In this thesis, we investigate several topics pertaining to emergent collective quantum phenomena in the domain of correlated fermions, using the quantum Monte Carlo method. They display exotic low temperature phases as well as phase transitions which are beyond the Landau–Ginzburg theory. The interplay between three key points is crucial for us: fermion statistics, many body effects and topology. We highlight the following several achievements: 1. Successful modeling of continuum field theories with lattice Hamiltonians, 2. their sign-problem-free Monte Carlo simulations of these models, 3. and numerical results beyond mean field descriptions. First, we consider a model of Dirac fermions with a spin rotational invariant inter- action term that dynamically generates a quantum spin Hall insulator. Surprisingly, an s-wave superconducting phase emerges due to the condensation of topological de- fects of the spin Hall order parameter. When particle-hole symmetry is present, the phase transition between the topological insulator and the superconducting phase is an example of a deconfined quantum critical point(DQCP). Although its low energy effec- tive field theory is purely bosonic, the exact conservation law of the skyrmion number operator rules out the possibility of realizing this critical point in lattice boson models. This work is published in Ref. [1]. Second, we dope the dynamically generated quantum spin Hall insulator mentioned above. Hence it is described by a field theory without Lorentz invariance due to the lack of particle-hole symmetry. This sheds light on the extremely hot topic of twisted bilayergraphene: Why is superconductivity generated when the repulsive Coulomb interaction is much stronger than the electron-phonon coupling energy scale? In our case, Cooper pairs come from the topological skyrmion defects of the spin current order parameter, which are charged. Remarkably, the nature of the phase transition is highly non-mean-field-like: one is not allowed to simply view pairs of electrons as single bosons in a superfluid-Mott insulator transition, since the spin-current order parameter can not be ignored. Again, due to the aforementioned skyrmions, the two order parameters are intertwined: One phase transition occurs between the two symmetry breaking states. This work is summarized in Ref. [2]. Third, we investigate the 2 + 1 dimensional O(5) nonlinear sigma model with a topological Wess-Zumino-Witten term. Remarkably, we are able to perform Monte Carlo calculations with a UV cutoff given by the Dirac Landau level quantization. It is a successful example of simulating a continuous field theory without lattice regularization which leads to an additional symmetry breaking. The Dirac background and the five anti-commuting Dirac mass terms naturally introduce the picture of a non-trivial Berry phase contribution in the parameter space of the five component order parameter. Using the finite size scaling method given by the flux quantization, we find a stable critical phase in the low stiffness region of the sigma model. This is a candidate ground state of DQCP when the O(5) symmetry breaking terms are irrelevant at the critical point. Again, it has a bosonic low energy field theory which is seemingly unable to be realized in pure boson Hamiltonians. This work is summarized in Ref. [3]. / In dieser Arbeit untersuchen wir verschiedene Themen über emergente kollektive Quan- tenphänomene im Bereich der korrelierten Fermionen unter Verwendung der Quanten- Monte-Carlo-Methode. Sie zeigen sowohl exotische Tieftemperaturphasen als auch Phasenübergänge, die jenseits der Landau-Ginzburg-Theorie liegen. Das Zusammen- spiel von drei Schlüsselpunkten ist für uns entscheidend: Fermionenstatistik, Vielteilch- eneffekte und Topologie. Es sind bemerkenswerte Erfolge erzielt worden: 1. Erfolgre- iche Modellierung mehrerer kontinuierlicher Feldtheorien über Gitter-Hamiltonians. 2. Vorzeichenproblem-freie Monte-Carlo-Simulation von ihnen. 