérica de funciones de varias variables con restricciones. Se han obtenido algunos ejemplos que muestran un mejor comportamiento de la estimación MESD frente a la MLE. Finalmente se han considerado dos ejemplos prácticos consistentes en la estimación de una función de densidad bimodal a partir de unos datos en forma de histograma y en la clasificación de diversos patrones electroforéticos asimilándolos a funciones de densidad. En limbos ejemplos los resultados parecen validar completamente la metodología empleada. / We have studied the concept of statistical model from a geometric point of view considering particularly the information metric and the problem of introducing distances. Given a parametric manifold representing a statistical model and given a point of the manifold, we have defined two different distances between elements of sample space (statistical individuals) by means of a suitable representation of statistical individuals as linear forms of the dual tangent space to the manifold in the given point. Some properties have been studied and the explicit expressions for some examples have been obtained. Several techniques of statistical inference: parameter estimation, hypothesis tests, discrimination; have been studied in the light of the distances between elements of sample spaces. Some classical results have been recovered, in particular Iikelihood equations and Lagrange multipliers test. We have introduced a class of probability density functions that may be represented in finite dimensional manifolds. Geometrical properties of such manifolds have been studied and the Rao distance between two distributions has been obtained. We have considered several examples. We have also studied the problem of parameter estimation in the functions defined previously; we have developed a stepwise algorithm for nonparametric density estimation in order to some problems arising with classical maximum likelihood estimation when we handle a large number of parameters. We also present some examples applied lo biological data.

El tratamiento intrínseco de cuestiones relacionadas con la Teoría de Control no lineal a través de la aplicación de técnicas propias de la geometría diferencial ha sido en los últimos años un tema de interés para muy diversos grupos de investigación. Cuestiones como controlabilidad de sistemas, seguimiento y estabilización de trayectorias, planificación de movimientos, etc, han dado lugar a un gran número de trabajos obtenidos desde puntos de vista muy variados. La línea en la que se desarrolla esta tesis es el estudio de la formulación y las propiedades geométricas de sistemas mecánicos y sistemas no holónomos y las consecuencias que para su control se derivan. Se estudia, en primer lugar, la estabilidad de los sistemas mecánicos disipativos y parcialmente disipativos desde un punto de vista geométrico. Ya que el ambiente geométrico apropiado para llevar a cabo este estudio son las variedades de Riemann, lo primero que se aborda es la generalización de los teoremas de estabilidad y estabilidad asintótica de La Salle de puntos de equilibrio de sistemas dinámicos al caso de variedades de Riemann completas. Posteriormente esta generalización se amplia al caso de subvariedades de puntos de equilibrio. Con las herramientas antes desarrolladas, se trata la estabilidad de los sistemas mecánicos simples no holónomos, es decir, aquellos en los que el espacio de configuración es una variedad de Riemann (Q,g), la Lagrangiana es de tipo mecánico y la subvariedad de ligaduras viene definida por una distribución D < TQ no integrable. Se generalizan también las propiedades de estabilidad al caso de sistemas lagrangianos cualesquiera.Por medio de la aplicación de los resultados obtenidos para la estabilidad, se trata la estabilización por pasividad de los sistemas mecánicos con control. Este tipo de técnicas se diseñan para estabilizar puntos de equilibrio. También se trabaja el caso de sistemas parcialmente disipativos y se usan extensiones dinámicas para estabilizar el sistema en una configuración deseada. Para ello ha sido necesario interpretar geométricamente la noción de extensión dinámica. Se estudia la generalización de estos resultados a los sistemas mecánicos simples no holónomos con control, centrándose en el diseño de controles que permitan estabilizar un sistema en su variedad de puntos de equilibrio utilizando el control por pasividad o en una variedad prefijada mediante extensiones dinámicas. Por otro lado, se analiza la equivalencia entre las ecuaciones de segundo orden que rigen la dinámica de los sistemas mecánicos y las ecuaciones del sistema cinemático asociado, primero en el caso de sistemas no holónomos con control y después en el de sistemas mecánicos con simetrías. En el primer caso si el sistema está completamente actuado se prueba que las curvas solución del sistema mecánico y las del sistema cinemático son las mismas. Si por el contrario es infractuado, hay que imponer una condición sobre las fuerzas exteriores para asegurar la equivalencia débil. En el segundo caso se reduce la dinámica del sistema a la de un sistema no holónomo y se aplican los teoremas de equivalencia del caso anterior.Finalmente, se estudia si mediante la reducción de la formulación de contacto para sistemas lagrangianos dependientes del tiempo que poseen una simetría infinitesimal, se obtiene otro sistema lagrangiano sobre una variedad adecuada. También se trabaja esta situación en el caso de sistemas no holónomos lagrangianos dependientes del tiempo con simetría.

