No description available.

No description available.

No description available.

In this degree project we define elementary notions of differential topology aswell as n-dimensional k-handles and relate these to Morse theory. Moreover, we define integral Morse homology and reference its equivalence to singularhomology. We then go on to state the Schönflies conjecture and prove it forn > 5 by induction over the Morse chain complex using handle slides and the Whitney trick. Having completed the proof, we relate the Schönflies conjectureto the h-cobordism theorem and the generalised Poincar´e conjecture.

Det klassiska isoperimetriska problemet handlar om att hitta en sluten kurvai planet som har en given längd och som omsluter den största möjliga arean.Numera är det välkänt att lösningen är en cirkel. I denna uppsats presenterarvi några geometriska och analytiska metoder som kan användas för att lösadet isoperimetriska problemet. Mer specifikt, diskuterar vi Steiners symmetriseringoch Edlers geometriska bevis som bygger på den, Hurwitz metod somanvänder sig av Fourier serier, Lagranges metod från variationskalkyl, samt ett elementärt bevis av Lax.

This monograph thesis is divided into two chapters. In the first, "A study of ALF structures", we prove that the structure at infinity of a ALF manifold is essentially unique, i.e. any structures associated to a complete non-compact Riemannian manifold that is asymptotic to a circle fibration over an Euclidean base, with fibres of asymptotically constant length, are related by a rigid motion plus low-order terms. The proof is based on showing the existence of harmonic coordinate-like functions. In the second, "A study of fibred boundary metrics", we show the existence of a unique transverse diffeomorphism associated to a fibred boundary metric, i.e. a map that transforms a fibred boundary metric into another with no transverse components. Furthermore, we demonstrate that a diffeomorphism that maps a fixed fibred boundary metric into another can be uniquely decomposed as a composition of an isometry on the boundary and a small diffeomorphism. We present several examples of such transverse diffeomorphisms together with their decompositions. We conclude this second chapter by introducing the notion of linear mass at infinity of a fibred boundary metrics, and give a full classification of the 3-dimensional case associated to asymptotically euclidean fibred boundary metrics. / Denna monografiavhandling består av två kapitel. I det första, "A study of ALF structures", visar vi att strukturen vid oändligheten för en ALF mångfald är väsentligen unik, dvs. att strukturer som är associerade till en fullständig icke-kompakt Riemannmångfald som är asymptotisk mot en cirkelfibrering över en Euklidisk bas, med fibrer av asymptotiskt konstant längd, är relaterade genom en Euklidisk transformation plus lägre ordningens termer. Beviset bygger på att visa existens av harmoniska koordinatliknande funktioner. I det andra, "A study of fibred boundary metrics", visar vi existensen av en unik transversell diffeomorfi associerad till en randfibrerad metrik, dvs. en avbildning som transformerar randfibrerad metrik till en annan utan transversella komponenter. Vidare, så visar vi att en diffeomorfi som avbildar en viss randfibrerad metrik till en annan unikt kan delas upp som en sammansättning av en isometri på randen och en liten diffeomorfi. Vi ger flera exempel på sådana transversella diffeomorfier tillsammans med deras uppdelningar. Vi avslutar det andra kapitlet med att introducerade begreppet linjär massa vid oändligheten för randfibrerade metriker, och vi ger en full klassifikation av det 3-dimensionella fallet för asymptotiskt Euklidiska randfibrerade metriker. / Esta tese está dividida em dois capítulos. No primeiro, "A study of ALF structures", provamos que a estrutura no infinito de uma variedade ALF é essencialmente única, i.e. quaisquer estruturas associadas a uma variedade de Riemann completa e não compacta que seja assimptótica a um fibrado circular com espaço base Euclidiano, com fibras de comprimento assimptoticamente constante, estão relacionadas por um movimento rígido seguido de termos de ordem inferior. A demonstração baseia-se em mostrar a existência de funções harmónicas com um comportamento semelhante a coordenadas. No segundo, "A study of fibred boundary metrics", provamos a existência de um único difeomorfismo transversal associado a uma métrica fibrada de fronteira, i.e. um mapa que transforma uma métrica fibrada de fronteira em outra sem componentes transversais. Por conseguinte, demonstramos que um difeomorfismo que mapeia uma métrica fibrada de fronteira em outra pode ser decomposto unicamente na composição de uma isometria na fronteira e um pequeno difeomorfismo. De seguida apresentamos diversos exemplos de difeomorfismos transversais em conjunto com as suas decomposições. Concluímos este segundo capítulo com a introdução do conceito de massa linear no infinito de uma métrica fibrada de fronteira, e fornecemos uma classificação completa do caso tridimensional associado a métricas fibradas de fronteira assimptoticamente euclidianas. / <p>QC 2023-08-21</p>

