Wir untersuchen die analytische Struktur von Feynman Integralen als mengenwertige holomorphe Funktionen mit topologischen Methoden, spezifisch mit Techniken für singuläre Integrale. Der Hauptfokus liegt auf dem Ein-Schleifen-Fall. Zunächst geben wir einen gründlichen Überblick über die Theorie der singulären Integrale und füllen einige Lücken in der Literatur. Anschließend untersuchen wir die Topologie von endlichen Vereinigungen und Schnitten von bestimmten nicht-degenerierten affinen komplexes Quadriken, welche die relevante Geometrie von Ein-Schleifen Feynman Integralen darstellen. Wir etablieren einige grundsätzliche topologische Eigenschaften und führen eine Kompaktifizierung von Bündeln solcher Räume und eine Whitney Stratifizierung dieser ein. Des Weiteren berechnen wir die Homologiegruppen der Fasern durch eine Dekomposition in die auftretenden Schnitte komplexer Sphären. Das Einführen einer CW-Dekomposition einer spezifischen Faser führt zu einer kombinatorischen Studie, welche es uns erlaubt explizite Generatoren in Sinne dieser CW-Strukture zu berechnen. Unter Verwendung dieser Generatoren berechnen wir die relevanten Schnittindizes, welche im Ramifizierungsproblem auftreten. Durch Anwendung dieser Resultate auf Ein-Schleifen Feynman Integrale finden wir die klassischen Landau Gleichungen wieder und erhalten einen vollständigen Beweis von Cutkoskys Theorem. Des Weiteren untersuchen wir, wie viel dieses Mechanismus sich auf den Mehr-Schleifen Fall überträgt. Insbesondere betrachten wir zwei Beispiele von Mehr-Schleifen Integralen und erhalten Resultate die über den aktuellen Stand der Literatur hinaus gehen. / We investigate the analytic structure of Feynman integrals as multivalued holomorphic functions with topological methods, specifically with techniques for singular integrals. The main focus lies on the one-loop case. First, we conduct a thorough review of the theory of singular integrals, filling some gaps in the literature. Then, we investigate the topology of finite unions and intersections of certain non-degenerate affine complex quadrics which constitute the relevant geometry of one-loop Feynman integrals. We establish some basic topological properties and introduce a compactification of bundles of such spaces and a Whitney stratification thereof. Furthermore, we compute the homology groups of the fibers via a decomposition into the direct sum of all occurring intersections of complex spheres. Introducing a CW-decomposition of a specific fiber leads to a combinatorial study, allowing us to obtain explicit generators in terms of this CW-structure. Using these generators, we compute the relative intersection indices that occur in the ramification problem. Applying these results to one-loop Feynman integrals, we retrieve the classical Landau equations and obtain a full proof of Cutkosky's Theorem. Furthermore, we investigate how much of this machinery applies to the multi-loop case. In particular, we consider two examples of multi-loop integrals and obtain results beyond the current state of the literature.

No description available.

Dans cette thèse on détermine les fonctions sphériques définies sur l'espace des matrices hermitiennes infinies à coefficients réelles, complexes ou quaternions. <br /><br />Dans le chapitre 1, on rappelle quelques résultats qui sont démontres par J.Faraut et A. Koranyi et on en donne un développlement d'une certaine intégrale orbitale en série de taylor sphérique.<br /><br />Le chapitre 2 est consacré pour traiter le comportement asymptotique d'une intégrale orbitale. La démonstartion repose sur un résultat qui généralise un théorème de Poincaré sur la sphère unité.<br /><br /><br />Le chapitre 3 généralise le chapitre 2. On traite un problème sur les mesures ergodiques. On généralise le résultat suivant prouver par G. Olshanski et A. Vershik: déterminer toutes les mesure ergdiques définies<br />sur l'espace des matrices hermitiennes infinies à coefficients complexes, qui sont invariantes par l'action du groupe unitaire infini. La généralisation de ce résultat est de remplacer les matrices hermitiennes à coefficients complexes par les matrices symetriques<br />réelles ou les matrices hermitiennes à coefficients quaterniones.<br /><br />Dans le chapitre 4 on rappelle le résultat suivant démontré par Olshanski et Borodin et qui reste valable dans notre cas:toute mesure de probabilités définies sur l'espace des matrices hermitinnes infinies qui est invariante par le groupe unitaire est se décompose en une combinaison continue et convexe des mesure ergodiques sous l'action par conjugaison du groupe unitaire, en suite on donnera quelques compléments. <br /><br />Dans le chapitre 5 qui est une suite du chapitre 4, on donne une représentation de Lévy-Khinchine des fonctions de type négatif définies sur l'espaces des matrices hermitiennes Hilbert-Schmidt de dimension inifinie et qui sont invariantes par le groupe unitaire infini.