We describe a correspondence between two different links associated to the same K3 orbifold. This duality is produced when two elements, one inside and the other on the boundary of the Kähler cone, are identified. We call this correspondence ∂-duality. We also discuss the consequences of ∂-duality at the level of metrics. / Describimos una correspondencia entre dos enlaces asociados a un mismo espacio K3 que soporta a lo más, singularidades cíclicas de tipo orbifold. Esta dualidad se hace evidente cuando dos elementos, uno en el interior y el otro en la frontera del cono de Kähler, son identificados. Denominamos a esta correspondencia ∂-dualidad. También discutimos las consecuencias de ∂-dualidad al nivel de estructuras riemaniannas.

[EN] This thesis aims to find out the applicability of Lorentzian geometry to represent the motion of the electron in hydrogen atoms according to the de Broglie-Bohm quantum theory (dBB). It starts from the observation that electrons behave differently when they are part of atomic systems than when they are unbound. While these, when describing curvilinear trajectories emit energy, in electrons bounded to hydrogen atoms according to dBB describe circular stationary trajectories, without energy emission. The above consideration suggests the hypothesis that electrons bounded to hydrogen atoms move in curved spaces, in which their trajectories are geodesics and therefore without acceleration or energy emission that would imply instability of matter. We use Lorentzian geometry and some heuristic concepts of Einstein's Theory of General Relativity to describe this space-time. Furthermore, we establish an equivalence in the differential field by the tetravelocity and use Levi-Civita connectors, which unify metric and affine geodesics. We thus arrive at the formulation of a theorem and several corollaries that affect the components of the metrics that satisfy the previous hypothesis. These metrics must also achieve the condition of being common to all possible trajectories of electrons of the same magnetic quantum state and two additional hypotheses: that the scalar curvature is positive (in order to avoid geodesic trajectories that escape to infinity) and that the energy component of the momentum-energy tensor corresponding to the Einstein field equations is positive, since although, in principle, this is inapplicable to quantum systems, modern modifications suggest that it is a plausible assumption. With these conditions, we undertake the search for metrics that meet the aforementioned restrictions. We start with two simple metrics that meet the requirements of common space-time and the geodesic character of the trajectories, but the curvature and the energy component of the momentum-energy tensor are negative, so we go to use an exact solution of Einstein's field equations corresponding to a space-time created by particles turning around an axis (Lanczos-Van Stockum metric). We then obtain two metrics that correct the defects of the previous ones, but their geodesics do not exactly get the condition of circularity. Finally, we perform a synthesis of both models and obtain two metrics that reasonably accomplish the requirements, with which we achieve the proposed goal of representing the motion of hydrogen electrons according to the dBB theory in a Lorentzian geometry. The quantum potential of the dBB theory then appears as that which, together with the electromagnetic potential of the nucleus, forms a resulting force that makes rotate the electron around an axis passing through the nucleus. In the Lorentzian formulation proposed in this work, this function is exerted by the curvature of space-time. We also derive from our heuristic hypotheses that the wave-corpuscle duality in dBB theory, with our considerations, exerts a bidirectional interaction beyond the mere passive role that the particle plays in this theory: wave and particle remain at the same level interacting one on the other and vice versa, dialectally. This work is complemented by a historical introduction, focusing particularly on the de Broglie's thesis and the Schrödinger's deduction of his famous equation of eigenvalues, emphasizing the use of a Riemannian metric. In addition, there are epistemological reflections on physical theories focusing on dialectics, and the free creation of concepts, as could be the case in some parts of our work. / [CAT] Aquesta tesi s'adreça a esbrinar l'aplicabilitat de la geometria lorentziana per a representar el moviment de l'electró en àtoms hidrogenoides segons la teoria quàntica de de Broglie-Bohm (dBB). Parteix de la constatació