La thèse se compose de 3 parties. Dans la partie I, nous considérons des problèmes à lafrontière pour une EDP de Laplace dans un domaine simplement connexe de bordLispschitz continu. Depuis des données Dirichlet et Neumann suffisamment régulièresdisponibles sur une partie de la frontière, nous développons une méthode non-itérative derésolution de ce problème de Cauchy, régularisé par une contrainte en norm L2 portantsur la solution sur la partie complémentaire du bord. Notre approche par les fonctionsanalytiques de la variable complexe permet d'imposer des contraintes ponctuellessupplémentaires possédant un intêret pratique pour incorporer des mesures corrompues.La partie II concerne la structure spectrale d'un opérateur de Poisson tronqué intervenantdans diverses applications physiques. Nous établissons d'importantes propriétés dessolutions, des connexions avec d'autres problèmes, ainsi que, pour des valeursasymptotiques d'un paramètre, des formulations sous forme d'autres équations intégralesou EDO solubles. Dans la partie III, nous traitons un problème inverse particulier issud'expériences pratiques effectuées avec un microscope SQUID. Depuis des mesurespartielles de la composante verticale du champ magnétique, le but est de retrouvercertaines propriétés de l'aimantation d'un échantillon de roche. Nous présentons denouvelles méthodes utilisant les transformations de Kelvin et de Fourier pour l'estimationdu moment magnétique. / The thesis consists of three parts. In Part I, we consider partially overdeterminedboundary-value problemS for Laplace PDE in a planar simply connected domain withLipschitz boundary. Assuming Dirichlet and Neumann data available on its part to be realvaluedfunctions of certain regularity, we develop a non-iterative method for solving thisill-posed Cauchy problem choosing as a regularizing parameter L2 bound of the solutionon complementary part of the boundary. The present complex-analytic approach alsonaturally allows imposing additional pointwise constraints on the solution which, onpractical side, can help incorporating outlying boundary measurements without changingthe boundary into a less regular one. Part II is concerned with spectral structure of atruncated Poisson operator arising in various physical applications. We deduce importantproperties of solutions, discuss connections with other problems and pursue differentreductions of the formulation for large and small values of asymptotic parameter yieldingsolutions by means of solving simpler integral equations and ODEs. In Part III, we dealwith a particular inverse problem arising in real physical experiments performed withSQUID microscope. The goal is to recover certain magnetization features of a sample frompartial measurements of one component of magnetic field above it. We develop newmethods based on Kelvin and Fourier transformations resulting in estimates of netmoment components.

Dans cette thèse, nous étudions le comportement d'intégrales oscillantes lorsqu'un paramètre fréquentiel tend vers l'infini. Pour cela, nous considérons la version de la méthode de la phase stationnaire de A. Erdélyi qui couvre le cas d'amplitudes singulières et de phases ayant des points stationnaires d'ordre réel, et qui fournit des estimations explicites de l'erreur. La preuve est entièrement détaillée dans la thèse et la méthode améliorée. De plus nous montrons l'impossibilité de déduire, à partir de cette méthode, des estimations uniformes par rapport à la position du point stationnaire dans le cas d'amplitudes singulières. Afin d'obtenir de telles estimations, nous étendons le lemme de van der Corput au cas d'amplitudes singulières et de points stationnaires d'ordre réel.Ces résultats sont appliqués à des solutions d'équations dispersives sur la droite réelle. La transformée de Fourier de la donnée initiale est à support compact et/ou a un point singulier intégrable. Des développements à un terme et des estimations uniformes dans certains cônes de l'espace-temps sont établis: ceci montre que les paquets d'ondes tendent à être localisés dans certains cônes lorsque le temps tend vers l'infini, décrivant leurs mouvements asymptotiquement en temps.Pour finir, nous considérons des solutions approchées de l'équation de Schrödinger avec potentiel sur la droite réelle, telle que la transformée de Fourier du potentiel est à support compact. En appliquant les méthodes précédentes, nous prouvons que ces solutions approchées tendent à être concentrées dans certains cônes lorsque le temps tend vers l'infini, mettant en évidence des phénomènes de type réflexion et transmission. / In this thesis, we study the asymptotic behaviour of oscillatory integrals for one integration variable with respect to a large parameter. We consider the version of the stationary phase method of A. Erdélyi which covers singular amplitudes and phases with stationary points of real order together with explicit error estimates. The proof, which is only sketched in the original paper, is entirely detailed in the present thesis and the method is improved. Moreover we show the impossibility to derive from this method uniform estimates in the case of singular amplitudes with respect to the position of the stationary point. To obtain such estimates, we extend the classical van der Corput lemma to the case of singular amplitudes and stationary points of real order.These results are then applied to solution formulas of certain dispersive equations on the line, covering Schrödinger-type and hyperbolic examples. We suppose that the Fourier transform of the initial condition is compactly supported and/or has a singular point. Expansions to one term and uniform estimates of the solutions in certain space-time cones are established: this shows that the waves packets tend to be time-asymptotically localized in space-time cones, describing their motions when the time tends to infinity.Finally we consider approximate solutions of the Schrödinger equation on the line with potential, where the Fourier transform of the potential is also supposed to have a compact support. Applying the methods mentioned above, we prove that these approximate solutions tend to be time-asymptotically concentrated in certain space-time cones, exhibiting reflection and transmission type phenomena.

