The apoptosis and dysfunction of vascular smooth muscle cells in the human descending thoracic aorta is often associated with cardiovascular diseases like aortic dissection and aneurysms. Knowledge of the mechanical effects of contractile smooth muscle cells plays a crucial role in the understanding these potentially lethal conditions. Located in the medial layer, vascular smooth muscle cells are arranged in the so-called herringbone pattern. In regards to the mechanics of the aorta, the consequences of this type of anisotropy have not been fully discussed in literature so far. In this end, a novel hyperelastic constitutive law is proposed which accounts for the dispersive, transmural alignment of vascular smooth muscle cells and their characteristic length-tension behaviour. The model is calibrated with experimental data and is applied to the simulation of an aortic ring under in vivo conditions. By approximating the geometry of the aorta as a layered, thick-walled cylinder, the corresponding quasistatic, mechanical boundary value problem is solved semi-analytically. It is shown that the herringbone pattern induces shear deformation and equalises the normal stress gradients in the aortic wall. Since arterial vessels are able to actively adapt and alter the alignment and activity of smooth muscle cells, the existence of the herringbone pattern is in accordance with Fung's principle of optimal operation.

Gegenstand dieser Arbeit ist die Bereitstellung eines geeigneten Simulationswerkzeuges für die numerische Untersuchung der beim Rollkontakt zwischen Rad und Schiene auftretenden Phänomene. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf der kontinuumsmechanischen Formulierung des mechanischen Feldproblems kontaktierender Körper sowie dessen numerischer Lösung mittels der Finite-Element-Methode. Zur Reduzierung des bei der Simulation von Rollkontakt aus der notwendigen sehr feinen Diskretisierung der Kontaktgebiete resultierenden numerischen Aufwandes wird eine relativkinematische Beschreibung herangezogen. Diese gemischte LAGRANGE-EULER-Betrachtungsweise beruht auf der Zerlegung der Bewegung in einen Starrkörperanteil und eine dazu relative Deformation. Die Herleitung der Bewegungsgleichung für das Kontaktproblem erfordert die relativkinematische Formulierung der kontinuumsmechanischen Grundgleichungen, d.h. der Bilanzgleichungen sowie der konstitutiven Beziehungen. Eine geeignete Kontaktmechanik einschließlich der Berücksichtigung des Kontakts rauer Oberflächen und veränderlicher Kontaktrandbedingungen ist ebenfalls notwendig. Die physikalische Einbindung der Körper in die Umgebung erfolgt über NEUMANNsche und DIRICHLETsche Randbedingungen. Auf dieser Basis können die Bewegungsgleichungen der Elastomechanik hergeleitet werden, welche sich jedoch einer analytischen Lösung verschließen. Somit werden sie in ihrer schwachen Form im integralen Mittel formuliert, was der Anwendung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen als Ausgangspunkt für die numerische Lösung entspricht. Die rechentechnische Umsetzung erfordert die inkrementelle und diskrete Formulierung der Bewegungsgleichungen unter besonderer Beachtung der Trägheits-und Kontaktterme, wobei auf die Unterscheidung zwischen Haften und Gleiten beim Tangentialkontakt besonderes Augenmerk gelegt wird. Die numerische Lösung des Finite-Element-Gleichungssystems liefert den aktuellen Beanspruchungszustand zweier Körper im Rollkontakt. Die Funktionsfähigkeit der entwickelten Algorithmen wird abschließend anhand aussagekräftiger Beispielrechnungen zum statischen Kontakt und zum stationären Rollkontakt demonstriert, deren Ergebnisse gute Übereinstimmung mit analytischen Vergleichslösungen, soweit verfügbar, aufweisen. / Scope of this work is the preparation of a suitable simulation tool for the numerical investigation of rolling contact phenomena. The main focus lies on the continuum–mechanical formulation of the mechanical field problem of contacting bodies and its numerical solution within the framework of the Finite Element Method. For reducing the numerical effort in rolling contact simulation, induced by the necessity of a very fine discretization within the expected contact area, a relative–kinematical description is utilized. This arbitrary LAGRANGian–EULERian approach is based upon the decomposition of the total motion into a rigid body motion and a superimposed deformation. The derivation of the equation of motion for the contact problem requires the relative–kinematical formulation of the continuum–mechanical fundamental equations, i. e. the balance equations and the constitutive relations. A suitable contact model including the contact of rough surfaces and varying contact boundary conditions is also necessary. The physical embedding into the environment is accomplished by NEUMANN and DIRICHLET boundary conditions. Based upon that foundation the elastomechanics’ equations of motion are derived, which however can not be solved analytically in general. Hence, the equations of motion are transferred into their weak form by the application of the principle of virtual displacements serving for the numerical solution. The implementation of the problem demands for an incremental and discrete formulation of the equations, especially regarding the terms of inertia and the contact terms. Thereby, special attention has to be paid to the distinction between sticking and sliding within the framework of the tangential contact analysis. The numerical solution of the finite elements’ system of equations provides the state of stress, displacement and contact of two bodies in rolling contact. The reliability of the developed algorithms is finally verified by means of meaningful numerical examples for both static contact and for stationary rolling contact, whereby the numerical results coincide well with available analytical reference solutions.