que els electrons es comporten de manera diferent quan formen part de sistemes atòmics que quan són no lligats. Mentre que aquests, quan descriuen trajectòries curvilínies emeten energia, en els electrons lligats a àtoms hidrogenoides segons dBB descriuen trajectòries circulars de manera estacionària, sense emissió energètica. L'anterior consideració ens suggereix la hipòtesi que els electrons lligats a àtoms hidrogenoides es mouen en espais corbats, en què llurs trajectòries en són geodèsiques i per tant sense acceleració ni emissió energètica que implicarien inestabilitat de la matèria. Utilitzem la geometria lorentziana i alguns conceptes de la Teoria de la Relativitat General d'Einstein, amb caràcter heurístic, per a descriure aquest espai-temps. Establim una equivalència en l'àmbit diferencial mitjançant la tetravelocitat i utilitzem connectors de Levi-Civita, que unifiquen les geodèsiques mètriques i les afins. Arribem així a la formulació d'un teorema i diversos corol·laris que afecten els components de les mètriques que satisfan l'anterior hipòtesi. Aquestes mètriques han de complir a més la condició de ser comuns a totes les possibles trajectòries dels electrons del mateix estat quàntic magnètic i de dues hipòtesis addicionals: que la curvatura escalar siga positiva (per tal d'evitar trajectòries geodèsiques que escapen a l'infinit) i que siga positiu el component energètic del tensor d'impulsió-energia corresponent a l'equació de camp d'Einstein, puix encara que aquesta és inaplicable als sistemes quàntics, modernes modificacions fan pensar que és una suposició plausible. Amb aquests condicionants emprenem la recerca de mètriques que complisquen les restriccions adés esmentades. Comencem amb dues mètriques senzilles que compleixen el requisit de l'espai-temps comú i del caràcter geodèsic de les trajectòries, però la curvatura i el component energètic del tensor d'impulsió-energia hi són negatius, per la qual cosa acudim a utilitzar una solució exacta de les equacions de camp d'Einstein corresponents a un espai-temps creat per partícules que giren al voltant d'un eix (mètrica de Lanczos-Van Stockum). Aleshores obtenim dues mètriques que corregeixen els defectes de les anteriors, però llurs geodèsiques no compleixen exactament la condició de circularitat. Finalment realitzem una síntesi d'ambdós models i obtenim dues mètriques que compleixen raonablement els requisits, amb les quals atenyem l'objectiu proposat de representar el moviment dels electrons hidrogenoides segons la teoria dBB en una geometria lorentziana. El potencial quàntic de la teoria dBB, apareix llavors com a aquell que, junt a l'electromagnètic del nucli, configura una força resultant que fa girar l'electró al voltant d'un eix que passa pel nucli. En la formulació lorentziana proposada en aquest treball, aquesta funció és exercida per la curvatura de l'espai-temps. També derivem de les nostres hipòtesis heurístiques que la dualitat ona-corpuscle en la teoria dBB amb les nostres consideracions exerceix una interacció bidireccional més enllà del mer paper passiu que té la partícula en aquesta teoria: ona i partícula resten al mateix nivell interactuant una sobre l'altra i vici-versa de manera dialèctica. / [ES] Esta tesis se dirige a investigar la aplicabilidad de la geometría lorentziana para representar el movimiento del electrón en átomos hidrogenoides según la teoría cuántica de de Broglie-Bohm (dBB). Parte de la constatación de que los electrones se comportan de manera diferente cuando forman parte de sistemas atómicos o cuando son no ligados. Mientras que estos, cuando describen trayectorias curvilíneas emiten energía, en los electrones ligados en átomos hidrogenoides según dBB describen trayectorias circulares de manera estacionaria, sin emisión energética. La anterior consideración nos sugiere la hipótesis de que los electrones ligados a átomos hidrogenoides se mueven en espacios curvos, donde sus trayectorias son geodésicas y por lo tanto sin aceleración ni emisión energética que implicarían inestabilidad de la materia. Utilizamos la geometría lorentziana y algunos conceptos de la Teoría de la Relatividad General de Einstein con carácter heurístico, para describir este espacio-tiempo. Establecemos una equivalencia a nivel diferencial mediante la tetravelocidad y utilizamos conectores de Levi-Civita, que unifican las geodésicas métricas y las afines. Llegamos así a la formulación de un teorema y algunos corolarios que afectan a los componentes de las métricas que satisfacen la anterior hipótesis. Estas métricas han de cumplir además la condición de ser comunes a todas las posibles