Um problema matemático interessante consiste no estudo do conjunto das raízes de uma família de polinômios cujos coeficientes são restritos por certas condições. O trabalho [2] analisa polinômios cujos coeficientes são zeros ou uns, provando que o fecho do conjunto das raízes complexas destes polinômios é conexo por caminhos. Neste trabalho vamos considerar a família de polinômios cujos coeficientes são inteiros entre - M e M, para M dado. Vamos mostrar que o fecho do conjunto das raízes reais não-nulas destes polinômios é a união de dois intervalos. Para isso, será necessário analisar também séries de potências com coeficientes restritos pelas mesmas condições. / An interesting mathematical problem is the study of the set of zeros of a family of polynomials whose coefficients are restricted by certain conditions. The paper [2], for example, analyses polynomials which coefficients are O or 1, proving that the closure o f the set of complex zeros of these polynomials is path connected. We will consider here the family of polynomials with integers coefficients between - M and M , for M given. We will show that the closure of the set of non-zero real zeros ofthese polynomials is the union oftwo intervals. For this purpose, it will be necessary to analyze also power series with coefficients restricted by the same conditions.

Este trabalho faz uma relação entre primalidade de números inteiros e os polinômios de Chebyshev, estudando resultados recentemente descobertos. Um dos principais resultados é uma generalização do Pequeno Teorema de Fermat, que mostra a congruência, Tn(a) =a ( mod n) para n primo, em que Tn(x) é o n- ésimo polinômio de Chebyshev. A recíproca desse resultado, se verdadeira, conduziria a um teste de primalidade determinístico eficiente. Através de cálculo computacional, mostramos que para n < 1,9 x 104 , a recíproca é verdadeira. Além disso, os resultados dessa simulação, podem servir de base para o desenvolvimento de um algoritmo probabilístico para verificação da primalidade. Alguns testes de primalidade existentes na literatura, assim como definições e propriedades algébricas dos polinômios de Chebyshev também são apresentadas. / This work makes a relation between integer primality and Chebyshev polynomials, discussing recently found results. One of the most important results is a generalization of Fermat's little theorem. lt shows that Tn(a) =a ( mod n ), for n prime, where Tn(x) is the ndegree Chebyshev polynomial. The converse o f this result, if true, would lead to an efficient deterministic primality test. Tbrough a machine computation, we show that for n < 1,9 x 1 04 , the converse is true. The results of this simulation may serve to structure a probabilistic primality testing algorithm. Also, some existent primality tests, as well as definitions and algebraic properties o f Chebyshev polynomials are presented.

Este trabalho faz uma relação entre primalidade de números inteiros e os polinômios de Chebyshev, estudando resultados recentemente descobertos. Um dos principais resultados é uma generalização do Pequeno Teorema de Fermat, que mostra a congruência, Tn(a) =a ( mod n) para n primo, em que Tn(x) é o n- ésimo polinômio de Chebyshev. A recíproca desse resultado, se verdadeira, conduziria a um teste de primalidade determinístico eficiente. Através de cálculo computacional, mostramos que para n < 1,9 x 104 , a recíproca é verdadeira. Além disso, os resultados dessa simulação, podem servir de base para o desenvolvimento de um algoritmo probabilístico para verificação da primalidade. Alguns testes de primalidade existentes na literatura, assim como definições e propriedades algébricas dos polinômios de Chebyshev também são apresentadas. / This work makes a relation between integer primality and Chebyshev polynomials, discussing recently found results. One of the most important results is a generalization of Fermat's little theorem. lt shows that Tn(a) =a ( mod n ), for n prime, where Tn(x) is the ndegree Chebyshev polynomial. The converse o f this result, if true, would lead to an efficient deterministic primality test. Tbrough a machine computation, we show that for n < 1,9 x 1 04 , the converse is true. The results of this simulation may serve to structure a probabilistic primality testing algorithm. Also, some existent primality tests, as well as definitions and algebraic properties o f Chebyshev polynomials are presented.

