Cette thèse se compose de trois articles: 1. Couverture du risque de change en marché complet. Cet article concerne la couverture optimale du risque de change pour une entreprise. Le concept du risque de change de long terme est défini par opposition à la conception classique du risque de change. La couverture optimale intertemporelle du risque de change de long terme est ensuite dérivée par la méthode de contrôle optimal stochastique, dans le cadre d'un modèle où le taux de change suit un processus gaussien avec retour vers le niveau de parité. Il est démontré qu'une telle couverture est une couverture en valeur, qui stabilise le flux des dividendes payés aux actionnaires et dépend du niveau du taux de change par rapport au taux de parité. Le modèle développé dans cet article est riche en recommandations pratiques pour la politique de gestion des risques dans une entreprise. Il apparaît notamment que l'entreprise devrait se couvrir plus si le niveau du taux de change est au-dessus du niveau de parité afin de geler les profits et adopter un comportement inverse dans le cas contraire. 2. Couverture du risque de change en marché incomplet Cet article concerne le problème de couverture du risque de change de long terme en présence des actifs non-échangeables dans le contexte des marchés incomplets. L'incomplétude est générée dans le modèle par un risque multiplicatif et non-couvrable de taille du flux provenant du pays étranger. La couverture optimale est obtenue par la méthode de fictitious completion. Il est démontré que l'incomplétude réduit considérablement la taille de couverture, par rapport à celle observée en marché complet. 3. Couverture du risque de change et décision d'investissement Cet article aborde les aspects concernant l'arrivée de l'information et la prise de décision de couverture optimale du risque de change et celle d'investissement pour une entreprise en présence des actifs non échangeables et coûts de financement externes.

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This degree paper deals with the long-term unemployment of one of the most risk groups in the labour market {--} the single-parent mothers. It is a very current topic. Recently, the share of babies born to single-parent mothers has had a growing tendency and the divorce rate has been increasing. More often it is a woman rather than a man who heads the incomplete family. Lonely mothers have to face a difficult task. They have to cope with everyday care of their child on one side and to fulfil the duties of a family provider on the other side. For employers, a single-parent mother with a dependent child is problematic labour force with specific demands on working hours and higher probability of more frequent absences due to caring for a sick family member. These women are therefore willing to take ``worse{\crqq} job which does not correspond to their qualification and education. A lonely mother{\crq}s family is dependent on the income of one of the parents only. Although the father of the dependant has a duty to maintain and support his child as stipulated in the Family Act, he does no fulfil it quite often. Unemployment, especially lasting on a long-term basis, represents a significant social problem for a single-parent family. The standard of living is reduced, and the family has to face the threat of poverty, which is more significant as it regards the children as well. Long-term unemployed single-parent mothers are frequent beneficiaries of social benefits which allow them to survive on a subsistence level. Lonely mothers in this situation chose various strategies to secure alternative income, or take various money-saving measures. They often seek and find help in informal social networks which seem to be very important in such situations. Consequences of long-term unemployment can be a cause of social exclusion. Theoretical part of this degree paper maps the life situation of single-parent mothers with regard to their specific chances of assertion on the labour market. It further deals with the offers of child day care services and the system of support from the state. It also informs of the employment policy measures and flexible forms of employment as a means to harmonize the areas of the work and the family. The degree paper also contains information on the pro-family measures being prepared and approved by the government in November 2008. The research part of the degree paper is focused on identification of the attitudes and strategies of long-term unemployed mothers.