trayectorias de los electrones del mismo estado cuántico magnético y de dos hipótesis adicionales: que la curvatura escalar sea positiva (para evitar trayectorias geodésicas que escapen al infinito y que sea positivo el componente energético del tensor de impulsión- energía correspondiente a la ecuación de campo de Einstein, porque aunque esta es inaplicable a los sistemas cuánticos, modernas modificaciones sugieren que es una suposición plausible. Con estos condicionantes emprendemos la búsqueda de métricas que cumplan las restricciones mencionadas. Empezamos con dos métricas sencillas que cumplen el requisito del espacio-tiempo común y el carácter geodésico de las trayectorias, pero la curvatura y el componente energético del tensor de impulsión-energía son negativos, por lo que acudimos a utilizar una solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein correspondientes a un espacio-tiempo creado por partículas que giran alrededor de un eje (métrica de Lanczos-Van Stockum). Obtenemos así dos métricas que corrigen los defectos de las anteriores, pero sus geodésicas no cumplen exactamente la condición de circularidad. Finalmente realizamos una síntesis de ambos modelos y obtenemos dos métricas que cumplen razonablemente los requisitos, con las que alcanzamos el objetivo propuesto de representar el movimiento de los electrones hidrogenoides según la teoría dBB en una geometría lorentziana. El potencial cuántico de la teoría dBB aparece entonces como el que, junto al electromagnético del núcleo, configura una fuerza resultante que hace girar al electrón alrededor de un eje que pasa por el núcleo. En la formulación lorentziana propuesta en este trabajo, esta función es ejercida por la curvatura del espacio-tiempo. También derivamos de nuestras hipótesis heurísticas que la dualidad onda-partícula en la teoría dBB con nuestras consideraciones ejerce una interacción bidireccional más allá del mero papel pasivo que tiene la partícula en esta teoría: onda y partícula quedan al mismo nivel interaccionando una sobre la otra y viceversa de manera dialéctica. El trabajo se complementa con una introducción histórica, incidiendo particularmente en la tesis de de Broglie y en la deducción de Schrödinger de su famosa ecuación de valores propios, destacando el uso de una métrica riemanniana. Además, se hacen unas reflexiones epistemológicas sobre las teorías físicas incidiendo en la dialéctica y la libre creación de conceptos, como podría ser el caso. / Gómez Blanch, G. (2021). Varietats lorentzianes en la representació dels estats estacionaris dels àtoms hidrogenoides en la teoria de de Broglie - Bohm. Uns models heurístics [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/176757 / TESIS

Durant els darrers quaranta anys la geometria diferencial ha estat una eina fonamental per entendre la teoria de control òptim. Habitualment la millor estratègia per resoldre un problema és transformar-lo en un altre problema que sigui més tractable. El Principi del Màxim de Pontryagin proporciona al problema de control òptim d’una estructura Hamiltoniana. Les solucions del problema Hamiltonià que satisfan unes determinades propietats són candidates a ésser solucions del problema de control òptim. Aquestes corbes candidates reben el nom d’extremals. Per tant, el Principi del Màxim de Pontryagin aixeca el problema original a l’espai cotangent. En aquesta tesi desenvolupem una demostració completa i geomètrica del Principi del Màxim de Pontryagin. Investiguem cuidadosament els punts més delicats de la demostració, que per exemple inclouen les perturbacions del controls, l’aproximació lineal del conjunt de punts accessibles i la condició de separació. Entre totes les solucions d’un problema de control òptim, existeixen les corbes anormals. Aquestes corbes no depenen de la funció de cost que es vol minimitzar, sinó que només depenen de la geometria del sistema de control. En la literatura de control òptim, existeixen estudis sobre l’anormalitat, tot i que només per a sistemes lineals o afins en el controls i sobretot amb funcions de cost quadràtiques en els controls. Nosaltres descrivim un mètode geomètric nou per caracteritzar tots els diferents tipus d’extremals (no només les anormals) de problemes de control òptim genèrics. Aquest mètode s’obté com una adaptació d’un algoritme de lligadures presimplèctic. El nostre interès en les corbes anormals es degut a les corbes òptimes estrictament anormals, les quals també queden caracteritzades mitjançant l’algoritme descrit en aquesta tesi. Com aplicació del mètode mencionat, caracteritzem les extremals d’un problema de control òptim