Turbulente Austauschprozesse in der atmosphärischen Grenzschicht spielen eine Schlüsselrolle beim vertikalen Impuls-, Energie- und Stofftransport in der Erdatmosphäre. In meso- und globalskaligen Atmosphärenmodellen sind turbulente Austauschprozesse jedoch subskalig und müssen unter Verwendung geeigneter Schliessungsansätze parametrisiert werden. Hierbei spielt die Spezifikation der charakteristischen Turbulenzlängenskala in Abhängigkeit vom Stabilitätszustand der Atmosphäre eine entscheidende Rolle. Gegenwärtig verwendete Ansätze, die auf der Verwendung der turbulenten Mischungslänge für neutrale Schichtung sowie dimensionsloser Stabilitätsfunktionen basieren, zeigen vor allem Defizite im oberen Bereich der konvektiven Grenzschicht sowie in der Entrainmentzone, wo starke vertikale Gradienten auftreten. In der vorliegenden Arbeit wurden hochaufgelöste dreidimensionale Grobstruktursimulationen der trockenen und feuchten Grenzschicht für ein weites Spektrum von Labilitätsbedingungen durchgeführt. Erste und zweite Momente atmosphärischer Strömungsvariablen wurden aus den simulierten hydro- und thermodynamischen Feldern berechnet und diskutiert. Die Spektraleigenschaften turbulenter Fluktuationen der Strömungsvariablen, das raumzeitliche Verhalten kohärenter Strukturen sowie charakteristische Turbulenzlängenskalen wurden abgeleitet. Eine Verifizierung der charakteristischen Turbulenzlängenskalen erfolgte durch Vergleich mit Ergebnissen früherer numerischer Simulationen, mit Turbulenzmessungen in der atmosphärischen Grenzschicht sowie mit Laborexperimenten. Mit Hilfe der nichtlinearen Datenmodellierung wurden leicht verwendbare Approximationen der charakteristischen Turbulenzlängenskalen abgeleitet und deren statistische Signifikanz diskutiert. Unter Verwendung dieser Approximationen wurde ein existierendes Parametrisierungsmodell revidiert und mit Hilfe von Grobstruktursimulationen verifiziert. Desweiteren wurde der Einfluß der turbulenten Mischungslänge auf die Prognose mesokaliger Felder untersucht. Hierzu wurde mit dem Lokal-Modell des Deutschen Wetterdienstes eine entsprechende Sensitivitätsstudie durchgeführt. Anhand von Satellitendaten und Analysedaten aus der 4D-Datenassimilation wurden die Simulationsergebnisse verifiziert.

Proefschrift Universiteit Maastricht. / Met lit. opg. - Met samenvatting in het Nederlands en Duits.

