In this thesis, we study the structure, deformations and the moduli spaces of complex projective surfaces admitting genus two fibrations over elliptic curves. We observe that, a surface admitting a smooth fibration as above is elliptic and we employ results on the moduli of polarized elliptic surfaces, to construct moduli spaces of these smooth fibrations. In the case of nonsmooth fibrations, we relate the moduli spaces to the Hurwitz schemes H(1,X(d),n) of morphisms of degree n from elliptic curves to the modular curve X(d), d&amp / #8804 / 3. Ultimately, we show that the moduli spaces, considered, are fiber spaces over the affine line A&sup1 / with fibers determined by the components of H (1,X(d),n).

Dans cette thèse, j’étudie trois sujets reliés : les modèles de tenseurs, les nombres de Hurwitz et les polynômes de Macdonald-Koornwinder. Les modèles de tenseurs généralisent les modèles de matrices en tant qu’une approche à la gravité quantique en dimension arbitraire (les modèles de matrices donnent une version bidimensionnelle). J’étudie un modèle particulier qui s’appelle le modèle quartique mélonique. Sa spécialité est qu’il s’écrit en termes d’un modèle de matrices qui est lui-même aussi intéressant. En utilisant les outils bien établis, je calcule les deux premiers ordres de leur 1=N expansion. Parmi plusieurs interprétations, les nombres de Hurwitz comptent le nombre de revêtements ramifiés de surfaces de Riemann. Ils sont connectés avec de nombreux sujets en mathématiques contemporaines telles que les modèles de matrices, les équations intégrables et les espaces de modules. Ma contribution principale est une formule explicite pour les nombres doubles avec 3-cycles complétées d’une part. Cette formule me permet de prouver plusieurs propriétés intéressantes de ces nombres. Le dernier sujet de mon étude est les polynôme de Macdonald et Koornwinder, plus précisément les identités de Littlewood. Ces polynômes forment les bases importantes de l’algèbre des polynômes symétriques. Un des problèmes intrinsèques dans la théorie des fonctions symétriques est la décomposition d’un polynôme symétrique dans la base de Macdonald. La décomposition obtenue (notamment si les coefficients sont raisonnablement explicites et compacts) est nommée une identité de Littlewood. Dans cette thèse, j’étudie les identités démontrées récemment par Rains et Warnaar. Mes contributions incluent une preuve d’une extension d’une telle identité et quelques progrès partiels vers la généralisation d’une autre. / In this thesis, I study three related subjects: tensor models, Hurwitz numbers and Macdonald-Koornwinder polynomials. Tensor models are generalizations of matrix models as an approach to quantum gravity in arbitrary dimensions (matrix models give a 2D version). I study a specific model called the quartic melonic tensor model. Its specialty is that it can be transformed into a multi-matrix model which is very interesting by itself. With the help of well-established tools, I am able to compute the first two leading orders of their 1=N expansion. Among many interpretations, Hurwitz numbers count the number of weighted ramified coverings of Riemann surfaces. They are connected to many subjects of contemporary mathematics such as matrix models, integrable equations and moduli spaces of complex curves. My main contribution is an explicit formula for one-part double Hurwitz numbers with completed 3-cycles. This explicit formula also allows me to prove many interesting properties of these numbers. The final subject of my study is Macdonald-Koornwinder polynomials, in particular their Littlewood identities. These polynomials form important bases of the algebra of symmetric polynomials. One of the most important problems in symmetric function theory is to decompose a symmetric polynomial into the Macdonald basis. The obtained decomposition (in particular, if the coefficients are explicit and reasonably compact) is called a Littlewood identity. In this thesis, I study many recent Littlewood identities of Rains and Warnaar. My own contributions include a proof of an extension of one of their identities and partial progress towards generalization of one another.