Au cours de cette thèse nous nous sommes intéressé à un jeu minimax différentiel et multi-étages à horizon fini (échéance), motivé par un problème d'évaluation d'options européennes. Le jeu différentiel est en dimension 3 plus temps. Il comporte une commande à la fois continue et impulsionnelle et une commande bornée, ainsi qu'un coût terminal discontinu dans le cas d'une option "digitale" dont l'étude constitue le coeur de la thèse. Ce jeu résulte d'une approche par commande robuste sur l'ensemble des trajectoires de prix permises par l'hypothèse du modèle de marché à intervalles pour le cours de l'actif sur lequel est assise l'option. Du point de vue des techniques financières, notre but est de développer en parallèle une théorie d'évaluation d'options en temps continu et en temps discret, en présence de coûts de transaction et à modèle de marché invariant. Nous obtenons la prime et la stratégie de transaction conseillées au cours du jeu. Notre théorie se veut donc une théorie normative (d'aide à la décision). Pour chaque jeu différentiel, nous utilisons une analyse géométrique des trajectoires extrémales et singulières du jeu qualitatif impulsionnel à cible unique à l'échéance, avec des outils géométriques de la théorie d'Isaacs-Breakwell. Cette analyse nous permet de résoudre complètement le problème. La solution obtenue s'avère riche en variétés singulières de codimension 2, à savoir qu'elle exhibe une dispersion, des variétés équivoques et une variété focale. Cette étude géométrique aboutit à une formule de représentation de la fonction Valeur. faisant intervenir la solution d'un système de deux EDP linéaires couplées du premier ordre. Nous complétons cette étude par une vérification analytique, plus classique, qui consiste à montrer que la fonction construite par la formule de représentation est solution de viscosité de l'équation d'Isaacs associée à un jeu différentiel standard sans commande impulsionnelle ayant la même valeur que le jeu initial. Pour chaque jeu multi-étages, la résolution se fait par le biais d'un algorithme de programmation dynamique classique. Cet algorithme aboutit à une formule de représentation de la Valeur, dont la forme est assez similaire à celle de la solution du jeu différentiel. Il en découle un algorithme rapide applicable en pratique. Nous montrons également la convergence monotone décroissante de la solution du jeu multi-étages vers celle du jeu différentiel lorsque le pas de temps tend vers 0, aussi bien pour une option "vanille" que "digitale", sans changer de modèle d'actif au fur et à mesure que l'on réduit le pas de temps. En conséquent, l'algorithme rapide en temps discret fournit une bonne approximation de la solution (prime et stratégie) en temps continu. Nous terminons ce manuscrit par une analyse critique de la solution du point du vue financier avec en particulier une étude de la robustesse du modèle de marché et une comparaison avec la théorie de F.Black et M.Scholes. Nous insistons sur le fait qu'en aucun cas nous n'avons la prétention de proclamer une quelconque supériorité de notre théorie sur celle de F.Black et M.Scholes. Nous souhaitons seulement montrer qu'elle peut être une alternative en temps discret et/ou en présence de coûts de transaction significatifs, au détriment de la complétude du modèle de marché.

En 2008, à l’issue du « Grenelle de l’Environnement » la France prend l’engagement de réduire de 50% les usages en pesticides des agriculteurs à niveaux de production inchangés. Comment y parvenir ? Un tel objectif est-il réalisable ? Cette thèse apporte des éléments de réponses grâce à l’étude de la demande en pesticides des agriculteurs et à son interaction avec l’offre de produits des firmes. L’exploitation de données individuelles permet d’analyser les déterminants des usages des agriculteurs liés aux caractéristiques des produits phytosanitaires. Le premier chapitre estime un système de demande en supposant que les produits sont homogènes au sein des grandes catégories de traitements. Il montre que la demande est peu sensible aux prix des produits à un niveau global. Il met en évidence que seule une taxe ad valorem très élevée permettrait d’atteindre l’objectif du "Grenelle de l’Environnement" , ce qui amputerait significativement les revenus des agriculteurs. Afin d’envisager une solution alternative, la suite de la thèse étudie une action simultanée sur l’offre et sur la demande. Il est préalablement nécessaire de construire un indice des prix qui intègre les spécificités techniques et réglementaires de ces produits. Cela fait l’ objet du second chapitre. Le prix ajusté est utilisé dans le troisième chapitre qui s’intéresse à l’équilibre du marché . La prise en compte de la structure de la concurrence rend possible l’identification des différentes sources de marges des firmes. L’analyse des changements de marges avant et après la modification de la procédure d’homologation des produits souligne une augmentation des marges des firmes après renforcement des exigences environnementales des caractéristiques des produits. / Following the “Grenelle de l’Environnement” the French government takes the commitment to reduce by 50% pesticide use while maintaining current production levels. How can we reach this objective? Is this target sustainable ? This thesis analyzes the demand of farmers and its interaction with firms supply. A desagregated dataset is constructed to analyze the determinants of farmers’ practices related to the characteristics of products and firms that market them. The first chapter estimates a demand system assuming homogeneous products within categories of pesticides. It confirms that the demand is not sensitive to the prices at an aggregated level. It shows that only a very high ad valorem tax would achieve the objective of the ”Grenelle de l’Environnement”. However, this measure would significantly reduce farmers' income. Alternatively, the thesis retains simultaneous action on both the supply and the demand. First, a price index is constructed in the second chapter. It introduces the technical and regulatory specificities of these products by exploiting the panel structure of the price series. Second, the adjusted price computed indexis used in the third chapter which retains structural econometrics framework to analyze the market equilibrium. Taking into account the structure of competition we compute the margins of firms which are generated by different competition conduct. These results are used to evaluate the effect of the modification of the homologation process on margins. We find that important source of margin was generated by this regulation which sustain innovation.