Cette thèse porte sur le problème de la diffration acoustique par un obstacle et sa résolution numérique par la méthode des éléments finis de frontière. Dans les trois premiers chapitres, on s'intéresse au cas où l'obstacle possède des singularités géométriques. Nous traitons le cas particulier des singularités de bord, courbes ouvertes en dimension 2, et surfaces ouvertes en dimension 3. Nous introduisons un formalisme qui permet de retrouver les bonnes propriétés de la méthode pour des objets réguliers. Une fonction de poids est définie sur les objets diffractant, et les opérateurs intégraux usuels (simple-couche et hypersingulier) sont renormalisés de manière adéquate par ce poids. Des préconditioneurs sont proposés sous la forme de racines carrées d'opérateurs locaux. En dimension 2, nous proposons une analyse théorique et numérique complète du problème. Nous montrons en particulier que les opérateurs intégraux renormalisés font partie d'une classe d'opérateurs pseudo-différentiels sur des courbes ouvertes, que nous introduisons et étudions ici. Le calcul pseudo-différentiel ainsi développé nous permet de calculer des paramétrices des les opérateurs intégraux qui correspondent aux versions continues de nos préconditionneurs. En dimension 3, nous montrons comment ces idées se généralisent théoriquement et numériquement dans le cas pour des surfaces ouvertes. Dans le dernier chapitre, nous introduisons une nouvelle méthode de calcul rapide des convolutions par des fonctions radiales en dimension 2, l'une des tâches les plus coûteuses en temps dans la méthode des éléments finis de frontière. Notre algorithme repose sur l'algorithme de transformée de Fourier rapide non uniforme, et est la généralisation un algorithme analogue disponible en dimension 3, la décomposition creuse en sinus cardinal. / In this thesis, we are concerned with the numerical resolution of the problem of acoustic waves scattering by an obstacle in dimensions 2 and 3, with the boundary element method. In the first three chapters, we consider objects with singular geometries. We focus on the case of objects with edge singularities, first open curves in the plane, and then open surfaces in dimension 3. We present a formalism that allows to restore the good properties that held for smooth objects. A weight function is defined on the scattering object, and the usual layer potentials (single-layer and hypersingular) are adequately rescaled by this weight function. Suitable preconditioners are proposed, that take the form of square roots of local operators. In dimension 2, we give a complete theoretical and numerical analysis of the problem. We show in particular that the weighted layer potentials belong to a class of pseudo-differential operators on open curves that we define and analyze here. The pseudo-differential calculus thus developed allows us to compute parametrices for the weighted layer potentials, which correspond to the continuous versions of our preconditioners. In dimension 3, we show how those ideas can be extended theoretically and numerically, for the particular case of the scattering by an infinitely thin disk. In the last chapter, we present a new method for the rapid evaluation of discrete convolutions by radial functions in dimension 2. Such convolutions represent a computational bottleneck in the boundary element methods. Our algorithm relies on the non-uniform fast Fourier transform and generalizes to dimension 2 an analogous algorithm available in dimension 3, namely the sparse cardinal sine decomposition.