Résumé : La principale caractéristique des marchés OTC (Over-The-Counter) est l’absence d’un mécanisme de négociation centralisée (comme des ventes aux enchères, des spécialistes ou des limit-order books). Les acheteurs et les vendeurs sont donc souvent dans l'ignorance des prix actuellement disponibles auprès d'autres contreparties potentielles et ont une connaissance limitée de l’amplitude des transactions récemment négociées ailleurs sur le marché. C'est la raison pour laquelle les marchés OTC sont qualifiés de relativement opaques et nommés «Dark Markets» par Duffie (2012) dans sa récente monographie afin de refléter le fait que les investisseurs sont en quelque sorte dans le noir au sujet du meilleur prix disponible et de la personne à contacter pour faire la meilleure transaction. Dans ce travail, nous sommes particulièrement intéressés à l’évolution temporelle de la transmission de l’information au cours des séances de négociation. Plus précisément, nous cherchons à établir la stabilité asymptotique de la dynamique de partage de l'information au sein d’une large population d’investisseurs caractérisés par la fréquence/intensité des rencontres entre investisseurs. L’effort optimal déployé par un agent en recherche d’informations dépend de son niveau actuel d'information et de la distribution transversale des efforts de recherche des autres agents. Dans le cadre défini par Duffie-Malamud-Manso (2009), à l’équilibre, les agents recherchent au maximum jusqu'à ce que la qualité de leur information atteigne un certain niveau, déclenchant une nouvelle phase de recherche minimale. Dans le contexte de percolation d'information entre agents, l'information peut être transmise parfaitement ou imparfaitement. La première étude de ce problème de percolation a été faite par Duffie-Manso (2007), puis par Duffie-Giroux-Manso (2010). Dans cette deuxième étude, le cas de la percolation de l'information par des groupes de plus de deux investisseurs a été abordé et résolu. Cette dernière étude a conduit au problème de l'extension des sommes de Wild dans Bélanger-Giroux (2013). D'autre part, dans Duffie-Malamud-Manso (2009), chaque agent est doté de signaux quant à l'issue probable d'une variable aléatoire d'intérêt commun dans l’optique de transmission d’informations dans une large population d'agents. Un tel contexte conduit à des systèmes d'équations non linéaires d’évolution. Leur objectif est d'obtenir une politique d'équilibre déterminée par un ensemble de paramètres d'une politique de cible traduisant le fait que l’effort de recherche qui doit être minimal lorsqu’un agent possède suffisamment d’information. Dans ce travail, nous sommes en mesure d'obtenir l'existence de l’état d’équilibre, même lorsque la fonction d'intensité n'est pas un produit. De plus, nous sommes également en mesure de montrer la stabilité asymptotique pour toute loi initiale par un changement de noyaux. Enfin, nous élargissons les hypothèses de Bélanger-Giroux (2012) pour montrer la stabilité exponentielle par le critère de Routh-Hurwitz pour un autre exemple de système à un nombre fini d’équations. // Abstract : Over-the-counter (OTC) markets have the main characteristic that they do not use a centralized trading mechanism (such as auctions, specialist, or limit-order book) to aggregate bids and offers and to allocate trades. The buyers and sellers have often a limited knowledge of trades recently negotiated elsewhere in the market. They are also negotiating in potential ignorance of the prices currently available from other counterparties. This is the reason why OTC markets are said to be relatively opaque and are qualified as «Dark Markets» by Duffie (2012) in his recent monograph to reflect the fact that investors are somewhat in the dark about the most attractive available deals and about whom to contact. In this work, we are particularly interested in the evolution over time of the distribution across investors of information learned from private trade negotiations. Specifically, we aim to establish the asymptotic stability of equilibrium dynamics of information sharing in a large interaction set. An agent’s optimal current effort to search for information sharing opportunities depends on that agent’s current level of information and on the cross-sectional distribution of information quality and search efforts of other agents. Under the Duffie-Malamud-Manso (2009) framework, in equilibrium, agents search maximally until their information quality reaches a trigger level and then search minimally. In the context of percolation of information between agents, the information can be transmitted directly or indirectly. The first studies of such a problem were made by Duffie-Manso (2007) and then by Duffie-Giroux-Manso (2010). In that second study the case of the percolation of information by groups of more than 2 investors was addressed and solved for a perfect information transmission kernel. That last study has led Bélanger-Giroux (2013) to the problem of extending the Wild sums for a general interacting kernel (not only for the kernel which adds the information). On the other hand, in Duffie-Malamud-Manso (2009), the authors explain that, for the information sharing in a large population, each agent is endowed with signals regarding the likely outcome of a random variable of common concern, like the price of an asset of common interest. Such a setting leads to nonlinear systems of evolution equations. The agents’ goal is to obtain an equilibrium policy specified by a set of parameters of a trigger policy; more specifically the minimal search effort trigger policies. We concentrate our study on those trigger policies in order to provide more intuitive and practical results. Doing so, we are able to obtain the existence of the steady state even when the intensity function is not a product. And in our framework, we are even able to show the asymptotic stability starting with any initial law. This can be done because we are able to show that, by a change of kernels, the systems of ODE’s, which are expressed by a set of kernels (one 1-airy and one 2-airy) are equivalent to systems expressed with a single 2-airy kernel even with a constant intensity equal to one (by a change of time). We show also that starting from any distribution, the solution converges to the limit proportions. Furthermore, we are able to show the exponential stability using the Routh-Hurwitz criterion for an example of a finite system of differential equations. The solution of such a system of equations describes the cross distribution of types in the market.