In der vorliegenden Dissertation wird auf der Grundlage einer kontinuumsmechanischen Herangehensweise die Formulierung eines mechanischen Modells in Verbindung mit der Umsetzung in ein Schalenelement im Rahmen der Finite-Element-Methode zur Simulation des Tragverhaltens geschichteter Flächentragwerksstrukturen unter Berücksichtigung der Schädigungsart Delamination vorgestellt. Grundlage des Mehrschichten-Modells ist die Entwicklung einer geometrisch nichtlinearen oberflächenorientierten Schalentheorie mit schub- und dickenelastischem Verhalten ausgehend von der vollständigen Kinematik einer Multidirektor-Theorie. Der Oberflächenbezug gewährleistet eine auf Kontaktprobleme angepasste mechanische Modellbildung. Innerhalb der Schichten wurde ein Materialgesetz für linear elastisches, orthotropes Material verwendet, dessen Dreidimensionalität durch die Schalenformulierung nicht eingeschränkt wird. Das Hauptaugenmerk der Arbeit liegt auf der Entwicklung eines auf verschiedene Materialien anpassbaren Schichten-Verbundmodells. Das Versagen des Schichtenverbundes – Delamination genannt – wurde durch ein einfaches Spannungskriterium beschrieben. Die Delamination wird durch Modifikation der kinematischen Bedingungen diskret berücksichtigt. Zur Beschreibung des Tragverhaltens nach Ausbildung der Delamination wurde ein als „innerer Kontakt“ bezeichnetes Kontakt-Modell entwickelt, durch das Adhäsion zwischen den Schichten berücksichtigt werden kann. Das vorliegende Schalenmodell kann bei Berücksichtigung von Delamination auf Probleme, in denen kleine Relativverschiebungen zu erwarten sind, für beliebige elastische Materialien angewendet werden. Der Rahmen, in dem diese Arbeit entstand, gab den hauptsächlichen Einsatzbereich, die Simulation von Flächentragwerksstrukturen mit einer Verstärkungsschicht aus textilbewehrtem Feinbeton, vor. / This publication introduces, in a continuum-mechanical approach, the formulation of a mechanical model in connection with the transformation into a shell element using the finite element method for the simulation of the load-bearing behaviour of laminated shell structures thereby considering delamination as a type of damage. This multi-layer model is based upon the development of a geometrically nonlinear surface-related shell theory with shear-elastic behaviour and variable thickness, beginning with the complete kinematics of a multi-director theory. The surface relationship ensures a mechanical modelling which is adaptable for contact problems. A linear-elastic orthotropic material law, whose three-dimensionality is not restricted by the shell formulation, applies within the layers. The main focus of the thesis is on the development of a layer-bond model that can be adjusted for different materials. The debonding of layers – called delamination – is described by a simple stress criterion. Delamination is discretely taken into account by modifying the kinematic conditions. A contact model, called „inner contact“, that can be used to account for adhesion between layers, has been developed to describe the load-bearing behaviour after delamination has occurred. The present shell model is restricted to elastic material behaviour and can preferably be applied to such problems where small relative displacements are expected. The environment, in which this research has been conducted, established the primary of application area, which is the simulation of shell structures within a strengthening layer comprised of textile-reinforced concrete.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der kontinuumsmechanischen Formulierung des Aushärteverhaltens polymerer Werkstoffe sowie der Implementierung und Simulation von Aushärtestoffgesetzen im Rahmen der Finite-Elemente-Methode. Auf Basis eines allgemeinen Modellierungsrahmens wird ein konkretisiertes Stoffgesetz für die Nachbildung von Aushärteprozessen eines acrylischen Knochenzements entwickelt. Darüber hinaus werden verschiedene Finite-Elemente-Simulationen zum klinischen Verfahren der Vertebroplastie präsentiert. / This work deals with the continuum mechanical formulation of curing phenomena in polymers as well as the implementation and simulation of curing models within the finite element method. Based on a general modelling framework, a specified material model for the simulation of curing processes in an acrylic bone cement is developed. Moreover, different finite element simulations regarding the clinical procedure of vertebroplasty are presented.