Les matériaux à structures complexes (anisotropes, multicouches et hétérogènes comme poreux) sont de plus en plus utilisés dans de nombreuses applications (ex. automobile,aéronautique, industrie chimique, génie civil et biomédical), notamment en raison de leur amélioration des propriétés mécaniques et physiques. L’identification des propriétés thermophysiques de ces matériaux devient un enjeu incontournable dans plusieurs applications afin de prédire correctement l’évolution de la température au sein de ces structures et d’assurer le contrôle et la modélisation des transferts de chaleur au cours des processus. Dans ce contexte,l’identification des propriétés thermophysiques de tels matériaux, suscitent depuis de nombreuses années une préoccupation importante et croissante. La principale caractéristique de cette thèse concerne la mise en œuvre d’une méthode d’identification directe et simultanée des diffusivités thermiques de matériaux monocouches ou multicouches à l’aide d’un modèle3D transitoire analytique et d’une expérience unique et non intrusive. La méthode proposée est d’abord validée sur un matériau monocouche opaque et isotrope, puis appliquée et vérifiée sur un matériau orthotrope. La méthode d’identification est basée sur l’expérience bien connue de la méthode flash, qui utilise l’évolution de la température sur la face avant ou arrière de l’échantillon, enregistrée via une caméra infrarouge, pour identifier les paramètres inconnus. Compte tenu de la complexité et de la non-linéarité du problème inverse, un algorithme d’optimisation hybride couplant un algorithme stochastique (Optimisation par essaims particulaires) et un déterministe (de type gradient), a été choisi. L’estimation repose sur la minimisation de l’écart entre les mesures et la réponse d’un modèle semi-analytique inspiré de l’approche des quadripôles thermiques qui prédit l’évolution de la température sur la face avant ou la face arrière. L’excitation thermique, générée par un laser CO2, est représentée par un flux de chaleur localisé imposé qui peut être de type Dirac ou créneau. Les estimations sont comparées aux valeurs trouvées dans la littérature et aux résultats obtenus en utilisant d’autres méthodes bien établies. Enfin, quelques améliorations de la méthode sont étudiées, en termes de temps de calcul et de précision, avec une optimisation des conditions expérimentales241RÉSUMÉ(durée et intensité des créneaux, face de mesure. . . ). La méthode est ensuite généralisée aux matériaux multicouches, puis appliquée expérimentalement à un matériau bicouche. Cette stratégie, qui peut être considérée comme une tâche difficile, est motivée par l’impossibilité,dans certains cas, de séparer les 2 couches, en particulier pour les revêtements déposés sur des substrats, qui sera la dernière application investiguée dans ce travail. Une analyse de sensibilité est souvent effectuée afin de tester la faisabilité de l’estimation et de la comparaison,pour les matériaux à deux couches et multicouches, de plusieurs configurations possibles en termes de faces d’excitation/de mesures. La pré-évaluation des méthodes d’identification et les études paramétriques sont effectuées à l’aide de données synthétiques bruitées et obtenues à l’aide du modèle ou d’un code numérique d’éléments finis (pseudo-expérience) afin de vérifier la faisabilité et la robustesse des approches. L’une des caractéristiques les plus distinctes de cette approche est que l’estimation peut être réalisée, et avec succès, sans aucune connaissance préalable de la forme ou de l’intensité de l’excitation. En effet, outre l’estimation simultanée des diffusivités thermiques, la méthode peut prédire la quantité de chaleur absorbée parle matériau ainsi que la distribution spatiale de l’excitation thermique. / Advanced materials with complex structures (anisotropic, multilayers and heterogeneous like porous) are increasingly used in many applications, (e.g. automotive, aeronautics, chemical industry, civil and biomedical engineering) due to their advantages, in terms of mechanical and physical properties enhancements. Estimating thermophysical properties of such materials becomes a crucial issue in several applications in order to correctly predict temperature evolution inside these structures and to ensure the control and the modelling of heat transfers through the processes. In this context, the identification of such materials thermophysical properties, has taken from many years, a significant and increasing concern. The main feature of this thesis relies on the devolvement of a direct and simultaneous identification method of the thermal diffusivities of monolayer or multilayer materials using an analytical 3D transient model and a unique and non-intrusive experiment. The proposed method