3. Numerische Ergebnisse jenseits des Molekularfeld-Verständnisses. Zunächst betrachten wir ein Modell von Dirac-Fermionen mit einem spinrotations- invarianten Wechselwirkungsterm, der dynamisch einen Quanten-Spin-Hall-Zustand erzeugt. Überraschenderweise entsteht eine s-Wellen-supraleitende Phase durch die Kondensation von topologischen Defekten des Spin-Hall-Ordnungsparameters. Wenn Teilchen-Loch-Symmetrie vorhanden ist, ist dieser Phasenübergang zwischen topologis- chem Isolator und Supraleiter ein Beispiel für einen dekondefinierten quantenkritischen Punkt (DQCP). Obwohl seine niedrigenergetische effektive Feldtheorie rein bosonisch ist, schließt der exakte Erhaltungssatz des Skyrmionenzahloperators die Möglichkeit aus, diesen kritischen Punkt in Gitter-Boson-Modellen zu realisieren. Diese Arbeit ist veröffentlicht in Ref. [1]. Zweitens dotieren wir den dynamisch erzeugten Quanten-Spin-Hall-Isolator von oben. Er wird aufgrund der fehlenden Teilchen-Loch-Symmetrie durch eine Feldtheorie ohne Lorenzt-Invarianz beschrieben. Dies wirft ein Licht auf das extrem heiße Thema des verdrehten Doppelschichtgraphens: Warum wird Supraleitung erzeugt, wenn die ab- stoßende Coulombwechselwirkung viel stärker ist als die Elektron-Phonon Kopplungsen- ergie? In unserem Fall kommen Kupferpaare aus den topologischen Skyrmiondefekten der Parameter der Spinstromordnung, die geladen sind. Bemerkenswerterweise ist die Art des Phasenübergangs in hohem Maße nicht molekularfeldartig: Es ist nicht erlaubt, ein Elektronenpaar einfach als einzelnes Boson in einem Superfluid-Mott- Isolator-Übergang zu betrachten, da der Parameter der Spin-Strom-Ordnung nicht ignoriert werden kann. Wiederum aufgrund der oben erwähnten Skyrimionen, sind zwei Ordnungsparameter miteinander verbunden: ein Phasenübergang findet zwischen den beiden Zuständen mit gebrochener Symmetrie statt. Diese Arbeit ist in Ref. [2]. Drittens untersuchten wir das 2 + 1-dimensionale nichtlineare O(5)-Sigma-Modell mit einem topologischen Wess-Zumino-Witten-Term. Bemerkenswerterweise sind wir in der Lage, Monte-Carlo-Berechnungen durchzuführen, mit UV-Cutoff gegeben durch die Quantifizierung der Dirac-Landau-Ebenen. Es ist ein erfolgreiches Beispiel für die Simulation einer kontinuierlichen Feldtheorie ohne Gitterregularisierung, die zu zusätzlichen Symmetriebrechungen führt. Der Dirac-Hintergrund und die 5 antikom- mutiernenden Dirac-Massenterme führen natürlich das Bild eines nicht-trivialen Berryphasen Beitrags im Parameterraum des Ordnungsparameters mit fünf Komponenten ein. Unter Verwendung der Methode der endlichen Größenskalierung, die durch Flussquantisierung gegeben ist, fanden wir eine stabile kritische Phase im Bereich der niedrigen Steifigkeit des Sigma-Modells. Dies ist ein Kandidat für den Grundzustand des DQCP, wenn die O(5)-Symmetrie brechenden Terme am kritischen Punkt irrelevant sind. Auch hier handelt es sich um eine niedrigenergetische bosonische Feldtheorie, die scheinbar durch reine Boson-Hamiltonians nicht realisiert werden kann. Diese Arbeit ist in Ref. [3].

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge sollen erstmals in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht werden. Eine jährliche Fortsetzung ist geplant. Der 9. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 29.09.2003 bis zum 01.10.2003 in Bärenstein statt.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit asymptotischen Entwicklungen höherer Ordnung für zweite Momente von Zufallsvariablen bzw. Zufallsfunktionen, die als lineare Integralfunktionale über schwach abhängige oder schwach korrelierte Zufallsfunktionen definiert sind. Unter bestimmten Glattheits- und Integrabilitätsbedingungen an die Kernfunktionen und Regularitätsbedingungen an die Zufallsfunktionen werden entsprechende asymptotische Entwicklungen angegeben, außerdem wird auf Abschätzungen der Genauigkeit eingegangen. Die auftretenden Zufallsfunktionen sind dabei stationäre reell- oder vektorwertige Zufallsprozesse, bestimmte Klassen nichtstationärer Zufallsprozesse und homogene Zufallsfelder. Die Anwendungsmöglichkeit wird an einer Reihe von Beispielen aufgezeigt.

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge werden seit 2003 in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht. Der 10. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 27.09.2004 bis zum 29.09.2004 in Klingenthal statt.

