Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung generischer Synchronisierungsphänomene in interagierenden komplexen Systemen. Diese Phänomene werden u.a. in gekoppelten deterministischen chaotischen Systemen beobachtet. Bei sehr schwachen Interaktionen zwischen individuellen Systemen kann ein Übergang zum schwach kohärenten Verhalten der Systeme stattfinden. In gekoppelten zeitkontinuierlichen chaotischen Systemen manifestiert sich dieser Übergang durch den Effekt der Phasensynchronisierung, in gekoppelten chaotischen zeitdiskreten Systemen durch den Effekt eines nichtverschwindenden makroskopischen Feldes.<br /> Der Übergang zur Kohärenz in einer Kette lokal gekoppelter Oszillatoren, beschrieben durch Phasengleichungen, wird im Bezug auf die Symmetrien des Systems untersucht. Es wird gezeigt, daß die durch die Symmetrien verursachte Reversibilität des Systems nichttriviale topologische Eigenschaften der Trajektorien bedingt, so daß das als dissipativ konstruierte System in einem ganzen Parameterbereich quasi-Hamiltonische Züge aufweist, d.h. das Phasenvolumen ist im Schnitt erhalten, und die Lyapunov-Exponenten sind paarweise symmetrisch.<br /> Der Übergang zur Kohärenz in einem Ensemble global gekoppelter chaotischer Abbildungen wird durch den Verlust der Stabilität des entkoppelten Zustandes beschrieben. Die entwickelte Methode besteht darin, die Selbstkonsistenz des makroskopischen Feldes aufzuheben, und das Ensemble in Analogie mit einem Verstärkerschaltkreis mit Rückkopplung durch eine komplexe lineare Übertragungssfunktion zu charakterisieren.<br /> Diese Theorie wird anschließend für einige theoretisch interessanten Fälle verallgemeinert. / Subject of this work is the investigation of generic synchronization phenomena in interacting complex systems. These phenomena are observed, among all, in coupled deterministic chaotic systems. At very weak interactions between individual systems a transition to a weakly coherent behavior of the systems can take place. In coupled continuous time chaotic systems this transition manifests itself with the effect of phase synchronization, in coupled chaotic discrete time systems with the effect of non-vanishing macroscopic mean field.<br /> Transition to coherence in a chain of locally coupled oscillators described with phase equations is investigated with respect to the symmetries in the system. It is shown that the reversibility of the system caused by these symmetries results to non-trivial topological properties of trajectories so that the system constructed to be dissipative reveals in a whole parameter range quasi-Hamiltonian features, i.e. the phase volume is conserved on average and Lyapunov exponents come in symmetric pairs.<br /> Transition to coherence in an ensemble of globally coupled chaotic maps is described with the loss of stability of the disordered state. The method is to break the self-consistensy of the macroscopic field and to characterize the ensemble in analogy to an amplifier circuit with feedback with a complex linear transfer function.<br /> This theory is then generalized for several cases of theoretic interest.

Die Covid-19 Pandemie hat gezeigt, wie stark die Ausbreitung von Infektionskrankheiten von der Dynamik der menschlichen Mobilität bestimmt wird. Gleichzeitig eröffnet die anhaltende Explosion an verfügbaren Mobilitätsdaten im 21. Jahrhundert einen viel genaueren Blick auf die menschliche Mobilität. In dieser Arbeit untersuchen wir verschiedene Ansätze, wie moderne Mobilitätsdaten zusammen mit Modellierung ein tieferes Verständnis des Zusammenspiels von menschlicher Mobilität und der Ausbreitung von Infektionskrankheiten ermöglichen. Wir verwenden Mobilitätsdaten um zu zeigen, dass landesweite Mobilitätsmuster während der Covid-19 Pandemie in Deutschland komplexe strukturelle Veränderungen durchlaufen haben. Wir stellen einen räumlich heterogenen Rückgang der Mobilität während Lockdown-Phasen fest. Vor allem beobachten wir, dass ein deutlicher Rückgang der Fernreisen während der Pandemie zu einem lokaleren Netzwerk und einer Abschwächung des “Small-World”-Effekts führt. Wir zeigen, dass diese strukturellen Veränderungen einen erheblichen Einfluss auf die Ausbreitungsdynamik von Epidemien haben, indem sie die epidemische Kurve abflachen und die Ausbreitung in geografisch weit entfernte Regionen verzögern. Des Weiteren entwickeln wir eine neue Methode zur Bestimmung des Ausbruchsursprungs anhand von hochaufgelösten geografischen Bewegungsdaten. Abschließend untersuchen wir, wie repräsentativ Mobilitätsdatensätze für das tatsächliche Reiseverhalten einer Bevölkerung sind. Wir identifizieren verschieden Arten von Verzerrungen, zeigen ihre Spuren in empirischen Datensätzen, und entwickeln einen mathematischen Rahmen um diese Verzerrungen abzuschwächen. Wir hoffen, dass unsere Studien in dieser Arbeit sich als hilfreiche Bausteine erweisen für ein einheitliches Verständnis von menschlicher Mobilität und der Dynamik von Infektionskrankheiten. / The Covid-19 pandemic demonstrated how strongly infectious disease spread is driven by the dynamics of human mobility. At the same time, the ongoing explosion of available mobility data in the 21st century opens up a much finer view of human mobility. In this thesis, we investigate several ways in which modern mobility data sources and modeling enable a deeper understanding of the interplay of human mobility and infectious disease spread. We use large-scale mobility data captured from mobile phones to show that country-wide mobility patterns undergo complex structural changes during the Covid-19 pandemic in Germany. Most prominently, we observe that a distinct reduction in long-distance travel during the pandemic leads to a more local, clustered network and a moderation of the “small-world” effect. We demonstrate that these structural changes have a considerable effect on epidemic spreading processes by “flattening” the epidemic curve and delaying the spread to geographically distant regions. Further, we show that high-resolution mobility data can be used for early outbreak detection. We develop a novel method to determine outbreak origins from geolocated movement data of individuals affected by the outbreak. We also present several practical applications that have been developed based on the above research. To further explore the question of applicability, we examine how representative mobility datasets are of the actual travel behavior of a population. We develop a mathematical framework to mitigate these biases, and use it to show that biases can severely impact outcomes of dynamic processes such as epidemic simulations, where biased data incorrectly estimates the severity and speed of disease transmission. We hope that our studies in this thesis will prove as helpful building blocks to assemble the emerging, unified understanding of mobility and infectious disease dynamics.