Um problema matemático interessante consiste no estudo do conjunto das raízes de uma família de polinômios cujos coeficientes são restritos por certas condições. O trabalho [2] analisa polinômios cujos coeficientes são zeros ou uns, provando que o fecho do conjunto das raízes complexas destes polinômios é conexo por caminhos. Neste trabalho vamos considerar a família de polinômios cujos coeficientes são inteiros entre - M e M, para M dado. Vamos mostrar que o fecho do conjunto das raízes reais não-nulas destes polinômios é a união de dois intervalos. Para isso, será necessário analisar também séries de potências com coeficientes restritos pelas mesmas condições. / An interesting mathematical problem is the study of the set of zeros of a family of polynomials whose coefficients are restricted by certain conditions. The paper [2], for example, analyses polynomials which coefficients are O or 1, proving that the closure o f the set of complex zeros of these polynomials is path connected. We will consider here the family of polynomials with integers coefficients between - M and M , for M given. We will show that the closure of the set of non-zero real zeros ofthese polynomials is the union oftwo intervals. For this purpose, it will be necessary to analyze also power series with coefficients restricted by the same conditions.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:02:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 3500.pdf: 5600588 bytes, checksum: 3b29f15fd6c71838bd60f420dff7779a (MD5) Previous issue date: 2010-09-24 / This work was elaborated from the research on a well-known epistemological obstacle: the difficulty that the students have in understanding the concept of negative number and operations with such numbers. The experience in the classroom shows that this difficulty is indeed wide. To investigate the causes and methods to overcome such obstacles to contribute to the development of studies related to the understanding of the rules of signs of integers, four didactic games were applied: the Activity of Positive and Negative Cards, the Dinosaur s Game, the Hexagon Game and the Matix Game. This work evaluated in which aspects these four didactic games help the teacher to develop a meaningful learning, in addition to improve the performance of creativity, spontaneity and autonomy of learners. As the final product of this Professional Master's Degree, the activities developed were posted on the Professor s Portal created by the Ministry of Education and available on: http://www.portaldoprofessor.mec.gov.br, a virtual environment with educational resources which stimulate and facilitate the work of teachers. Thus, it tried to offer some contribution to studies related to mathematics didactic games with the suggestion of these activities for Primary School. / Este trabalho foi elaborado a partir da investigação sobre um obstáculo epistemológico bem conhecido: a dificuldade que os alunos têm na assimilação do conceito de número negativo e das operações com tais números. As experiências em sala de aula revelam que essa dificuldade é realmente ampla. Para investigar as causas e métodos para superar tais obstáculos visando contribuir para o desenvolvimento de estudos ligados à compreensão das regras de sinais dos números inteiros, foram aplicados quatro jogos didáticos: a Atividade das Fichas Positivas e Negativas, o Jogo do Dinossauro, o Jogo do Hexágono e o Jogo Matix. O trabalho avaliou em quais aspectos esses quatro jogos didáticos auxiliam o professor a desenvolver uma aprendizagem significativa, além de melhorar o desempenho da criatividade, espontaneidade e autonomia dos educandos. Como produto final deste Mestrado Profissional, as atividades desenvolvidas foram postadas no Portal do Professor criado pelo Ministério da Educação e disponíveis em: http://www.portaldoprofessor.mec.gov.br, um ambiente virtual com recursos educacionais que facilitam e dinamizam o trabalho dos professores. Dessa maneira, buscou-se oferecer alguma contribuição aos estudos ligados aos jogos didáticos de matemática com a sugestão dessas atividades para o Ensino Fundamental.