is firstly validated on an isotropic opaque monolayermaterial, then applied and verified on an orthotropic one. The identificationmethod is based on the well-known flash-method experiment whose temperature evolution on the front or rear face on the sample, recorded via an IR camera, is used to identify the unknown parameters. Considering the complexity, and the non-linearity of the inverse problem, a hybrid optimization algorithm combining a stochastic algorithm (Particles Swarm Optimization) and a deterministic one (gradient based), has been chosen. This minimization procedure is applied to fit the observation to the output of a pseudo- analytical model inspired from the thermal quadrupoles approach that predicts the temperature evolution on the front or rear face. The thermal excitation, generated by a CO2 laser, is mimicked by an imposed localized heat flux that may be of Dirac or pulse type. The estimations are compared with values from literature and results obtain from well-established methods. Finally, some improvement of the method are investigated, in terms of time consumption and accuracy, with an optimization of the experiment design (pulse time and intensity, measurement face). The method is then generalised to multi-layer materials, then applied experimentally to a two-layer material. This strategy, which can be considered as a challenging task, is motivated by the impossibility, in some cases, to separate the 2 layers, especially for coatings deposited on substrates which is the last application investigated in this work. A sensitivity analysis is often conducted in order to test the feasibility of the estimation and compare, for two-layer and multilayers materials, several possible configurations in terms of excitation/measurements faces. Pre-evaluation of the overall identification methods and parametric studies are performed using synthetic noisy data generated using the model or a numerical finite element code(pseudo-experiment) to verify the approaches feasibility and robustness. One of the most distinctive features of our approach is that the estimation may be successfully achieved without any a priori knowledge about the shape or the intensity of the excitation. Indeed, besides the simultaneous estimation of the thermal diffusivities, the method predicts the total amount of heat absorbed by the material as well as the space shape of the thermal excitation.

Cette thèse propose trois contributions aux preuves mathématiques assistées par ordinateur. On s'intéresse non seulement aux preuves reposant sur le calcul, mais aussi aux preuves formelles, qui sont àla fois produites et vérifiées à l'aide d'un logiciel appelé assistant à la preuve.Dans la première partie, nous illustrons le thème de l'expérimentation au service de la preuve en nous intéressant au problème de la complexité des algorithmes de multiplication matricielle. Cette question a historiquement été posée de manière de plus en plus abstraite: les approches modernes ne construisent pas d'algorithmes explicites mais utilisent des résultats théoriques pour améliorer la borne inférieure sur la célèbre constante oméga. Nous sommes revenus à une approche plus pratique en essayant de programmer certains des algorithmes impliqués par ces résultats théoriques. Cette approche expérimentale a révélé un motif inattendu dans des algorithmes existants. Alors que ces algorithmes contiennent une nouvelle variable epsilon dont la présence est réputée les rendre impraticables pour des tailles de matrices raisonnables, nous avons découvert que nous pouvions construire des algorithmes de multiplication matricielle en parallèle sans epsilon avec une complexité asymptotique qui peut théoriquement battre l'algorithme de Strassen pour les multiplications. Un sous-produit de cette exploration est un outil symbolique en Ocaml qui peut analyser, composer et exporter des algorithmes de multiplication matricielle. Nous pensons aussi qu'il pourrait être utilisé pour construire de nouveaux algorithmes pratiques de multiplication matricielle.Dans la deuxième partie, nous décrivons une preuve formelle de l'irrationalité de la constante zeta(3), en suivant la démonstration historique due à Apéry. L'étape cruciale de cette preuve est d'établir que deux suites de nombres rationnels satisfont une surprenante récurrence commune. Il est en fait possible de "découvrir"cette récurrence en utilisant des algorithmes symboliques, et leurs implémentations existantes dans un système de calcul formel. De fait,ce travail constitue un exemple d'une approche dite sceptique de la démonstration formelle de théorèmes, dans lequel des calculs sont principalement réalisés par un logiciel efficace de calcul formel puis vérifiés formellement dans un assistant à la