Cette thèse s’intéresse à différents problèmes de contrôle et d’optimisation dont il n’existe à ce jour que des solutions approchées. D’une part nous nous intéressons à des techniques visant à réduire ou supprimer les approximations pour obtenir des solutions plus précises voire exactes. D’autre part nous développons de nouvelles méthodes d’approximation pour traiter plus rapidement des problèmes à plus grande échelle. Nous étudions des méthodes numériques de simulation d’équation différentielle stochastique et d’amélioration de calculs d’espérance. Nous mettons en œuvre des techniques de type quantification pour la construction de variables de contrôle ainsi que la méthode de gradient stochastique pour la résolution de problèmes de contrôle stochastique. Nous nous intéressons aussi aux méthodes de clustering liées à la quantification, ainsi qu’à la compression d’information par réseaux neuronaux. Les problèmes étudiés sont issus non seulement de motivations financières, comme le contrôle stochastique pour la couverture d’option en marché incomplet mais aussi du traitement des grandes bases de données de médias communément appelé Big data dans le chapitre 5. Théoriquement, nous proposons différentes majorations de la convergence des méthodes numériques d’une part pour la recherche d’une stratégie optimale de couverture en marché incomplet dans le chapitre 3, d’autre part pour l’extension la technique de Beskos-Roberts de simulation d’équation différentielle dans le chapitre 4. Nous présentons une utilisation originale de la décomposition de Karhunen-Loève pour une réduction de variance de l’estimateur d’espérance dans le chapitre 2. / This thesis proposes different problems of stochastic control and optimization that can be solved only thanks approximation. On one hand, we develop methodology aiming to reduce or suppress approximations to obtain more accurate solutions or something exact ones. On another hand we develop new approximation methodology in order to solve quicker larger scale problems. We study numerical methodology to simulated differential equations and enhancement of computation of expectations. We develop quantization methodology to build control variate and gradient stochastic methods to solve stochastic control problems. We are also interested in clustering methods linked to quantization, and principal composant analysis or compression of data thanks neural networks. We study problems motivated by mathematical finance, like stochastic control for the hedging of derivatives in incomplete market but also to manage huge databases of media commonly known as big Data in chapter 5. Theoretically we propose some upper bound for convergence of the numerical method used. This is the case of optimal hedging in incomplete market in chapter 3 but also an extension of Beskos-Roberts methods of exact simulation of stochastic differential equations in chapter 4. We present an original application of karhunen-Loève decomposition for a control variate of computation of expectation in chapter 2.