Die Auswertung von Mehrschleifen-Feynman-Integralen ist eine der größten Herausforderungen bei der Berechnung präziser theoretischer Vorhersagen für die am LHC gemessenen Wirkungsquerschnitte. In den vergangenen Jahren hat sich die Nutzung von Differentialgleichungen bei der Berechnung von Feynman-Integralen als sehr erfolgreich erwiesen. Es wurde dabei beobachtet, dass die von den Feynman-Integralen erfüllte Differentialgleichung oftmals in eine sogenannte kanonische Form transformiert werden kann, welche die Integration der Differentialgleichung mittels iterierter Integrale wesentlich vereinfacht. Das zentrale Ergebnis der vorliegenden Arbeit ist ein Algorithmus zur Berechnung rationaler Transformationen von Differentialgleichungen von Feynman-Integralen in eine kanonische Form. Neben der Existenz einer solchen rationalen Transformation stellt der Algorithmus keinerlei weitere Bedingungen an die Differentialgleichung. Insbesondere ist der Algorithmus auf Mehrskalenprobleme anwendbar und erlaubt eine rationale Abhängigkeit der Differentialgleichung vom dimensionalen Regulator. Bei der Anwendung des Algorithmus wird zunächst das Transformationsgesetz im dimensionalen Regulator entwickelt, um Differentialgleichungen für die Koeffizienten in der Entwicklung der Transformation herzuleiten. Diese Differentialgleichungen werden dann mit einem rationalen Ansatz für die gesuchte Transformation gelöst. Es wird zudem eine Implementation des Algorithmus in dem Mathematica Paket CANONICA vorgestellt, welches das erste veröffentlichte Programm dieser Art ist, das auf Mehrskalenprobleme anwendbar ist. CANONICAs Potential für moderne Mehrschleifenrechnungen wird anhand mehrerer nicht trivialer Mehrschleifen-Integraltopologien demonstriert. Die gezeigten Topologien hängen von bis zu drei Variablen ab und umfassen auch vormals ungelöste Topologien, die zu Korrekturen höherer Ordnung zum Wirkungsquerschnitt der Produktion einzelner Top-Quarks am LHC beitragen. / The evaluation of multi-loop Feynman integrals is one of the main challenges in the computation of precise theoretical predictions for the cross sections measured at the LHC. In recent years, the method of differential equations has proven to be a powerful tool for the computation of Feynman integrals. It has been observed that the differential equation of Feynman integrals can in many instances be transformed into a so-called canonical form, which significantly simplifies its integration in terms of iterated integrals. The main result of this thesis is an algorithm to compute rational transformations of differential equations of Feynman integrals into a canonical form. Apart from requiring the existence of such a rational transformation, the algorithm needs no further assumptions about the differential equation. In particular, it is applicable to problems depending on multiple kinematic variables and also allows for a rational dependence on the dimensional regulator. First, the transformation law is expanded in the dimensional regulator to derive differential equations for the coefficients of the transformation. Using an ansatz in terms of rational functions, these differential equations are then solved to determine the transformation. This thesis also presents an implementation of the algorithm in the Mathematica package CANONICA, which is the first publicly available program to compute transformations to a canonical form for differential equations depending on multiple variables. The main functionality and its usage are illustrated with some simple examples. Furthermore, the package is applied to state-of-the-art integral topologies appearing in recent multi-loop calculations. These topologies depend on up to three variables and include previously unknown topologies contributing to higher-order corrections to the cross section of single top-quark production at the LHC.

Cette thèse est consacrée à l'étude des problèmes inverses des transformations de Radon pondérées dans les espaces euclidiens. D'une part, nos études sont motivées par l'application des transformations de Radon pondérées pour différentes tomographies, par exemple en tomographie d'émission (PET, SPECT), en tomographie de fluorescence et en tomographie optique. En particulier, nous développons une nouvelle approche de reconstruction pour les tomographies en 3D, où les données sont modélisées par des transformations des rayons pondérées le long des rayons parallèles à un plan fixe. À cet égard, nos résultats contiennent : des formules pour la réduction des transformées des rayons pondérés en transformées de Radon le long de plans en 3D ; un analogue de la formule d'inversion approximative de Chang et un analogue de l'algorithme d'inversion itératif de type Kunyansky pour les transformations de Radon pondérées en multidimension ; des reconstructions numériques à partir de données simulées et réelles. D'autre part, nos études sont motivées par des problèmes mathématiques liés aux transformations susmentionnées. Plus précisément, nous poursuivons l'étude de l'injectivité et de la non-injectivité des transformations de Radon et des transformations des rayons pondérées en multidimension et construisons une série de contre-exemples à l'injectivité de ces dernières. Ces contre exemples sont intéressants et, dans un certain sens, inattendus parce qu'ils sont proches des cas où ces transformations deviennent injectives. En particulier, par l'une de nos constructions, nous donnons des contre-exemples à des théorèmes d'injectivité bien connus pour les transformations des rayons pondérées (Quinto (1983), Markoe, Quinto (1985), Finch (1986), Ilmavirta (2016)) lorsque les hypothèses de régularité des poids sont légèrement relaxées. Par ce résultat, nous montrons en particulier que les hypothèses de régularité sur les poids sont cruciales pour l'injectivité et qu'il y a une "brisure" de cette dernière si les hypothèses sont légèrement affaiblies. / This thesis is devoted to studies of inverse problems for weighted Radon tranforms in euclidean spaces. On one hand, our studies are motivated by applications of weighted Radon transforms in different tomographies, for example, in emission tomographies (PET, SPECT), flourescence tomography and optical tomography. In particular, we develop a new reconstruction approach for tomographies in 3D, where data are modelized by weighted ray transforms along rays parallel to some fixed plane. In this connection our results include: formulas for reduction of the aforementioned weighted ray transforms to weghted Radon transforms along planes in 3D; an analog of Chang approximate inversion formula and an analog of Kunyansky-type iterative inversion algorithm for weighted Radon transforms in multidimensions; numercal reconstructions from simulated and real data. On the other hand, our studies are motivated by mathematical problems related to the aforementioned transforms. More precisely, we continue studies of injectivity and non-injectivity of weighted ray and Radon transforms in multidimensions and we construct a series of counterexamples to injectivity for the latter. These counterexamples are interesting and in some sense unexpected because they are close to the setting when the corresponding weighted ray and Radon transforms become injective. In particular, by one ofour constructions we give counterexamples to well-known injectivity theorems for weighted ray transforms (Quinto (1983), Markoe, Quinto (1985), Finch (1986), Ilmavirta (2016)) when the regularity assumptions on weights are slightly relaxed. By this result we show that, in particular, the regularity assumptions on weights are crucial for the injectivity and there is a breakdown of the latter if the assumptions are slightly relaxed.