preuve. Incidemment, ce travail questionne la valeur des certificats de télescopage créatif comme preuves complètes d'identités. Cette preuve formelle est également basée sur de nouvelles bibliothèques de mathématiques,formalisées pour ses besoins. En particulier, nous avons formalisé et simplifié une étude du comportement asymptotique de la suite ppcm(1,.., n). Ce travail est conduit dans l'assistant à la preuve Coq et prolonge les bibliothèques Mathematical Components.Dans la dernière partie, nous présentons une procédure qui calcule les approximations d'une classe d'intégrales propres et impropres tout en produisant simultanément un preuve formelle Coq de la correction du résultat de ce calcul. Cette procédure utilise une combinaison d'arithmétique d'intervalles et d'approximations polynomiales rigoureuses de fonctions. Ce travail utilise crucialement les possibilités de calculer efficacement à l'intérieur de la logique sous-jacente au système Coq. Il s'agit d'une extension de la bibliothèque CoqInterval d'approximation numérique d'une classe d'expressions réelles. Sa mise en œuvre a également donné lieu à des extensions de la bibliothèque Coquelicot d'analyse réelle, notamment pour améliorer le traitement des intégrales impropres. Nous illustrons l'intérêt de cet outil et ses performances en traitant des exemples standards mais non triviaux de la littérature, sur lesquels d'autres outils se sont en certains cas révélés incorrects. / This thesis proposes three contributions to computer-aidedmathematical proofs. It deals, not only with proofs relying oncomputations, but also with formal proofs, which are both produced andverified using a piece of software called a proof assistant.In the first part, we illustrate the theme of experimentation at theservice of proofs by considering the problem of the complexity ofmatrix multiplication algorithms. This problem has historically beenapproached in an increasingly abstract way: modern approaches do notconstruct algorithms but use theoretical results to improve the lowerbound on the famous omega constant. We went back to a more practicalapproach by attempting to program some of the algorithms implied bythese theoretical results. This experimental approach reveals anunexpected pattern in some existing algorithms. While these algorithmscontain a new variable epsilon whose presence is reputed to renderthem inefficient for the purposes of reasonable matrix sizes, we havediscovered that we could build matrix multiplication algorithms inparallel without epsilon's with an asymptotic complexity which cantheoretically beat Strassen's algorithm in terms of the number ofmultiplications. A by-product of this exploration is a symbolic toolin Ocaml which can analyze, compose and export matrix multiplicationalgorithms. We also believe that it could be used to build newpractical algorithms for matrix multiplication.In the second part, we describe a formal proof of the irrationality ofthe constant zeta (3), following the historical demonstration due toApéry. The crucial step of this proof is to establish that twosequences of rational numbers satisfy a suprising commonrecurrence. It is in fact possible to "discover" this recurrence usingsymbolic algorithms, and their existing implementations in a computeralgebra system. In fact, this work is an example of a skepticalapproach to the formal proof of theorems, in which computations aremainly accomplished by an efficient computer algebra program, and thenformally verified in a proof assistant. Incidentally, this workquestions the value of creative telescoping certificates as completeproofs of identities. This formal proof is also based on newmathematical libraries, which were formalised for its needs. Inparticular, we have formalized and simplified a study of theasymptotic behaviour of the sequence lcm(1,..., n). This work isdeveloped in the Coq proof assistant and extends the MathematicalComponents libraries.In the last part, we present a procedure which computes approximationsof a class of proper and improper integrals while simultaneouslyproducing a Coq formal proof of the correction of the result of thiscomputation. This procedure uses a combination of interval arithmeticand rigorous polynomial approximations of functions. This work makescrucial use of the possibility to efficiently compute inside Coq'slogic. It is an extension of the CoqInterval library providingnumerical approximation of a class of real expressions. Itsimplementation has also resulted in extensions to the Coquelicotlibrary for real analysis, including a better treatment of improperintegrals. We illustrate the value of this tool and its performanceby dealing with standard but nontrivial examples from the literature,on which other tools have in some cases been incorrect.