Darbe įrodyta, kad Hurvico dzeta funkcijai su algebriniu parametru yra teisinga ribinė teorema su svoriu kompleksinėje plokštumoje. Pagrindinis šio darbo rezultatas yra suformuluotas teorema. / Proof of limit theorem with weight for the Hurwitz zeta-function with an algebraic irrational parameter. The rezult formulated by theorem.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 6351.pdf: 10847045 bytes, checksum: 84e1c67621ad67fd0b4c6eaa4342b371 (MD5) Previous issue date: 2014-10-22 / Financiadora de Estudos e Projetos / The purpose of this work is to study the realizability problem of branched coverings between closed, connected and orientable surfaces. For each covering, there exists a set of naturally associated data called branch datum that should satisfy the Riemann-Hurwitz formula. A classical problem (for possibly non-orientable surfaces) asks whether for a branch datum satisfying the condition of Riemann-Hurwitz exists a branched cover between surfaces having it as branch datum. The correct answer is: not always. When a branch datum satisfies the necessary conditions to come from a branched covering, we call it a candidate branched covers ; if indeed it comes from a branched cover we call it realizable and, if not, we call it exceptional. In fact, it is known that exceptions can occur only if the covered surface is the sphere or the projective plane, but the general solution is still unknown. Among the various tools used to attack the problem we will work directly with two of them: the orbifolds and dessins d'enfant. / O objetivo deste trabalho é estudar o problema de realizabilidade de recobrimentos ramificados entre duas superfícies orientáveis, fechadas e conexas. Para cada recobrimento existe um conjunto de dados naturalmente associado chamado dados de ramificação que devem satisfazer a fórmula de Riemann-Hurwitz. Um problema clássico (para superfícies possivelmente não-orientáveis) questiona se, para um dado de ramificação satisfazendo a condição de Riemann-Hurwitz, existe um recobrimento ramificado entre superfícies tendo-o como dado de ramificação. A resposta correta é: nem sempre. Quando um dado de ramificação satisfaz as condições necessárias para vir de um recobrimento ramificado, o chamamos de um candidato a recobrimento ramificado; se de fato ele vier de um recobrimento ramificado o chamamos realizável e, caso contrário, excepcional. De fato, é sabido que exceções podem ocorrer somente se a superfície recoberta é a esfera ou o plano projetivo, mas a solução geral permanece desconhecida. Dentre as diversas ferramentas utilizadas para atacar o problema trabalharemos diretamente com duas delas: os orbifolds e os dessins d'enfant.

Dans cette thèse on étudie certains phénomènes d'interactions entre caractéristique positive et caractéristique nulle. Dans un premier temps on s'occupe du problème de relèvement locale d'actions de groupes. On y montre des conditions nécessaires pour l'existence de relèvement de certains actions du groupe Z/pZ x Z/pZ. Pour une action d'un groupe fini quelconque, on y étudie les arbres de Hurwitz, en montrant que chaque arbre de Hurwitz admet un plongement dans le disque unitaire fermé de Berkovich et que ses données de Hurwitz peuvent être décrites de façon analytique. Dans une deuxième partie nous construisons un analogue de la représentation de Weil à coefficients dans un anneau intègre, et nous montrons que cela satisfait les mêmes propriétés que dans le cas de coefficients complexes / In this thesis, we study the interplay between positive and zero characteristic. In a first instance, we deal with the local lifting problem of lifting actions of curves. We show necessary conditions for the existence of liftings of some actions of Z/pZ x Z/pZ. Then, for an action of a general finite group, we study the associated Hurwitz tree, showing that every Hurwitz tree has a canonical metric embedding in the Berkovich closed unit disc, and that the Hurwitz data can be described analytically.In the last chapter, we define an analog of the Weil representation with coefficients in an integral domain, showing that such representation satisfies the same properties than in the case with complex coefficients

Dans cette thèse, on introduit la notion de revêtement potentiellement inséparable et on se propose de développer une théorie de la ramification pour ces derniers. Le langage utilisé est celui des schémas en groupoïdes. Après avoir établi quelques résultats préliminaires au chapitre 1, on prouve au chapitre 2 un théorème de quotient d'un schéma en groupoïdes par un sous-groupoïde. Au chapitre 3, on utilise ces résultats pour entreprendre l'étude générale du formalisme des revêtements inséparables. Enfin, au chapitre 4, on spécialise au cas des revêtements sous un schéma en groupes diagonalisable et on étudie en détail la structure de ces derniers. En particulier, on exprime le lieu Gorenstein de ces morphismes en fonction des constantes de structure du revêtement et on prouve dans ce cadre une formule analogue à la formule de Riemann-Hurwitz des revêtements ramifiés classiques. / In this thesis, we introduce the notion of inseparable coverings and we try to develop a ramification theory for such objects. We make use of the groupoid scheme formalism. In section 1, we establish preliminary results on scheme epimorphisms. We use these results in the next section to prove a quotient theorem for groupoid schemes.Then in section 3 we introduce the general formalism of inseparable coverings.Finally, in the last section we consider in greater details inseparable coverings given by the action of a diagonalizable group scheme. We compute the Gorenstein locus of these morphisms and we prove a formula analogous to the classical Riemann-Hurwitz formula.

