Dans ce travail nous avons ouvert des voies nouvelles pour la méthode des équations intégrales de frontière appliquée à la résolution des problèmes tridimensionnels de l'électromagnétisme en basse fréquence. Elles permettent de réaliser un maillage adaptatif associé à des résolutions approchées, locales, du système intégral. Dans le premier chapitre nous discutons brièvement les différentes méthodes numériques appliquées à l'électromagnétisme. Le deuxième chapitre est consacré à la méthode des équations intégrales de frontière. Nous y justifions nos choix particuliers (type et ordre des éléments discrétisant les frontières) et décrivons les algorithmes réalisés, par exemple pour la prise en compte des symétries ou périodicités des systèmes étudiés. Dans le troisième chapitre, nos méthodes de calcul des intégrales élémentaires, combinant l'analytique et le numérique, sont décrites et validées. Dans le chapitre quatre, nous présentons un estimateur d'erreur basé sur l'écart entre la valeur interpolée du potentiel et sa valeur calculée par la méthode intégrale elle-même. Pour finir, nous utilisons dans le chapitre cinq cet estimateur d'erreur pour réaliser automatiquement un. maillage adapté à chaque problème traité, en autorisant aussi un maillage « non-conforme ». Une méthode de résolution locale permet un gain important en temps de calcul pendant cette phase de maillage adaptatif. Le maillage final est séparé en domaines, ce qui permet d'améliorer le résultat par itérations entre ces domaines, et sans recourir à une résolution globale, très coûteuse pour des problèmes de grande taille.

La tenue diélectrique des matériels d'isolation est tributaire des répartitions du champ et du potentiel à leurs surfaces. Ces répartitions en présence de la conduction surfacique sont différentes des répartitions électrostatiques. Ce travail consiste en l'application de la méthode des équations intégrales de frontière (MEIF) pour le calcul des distributions du champ et du potentiel électriques dans le cas des isolateurs pollués soumis à une tension alternative à fréquence industrielle. Dans le chapitre 1, nous parlerons de phénomènes de conduction surfacique sur les isolateurs pollués avant de voir les équations et les conditions qui gouvernent les distributions du champ et du potentiel électriques. Pour calculer ces répartitions, des méthodes numériques ont été développées. Le chapitre 2 porte sur les principales méthodes numériques utilisées jusqu'à nos jours suivies d'un rappel de la méthode des équations intégrales de frontière. Le chapitre 3 est consacré à l'application de la MEIF aux isolateurs pollués. On y reporte l'ensemble des équations à résoudre, leurs traitements numériques ainsi que le calcul des différentes grandeurs locales et globales. On aboutit ainsi à un modèle numérique de la conduction surfacique appelé « module pollution ». Le chapitre 4 porte sur la validation du modèle avec la présentation de quelques résultats. Nous terminerons par la présentation d'exemples d'application et l'évocation de possibles extensions du modèle numérique : ceci fait l'objet du chapitre 5.

La réduction du bruit des transports est devenue un enjeu majeur dans nos sociétés. En raison de la réduction du bruit de moteur, le bruit de contact pneumatique / chaussée est aujourd'hui la principale source du bruit de trafic en conditions normales de conduite. Dans ce contexte, le but du présent travail est de comprendre et de contrôler les mécanismes de rayonnement du pneumatique, ceci en concevant des outils de prédiction efficients pour la propagation du bruit pneumatique / chaussée au dessus de surfaces d'impédances arbitraires. <br />Le rayonnement du pneumatique est modélisé à l'aide de la méthode des Sources Equivalentes. Malgré des limitations en basses fréquences dues au caractère bi–dimensionel du modèle, calculs et mesures indiquent que cet outil convient bien au rayonnement au–dessus de surface totalement réfléchissantes. Les effets de sol induits par des surfaces absorbantes n'est réalisée que de manière approchée. Un modèle d'effets de sol dus à un plan d'impédance donnée est donc dévelopé pour des sources de directivité arbitraire. Cette technique est essentiellement une alternative aux méthodes dites des équations intégrales. Par ailleurs, la solution exacte du problème est présentée. <br />Basé sur les deux outils de prédiction précédents, un modèle iteratif est dévelopé pour le rayonnement d'un pneumatique au–dessus de surfaces dont l'impédance est arbitraire. Des comparaisons avec des mesures d'amplification sonore due à l'effet dièdre montrent que ce modèle est efficient pour des surfaces absorbantes homogènes et inhomogènes. A l'aide de ce nouvel outil, une étude paramétrique examine les tendances du rayonnement du pneumatique au–dessus de chaussées absorbantes. <br />Le présent travail apporte de nouveaux éléments en matière de rayonnement de pneumatique / chaussée; il contribue en outre à l'étude des possibilités de réduction du bruit de trafic, notamment en utilisant des chaussées dites “silencieuses”.