La recherche sur les écoulements à surface libre turbulents, et sur le cisaillement turbulent spécifiquement progresse depuis les années 1970. Les équations décrivant le mouvement d'agitation turbulente sont bien connues. Elles sont reliées directement aux équations non moyennées de continuité et de conservation de la quantité de mouvement qui forment le système d'équations de Navier-Stokes ainsi que les différentes équations de corrélations du mouvement turbulent. Pour un écoulement turbulent, ce système d'équations présente un problème de fermeture relié à la présence des termes associés aux contraintes de Reynolds. L'échelle du phénomène et plusieurs processus importants du mouvement turbulent ne peuvent ainsi être résolus de façon exacte, et un degré d'approximation devient donc nécessaire. La recherche sur le phénomène de la turbulence a permis de développer plusieurs concepts et approches reliés, notamment, à la viscosité turbulente, à l'isotropie locale de la turbulence et aux équations de transport des termes fluctuants afin de résoudre le problème de fermeture du système d'équations de Navier-Stokes. Ces approches présentent évidemment certaines limitations. De fait, la turbulence est fortement dépendante des conditions aux frontières par rapport à l'écoulement moyen et ne permet pas de prédétermination de la forme des distributions des vitesses moyennes de l'écoulement dans le cadre de la recherche d'une solution approximative. Ce travail de recherche présente un modèle hydrodynamique turbulent 2D vertical, en vue de résoudre une problématique d'écoulement à surface libre à partir de la méthode des éléments finis de frontière ainsi qu'une démarche en laboratoire, afin de caractériser les fluctuations de vitesses et de pression d'un écoulement turbulent à l'aide d'une méthode de vélocimétrie par imagerie de particules. Pour notre modèle numérique, notre approche procède à partir d'une formulation intégrale des équations moyennées de conservation de la quantité de mouvement et de continuité et l'équation associée des corrélations de vitesses turbulentes. En spécifiant les conditions aux limites pour les vitesses, la corrélation et les tractions à la frontière, le calcul du champ de vitesses peut être déterminé en termes des variables primaires à la frontière. Dans ces conditions, il n'est pas requis de discrétiser le domaine à l'aide d'un maillage ou de cellules ce qui pennet une utilisation plus efficiente des ressources et du temps de calcul. Des applications à des cas d'écoulements simples permettent de démontrer la validité du modèle bien que l'imposition des contraintes à la frontière peut être difficile à interpréter et que dans certains cas, l'intégration numérique pour des fonctions singulières peut être hasardeuse. À tenne, notre modèle prédit correctement les solutions analytiques de l'équation de Navier-Stokes pour un écoulement de Couette et ce, sans imposer de distribution à priori des variables primaires de l'écoulement sur le domaine, dans la recherche d'une solution numérique. Le système d'équations de Navier-Stokes, pour un écoulement turbulent, peut donc être envisagé à partir d'une formulation intégrale sur la frontière uniquement. Cette situation étant en accord et cohérente avec le comportement physique attendu du phénomène où les propriétés d'un écoulement turbulent sont directement reliées aux conditions aux limites et que l'action des contraintes fluctuantes est inter-reliée avec l'écoulement moyen. D'autre part, la démarche expérimentale à l'aide de vélocimétrie par imagerie de particules a permis une meilleure compréhension des spécificités des écoulements turbulents à surface libre, à Reynolds modéré. Notre analyse sur les conditions turbulentes à la frontière de l'écoulement tend à corroborer que les corrélations de vitesses turbulentes sont en équilibre avec le gradient de pression et bien que l'écoulement moyen puisse être stationnaire, il apparaît que les corrélations varient continuellement dans le temps selon une action dissipative, ce qui signifie que le gradient de pression est en constante évolution pour équilibrer le système. De plus, il apparaît que les conditions de pression moyenne dans un modèle, ne peuvent représenter adéquatement la réalité physique de l'action de la pression instantanée selon l'agitation turbulente. Enfin, remarquons que l'étude de la turbulence en laboratoire peut être entreprise de manière adéquate, aujourd'hui, avec des moyens limités malgré l'échelle du phénomène. Mots clés: équations de Navier-Stokes, écoulement turbulent, corrélations de vitesses, éléments finis de frontière, vélocimétrie par imagerie de particules.