Neisseria meningitidis (Nm) est un germe commensal du rhinopharynx ayant pour seul hôte l’homme. Malgré un portage asymptomatique largement répandu, et pour des raisons encore inconnues, elle peut échapper au système immunitaire de l’hôte et devenir pathogène provoquant ainsi méningite et septicémie pouvant être mortelles principalement chez les enfants. Au cours du processus infectieux, Nm alterne entre des phases de colonisation et de dissémination, et se retrouve alors confrontée à différents environnements. L’adaptation rapide à ces variations, par modulation de l’expression des gènes de virulence, représente un facteur important dans sa pathogénie. Les facteurs qui contribuent à la virulence de Nm sont essentiellement des structures présentes à la surface de la bactérie parmi lesquelles les pili et la capsule. Les gènes codant ces facteurs sont sous le contrôle de la protéine CrgA, régulateur transcriptionnel de la famille LysR qui intervient lors de l’adhésion de Nm aux cellules humaines. La protéine CrgA régule négativement sa propre expression ainsi de celle des gènes impliqués dans la synthèse de la capsule (sia) et des pili (pilE et pilC1). Par ailleurs, le PTS est un système de transduction du signal qui intervient, par phosphorylation ou via des interactions protéine/protéine, dans le transport des sucres et dans la régulation du métabolisme du carbone. Chez Nm, ce système est incomplet (constitué des protéines EI, HPr, et deux EIIA), il n’est donc pas fonctionnel pour le transport des sucres mais aurait pu conserver ses fonctions régulatrices. Nous avons montré que les protéines du PTS de Nm étaient actives in vitro et in vivo et que la cascade de phosphorylation du PTS était fonctionnelle. Nous avons également montré que l’inactivation du gène ptsH, codant la protéine HPr, entrainait une diminution significative de la synthèse de la capsule, une augmentation de l’adhésion du mutant aux cellules épithéliales humaines et une augmentation de l’expression de crgA. De ce fait, l’absence de l’HPr semble empêcher la répression de crgA et par conséquent celle des gènes sia. Par ailleurs, des expériences de co-immunoprécipitation, nous ont permis de mettre en évidence que l’HPr interagissait directement avec la protéine CrgA in vitro et in vivo. Ces résultats suggèrent que la protéine HPr interviendrait dans la régulation de l’expression des gènes de virulence de Nm via la régulation de l’expression de crgA. Ainsi, un lien entre métabolisme du carbone et virulence a été mis en évidence chez Nm. / Neisseria meningitidis (Nm) is a commensal bacterium of the nasopharynx, which only colonizes humans. Despite a large number of asymptomatic carriers, and for reasons so far unknown, Nm occasionally becomes virulent, escaping the host’s immune system and causing septicaemia and meningitis, the latter being potentially lethal, mostly in children.During the infectious process, Nm alternates between phases of colonization and dissemination, each time facing different environments. This rapid adaptation to the changing environment occurs via the modulation of the expression of virulence genes and represents an important factor of pathogenicity. The structures involved in virulence in Nm are mainly present at the surface of the bacterium, including the pili and the capsule. The genes coding for these structures are controlled by the CrgA protein, a transcriptional regulator of the LysR family, which is induced during the adhesion of Nm to human cells. CrgA negatively regulates its own expression as well as the expression of those genes implicated in the synthesis of the capsule (sia) and pili (pilE and pilC1).Moreover, the PTS is a signal transduction system, which is involved, via phosphorylation or protein/protein interactions, in the transport of sugars and the regulation of the carbon metabolism. In Nm, the PTS is incomplete (only composed of the proteins EI, HPr and two EIIA), thus not functioning in the transport of sugars but it may have conserved regulatory functions.In this work, we demonstrate that the PTS proteins in Nm are active in vitro and in vivo and that the phosphorylation cascade of the PTS is functional. We further show that the inactivation of the ptsH gene, coding for the HPr protein, significantly reduces the synthesis of the capsule, enhances the adhesion of the mutants to human epithelial cells and increases the expression of crgA. Thus, the absence of HPr seems to inhibit the repression of crgA and as a consequence also the repression of the sia genes. Furthermore, from co-immunoprecipitation experiments we provide evidence that HPr directly interacts with the CrgA protein in vitro and in vivo. These results suggest that the HPr protein in Nm regulates the expression of the virulence genes via the regulation of crgA expression. Thus, we provide evidence of a link between carbon metabolism and virulence in Nm.