Die vorliegende Arbeit stellt eine mehrskalige Modellierungs-Strategie für die Beschreibung magnetorheologischer Elastomere (MRE) vor. Diese ermöglicht die Betrachtung von MRE sowohl auf der Mikroskala, wo die heterogene Mikrostruktur bestehend aus Partikeln und Matrix explizit aufgelöst ist, als auch auf der Makroskala, in welcher das MRE als homogener magnetisch aktiver Körper aufzufassen ist. Auf beiden Skalen kommt dabei eine Kontinuumsformulierung des gekoppelten magneto-mechanischen Feldproblems mit Gültigkeit für finite Deformationen zum Einsatz, wobei die Lösung des Systems partieller Differentialgleichungen mittels der Finite-Elemente-Methode erfolgt. Ausgehend von einer experimentellen Charakterisierung der Konstituenten werden Materialmodelle für die elastomere Matrix sowie Carbonyleisen- und Neodym-Eisen-Bor-Partikel formuliert und mittels dieser Daten kalibriert. Im nächsten Schritt erfolgt die Analyse des effektiven Verhaltens hart- und weichmagnetischer MRE auf Basis von numerischen Homogenisierungen verschiedener mikroskopischer Partikelverteilungen und den Materialmodellen für die Konstituenten. Um weiterhin die effiziente Simulation makroskopischer MRE-Proben und -Bauteile zu ermöglichen, ist daran anschließend die Entwicklung und Parametrisierung eines Makromodells ausgehend von mikroskopisch generierten Datensätzen beschrieben. Mit diesem für isotrope, weichmagnetische und elastische MRE gültigen Modell werden abschließend Simulationen des magnetostriktiven sowie des magnetorheologischen Effektes verschiedener Proben durchgeführt. / In this contribution, a strategy for the multiscale modeling of magnetorheological elastomers (MREs) is presented. It allows to consider these materials on the microscopic scale, where the heterogeneous microstructure consisting of an elastomer matrix and embedded magnetizable particles is explicitly resolved, as well as the macroscopic scale, where the MRE is considered to be a homogeneous magneto-active body. On both scales, a continuum formulation of the coupled magneto-mechanical boundary value problem valid for finite strains is applied. The solution of the system of partial differential equations is calculated by using the finite element method. Starting with an experimental characterization of the individual constituents, constitutive models for the elastomer matrix as well as carbonyl iron and neodymium-iron-boron particles are formulated and adjusted to experimental data. In a next step, basic effective properties of magnetically soft and hard MREs are analyzed by using a computational homogenization scheme, where different geometrical arrangements of the particles on the microscale are considered. In order to enable the efficient simulation of macroscopic MRE samples and components, the developement and parametrization of a macroscopic model based on a microscopically generated data basis is described. With this model which is applicable for isotropic, magnetically soft and elastic MREs, simulations of the magnetostrictive and magnetorheological effects of several sample geometries are performed.