lliure, aquell on el domini de definició no està donat. En concret, els problemes de temps mínim són problemes de control òptim lliures. A més a més, som capaços de donar una corba extremal estrictament anormal aplicant el mètode descrit per a un sistema mecànic. Un cop la noció d’anormalitat ha estat estudiada en general, ens concentrem en l’estudi de l’anormalitat per a sistemes de control mecànics, perquè no existeixen resultats sobre l’existència de corbes òptimes estrictament anormals per a problemes de control òptim associats a aquests sistemes. En aquesta tesi es donen resultats sobre les extremals anormals quan la funció de cost és quadràtica en els controls o si el funcional a minimitzar és el temps. A més a més, la caracterització d’anormals en casos particulars és descrita mitjançant elements geomètrics com les formes quadràtiques vector valorades. Aquests elements geomètrics apareixen com a resultat d’aplicar el mètode descrit en aquesta tesi. També tractem un altre enfocament de l’estudi de l’anormalitat de sistemes de control mecànics, que consisteix a aprofitar l’equivalència que existeix entre els sistemes de control noholònoms i els sistemes de control cinemàtics. Provem l’equivalència entre els problemes de control òptim associats a ambdós sistemes de control i això permet establir relacions entre les corbes extremals del problema nonholònom i del cinemàtic. Aquestes relacions permeten donar un example d’una corba òptima estrictament anormal en un problema de temps mínim per a sistemes de control mecànics. Finalment, i deixant de banda per un moment l’anormalitat, donem una formulació geomètrica dels problemes de control òptim no autònoms mitjançant la formulació unificada de Skinner-Rusk. La formulació descrita en aquesta tesis és fins i tot aplicable a sistemes de control implícits que apareixen en un gran nombre de problemes de control òptim dins de l’àmbit de l’enginyeria, com per exemple els sistemes Lagrangians controlats i els sistemes descriptors. / Durante los últimos cuarenta años la geometría diferencial ha sido una herramienta para entender la teoría de control óptimo. Habitualmente la mejor estrategia para resolver un problema es transformarlo en otro problema que sea más tratable. El Principio del Máximo de Pontryagin dota al problema de control óptimo de una estructura Hamiltoniana. Las soluciones del problema Hamiltoniano que satisfagan determinadas propiedades son candidatas a ser soluciones del problema de control óptimo. Estas curvas candidatas se llaman extremales. Por lo tanto, el Principio del Máximo de Pontryagin levanta el problema original al espacio cotangente. En esta tesis doctoral, desarrollamos una demostración completa y geométrica del Principio del Máximo de Pontryagin. Investigamos minuciosamente los puntos delicados de la demostración, como son las perturbaciones de los controles, la aproximación lineal del conjunto de puntos alcanzables y la condición de separación. Entre todas las soluciones de un problema de control óptimo, existen las curvas anormales. Estas curvas no dependen de la función de coste que se quiere minimizar, sino que sólo dependen de la geometría del sistema de control. En la literatura de control óptimo existen estudios sobre la anormalidad, aunque sólo para sistemas lineales o afines en los controles y fundamentalmente con funciones de costes cuadráticas en los controles. Nosotros presentamos un método geométrico nuevo para caracterizar todos los distintos tipos de extremales (no sólo las anormales) de problemas de control óptimo genéricos. Este método es resultado de adaptar un algoritmo de ligaduras presimpléctico. Nuestro interés en las extremales anormales es debido a las curvas óptimas estrictamente anormales, las cuales también pueden ser caracterizadas mediante el algoritmo descrito en esta tesis. Como aplicación del método mencionado en el párrafo anterior, caracterizamos las extremales de un problema de control óptimo libre, aquél donde el dominio de definición de las curvas no está dado. En particular, los problemas de tiempo óptimo son problemas de control óptimo libre. Además, somos capaces de dar un ejemplo de una curva extremal estrictamente anormal aplicando el método descrito. Una vez la noción de anormalidad en general ha sido estudiada, nos centramos en el estudio de la anormalidad para sistemas de control mecánicos, ya que no existen resultados sobre la existencia de curvas óptimales estrictamente anormales para problemas de control óptimo asociados a estos sistemas. En esta tesis, se dan resultados sobre las extremales anormales cuando la función de coste es cuadrática