Submitted by FERNANDA DA SILVA VON PORSTER (fdsvporster@univates.br) on 2016-04-29T18:10:09Z No. of bitstreams: 3 license_text: 22064 bytes, checksum: ef48816a10f2d45f2e2fee2f478e2faf (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) 2015AntonioSilvadaCosta.pdf: 3538059 bytes, checksum: 403c33778391a156f4f48498baa8a192 (MD5) / Approved for entry into archive by Ana Paula Lisboa Monteiro (monteiro@univates.br) on 2016-05-04T17:43:14Z (GMT) No. of bitstreams: 3 license_text: 22064 bytes, checksum: ef48816a10f2d45f2e2fee2f478e2faf (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) 2015AntonioSilvadaCosta.pdf: 3538059 bytes, checksum: 403c33778391a156f4f48498baa8a192 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-04T17:43:14Z (GMT). No. of bitstreams: 3 license_text: 22064 bytes, checksum: ef48816a10f2d45f2e2fee2f478e2faf (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) 2015AntonioSilvadaCosta.pdf: 3538059 bytes, checksum: 403c33778391a156f4f48498baa8a192 (MD5) / O presente estudo evidencia alguns resultados de uma prática pedagógica efetivada em uma turma do 7º ano do Ensino Fundamental da Escola Estadual Coema Souto Maior, localizada na cidade de Boa Vista – Roraima. O objetivo geral da pesquisa consistiu em avaliar se o uso de materiais alternativos para o ensino das operações dos números inteiros é potencialmente significativo como recurso na aprendizagem dessas operações. Teoricamente, está embasado em Ausubel (2009), Lara (2011), Kishimoto (2011), Moreira (2011), Ribeiro (2008), Freire (2011), Borges (2008), entre outros. A pesquisa é de cunho qualitativo e quantitativo, sendo considerada um estudo de caso. O material da pesquisa foi gerado por meio de três questionários, denominados respectivamente de pré-teste, pós-teste e grau de satisfação, todos com questões abertas e fechadas. Também foram desenvolvidos materiais denominados de organizadores prévios. Ainda, foram utilizados diário de campo, fotografias e filmagens que auxiliaram na interpretação de dados. De acordo com as análises efetivadas sobre o material de pesquisa, pode-se entender que: 1) nas aulas com os materiais alternativos, os pesquisados mostraram-se ativos e participantes da construção do conhecimento frente ao conteúdo de números inteiros; 2) os registros realizados em sala e as atividades aplicadas indicaram melhoramento na aprendizagem dos discentes que utilizaram os materiais alternativos; 3) a metodologia usada no desenvolvimento dos organizadores prévios despertou curiosidade dos outros alunos e também da professora titular da sala. O material alternativo (jogo virtual, figuras, objetos) promoveu um maior interesse pela Matemática, fazendo com que seu aprendizado fosse significativo, propiciando um ambiente agradável e promovendo nos alunos uma predisposição para aprender. / The present study evidences the results of pedagogical practice applied in a class of 7th year of the Elementary School at the Escola Estadual Coema Souto Maior, located in Boa Vista, RR. The main objective of the research consists in evaluating whether the virtual game “Playing with the Operations of the Whole Numbers” is potentially significant as a resource for the learning of the integer numbers. Theoretically, it is based on Ausubel (2009), Lara (2011), Kishimoto (2011), Moreira (2011), Ribeiro (2008), Freire (2011), Borges (2008), among others. The research has a qualitative and quantitative feature, being considered as a study of case. The material for research was brought up by means of three questionnaires, respectively named pre-test, post-test, and level of satisfaction with open and cloze questions. Moreover, a field diary, photography and filming were used to support the interpretation of data. According to the analyses carried out on the research material it can be understood that: 1) In classes with the virtual game the researched students are active and participating in the construction of knowledge regarding the content of integer numbers; 2) the records made in classroom and the activities applied point out an improvement in the learning of the pupils who used the virtual game; 3) the methodology of the game awakened curiosity in other students as well as in the teacher in charge of the classroom. The game supplied a higher interest in Mathematics, making it funnier a more attractive to the presents. Bringing about a more comfortable environment and promoting a pre-disposition toward learning in the students.

O objetivo principal deste trabalho e descrever os números inteiros que podem ser representados nas formas 9x2+16y2+36z2+16yz+4xz+8xy e 9x2+17y2+ 32z2 - 8yz + 8xz + 6xy. Para isso, utilizamos uma série de resultados envolvendo funções theta, como a identidade do produto triplo de Jacobi e equações modulares. / The main goal of this work is to describe the integers which can be written in the forms 9x2 + 16y2 + 36z2 + 16yz + 4xz + 8xy and 9x2 + 17y2 + 32z2 - 8yz + 8xz + 6xy. To do so, we use a series of results concerning theta functions, such as the Jacobi triple product identity and modular equations.