En 2002, Marek Musiela et Thaleia Zariphopoulo ont introduit la notion de {\em forward utility}, c'est à dire une utilité dynamique, progressive, cohérente avec un marché financier donné. On peut voir ce processus comme un champ aléatoire $U(t,x)$ adapté à l'information disponible, qui a chaque instant est une utilité standard (donc en particulier à la date $0$, compatible avec une famille de stratégies données $(X^{\pi})$ au sens où pour tout $t,h>0$, $ \mathbb{E}(U(t+h,X^{\pi}_{t+h})|\mathcal{F}_t)\leq U(t,X^{\pi}_t)$ et il existe un portefeuille optimal $X^*$ pour lequel l'inégalité est une égalité.\\ Les auteurs ont fait plusieurs articles sur ce sujet, montrant en particulier comment les utilités classiques, puissance, exponentielle, etc doivent être modifiées pour être des utilités dynamique progressives. Une attention limitée a été portée à l'univers d'investissement. \noindent Dans mon travail de thèse, je considère un cadre beaucoup plus général. En effet, le marché est incomplet dans le sens où un investisseur est contraint, à chaque date $t\ge 0$, de choisir ces stratégies admissibles dans des cones convexes fermés, adaptés $\K_t (X_t)$ dépendent du niveau de sa richesse $X_t$. Je considère par la suite que les champs aléatoires $U(t,x)$ évoluent selon la dynamique \begin{equation}\label{eq:champ} dU(t,x)=\beta(t,x)+\Gamma(t,x) dW_t,~U(0,.)=u(.) (\text{donnée}) \end{equation} Comme dans l'optimisation classique, (dite rétrograde puisqu'on reconstruit l'information à partir de la fin), %je montre que le terme %$\beta(t,x)$ contient, contient nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique %modifié par la présence de la dérivée de la volatilité %$\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui % satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell % satisfait je me propose d'étudier les équations de type Hamilton-Jacobi-Bellman que satisfait une utilités progressive $u(t,x)$. Pour mener cette étude, j'utilise une formule d'Itô généralisée apellée la formule de Ventzell-Friedlin, qui permet d'établir la décomposition de type Itô de la composée d'un champ aléatoire avec un processus d'Itô. Je montre alors que le terme $\beta(t,x)$ contient, nécéssairement, un terme de type hamiltonien classique modifié par la présence de la dérivée de la volatilité $\Gamma(t,x)$ de l'utilité progressive. Et par conséquent toute utilité progressive qui satisfait les hypothèses de régularités du lemme d'Itô-Ventzell satisfont l' équation différentielle stochastique suivante \begin{equation}\label{EDPSU} dU(t,x)=\Big\{-xU'_{x}\, r_t dt+ \frac{1}{2U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big) \|^2\Big\}(t,x)\,dt\>+\Gamma(t,x)\,dW_t. \end{equation} avec comme portefeuille optimal $X^*$ le processus associé à la stratégie $\pi^*$ donnée par \begin{equation} x\pi^*(t,x)\sigma_t=- \frac{1}{U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big)(t,x) \end{equation} \noindent où $r$ est le taux court, $\eta$ la prime de marché, $\sigma$ la matrice de variance covariance des actifs et $ \prod_{\K_t(x)\sigma_t}$ désigne l'opérateur de projection sur le cône $\K_t(x)\sigma_t$. \\ Ce point de vue permet de vérifier que le champ aléatoire, s'il existe est compatible avec l'univers d'investissement. Cependant, la question de la convexité et de la monotonie est complexe a priori, car il n'existe pas de théorèmes de comparaison pour les équations progressives (qui sont {\em forward}), contrairement au cas des équations rétrogrades. La question de l'interprétation et du rôle de la volatilité s'avère alors être centrale dans cette étude. Contrairement au cadre général que je considère ici, M.Musiela et T.Zariphopoulo, puis C.Rogers et al se sont restreint au cas où la volatilité de l'utilité est identiquement nulle. Le processus progressif $u(t,x)$ est alors une fonction déterministe satisfaisant une EDP non linéaire, que les auteurs ont transformé en solution harmonique espace temps de l'équation de la chaleur. \\ Mon choix a été d'étudire la question de la volatilité par des techniques de changement de numéraire; ainsi, je montre la stabilité