Gesintertes Silber (SAG) stellt eines der vielversprechendsten Materialien für Hochtemperaturanwendungen in der Leistungselektronik dar. Im Vergleich zu konventionellen Loten sind die mechanischen und thermischen Vorteile enorm, allerdings hochgradig prozessabhängig. Zusammen mit den relativ zeitintensiven Ermüdungstestmethoden ist das die Ursache, dass es aktuell nur wenige Lebensdauermodelle dazu gibt. In dieser Arbeit wird am Beispiel solcher SAG-Proben ein mechanisch beschleunigter, isothermer Biegeversuch vorgestellt, welcher das Potenzial hat, die zeitkritischen Temperatur- oder Lastwechselversuche zu ersetzen. Zum Vergleich wurde ein Temperaturwechseltest als Referenzversuch durchgeführt. Hierzu wird zunächst der Stand der Technik des Silber-Sinterns aufgezeigt, wobei der Schwerpunkt auf der mechanischen Materialcharakterisierung liegt.Wo das elastische Verhalten als näherungsweise allein porositätsabhängig gelten kann, ist die inelastische Dehnung noch unzureichend untersucht. Besonders die zeitabhängige inelastische Dehnung (Kriechen) zeigt noch kein vollständig konsistentes Bild, wodurch auch die Fehlermechanismen und deren Gewichtung noch nicht grundsätzlich als geklärt gelten können. Die gängigsten Belastungstests, welche in der Literatur zu finden sind, haben schwerwiegende Nachteile. Der hohe Zeitbedarf, die teils schwer quantifizierbaren Fehlerparameter und die fehlende Einstellmöglichkeit des Verhältnisses Kriechdehnung zu plastischer Dehnung sind hier im Besonderen zu nennen. Der rein dehnungsgesteuerte Biegeversuch hat diese Nachteile nicht. Über die Biegegeschwindigkeit ließe sich der Kriechanteil nahezu beliebig erhöhen (ggf. unter Nutzung von Haltezeiten). Die Biegeversuche wurden isotherm bei fünf Temperaturen von 22◦C bis 125◦C mit je drei Amplituden und drei Biegegeschwindigkeiten durchgeführt. Schlecht gesinterte Proben machten sich reproduzierbar als Frühausfall bemerkbar, so dass sich die Methode bereits gleich zu Beginn als hervorragender Qualitätstest bewährte. In puncto Ermüdung konnte ein stabiles und reproduzierbares Ausfallverhalten in Form von vergleichbaren Weibull-Formfaktoren und Ausfallbildern in den metallografischen Schliffen gefunden werden. Mit den Daten der Biegeversuche wurde ein fehlerphysikalisches Lebensdauermodell (Coffin-Manson) aufgestellt, welches erfolgreich den Ausfall des Temperaturwechseltests als Referenzversuch vorhersagen konnte. / Sintered silver (SAG) as die attach material is one of the promising solutions to exploit the advantages of high-gap semiconductors in power electronics. The mechanical and thermal properties are far superior to solders, but severely process-dependent. Combined with the time requirements of the state of the art (SoA) fatigue test methods this is most likely the reason for the lack of profound reliability studies yet. This thesis presents an isothermal bending test, which has the ability to replace the time-consuming thermal shock test as primary fatigue experiment for physics of failure based (PoF) lifetime models. A benchmark against a conventional thermal cycling test was done. The state of the art of the silver-sintering technique will be given with focus on the mechanical material characterization. While the elastic properties are mostly porosity-dependent, the inelastic properties are insufficiently examined yet. Especially the creep does not show a consistent image, what leads to many questions regarding the failure mechanism. The most common fatigue tests in the literature do have serious disadvantages. The time-consumption is high, the failure parameter can hardly be quantified and the ratio of plasticity to creep cannot be adjusted easily. The pure mechanical bending test does not have those disadvantages. By changing the bending-speed and the addition of holding times, the creep can be adjusted almost at will. The bending-experiments were conducted at five different temperatures between 22°C and 125°C and with three bending amplitudes as well as three speeds. Insufficiently sintered samples could be identified very early. This already proofed the value of the test as a quality test. Furthermore, a stable and repeatable fatigue behaviour could be observed, what was given by stable Weibull-exponents and repeatable cross sections. A lifetime-model was established by usage of the bending-test-data, what eventually predicted successfully the lifetime of a thermal cycling reference test.