Bei der Untersuchung der Lösungen von Differentialgleichungen mit zufälligen Einflüssen treten Integralfunktionale stochastischer Prozesse auf. Sind die stochastischen Prozesse schwach stationär und schwach korreliert, werden asymptotische Entwicklungen der Korrelationsfunktion von Integralfunktionalen angegeben. Für im quadratischen Mittel differenzierbare Integralfunktionale werden die Entwicklungen der ersten und zweiten Ableitung der Korrelationsfunktion hergeleitet. Approximationen der Korrelationsfunktion basieren auf der asymptotischen Entwicklung. Es wird gezeigt, daß sich die Approximationen der Ableitungen der Korrelationsfunktion im Allgemeinen nicht durch Differenzieren der Approximationen der Korrelationsfunktion ermitteln lassen. In einem Beispiel wird die Methode der asymptotischen Entwicklung genutzt, um die exakten Korrelationsfunktionen zu bestimmen.

Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht die Untersuchung des stochastischen Verhaltens der Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen mit zufälligem inhomogenem Term, wie sie bei der mathematischen Modellierung von stochastisch fremderregten Schwingungsproblemen entstehen. Die Zufallseinflüsse werden durch schwach korrelierte Prozesse modelliert, wobei insbesondere differenzierbare schwach korrelierte Prozesse in die Betrachtungen einbezogen werden. Die stationäre Lösung hat die Gestalt eines Integralfunktionals schwach korrelierter Prozesse, für dessen Korrelationsfunktion asymptotische Entwicklungen angegeben werden. Neben Ableitungen solcher Integralfunktionale mit hinreichend glatter Kernfunktion werden ebenfalls stückweise definierte Kernfunktionen betrachtet, die bei der Modellierung von differenzierbaren Prozessen durch geglättete Integralfunktionale auftreten. Für die Approximationen, die aus den asymptotischen Entwicklungen resultieren, werden Konvergenzkriterien und Abschätzungen der Approximationsfehler angegeben. Die Verwendung verschiedener Lösungsdarstellungen ermöglicht eine einfache Berechnung der Entwicklungskoeffizienten für die numerische Umsetzung. An Beispielen wird der Einfluß verschiedener Parameter der Erregungsprozesse diskutiert. / Physical and technical problems, such as randomly excited vibration systems, lead to linear systems of differential equations with random inhomogeneous terms. The thesis focuses on the analysis of the stochastic behaviour of the systems' solutions. Weakly correlated processes, whereby especially differentiable weakly correlated processes are taken into consideration, model the random influences. The stationary solution shapes up as an integral functional of a weakly correlated process. Asymptotic expansions of the correlation function are derived. In addition to the case of derivatives of integral functionals with smooth kernel functions, piecewise defined kernel functions are investigated, which occur in the modelling of differentiable processes by smoothed integral funtionals. For the approximations resulting from the asymptotic expansion, convergence criteria and estimations of the approximation error are elaborated. Considering various presentations of the solution admits, with view to numerical implementation, a convenient evaluation of the expansion coefficients. Several examples demonstrate the influence of different parameters of the excitation process.

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge werden in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht. Der 12. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 20.09.2006 bis zum 22.09.2006 in Schöneck/Vogtland statt.

Lineare Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen eignen sich zur Modellierung von Schwingungssystemen, die zufällig erregt werden. Die stationäre Lösung beschreibt deren Langzeitverhalten. Für die Korrelationsfunktionen der stationären Lösung und deren Ableitungen werden asymptotische Entwicklungen angegeben, wenn die zufällige Erregung durch differenzierbare schwach korrelierte Prozesse erfolgt. Die Eigenschaften differenzierbarer schwach korrelierter Prozesse werden diskutiert und B-Spline vorgestellt, die Korrelationsfunktionen solcher Prozesse sind. Verschiedene Darstellungen der stationären Lösung führen zu verschiedenen asymptotischen Entwicklungen für die Korrelationsfunktion. An einem Beispiel werden beide verglichen und der Einfluß der Differenzierbarkeit der Erregung untersucht.

Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht die Untersuchung des stochastischen Verhaltens der Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen mit zufälligem inhomogenem Term, wie sie bei der mathematischen Modellierung von stochastisch fremderregten Schwingungsproblemen entstehen. Die Zufallseinflüsse werden durch schwach korrelierte Prozesse modelliert, wobei insbesondere differenzierbare schwach korrelierte Prozesse in die Betrachtungen einbezogen werden. Die stationäre Lösung hat die Gestalt eines Integralfunktionals schwach korrelierter Prozesse, für dessen Korrelationsfunktion asymptotische Entwicklungen angegeben werden. Neben Ableitungen solcher Integralfunktionale mit hinreichend glatter Kernfunktion werden ebenfalls stückweise definierte Kernfunktionen betrachtet, die bei der Modellierung von differenzierbaren Prozessen durch geglättete Integralfunktionale auftreten. Für die Approximationen, die aus den asymptotischen Entwicklungen resultieren, werden Konvergenzkriterien und Abschätzungen der Approximationsfehler angegeben. Die Verwendung verschiedener Lösungsdarstellungen ermöglicht eine einfache Berechnung der Entwicklungskoeffizienten für die numerische Umsetzung. An Beispielen wird der Einfluß verschiedener Parameter der Erregungsprozesse diskutiert. / Physical and technical problems, such as randomly excited vibration systems, lead to linear systems of differential equations with random inhomogeneous terms. The thesis focuses on the analysis of the stochastic behaviour of the systems' solutions. Weakly correlated processes, whereby especially differentiable weakly correlated processes are taken into consideration, model the random influences. The stationary solution shapes up as an integral functional of a weakly correlated process. Asymptotic expansions of the correlation function are derived. In addition to the case of derivatives of integral functionals with smooth kernel functions, piecewise defined kernel functions are investigated, which occur in the modelling of differentiable processes by smoothed integral funtionals. For the approximations resulting from the asymptotic expansion, convergence criteria and estimations of the approximation error are elaborated. Considering various presentations of the solution admits, with view to numerical implementation, a convenient evaluation of the expansion coefficients. Several examples demonstrate the influence of different parameters of the excitation process.

Despite its history of more than one hundred years, the phenomenon of superconductivity has not lost any of its allure. During that time the concept and perception of the superconducting state - both from an experimental and theoretical point of view - has evolved in way that has triggered increasing interest. What was initially believed to simply be the disappearance of electrical resistivity, turned out to be a universal and inevitable result of quantum statistics, characterized by many more aspects apart from its zero resistivity. The insights of BCS-theory eventually helped to uncover its deep connection to particle physics and consequently led to the formulation of the Anderson-Higgs-mechanism. The very core of this theory is the concept of gauge symmetry (breaking). Within the framework of condensed-matter theory, gauge invariance is only one of several symmetry groups which are crucial for the description and classification of superconducting states. \\ In this thesis, we employ time-reversal, inversion, point group and spin symmetries to investigate and derive possible Hamiltonians featuring spin-orbit interaction in two and three spatial dimensions. In particular, this thesis aims at a generalization of existing numerical concepts to open up the path to spin-orbit coupled (non)centrosymmetric superconductors in multi-orbital models. This is done in a two-fold way: On the one hand, we formulate - based on the Kohn-Luttinger effect - the perturbative renormalization group in the weak-coupling limit. On the other hand, we define the spinful flow equations of the effective action in the framework of functional renormalization, which is valid for finite interaction strength as well. Both perturbative and functional renormalization groups produce a low-energy effective (spinful) theory that eventually gives rise to a particular superconducting state, which is investigated on the level of the irreducible two-particle vertex. The symbiotic relationship between both perturbative and functional renormalization can be traced back to the fact that, while the perturbative renormalization at infinitesimal coupling is only capable of dealing with the Cooper instability, the functional renormalization can investigate