No description available.

Syftet med studien är att tillföra kunskap om hur dynamiska matematikprogram kan användas av lärare i lågstadiet (årskurs 2) för att utveckla elevers förståelse för fyrhörningar. Vi ämnade också ta reda på vilka faktorer som är viktiga att ta hänsyn till vid utformningen av en undervisningsaktivitet likt denna. För att besvara studiens syfte har vi valt en kvalitativ designbaserad forskningsansats, med tre interventioner som planerats, analyserats och reviderats. 17 elever deltog i studien.Resultaten visar att GeoGebra i samband med undervisningen före aktiviteten har utvecklat elevernas förståelse för fyrhörningar. Eleverna fick möjlighet att manipulera de olika formerna på ett sätt de inte tidigare testat vilket i samband med diskussionerna ledde till att de utvecklade en förståelse för namn, begrepp samt egenskaper hos fyrhörningarna. Vad som kunde konstateras var att formernas inbördes relationer fortfarande efter aktiviteten var svåra att förstå. Viktiga faktorer vid utformningen visade sig vara hur frågorna är formulerade samt att undervisningen före aktiviteten uppmärksammar kritiska drag hos lärandeobjektet för att eleverna ska ges möjlighet att urskilja dessa. / The aim of this study is to add knowledge about how dynamic mathematics software can be used by teachers in primary school (grade 2) to develop students' understanding of quadrilaterals. We also intended to find out which factors are important to consider when designing a teaching activity like this. To answer the purpose of the study, we have chosen a qualitative design-based research approach, with three interventions that were planned, analyzed and revised. 17 students participated in the study.The results show that GeoGebra together with the teaching before the activity has developed the students' understanding of quadrilaterals. The students were given the opportunity to manipulate the different shapes in a way they had not previously tested, which in connection with the discussions led to them developing an understanding of the names, concepts and properties of the quadrilaterals. What could be ascertained was that the mutual relations of the forms were still difficult to understand after the activity. Important factors in the design turn out to be how the questions are formulated and that the teaching priorto the activity draws attention to critical features of the learning object so that the students are given the opportunity to distinguish these.

<p>Den här uppsatsen berör ett möjligt samband mellan dagens elevers dåliga geometrikunskaper å ena sidan och dåliga kunskaper i hela ämnet matematik å andra sidan. Många elever i Sverige i årskurs nio går idag ut med betyget icke godkänd. Det är ett faktum som oroar och behöver åtgärdas, för kommande generationers väl. Undersökningen har befäst misstanken som författaren burit inom sig, att geometri inte studeras om tidigare i historien. Kursplanen i matematik som är föränderlig framhåller till exempel inte geometrin lika tydligt som den framhölls i tidigare läroplaner. Ett antal lärare och elever har intervjuats för att få en bild av dagsäget. Här kan man bland annat skönja att lärare inte undervisar i geometri på samma sätt som de gjorde förr och inte alltid i paritet med sina värderingar och inställningar. Elever saknar bland annat många direkta kunskaper i geometri och har tyvärr inte alltid de rätta verktygen för att nå fram till godtagbara lösningar. De verkar trots allt intresserade, vilket i sig är en av deviktigaste förutsättningarna till att nå kunskap. De summerade resultaten i denna uppsats an kanske inspirera ochbli en grogrund för läsare att fortsätta och utveckladenna frskning. En konstruktiv debatt som alltid är till gagn för utvecklingen vore en annan önskvärd effekt.</p>

No description available.