The aim of this thesis is the fast and exact simulation of modern materials like fibre reinforced thermoplastics and fibre reinforced elastomers. These simulations are in the scope of large strain deformations and contain anisotropic and viscoelastic behaviour. The chapter Differential geometry outlines the necessary tensor analysis and differential geometry. We present the weak formulation in the undeformed domain and use Newton’s method to approximate the solution of this formulation, cf. Section 3.1 and Chapter 4, respectively. For the viscoelasticity we use a special ansatz for the internal variable. Next, we compute all necessary derivations for the Newton system, cf. Sections 4.2 and 4.3. We also investigate the symmetry of the material tensors in Section 4.4. Further, we present three methods to improve the convergence of Newton’s method, cf. Section 4.5. With these three methods we are able to consider more problems, compute them faster and in a more robust way. In Chapter 5 we concisely discuss the FEM and show the appearing matrices in detail. The aim of Chapter 6 is the application of the a posteriori error estimator to this complex material behaviour. We present some numerical examples in Chapter 7. In Chapter 8 the problems that arise in the simulation of fibre-reinforced elastomers are analysed and tackled with help of mixed formulations. We derive a symmetric mixed formulation from a reduced form of the energy density. Also, we reformulate the mixed variable for inextensibility to avoid the numerical cancellation in Section 8.3. The Section 8.4 is about a joined mixed formulation to solve problems with inextensible fibres in an incompressible matrix, like fibre-reinforced rubber. The succeeding section Section 8.5 deals with the arising indefinite block matrix system.:Contents Glossary 5 1 Introduction – motivation 13 2 Differential geometry 15 2.1 From parametrisations to the Lagrangian strain 15 2.2 Derivatives of tensors 20 3 Physical foundations 25 3.1 Large Deformation 25 3.1.1 Balance of forces 25 3.1.2 Energy minimisation 28 3.2 Anisotropic energy density 29 3.3 Viscoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4 Newton’s method 37 4.1 Newton system 37 4.2 Anisotropic material tensor 40 4.3 Viscoelastic material tensor 41 4.4 Symmetry of the material tensor 44 4.5 Load steps and line-search 47 4.5.1 Load steps – time steps 47 4.5.2 Backtracking for det ℱ > 0 48 4.5.3 Line search for energy minimisation 49 5 Implementation 53 5.1 Numerical Integration 53 5.2 Finite element discretisation 54 5.3 Voigt notation 56 6 Mesh control 65 7 Numerical results 69 7.1 Semi-analytical example 69 7.2 Cook’s membrane 71 7.2.1 Viscoelastic example 72 7.3 Chemnitz hook – Chemnitzer Haken 72 8 Mixed formulation 75 8.1 Motivation 75 8.2 General considerations 78 8.3 Smooth square root 81 8.4 Joined mixed formulation 84 8.5 Matrix representation 86 9 Conclusion 91 10 Theses 93 11 Appendix 95 11.1 Derivatives of the distortion-invariants with respect to the pseudo invariants 95 Bibliography 101

Gegenstand dieser Arbeit ist die Bereitstellung eines geeigneten Simulationswerkzeuges für die numerische Untersuchung der beim Rollkontakt zwischen Rad und Schiene auftretenden Phänomene. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf der kontinuumsmechanischen Formulierung des mechanischen Feldproblems kontaktierender Körper sowie dessen numerischer Lösung mittels der Finite-Element-Methode. Zur Reduzierung des bei der Simulation von Rollkontakt aus der notwendigen sehr feinen Diskretisierung der Kontaktgebiete resultierenden numerischen Aufwandes wird eine relativkinematische Beschreibung herangezogen. Diese gemischte LAGRANGE-EULER-Betrachtungsweise beruht auf der Zerlegung der Bewegung in einen Starrkörperanteil und eine dazu relative Deformation. Die Herleitung der Bewegungsgleichung für das Kontaktproblem erfordert die relativkinematische Formulierung der kontinuumsmechanischen Grundgleichungen, d.h. der Bilanzgleichungen sowie der konstitutiven Beziehungen. Eine geeignete Kontaktmechanik einschließlich der Berücksichtigung des Kontakts rauer Oberflächen und veränderlicher Kontaktrandbedingungen ist ebenfalls notwendig. Die physikalische Einbindung der Körper in die Umgebung erfolgt über NEUMANNsche und DIRICHLETsche Randbedingungen. Auf dieser Basis können die Bewegungsgleichungen der Elastomechanik hergeleitet werden, welche sich jedoch