en los controles o el funcional a minimizar es el tiempo. Además, la caracterización de las anormales en casos particulares es descrita por medio de elementos geométricos como las formas cuadráticas vector valoradas. Dichos elementos geométricos aparecen como consecuencia del método descrito para caracterizar las extremales. También se considera otro enfoque para el estudio de la anormalidad de sistemas de control mecánicos, que consiste en aprovechar la equivalencia que existe entre sistemas de control noholónomos y sistemas de control cinemáticos. Se prueba la equivalencia entre problemas de control óptimo asociados a ambos sistemas de control, lo que permite establecer relaciones entre las extremales del problema noholónomo y las extremales del problema cinemático. Estas relaciones permiten dar un ejemplo de una curva optimal estrictamente anormal en un problema de tiempo óptimo para sistemas de control mecánicos. Por último, olvidándonos por un momento de la anormalidad, se describe una formulación geométrica de los problemas de control óptimo no autónomos aprovechando la formulación unificada de Skinner-Rusk. Esta formulación es incluso válida para sistemas de control implícitos que aparecen en numerosos problemas de control óptimo de ámbito ingenieril, como por ejemplo, los sistemas Lagrangianos controlados y los sistemas descriptores. / For the last forty years, differential geometry has provided a means of understanding optimal control theory. Usually the best strategy to solve a difficult problem is to transform it into a different problem that can be dealt with more easily. Pontryagin's Maximum Principle provides the optimal control problem with a Hamiltonian structure. The solutions to the Hamiltonian problem, satisfying particular conditions, are candidates to be solutions to the optimal control problem. These candidates are called extremals. Thus, Pontryagin's Maximum Principle lifts the original problem to the cotangent bundle. In this thesis, we develop a complete geometric proof of Pontryagin's Maximum Principle. We investigate carefully the crucial points in the proof such as the perturbations of the controls, the linear approximation of the reachable set and the separation condition. Among all the solutions to an optimal control problem, there exist the abnormal curves. These do not depend on the cost function we want to minimize, but only on the geometry of the control system. Some work has been done in the study of abnormality, although only for control-linear and control-affine systems with mainly control-quadratic cost functions. Here we present a novel geometric method to characterize all the different kinds of extremals (not only the abnormal ones) in general optimal control problems. This method is an adaptation of the presymplectic constraint algorithm. Our interest in the abnormal curves is with the strict abnormal minimizers. These last minimizers can be characterized by the geometric algorithm presented in this thesis. As an application of the above-mentioned method, we characterize the extremals for the free optimal control problems that include, in particular, the time-optimal control problem. Moreover, an example of an strict abnormal extremal for a control-affine system is found using the geometric method. Furthermore, we focus on the description of abnormality for optimal control problems for mechanical control systems, because no results about the existence of strict abnormal minimizers are known for these problems. Results about the abnormal extremals are given when the cost function is control-quadratic or the time must be minimized. In this dissertation, the abnormality is characterized in particular cases through geometric constructions such as vectorvalued quadratic forms that appear as a result of applying the previous geometric procedure. The optimal control problems for mechanical control systems are also tackled taking advantage of the equivalence between nonholonomic control systems and kinematic control systems. In this thesis, it is found an equivalence between time-optimal control problems for both control systems. The results allow us to give an example of a local strict abnormal minimizer in a time-optimal control problem for a mechanical control system. Finally, setting aside the abnormality, the non-autonomous optimal control problem is described geometrically using the Skinner-Rusk unified formalism. This approach is valid for implicit control systems that arise in optimal control problems for the controlled Lagrangian systems and for descriptor systems. Both systems are common in engineering problems.