de la notion d'utilité progressive par changement de numéraire. L'avantage considérable de cette technique, comparée à la méthode classique, % Comme dans le cas % classique, le problème est compliqué par le fait que l'espace des % contraites n'est pas invariant par changement de numéraire. est le fait qu'elle permet de se ramener toujours à un marché "martingale" ($r=0$ et $\eta=0$), ce qui simplifie considérablement les équations et les calculs. La dérivée de la volatilité apparaît alors comme une prime de risque instantanée que le marché introduit, et qui dépend du niveau de la richesse de l'investisseur. Ce point de vue nouveau permet de répondre à la question de l'interprétation de la volatilité de l'utilité. Dans la suite, j'étudie le problème dual et je montre que la transformée de {\em Fenchel} $\tU$ de la fonction concave $U(t,x)$ est un champ markovien lui aussi satisfaisant la dynamique \begin{eqnarray}\label{EDPSDuale'} d\tilde{U}(t,y)=\left[\frac{1}{2\tU_{yy}''}(\|\tilde{\Gamma}'\|^2-\|\prod_{\K_t(-\tU_y'(t,y))\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\|^2) +y\tU_{y}' r_t\right](t,y)dt +\tilde{\Gamma}(t,y)dW_t,~~\tilde{\Gamma}(t,y)=\Gamma(t,\tU_y'(t,y)). \end{eqnarray} À partir de ce résultat je montre que le problème dual admet une unique solution $Y^*$ dans la volatilté $\nu^*$ est donnée par \begin{equation} y\nu^*(t,y)= -\frac{1}{\tU_{yy}''}\Big(\tilde{\Gamma}'+y\eta_t-\prod_{\K_t(-\tU_y')\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\Big)(t,y). \end{equation} \noindent Ce ci permettra d'établir les identités clé suivantes: \begin{eqnarray} &Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))=U'_x(t,X^*(t,x)) \label{A}\\ &(\Gamma'_x+U'_x\eta)(t,x)=(xU''(t,x)\pi^*(t,x)\sigma_t+\nu^*(U_x'(t,x))\label{B}. \end{eqnarray} % Remarquons que le terme $(\Gamma'_x+U'_x\eta)$ se décompose de manière unique sous forme % de sa projection sur le cone $\K\sigma$, qui est la stratégie optimale, et la projection sur le cone dual $\K^* \sigma$, % qui est la volatilité du processus optimal dual. Mais notre but est deux termes projétés su comme la projection % Á partir de la première identité nous savons que $U'_x(t,X^*(t,x))$ n'est autre que le processus optimal dual %Á ce stade rapellons que le but de cette étude est de carracteriser les utilités progressives. La question par la suite est la suivante: peut-on caractériser l'utilité $U(t,x)$ pour tout $x>0$ à partir de la première identité? Ceci peut paraître trop demander car nous cherchons à caractériser le champ $U$ connaissant seulement son comportement le long de l'unique trajectoire optimale $X^*$. Cependant, la réponse à cette question s'avère être positive et assez simple. En effet, notons par $\Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$, et supposons que le flot stochastique $X^*$ soit inversible, $\X$ désigne son inverse. Alors, en inversant dans (\ref{A}), je déduis que $U_x'(t,x)=\Y(t,\X(t,x))$. En intégrant par rapport à $x$, j'obtiens que $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$, ce qui prouve le théorème suivant: \begin{theo} Sous des hypothèses de régularités et d'inversion du flot $X^*$, les processus $U$ définis par $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ sont des utilités progressives solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). \end{theo} % %\noindent Inversement, je montre le théorème d'EDP stochastique suivant: \begin{theo} Soit $U$ un champ aléatoire solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). En utilisant la décompostion (\ref{B}), si les EDS suivantes \begin{eqnarray*} & dX^*_t(x)=X^*_t(x)(r_tdt+\pi^*(t,X^*_t(x))\sigma_t(dW_t+\eta_tdt)),X^*_0(x)=x ~\\ & dY^*_t(y)=Y^*_t(y)(-r_tdt+\nu^*(t,Y^*_t(y))dW_t),~Y^*_0(y)=y \end{eqnarray*} admettent des solutions fortes unique et monotonnes, alors, en notant par $ \Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$ et par $\X$ le flot inverse de $X$, on obtient que $U(t,x)= \int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$. Si de plus $X^*$ et $Y^*$ sont croissants, $U$ est concave. \end{theo} \noindent %Dans ce travail, je considère toujours un