Turbulente Austauschprozesse in der atmosphärischen Grenzschicht spielen eine Schlüsselrolle beim vertikalen Impuls-, Energie- und Stofftransport in der Erdatmosphäre. In meso- und globalskaligen Atmosphärenmodellen sind turbulente Austauschprozesse jedoch subskalig und müssen unter Verwendung geeigneter Schliessungsansätze parametrisiert werden. Hierbei spielt die Spezifikation der charakteristischen Turbulenzlängenskala in Abhängigkeit vom Stabilitätszustand der Atmosphäre eine entscheidende Rolle. Gegenwärtig verwendete Ansätze, die auf der Verwendung der turbulenten Mischungslänge für neutrale Schichtung sowie dimensionsloser Stabilitätsfunktionen basieren, zeigen vor allem Defizite im oberen Bereich der konvektiven Grenzschicht sowie in der Entrainmentzone, wo starke vertikale Gradienten auftreten. In der vorliegenden Arbeit wurden hochaufgelöste dreidimensionale Grobstruktursimulationen der trockenen und feuchten Grenzschicht für ein weites Spektrum von Labilitätsbedingungen durchgeführt. Erste und zweite Momente atmosphärischer Strömungsvariablen wurden aus den simulierten hydro- und thermodynamischen Feldern berechnet und diskutiert. Die Spektraleigenschaften turbulenter Fluktuationen der Strömungsvariablen, das raumzeitliche Verhalten kohärenter Strukturen sowie charakteristische Turbulenzlängenskalen wurden abgeleitet. Eine Verifizierung der charakteristischen Turbulenzlängenskalen erfolgte durch Vergleich mit Ergebnissen früherer numerischer Simulationen, mit Turbulenzmessungen in der atmosphärischen Grenzschicht sowie mit Laborexperimenten. Mit Hilfe der nichtlinearen Datenmodellierung wurden leicht verwendbare Approximationen der charakteristischen Turbulenzlängenskalen abgeleitet und deren statistische Signifikanz diskutiert. Unter Verwendung dieser Approximationen wurde ein existierendes Parametrisierungsmodell revidiert und mit Hilfe von Grobstruktursimulationen verifiziert. Desweiteren wurde der Einfluß der turbulenten Mischungslänge auf die Prognose mesokaliger Felder untersucht. Hierzu wurde mit dem Lokal-Modell des Deutschen Wetterdienstes eine entsprechende Sensitivitätsstudie durchgeführt. Anhand von Satellitendaten und Analysedaten aus der 4D-Datenassimilation wurden die Simulationsergebnisse verifiziert.