Nous étudions quelques applications du contrôle stochastique à la couverture d'options en présence d'illiquidité. Dans la première partie, nous nous intéressons à un problème de surcouverture d'option dans un modèle à volatilité stochastique. L'originalité provient du fait que l'actif servant à couvrir la volatilité n'est pas liquide et que l'agent devra donc opérer un montant total fini de transactions. La deuxième partie concerne la couverture d'option en présence de volatilité incertaine dont la dynamique n'est pas spécifiée. Nous introduisons un critère permettant d'obtenir des prix d'options non triviaux, en autorisant l'agent à perdre de l'argent pour des réalisations de la volatilité qu'il juge peu probables. Enfin dans une troisième partie nous étudions un problème de contrôle impulsionnel pour lequel les contrôles prennent effet avec retard. Cette étude s'applique notamment à la couverture d'options sur hedge funds, pour lesquels les ordres d'achat et de vente sont exécutés avec retard. Dans chaque partie, nous caractérisons la fonction valeur du problème comme étant l'unique solution de viscosité d'une équation aux dérivées partielles. Dans la première et la troisième partie, nous introduisons dans un second chapitre des algorithmes de résolution numériques de ces EDP par différences finies. La convergence de ces algorithmes est prouvée de manière théorique.

L'utilisation de la méthode des équations intégrales de frontière s'est énormément développée dans la simulation numérique. Notre travail est axé sur l'application de cette méthode à la simulation de deux problèmes particuliers : la conduction surfacique sous tension alternative et l'induction magnétique en régime variable. Le premier chapitre porte sur la description des problèmes à simuler. Deux thèmes y sont développés: la modélisation des problèmes et les conditions aux limites. Le deuxième chapitre est centré sur la présentation de la méthode des équations intégrales de frontière. Cette présentation couvre de manière synthétique les fondements mathématiques et les techniques numériques utilisées pour la mise en oeuvre sur ordinateur de cette méthode. Ses avantages et inconvénients sont aussi discutés. Le troisième et le quatrième chapitres sont consacrés à la simulation de l'induction magnétique en régime variable et de la conduction surfacique en régime permanent alternatif, respectivement. Les résultats obtenus mettent en évidence la validité de la simulation et l'efficacité des logiciels que nous avons développés. Les futurs développements sont aussi décrits dans ces chapitres.

L'objectif de ce travail est la résolution des équations intégrales singulières à noyau Cauchy. On y traite les équations singulières de Cauchy de première espèce par la méthode des approximations successives. On s'intéresse aussi aux équations intégrales à noyau de Cauchy de seconde espèce, en utilisant les polynômes trigonométriques et les techniques de Fourier. Dans la même perspective, on utilise les polynômes de Tchebychev de quatrième degré pour résoudre une équation intégro différentielle à noyau de Cauchy. Ensuite, on s'intéresse à une autre équation intégro-différentielle à noyau de Cauchy, en utilisant les polynômes de Legendre, ce qui a donné lieu à développer deux méthodes basées sur une suite de projections qui converge simplement vers l'identité. En outre, on exploite les méthodes de projection pour les équations intégrales avec des opérateurs intégraux bornés non compacts et on a appliqué ces méthodes à l'équation intégrale singulière à noyau de Cauchy de deuxième espèce / The purpose of this thesis is to develop and illustrate various new methods for solving many classes of Cauchy singular integral and integro-differential equations. We study the successive approximation method for solving Cauchy singular integral equations of the first kind in the general case, then we develop a collocation method based on trigonometric polynomials combined with a regularization procedure, for solving Cauchy integral equations of the second kind. In the same perspective, we use a projection method for solving operator equation with bounded noncompact operators in Hilbert spaces. We apply a collocation and projection methods for solving Cauchy integro-differential equations, using airfoil and Legendre polynomials

La statistique des valeurs extrêmes est une question majeure dans divers contextes scientifiques. Cependant, bien que la description de la statistique d'un extremum global soit certainement une caractéristique importante, celle-ci ne se concentre que sur une seule variable parmi un grand nombre de variables aléatoires. Une question naturelle qui se pose alors est la suivante: ces valeurs extrêmes sont-elles isolées, loin des autres variables ou bien au contraire existe-t-il un grand nombre d'autres variables proches de ces valeurs extrêmes ? Ces questions ont suscité l'étude de la densité d'état de ces événements quasi-extrêmes. Il existe pour cette quantité peu de résultats pour des variables fortement corrélées, qui est pourtant le cas rencontré dans de nombreux modèles fondamentaux. Deux pistes de modèles physiques de variables fortement corrélées pouvant