marché incomplet, Dans une seconde partie de ce travail, je me place dans un cadre beaucoup plus général dans le sens où les actifs sont supposés être cadlag locallement bornés, et par conséquent la filtration n'est plus une filtration brownienne. Je remplace les contraintes de type cône convexe par des contraintes plus générales de type ensemble convexe. Le but de cette partie est de caractériser toutes les utilités progressives avec le minimum d'hypothèses, notamment avec moins d'hypothèses de régularités sur les champs aléatoires $U$. Je ne suppose plus que $U$ est deux fois différentiable et par conséquent je ne peut plus appliquer le lemme d'Itô-Ventzell. L'approche est alors différente: je commence par établir des conditions d'optimalité sur le processus de richesses optimale ainsi que le processus optimal dual, et ce en utilisant des méthodes d'analyse. En utilisant ces résultats je démontre, par des éléments d'analyse, la convexité ainsi que les conditions d'optimalités que toutes les utilités progressives générant une richesse croissante est de la forme $\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ avec $\Y$ : $\Y X$ est une surmartingale pour toute richesse $X$ et une martingale si $X=X^*$.

C’est au cours de l’étude de la distinction entre la formation et l'exécution du contrat que s’est imposée une réflexion sur une autre alternative au modèle du contrat à exécution instantanée : le contrat de durée. En consacrant un modèle de contrat hors du temps le droit contractuel s’est construit sur une chimère. En effet, en niant l’infiltration du temps dans le contrat, les frontières entre la formation et l’exécution se sont fissurées. Devant cet état de fait, les attentes de clarification de la réforme furent nombreuses. Cependant, la réforme du droit des contrats bien que codifiant les apports épars de la jurisprudence n’en a pas tiré les conséquences de fond en consacrant une possible incomplétude du contrat à sa formation. En continuant à ignorer l’impact de la durée sur les contrats qui s’exécutent dans le temps, la réforme a aggravé l’éclatement des concepts et a empêché le droit commun d’évoluer.L’auteur s’est attaché donc à vouloir englober l’ensemble de la réalité contractuelle en faisant émerger à côté du modèle du contrat échange, le modèle du contrat de durée. La proposition d’un contrat de durée serait donc de nature à réconcilier le droit contractuel entre la culture contractuelle de l’échange et la culture contractuelle de la coopération qui prend naissance dans la durée. La durée du contrat transforme le contrat et émancipe son exécution en permettant au moment de la formation une certaine incomplétude. / While studying the distinction between the preparation and the execution of a contract, a reflection on a new alternative to the contract of instantaneous performance imposed itself: an adjustable circumstance-based contract. Devoted to a timeless model of contract, contract law has built itself on a pipe dream. Indeed, the negation of time’s infiltration in a contract led the boundaries between preparation and execution to crack apart. In front of this situation the expectations for clarification with the reform were numerous. However, the 2016 reform of contract law, although systematising the scattered provisions of case law, did not drew the needed conclusions by sanctioning the possible incompleteness of a contract in its preparation. Still ignoring time’s impact in time-based contracts, the 2016 reform has worsened the splitting of concepts and prevented the evolution of common right. Thus the author focused on embracing the whole of contractual reality and developing alongside the swap contract: the adjustable circumstance-based contract. Contract law has indeed been confronted to types of contract that struggled to integrate duration but which, in the need to happen alongside a unique swap model, distorted its concepts. This is why the offer of an adjustable circumstance-based contract would be able to reconcile, in contract law, the contract culture of swap and the contract culture of cooperation which arise in duration.