Le cadre de cette thèse est la simulation numérique de l'interaction de la lumière avec des surfaces métalliques rugueuses pouvant être à l'origine de fortes localisation du champ électromagnétique du à des résonances plasmoniques. Les profils accidentés de ces surfaces ont des tailles caractéristiques de quelques nanomètres de largeur et de quelques dizaines de nanomètres de hauteur. La principale difficulté dans la simulation de tels phénomènes réside dans la diff'erence d'échelle entre la longueur d'onde de l'onde incidente et la taille des rugosités ainsi que les variations brutales du champ magnétique à la surface. Une méthode de simulation adaptée est la résolution numérique d'équations intégrales de surface ayant un profil périodique. Cette méthode a été implémentée en C++ et la part principale de ce travail a été le calcul de la fonction de Green pseudo-périodique. L'intensité du faisceau réfracté ainsi que les cartes de champ proche peuvent être calculées rigoureusement à partir de la solution obtenue. A l'aide de cette méthode, on a montré que des résonances plasmoniques situées dans les cavités d'un réseaux ayant des rainures de forme Gaussienne de taille nanométrique ont un comportement électrostatique similaire à celles des cavités rectangulaires, notamment une réflectivité spéculaire très faible en condition de résonance. Les performances actuelles des ordinateurs limitent cependant les études à des réseaux de petite période. Afin de dépasser ces limitations, on a fait appel à des bases de fonctions permettant de décomposer une fonction en ses parties de résolutions différentes: les ondelettes. Ce travail se conclue par une discussion sur le potentiel de deux utilisations différentes des ondelettes pour la résolution d'équation intégrales.

Dans cette thèse, nous introduisons et développons une approche mathématiques originale des techniques d'imagerie biomédicales dites "hybrides". L'idée et d'appliquer une méthode d'imagerie mal posée, tout en perturbant le milieu à imager par des déplacements mécaniques. Ces déplacements provenant d'une équation de type onde élastique perturbent les mesures effectuées. En utilisant ces mesures perturbées, et profitant du caractère local des perturbations mécaniques, il est possible d'augmenter considérablement la résolution de la méthode de base. Le problème direct est donc un couplage d'une EDP décrivant la propagation utilisée pour la méthode de base et d'une seconde décrivant les champs de déplacement mécaniques. Dans toutes cette thèse, on fait l'hypothèse d'un milieu mécaniquement homogène afin d'assurer le contrôle et la géométrie des ondes perturbatrices utilisées. A partir des mesures perturbées, une étape d'interprétation permet de construire une donnée interne au domaine considéré. Cette étape nécessite en général l'inversion d'opérateurs géométriques intégraux de type Radon, afin d'utiliser le caractère localisant des perturbations utilisées. A partir de cette donnée interne, il est possible d'initier une procédure de reconstruction du paramètre physique recherché. Dans le chapitre 1, il est question d'un couplage entre micro-ondes et perturbations sphériques. Dans les chapitres 2, 3 et 4, nous étudions l'imagerie optique diffuse toujours couplée avec des perturbations sphériques. Enfin dans le chapitre cinq, nous donnons une méthode originale de reconstruction de la conductivité électrique par un couplage entre champs magnétique et perturbations acoustiques focalisées.

Une capsule est une goutte de liquide enveloppée par une membrane fine et déformable. Les propriétés mécaniques de la membrane sont essentielles pour le mouvement de la capsule. L'analyse de l'écoulement d'une suspension de capsules dans un canal microfluidique au moyen d'un modèle mécanique est une technique permettant de déterminer les propriétés élastiques de la membrane. Un modèle numérique tridimensionnel a été développé pour résoudre ce problème d'interaction fluide-structure en écoulement confiné. Il couple une méthode des intégrales de frontières pour les écoulements des fluides et une méthode éléments finis pour la déformation de la membrane. Le modèle est utilisé pour étudier l'écoulement d'une capsule initialement sphérique dans des canaux de différentes sections. Dans un canal cylindrique, on montre que l'effet de confinement du canal conduit à la compression de la capsule. Cela engendre la formation de plis sur la membrane autour de l'axe de l'écoulement, phénomène également observé expérimentalement. Dans un canal de section carrée, les effets de la loi constitutive de la membrane, du rapport de taille et du débit d'écoulement sur la déformation de la capsule sont systématiquement étudiés. La comparaison entre les résultats expérimentaux et numériques nous permet de déduire les propriétés mécaniques de la membrane d'une population de capsules artificielles. Ce travail démontre la faisabilité de la mesure de propriétés mécaniques d'une membrane en utilisant une technique microfluidique en canal carré. Il pourrait être étendu par l'étude d'écoulements instationnaires dans un canal de section variable ou avec bifurcations.