être étudiés analytiquement se démarquent alors: les positions d’une marche aléatoire et les valeurs propres de matrice aléatoire. Cette thèse est ainsi consacrée à l’étude de statistique d’extrêmes pour ces deux modèles de variables fortement corrélées. Dans une première partie, j’étudie le cas où la collection de variables aléatoires est la position au cours du temps d’un mouvement brownien, qui peut être contraint à être périodique, positif... Ce mouvement brownien est vu comme la limite d’un marcheur aléatoire classique après un grand nombre de pas. Il est alors possible d’interprèter ce problème comme celui d’une particule quantique dans un potentiel ce qui permet d’utiliser des méthodes puissantes issues de la mécanique quantique comme l’utilisation de propagateurs et de l’intégrale de chemin. Ces outils permettent de calculer la densité moyenne à partir du maximum pour les différents mouvements browniens contraints et même la distribution complète de cette quantité pour certains cas. Il est également possible de généraliser cette démarche à l’étude de plusieurs marches aléatoires indépendantes ou avec interaction. Cette démarche permet également d’effectuer une étude temporelle, ainsi que de généraliser à l’étude d’autres fonctionnelle du maximum. Dans la seconde partie, j’étudie le cas où la collection de variables aléatoires est composée des valeurs propres d’une matrice aléatoire. Ce travail se concentre sur l’études des matrices des ensembles gaussiens (GOE, GUE et GSE) ainsi qu’à l’étude des matrices de Wishart. L’étude du voisinage de la valeur propre maximale pour ces deux modèles est faite en utilisant une méthode fondée sur les propriétés des polynômes orthogonaux. Dans le cas des matrices gaussiennes unitaires GUE, j’ai obtenu une formule analytique pour la distribution à partir du maximum ainsi qu’une nouvelle expression de la statistique du gap entre les deux plus grandes valeurs propres en termes d’une fonction transcendante de Painlevé. Ces résultats, et plus particulièrement leurs généralisations aux cas GOE, sont alors appliqués à un modèle de verre de spin sphérique en champs moyen. Dans le cas des matrices de Wishart, l’analyse des polynômes orthogonaux dans le régime de double échelle m’a permis de retrouver les différentes statistiques de la valeur propre minimale et également de prouver une conjecture sur la première correction de taille finie pour des grandes matrices de la distribution de la valeur propre minimale dans la limite dite de «hard edge». / Extreme value statistics plays a keyrole in various scientific contexts. Although the description of the statistics of a global extremum is certainly an important feature, it focuses on the fluctuations of a single variable among many others. A natural question that arises is then the following: is this extreme value lonely at the top or, on the contrary, are there many other variables close to it ? A natural and useful quantity to characterize the crowding is the density of states near extremes. For this quantity, there exist very few exact results for strongly correlated variables, which is however the case encountered in many situations. Two physical models of strongly correlated variables have attracted much attention because they can be studied analytically : the positions of a random walker and the eigenvalues of a random matrix. This thesis is devoted to the study of the statistics near the maximum of these two ensembles of strongly correlated variables. In the first part, I study the case where the collection of random variables is the position of a Brownian motion, which may be constrained to be periodic or positive. This Brownian motion is seen as the limit of a classical random walker after a large number of steps. It is then possible to interpret this problem as a quantum particle in a potential which allows us to use powerful methods from quantum mechanics as propagators and path integral. These tools are used to calculate the average density from the maximum for different constrained Brownian motions and the complete distribution of this observable in certain cases. It is also possible to generalize this approach to the study of several random walks, independent or with interaction, as well as to the study of other functional of the maximum. In the second part, I study the case of the eigenvalues of random matrices, belonging to both Gaussian and Wishart ensembles. The study near the maximal eigenvalues for both models is performed using a method based on semi-classical orthogonal polynomials. In the case of Gaussian unitary matrices, I have obtained an analytical formula for the density near the maximum as well as a new expression for the distribution of the gap between the two largest eigenvalues. These results, and in particular their generalizations to different Gaussian ensembles, are then applied to the relaxational dynamics of a mean-field spin glass model. Finally, for the case of Wishart matrices I proposed a new derivation of the distribution of the smallest eigenvalue using orthogonal polynomials. In addition, I proved a conjecture on the first finite size correction of this distribution in the «hard edge» limit.