RÊGO, Francisco Rosiglei do. As dificuldades dos alunos da EEM Virgílio Correia Llima em operações básicas com números naturais, inteiros e racionais. 2014. 69 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará,Juazeiro do Norte, 2014. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-04-22T13:39:19Z No. of bitstreams: 1 2014_dis_frrego.pdf: 2176942 bytes, checksum: 615e2205d8c4b3ab46eefead45c6cc20 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-04-22T13:39:53Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_dis_frrego.pdf: 2176942 bytes, checksum: 615e2205d8c4b3ab46eefead45c6cc20 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-04-22T13:39:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_dis_frrego.pdf: 2176942 bytes, checksum: 615e2205d8c4b3ab46eefead45c6cc20 (MD5) Previous issue date: 2014 / During years of experience in the classroom we face several times with students who have great difficulty in learning mathematics, especially in key operations involving the sets of natural, integers and rational numbers. This paper presents a journey through numerical sets, showing its historical operations and construction, presenting concrete facts of the difficulties encountered by students in basic math operations and statistical data prove that the student enters high school in EEM Virgílio Correia Lima without the domain of fundamental operations. Finally we present arguments that show the main factors that allow our students entering the high school without mastering the fundamental operations, among which we highlight the fact that teachers responsible for mathematics literacy, teachers in early elementary school, are not mathematicians; mathematics teachers from 6th to 9th grade in elementary school does not have adequate training; and the discrepancy between curriculum and workload, because we have a curriculum in elementary school too extensive for a limited workload. / Durante anos de vivência em sala de aula nos deparamos por diversas vezes com alunos que apresentam muita dificuldade de aprendizagem em matemática, principalmente em operações fundamentais envolvendo os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais. Esse trabalho apresenta uma viagem pelos conjuntos numéricos, mostrando sua construção histórica e por suas operações, apresentando fatos concretos das dificuldades encontradas pelos alunos em operações fundamentais da matemática e comprovando com dados estatísticos que o aluno ingressa no Ensino Médio da EEM Virgílio Correia Lima sem o domínio das operações fundamentais. Por último, apresentamos argumentos que mostram os principais fatores que possibilitam nossos alunos ingressarem no Ensino Médio sem dominar as operações fundamentais, entre os quais, destacamos o fato dos professores responsáveis pela alfabetização matemática, professores das séries iniciais do Ensino Fundamental, não serem matemáticos; professores de matemática do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental não terem a formação adequada; e a discrepância entre currículo e carga horária, pois temos um currículo no Ensino Fundamental muito extenso para uma carga horária limitada.

O objetivo principal deste trabalho e descrever os números inteiros que podem ser representados nas formas 9x2+16y2+36z2+16yz+4xz+8xy e 9x2+17y2+ 32z2 - 8yz + 8xz + 6xy. Para isso, utilizamos uma série de resultados envolvendo funções theta, como a identidade do produto triplo de Jacobi e equações modulares. / The main goal of this work is to describe the integers which can be written in the forms 9x2 + 16y2 + 36z2 + 16yz + 4xz + 8xy and 9x2 + 17y2 + 32z2 - 8yz + 8xz + 6xy. To do so, we use a series of results concerning theta functions, such as the Jacobi triple product identity and modular equations.

O objetivo principal deste trabalho e descrever os números inteiros que podem ser representados nas formas 9x2+16y2+36z2+16yz+4xz+8xy e 9x2+17y2+ 32z2 - 8yz + 8xz + 6xy. Para isso, utilizamos uma série de resultados envolvendo funções theta, como a identidade do produto triplo de Jacobi e equações modulares. / The main goal of this work is to describe the integers which can be written in the forms 9x2 + 16y2 + 36z2 + 16yz + 4xz + 8xy and 9x2 + 17y2 + 32z2 - 8yz + 8xz + 6xy. To do so, we use a series of results concerning theta functions, such as the Jacobi triple product identity and modular equations.