Cette thèse étudie les aspects mathématiques et numériques de phénomènes d'ondes dans les plasmas magnétiques. La réflectométrie, une technique de sonde des plasmas de fusion, est modélisée par les équations de Maxwell. Le tenseur de permittivité présente dans ce modèle des valeurs propres ainsi que des termes diagonaux qui s'annulent. La relation de dispersion met en évidence deux phénomènes cruciaux : coupures et résonances, lorsque le nombre d'onde s'annule ou tend vers l'infini. La partie I rassemble les résultats numériques. La grande nouveauté réside dans la définition d'une solution résonante. En effet, à cause des coefficients s'annulant continument en changeant de signe, la solution peut être singulière, i.e. avoir une composante non intégrable. Cependant, grâce au principe d'absorption limite, une solution résonante est explicitement définie comme la limite de solutions intégrables du problème régularisé. L'expression théorique de la singularité est validée par des tests numériques du passage à la limite. La partie II concerne l'approximation numérique. Elle comprend la mise en place d'une nouvelle méthode numérique adaptée aux coefficients réguliers. Celle-ci est basée sur la formulation variationnelle Ultra Faible mais nécessite des fonctions de base spécifiques, construites comme approximations locales du problème adjoint. L'analyse de convergence est effectuée en dimension un, en dimension deux la construction des fonctions de base et leur propriété d'interpolation sont détaillées. La méthode d'ordre élevé obtenue permet de simuler le phénomène de coupure tandis que simuler le phénomène de résonance en dimension deux reste un défi.

Les vésicules sont utilisées d'une manière extensive comme modèle pour comprendre les dynamiques et les déformations des globules rouges au niveau individuel, mais aussi concernant les phénomènes collectives et la rhéologie. La membrane de la vésicule résiste à la flexion mais pas au cisaillement, contrairement aux globules rouges, néanmoins elles partagent plusieurs propriétés dynamiques avec les globules rouges, comme le tank-treading (mouvement en chenille de char) et le tumbling (mouvement de bascule) sous écoulement de cisaillement, ou les formes parachutes et slippers (pantoufles) sous un écoulement de Poiseuille. Les globules rouges sont connus pour former des trains de cellules (clusters) dans la microcirculation attribués à la nature attractive des interactions hydrodynamiques. Nous avons étudié numériquement plusieurs types de problème comme:(i) les dynamiques de cellules isolées, (ii) le couplage hydrodynamique entre globules rouges (en utilisant les vésicules comme modèle) soumis à un écoulement de Poiseuille sous différent confinements; (iii) l'agrégation des globules rouges et la formation de rouleaux; et (iv) le rôle des macromolécules dans la formation de clusters sous écoulement. les résultats obtenus apportent un nouveau regard à la physique des objets déformables et sont transposables au cas de l'écoulement des globules rouges dans la microcirculation. / Vesicles are extensively used as a model for understanding dynamicsand deformation of red blood cells at the individual level but also regarding collective phenomena and rheology. Vesicles' membranes withstand to bending butdo not have a shear resistance, unlike red blood cells, but they still share several dynamical properties with red blood cells, like tank-treading and tumbling under linear shear flow, or parachute and slipper shapes under Poiseuille flow. The red blood cells are known to form train of cells in the microcirculation attributed to attractive hydrodynamic interactions. We investigate numerically several kind of problems such as: (i) the dynamics of isolated cells; (ii) the hydrodynamic coupling between the red blood cells (by using vesicles as a model) subject to a Poiseuille flow under different confinements; (iii) the aggregation of red blood cells and formation of rouleaux; and (iv) the contribution of macromolecules in the formation of clusters under flow condition. The obtained results give a new insight into thephysics of deformable objects under confinement that are transposable to the flow of red blood cells in the microcirculation.