We present a technique for computing multi-branch-point covers with prescribed ramification and demonstrate the applicability of our method in relatively large degrees by computing several families of polynomials with symplectic and linear Galois groups. As a first application, we present polynomials over \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) for the primitive rank-3 groups \(PSp_4(3)\) and \(PSp_4(3).C_2\) of degree 27 and for the 2-transitive group \(PSp_6(2)\) in its actions on 28 and 36 points, respectively. Moreover, the degree-28 polynomial for \(PSp_6(2)\) admits infinitely many totally real specializations. Next, we present the first (to the best of our knowledge) explicit polynomials for the 2-transitive linear groups \(PSL_4(3)\) and \(PGL_4(3)\) of degree 40, and the imprimitive group \(Aut(PGL_4(3))\) of degree 80. Additionally, we negatively answer a question by König whether there exists a degree-63 rational function with rational coefficients and monodromy group \(PSL_6(2)\) ramified over at least four points. This is achieved due to the explicit computation of the corresponding hyperelliptic genus-3 Hurwitz curve parameterizing this family, followed by a search for rational points on it. As a byproduct of our calculations we obtain the first explicit \(Aut(PSL_6(2))\)-realizations over \(\mathbb{Q}(t)\). At last, we present a technique by Elkies for bounding the transitivity degree of Galois groups. This provides an alternative way to verify the Galois groups from the previous chapters and also yields a proof that the monodromy group of a degree-276 cover computed by Monien is isomorphic to the sporadic 2-transitive Conway group \(Co_3\). / Wir stellen eine Technik zur Berechnung von Mehrpunktüberlagerungen mit vorgeschriebener Verzweigung vor und demonstrieren die Anwendbarkeit unserer Methode in relativ großen Graden durch die Berechnung mehrerer Familien von Polynomen mit symplektischen und linearen Galoisgruppen. Als erste Anwendung präsentieren wir Polynome über \(\mathbb{Q}(\alpha,t)\) für die primitiven Rang-3-Gruppen \(PSp_4(3)\) und \(PSp_4(3).C_2\) vom Grad 27 und für die 2-fach transitive Gruppe \(PSp_6(2)\) in ihren Operationen auf 28 bzw. 36 Punkten. Außerdem lässt das Polynom vom Grad 28 für \(PSp_6(2)\) unendlich viele total-reelle Spezialisierungen zu. Als Nächstes präsentieren wir die (unseres Wissens nach) ersten expliziten Polynome für die 2-fach transitiven linearen Gruppen \(PSL_4(3)\) und \(PGL_4(3)\) vom Grad 40 und die imprimitive Gruppe \(Aut(PGL_4(3))\) vom Grad 80. Zusätzlich geben wir eine negative Antwort auf die Frage von König, ob es eine rationale Funktion vom Grad 63 mit rationalen Koeffizienten gibt, die über mindestens vier Punkten verzweigt ist und Monodromiegruppe \(PSL_6(2)\) besitzt. Dies wird durch die explizite Berechnung der entsprechenden hyperelliptischen Geschlecht-3 Hurwitzkurve erreicht, die diese Familie parametrisiert, gefolgt von einer Suche nach rationalen Punkten auf ihr. Als Nebenprodukt unserer Berechnungen erhalten wir die ersten expliziten \(Aut(PSL_6(2))\)-Realisierungen über \(\mathbb{Q}(t)\). Schließlich stellen wir eine Technik von Elkies zur Beschränkung des Transitivitätsgrades von Galoisgruppen vor. Diese bietet einen alternativen Weg, die Galoisgruppen aus den vorherigen Kapiteln zu verifizieren und liefert auch einen Beweis dafür, dass die Monodromiegruppe einer von Monien berechneten Grad-276 Überlagerung isomorph zur sporadischen 2-fach transitiven Conway-Gruppe \(Co_3\) ist.