einer analytischen Lösung verschließen. Somit werden sie in ihrer schwachen Form im integralen Mittel formuliert, was der Anwendung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen als Ausgangspunkt für die numerische Lösung entspricht. Die rechentechnische Umsetzung erfordert die inkrementelle und diskrete Formulierung der Bewegungsgleichungen unter besonderer Beachtung der Trägheits-und Kontaktterme, wobei auf die Unterscheidung zwischen Haften und Gleiten beim Tangentialkontakt besonderes Augenmerk gelegt wird. Die numerische Lösung des Finite-Element-Gleichungssystems liefert den aktuellen Beanspruchungszustand zweier Körper im Rollkontakt. Die Funktionsfähigkeit der entwickelten Algorithmen wird abschließend anhand aussagekräftiger Beispielrechnungen zum statischen Kontakt und zum stationären Rollkontakt demonstriert, deren Ergebnisse gute Übereinstimmung mit analytischen Vergleichslösungen, soweit verfügbar, aufweisen. / Scope of this work is the preparation of a suitable simulation tool for the numerical investigation of rolling contact phenomena. The main focus lies on the continuum–mechanical formulation of the mechanical field problem of contacting bodies and its numerical solution within the framework of the Finite Element Method. For reducing the numerical effort in rolling contact simulation, induced by the necessity of a very fine discretization within the expected contact area, a relative–kinematical description is utilized. This arbitrary LAGRANGian–EULERian approach is based upon the decomposition of the total motion into a rigid body motion and a superimposed deformation. The derivation of the equation of motion for the contact problem requires the relative–kinematical formulation of the continuum–mechanical fundamental equations, i. e. the balance equations and the constitutive relations. A suitable contact model including the contact of rough surfaces and varying contact boundary conditions is also necessary. The physical embedding into the environment is accomplished by NEUMANN and DIRICHLET boundary conditions. Based upon that foundation the elastomechanics’ equations of motion are derived, which however can not be solved analytically in general. Hence, the equations of motion are transferred into their weak form by the application of the principle of virtual displacements serving for the numerical solution. The implementation of the problem demands for an incremental and discrete formulation of the equations, especially regarding the terms of inertia and the contact terms. Thereby, special attention has to be paid to the distinction between sticking and sliding within the framework of the tangential contact analysis. The numerical solution of the finite elements’ system of equations provides the state of stress, displacement and contact of two bodies in rolling contact. The reliability of the developed algorithms is finally verified by means of meaningful numerical examples for both static contact and for stationary rolling contact, whereby the numerical results coincide well with available analytical reference solutions.

Im Rahmen der geometrisch und physikalisch nichtlinearen Kontinuumsmechanik werden Beobachterkonzepte und Darstellungsformen tensorieller Größen diskutiert und zum Teil neu eingeführt, die insbesondere die Modellierung und FEM-Implementierung komplizierter Modelle für inelastisches Materialverhalten bei großen Deformationen wirkungsvoll unterstützen. / Observer concepts and several kinds of representations of tensorial quantities are discussed and partly introduced within the framework of geometrically und physically nonlinear continuum mechanics. They are intended to support the modelling of complicated inelastic materials undergoing large deformations.

Im Rahmen der geometrisch und physikalisch nichtlinearen Kontinuumsmechanik werden Beobachterkonzepte und Darstellungsformen tensorieller Größen diskutiert und zum Teil neu eingeführt, die insbesondere die Modellierung und FEM-Implementierung komplizierter Modelle für inelastisches Materialverhalten bei großen Deformationen wirkungsvoll unterstützen. / Observer concepts and several kinds of representations of tensorial quantities are discussed and partly introduced within the framework of geometrically und physically nonlinear continuum mechanics. They are intended to support the modelling of complicated inelastic materials undergoing large deformations.