Les calculs de précision dans les théories de jauge jouent un rôle très important pour l’étude de la physique du Modèle Standard et au-delà dans les super-collisionneurs de particules comme le LHC, TeVatron et ILC. Par conséquent, il est extrêmement important de fournir des outils du calcul d’amplitudes à une boucle stables, rapides, efficaces et hautement automatisés. Cette thèse a pour but de développer la bibliothèque d’intégrales Golem95. Cette bibliothèque est un programme écrit en Fortran95, qui contient tous les ingrédients nécessaires pour calculer une intégrale scalaire ou tensorielle à une boucle avec jusqu’à six pattes externes. Golem95 utilise une méthode traditionnelle de réduction (réduction à la Golem) qui réduit les facteurs de forme en des intégrales de base redondantes qui peuvent être scalaires (sans paramètres de Feynman au numérateur) ou tensorielles (avec des paramètres de Feynman au numérateur); ce formalisme permet d’éviter les problèmes de l’instabilité numérique engendrés par des singularités factices dues à l’annulation des déterminants de Gram. En plus, cette bibliothèque peut être interfacée avec des programmes du calcul automatique basés sur les méthodes d’unitarité comme GoSam par exemple. Les versions antérieures de Golem95 ont été conçues pour le calcul des amplitudes sans masses internes. Le but de ce travail de thèse est de généraliser cette bibliothèque pour les configurations les plus générales (les masses complexes sont incluses), et de fournir un calcul numériquement stable dans les régions problématique en donnant une représentation intégrale unidimensionnelle stable pour chaque intégrale de base de Golem95. / Higher order corrections in gauge theories play a crucial role in studying physics within the standard model and beyond at TeV colliders, like LHC, TeVatron and ILC. Therefore, it is of extreme importance to provide tools for next-to-leading order amplitude computation which are fast, stable, efficient and highly automatized. This thesis aims at developing the library of integrals Golem95. This library is a program written in Fortran95, it contains all the necessary ingredients to calculate any one-loop scalar or tensorial integral with up to six external legs. Golem95 uses the traditional reduction method (Golem reduction) to reduce the form factors into redundant basic integrals, which can be scalar (without Feynman parameters in the numerator) or tensorial (with Feynman parameter in the numerator); this formalism allows us to avoid the problems of numerical instabilities generated by the spurious singularities induced by the vanishing of the Gram determinants. In addition, this library can be interfaced with automatic programs of NLO calculation based on the unitarity inspired reduction methods as GoSam for example. Earlierversions of Golem95 were designed for the calculation of amplitudes without internal masses. The purpose of this thesis is to extend this library for more general configurations (complex masses are supported); and to provide numerically stable calculation in the problematic regions (det(G) → 0), by providing a stable one-dimensional integral representation for each Golem95 basic integral.

Le cadre de cette thèse est la simulation numérique de l'interaction de la lumière avec des surfaces métalliques rugueuses pouvant être à l'origine de fortes localisation du champ électromagnétique du à des résonances plasmoniques. Les profils accidentés de ces surfaces ont des tailles caractéristiques de quelques nanomètres de largeur et de quelques dizaines de nanomètres de hauteur. La principale difficulté dans la simulation de tels phénomènes réside dans la diff'erence d'échelle entre la longueur d'onde de l'onde incidente et la taille des rugosités ainsi que les variations brutales du champ magnétique à la surface. Une méthode de simulation adaptée est la résolution numérique d'équations intégrales de surface ayant un profil périodique. Cette méthode a été implémentée en C++ et la part principale de ce travail a été le calcul de la fonction de Green pseudo-périodique. L'intensité du faisceau réfracté ainsi que les cartes de champ proche peuvent être calculées rigoureusement à partir de la solution obtenue. A l'aide de cette méthode, on a montré que des résonances plasmoniques situées dans les cavités d'un réseaux ayant des rainures de forme Gaussienne de taille nanométrique ont un comportement électrostatique similaire à celles des cavités rectangulaires, notamment une réflectivité spéculaire très faible en condition de résonance. Les performances actuelles des ordinateurs limitent cependant les études à des réseaux de petite période. Afin de dépasser ces limitations, on a fait appel à des bases de fonctions permettant de décomposer une fonction en ses parties de résolutions différentes: les ondelettes. Ce travail se conclue par une discussion sur le potentiel de deux utilisations différentes des ondelettes pour la résolution d'équation intégrales. / The framework of this thesis is the numerical simulation of the interaction of light with rough metallic surfaces which can be the origin of giant enhancements of the electromagnetic field due to plasmonic resonances. The abrupt profile of these surfaces have characteristic sizes of a few nanometers of width and a few tens of nanometers of height. The main difficulty in the simulation of such phenomena is in the scale difference of the wavelength of the incident wave and the size of the roughness as well as the abrupt variations of the magnetic field at the surface. A suited method of simulation is the numerical resolution of surface integral equations for periodic profile of the surface. This method was implemented in C++ and the main part of this work was the calculation of the pseudo-periodic Green function. The intensity of the refracted beam and that of the electromagnetic field maps are rigorously calculated from the obtained solution. We showed by applying this method that plasmonic resonances situated in the cavity of gratings with Gaussian shaped grooves of nanometric sizes have an electrostatic behaviour similar to that of the rectangular grooves, in particular, a very low specular reflectivity at the resonance. The current performances of computers limit the studies to gratings with a small period. In order to overcome these limitations, we considered a function basis enabling to decompose a functions into its components of different resolutions: the wavelets. This work ends with a discussion on the potential of two different applications of the wavelets to the resolution of integral equations.