Ce travail se fonde sur le lien entre le corps des modules d'un revêtement et les espaces de Hurwitz. Pour un revêtement donné, l'arithmétique de ces espaces fournit des résultats sur la ramification du corps des modules au-dessus du corps de rationalité des points de branchement. Le théorème de Beckmann, qui circonscrit la ramification dans cette extension à certaines places, les mauvaises places, trouve ainsi une démonstration naturelle. Une analyse plus fine des espaces de Hurwitz fournit des informations sur les mauvaises places ne divisant pas l'ordre du groupe de monodromie du revetement (mais où les points de branchement se rencontrent) : l'idée consiste à considérer le revêtement du complété de l'espace de Hurwitz au-dessus du complété de l'espace de configuration de points. Pour une telle place, le lieu de branchement du revêtement se prolonge en une section arithmétique sur ce dernier espace, et la restriction du revêtement de Hurwitz à cette section fournit de l'information sur la ramification dans le corps des modules en la place considérée. Nous étudions ce problème de restriction dans un cadre plus général, en considérant le cas d'un revêtement modérément ramifié le long de diviseurs à croisements normaux restreint à une section, et en nous basant sur le théorème d'Abhyankar. Nous donnons une version effective de ce résultat de ramification dans le corps des modules, en fonction d'entiers qui dépendent des relations de congruence entre les points de branchement, ainsi que d'un choix de générateurs de l'inertie autour des composantes du bord de l'espace de configuration de points croisant la section. À cet effet, nous introduisons un certain type de twists de Dehn, les twists sarments, et nous décrivons leur action sur l'ensemble des classes de Nielsen. Une dernière partie de ce travail regroupe des résultats divers de descente du corps de définition d'un revêtement, qui utilisent des gerbes au-dessus des espaces de Hurwitz.

Le but de cette thèse est d’étudier, à l’aide d’outils combinatoires simples, différentes structures géométriques construites à partir de l’action d’un polynôme ou d’une fraction rationnelle. Nous considérerons d’abord la structure de l'ensemble des solutions séparatrices d’un champ de vecteurs polynomial ou rationnel. Nous allons établir plusieurs modèles combinatoires de ces cartes planaires, ainsi qu’une formule fermée énumérant les différentes structures topologiques dans le cas polynomial. Puis nous parlerons de revêtements ramifiés de la sphère que nous modéliserons, via un objet combinatoire nommée carte équilibrée, à partir d’une idée originale de W.Thurston. Ce modèle nous permettra de démontrer (géométriquement) de nombreuses propriétés de ces objets, et d’offrir une nouvelle approche et de nouvelles perspectives au problème d’Hurwitz, qui reste encore aujourd’hui un problème ouvert. Et enfin nous aborderons le sujet de la dynamique holomorphe via les primitives majeures dont l’utilité est de permettre de paramétrer les systèmes dynamiques engendrés par l’itération de polynômes. Cette approche nous permettra de construire une bijection entre les suites de parking et les arbres de Cayley, ainsi que d’établir une formule fermée liée à l’énumération d’un certain type d’arbres relié à la fois aux primitives majeures et aux revêtements ramifiés polynomiaux. / The main topic of this thesis is to study, thanks to simple combinatorial tools, various geometric structures coming from the action of a complex polynomial or a rational function on the sphere. The first structure concerns separatrix solutions of polynomial or rational vector fields. We will establish several combinatorial models of these planar maps, as well as a closed formula enumerating the different topological structures that arise in the polynomial settings. Then, we will focus on branched coverings of the sphere. We establish a combinatorial coding of these mappings using the concept of balanced maps, following an original idea of W. Thurston. This combinatorics allows us to prove (geometrically) several properties about branched coverings, and gives us a new approach and perspective to address the still open Hurwitz problem. Finally, we discuss a dynamical problem represented by primitive majors. The utility of these objects is to allow us to parameterize dynamical systems generated by the iterations of polynomials. This approach will enable us to construct a bijection between parking functions and Cayley trees, and to establish a closed formula enumerating a certain type of trees related to both primitive majors and polynomial branched coverings.