Integrabilität hat sich als ein wichtiges Konzept erwiesen, um die Grenzen einer störungstheoretischen Beschreibung zu überwinden und ein tiefer gehendes Verständnis von speziellen vierdimensionalen Quantenfeldtheorien zu erlangen. Die der Integrabilität zugrunde liegende algebraische Struktur ist der Yangian, welchen man als eine unendlichdimensionale Erweiterung einer Lie-Algebra auffassen kann. In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir die Yang’sche Symmetrie von super Wilson Schleifen und Fischnetz Feynman Graphen. Im ersten Teil dieser Arbeit diskutieren wir Maldacena–Wilson Schleifen in N=4 SYM Theorie. Unter Ausnutzung der nicht-chiralen Superraumbeschreibung des N=4 SYM Modells konstruieren wir den supersymmetrisch vervollständigten Schleifenoperator, welcher dual ist zu einer durch den vollen AdS5xS5 Superstring beschriebenen Minimalfläche. Wir zeigen, dass dieser Schleifenoperator sowohl globale superkonforme als auch lokale kappa Symmetrie besitzt, wobei wir letztere zur 1/2 BPS Eigenschaft der bosonischen Maldacena–Wilson Schleife in Beziehung setzen. Weiterhin berechnen wir den Einschleifenerwartungswert des Operators und beweisen dessen Endlichkeit. Anschließend beschäftigen wir uns detailliert mit der Yang’schen Symmetrie von glatten super Maldacena–Wilson Schleifen. Wir untersuchen anhand einer generischen Eichtheorie die verschiedenen Möglichkeiten, die Yang’schen Generatoren zu realisieren und begründen unsere Wahl einer Darstellung in Form von eichkovarianten Operatoreinsetzungen. Unter Verwendung dieser Darstellung beweisen wir nachfolgend die Yang’sche Invarianz des vollen Einschleifenerwartungswertes der super Maldacena– Wilson Schleife. Im zweiten Teil dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Fischnetz Feynman Graphen, welche aus viervalenten Vertizes bestehen, die durch skalare Propagatoren miteinander verbunden sind. Wir zeigen, dass diese Diagramme zu allen Schleifenordnungen eine konforme Yang’sche Symmetrie aufweisen und konstruieren explizit die Yang’schen Generatoren, die diese Diagramme vernichten. Für Vielschleifendiagramme gelingt uns Letzteres durch eine Umformulierung der Symmetrie in Form von Eigenwertgleichungen inhomogener Monodromiematrizen, aus deren Entwicklung sich die Generatoren ablesen lassen. Die Yang’sche Symmetrie impliziert, dass Fischnetz Integrale partielle Differenzialgleichungen erfüllen, deren Form wir anhand des Boxintegrals illustrieren. / Quantum integrability has turned out to be an important concept in overcoming the limitations of perturbation theory and reaching a more profound understanding of particular four-dimensional quantum field theories. The algebraic structure that underlies integrability in field and string theory is the Yangian, which can be understood as an infinite-dimensional extension of a Lie algebra. Here, we investigate the Yangian symmetry of super Maldacena–Wilson loops and fishnet Feynman graphs. In the first part of this thesis, we discuss Maldacena–Wilson loops in N=4 SYM theory. Utilizing the non-chiral superspace formulation of the N=4 SYM model, we construct the full supersymmetric completion of this operator, which is the natural object dual to a minimal surface described by the full AdS5xS5 superstring. We show that the super loop operator enjoys global superconformal as well as local kappa symmetry, the latter being related to the 1/2 BPS property of the bosonic Maldacena–Wilson loop. Using a convenient type of transversal gauge, we establish the operators one-loop expectation value and prove it to be finite. We then perform a detailed study of the Yangian symmetries of smooth super Maldacena–Wilson loops. Focusing on a generic gauge theory setup, we analyze in detail the different options for representing the Yangian generators and argue for a representation in terms of gauge-covariant operator insertions. Subsequently, we utilize this approach to prove the Yangian invariance of the full one-loop expectation value. The second part of this thesis is devoted to the study of four-dimensional fishnet Feynman graphs, which are built from four-valent vertices that are joined by scalar propagators. We show that these diagrams feature a conformal all-loop Yangian symmetry, which we phase in terms of generators annihilating these graphs as well as in terms of inhomogeneous monodromy eigenvalue relations. The Yangian symmetry results in novel differential equations for this family of largely unsolved Feynman integrals and we shall study their form by considering the box integral as an example.

Ce travail de thèse s'articule autour de deux questions scientifiques importantes à propos des galaxies actives : quels sont les mécanismes transportant le gaz et quel est le role de la galaxie sur l'activité nucléaire ? Nous avons donc mené une étude observationnelle approfondie et statistique du gaz et des étoiles, pour comparer la morphologie et cinématique des galaxies actives et non-actives sur differentes échelles spatiales, en utilisant des données spectroscopiques optique et radio. Nos résultats montrent que dans les régions centrales des galaxies actives la cinématique des étoiles est régulière alors que le gaz est perturbé. Ces perturbations suggèrent un lien entre la dynamique au centre des galaxies et les mécanismes d'alimentation du noyau actif. Enfifin les données radio et optique sont combinées pour analyser la cinématique galactique dans son ensemble. Cette étude nous<br>permet de sonder à differentes échelles spatiales les perturbations liées à l'alimentation du noyau actif.