Komplexe Systeme wie das Klima der Erde bestehen aus vielen Komponenten, die durch eine komplizierte Kopplungsstruktur miteinander verbunden sind. Für die Analyse solcher Systeme erscheint es daher naheliegend, Methoden aus der Netzwerktheorie, der Theorie dynamischer Systeme und dem maschinellen Lernen zusammenzubringen. Durch die Kombination verschiedener Konzepte aus diesen Bereichen werden in dieser Arbeit drei neuartige Ansätze zur Untersuchung komplexer Systeme betrachtet. Im ersten Teil wird eine Methode zur Konstruktion komplexer Netzwerke vorgestellt, die in der Lage ist, Windpfade des südamerikanischen Monsunsystems zu identifizieren. Diese Analyse weist u.a. auf den Einfluss der Rossby-Wellenzüge auf das Monsunsystem hin. Dies wird weiter untersucht, indem gezeigt wird, dass der Niederschlag mit den Rossby-Wellen phasenkohärent ist. So zeigt der erste Teil dieser Arbeit, wie komplexe Netzwerke verwendet werden können, um räumlich-zeitliche Variabilitätsmuster zu identifizieren, die dann mit Methoden der nichtlinearen Dynamik weiter analysiert werden können. Die meisten komplexen Systeme weisen eine große Anzahl von möglichen asymptotischen Zuständen auf. Um solche Zustände zu beschreiben, wird im zweiten Teil die Monte Carlo Basin Bifurcation Analyse (MCBB), eine neuartige numerische Methode, vorgestellt. Angesiedelt zwischen der klassischen Analyse mit Ordnungsparametern und einer gründlicheren, detaillierteren Bifurkationsanalyse, kombiniert MCBB Zufallsstichproben mit Clustering, um die verschiedenen Zustände und ihre Einzugsgebiete zu identifizieren. Bei von Vorhersagen von komplexen Systemen ist es nicht immer einfach, wie Vorwissen in datengetriebenen Methoden integriert werden kann. Eine Möglichkeit hierzu ist die Verwendung von Neuronalen Partiellen Differentialgleichungen. Hier wird im letzten Teil der Arbeit gezeigt, wie hochdimensionale räumlich-zeitlich chaotische Systeme mit einem solchen Ansatz modelliert und vorhergesagt werden können. / Complex systems such as the Earth's climate are comprised of many constituents that are interlinked through an intricate coupling structure. For the analysis of such systems it therefore seems natural to bring together methods from network theory, dynamical systems theory and machine learning. By combining different concepts from these fields three novel approaches for the study of complex systems are considered throughout this thesis. In the first part, a novel complex network construction method is introduced that is able to identify the most important wind paths of the South American Monsoon system. Aside from the importance of cross-equatorial flows, this analysis points to the impact Rossby Wave trains have both on the precipitation and low-level circulation. This connection is then further explored by showing that the precipitation is phase coherent to the Rossby Wave. As such, the first part of this thesis demonstrates how complex networks can be used to identify spatiotemporal variability patterns within large amounts of data, that are then further analysed with methods from nonlinear dynamics. Most complex systems exhibit a large number of possible asymptotic states. To investigate and track such states, Monte Carlo Basin Bifurcation analysis (MCBB), a novel numerical method is introduced in the second part. Situated between the classical analysis with macroscopic order parameters and a more thorough, detailed bifurcation analysis, MCBB combines random sampling with clustering methods to identify and characterise the different asymptotic states and their basins of attraction. Forecasts of complex system are the next logical step. When doing so, it is not always straightforward how prior knowledge in data-driven methods. One possibility to do is by using Neural Partial Differential Equations. Here, it is demonstrated how high-dimensional spatiotemporally chaotic systems can be modelled and predicted with such an approach in the last part of the thesis.

Ride sharing—the bundling of simultaneous trips of several people in one vehicle—may help to reduce the carbon footprint of human mobility. However, the complex collective dynamics pose a challenge when predicting the efficiency and sustainability of ride sharing systems. Standard door-to-door ride sharing services trade reduced route length for increased user travel times and come with the burden of many stops and detours to pick up individual users. Requiring some users to walk to nearby shared stops reduces detours, but could become inefficient if spatio-temporal demand patterns do not well fit the stop locations. Here, we present a simple model of dynamic stop pooling with flexible stop positions. We analyze the performance of ride sharing services with and without stop pooling by numerically and analytically evaluating the steady state dynamics of the vehicles and requests of the ride sharing service. Dynamic stop pooling does a priori not save route length, but occupancy. Intriguingly, it also reduces the travel time, although users walk parts of their trip. Together, these insights explain how dynamic stop pooling may break the trade-off between route lengths and travel time in door-to-door ride sharing, thus enabling higher sustainability and service quality.