a plethora of instabilities both in the particle-particle and particle-hole channels. \\ Time-reversal and inversion are the two key symmetries, which are being used to discriminate between two scenarios. If both time-reversal and inversion symmetry are present, the Fermi surface will be two-fold degenerate and characterized by a pseudospin degree of freedom. In contrast, if inversion symmetry is broken, the Fermi surface will be spin-split and labeled by helicity. In both cases, we construct the symmetry allowed states in the particle-particle as well as the particle-hole channel. The methods presented are formally unified and implemented in a modern object-oriented reusable and extendable C++ code. This methodological implementation is employed to one member of both families of pseudospin and helicity characterized systems. For the pseudospin case, we choose the intriguing matter of strontium ruthenate, which has been heavily investigated for already twenty-four years, but still keeps puzzling researchers. Finally, as the helicity based application, we consider the oxide heterostructure LaAlO$_{3}$/SrTiO$_{3}$, which became famous for its highly mobile two- dimensional electron gas and is suspected to host topological superconductivity. / Trotz seiner über hundertjährigen Geschichte seit seiner Entdeckung hat das Phänomen der Supraleitung nichts von seiner ursprünglichen Faszination eingebüßt. Vielmehr hat sich in der Zwischenzeit der Begriff und das Verständnis des supraleitenden Zustandes in einer Weise weiterentwickelt, die das Interesse daran eher hat zunehmen lassen. Was anfänglich ausschließlich für ein Verschwinden des elektrischen Widerstands gehalten wurde, ist tatsächlich ein universelles und unvermeidliches Resultat der Quantenstatistik und besitzt viel mehr bemerkenswerte Eigenschaften als nur den widerstandslosen elektrischen Transport. Die Erkenntnisse der BCS-Theorie haben schließlich dazu geführt die tiefe Verbindung zur Teilchenphysik zu offenbaren und trugen entscheidend zur Formulierung des Anderson-Higgs-Mechanismus bei. Der wichtigste Baustein dieser Theorie ist das Konzept der (Brechung der) Eichsymmetrie. Im Rahmen der Festkörperphysik ist die Eichsymmetrie nur eine von mehreren Symmetrien, die eine essentielle Rolle für die Beschreibung und Einordnung von Phänomenen der Supraleitung spielen. \\ In dieser Arbeit wenden wir Zeitumkehr-, (räumliche) Inversions-, Punktgruppen- und Spin-Symmetrien an, um mögliche Hamilton-Operatoren in zwei und drei räumlichen Dimensionen, welche Spin-Bahn-Kopplung enthalten, herzuleiten und zu untersuchen. Diese Arbeit zielt auf eine Verallgemeinerung von existierenden numerischen Konzepten ab und erschließt den Weg die supraleitenden Eigenschaften von Modellen mit starker Spin-Bahn-Kopplung und mit oder ohne Inversionszentrum zu untersuchen. Dies geschieht mit Hilfe zweier methodischer Ansätze. Erstens formulieren wir aufbauend auf dem Kohn-Luttinger Effekt die störungstheoretische Renormierungsgruppe im Limes schwacher Kopplung. Zweitens verwenden wir die spinaufgelösten Flussgleichungen der effektiven Wirkung im Rahmen der funktionalen Renormierungsgruppe, die auch für endliche Wechselwirkungsstärke gültig sind. Die symbiotische Ergänzung der perturbativen und funktionalen Renormierungsgruppen ist darauf zurückzuführen, dass es mit der perturbativen Methode zwar möglich ist die Cooper Instabilität bei infinitesimaler Wechselwirkung numerisch exakt zu berechnen, aber nur die funktionale Renormierungsgruppe auch Teilchen-Loch Kondensate zugänglich macht. \\ Zeitumkehr- und Inversionssymmetrie sind die beiden Schlüsselsymmetrien, die verwendet werden, um zwei Szenarien zu unterscheiden. Falls sowohl Zeitumkehr- als auch Inversionssymmetrie gültig sind, sind die Fermiflächen zweifach entartet und durch einen Pseudospin-Freiheitsgrad charakterisiert. Im Gegensatz dazu führt der Verlust der Inversionssymmetrie zur Spinaufspaltung der Fermiflächen, die dann durch die sogenannte Helizität gekennzeichnet sind. In beiden Fällen leiten wir alle symmetrie-erlaubten Zustände her, welche die entsprechenden Teilchen-Teilchen und Teilchen-Loch Kondensate beschreiben. Die vorstellten und verallgemeinerten Methoden sind im Rahmen dieser Arbeit formal miteinander verbunden und in einem modernen objektorientierten C++ Quellcode implementiert worden. \\ Als erste vorläufige Anwendungen für diese methodische Implementierung betrachten wir zwei Systeme, die jeweils einer der beiden Familien zugeordnet werden können. Zum einen berechnen wir in der Pseudospin-Formulierung der perturbativen und funktionalen Renormierungsgruppen die Instabilitäten eines Dreiorbital-Modells für Strontiumruthenat, das seit seiner erstmaligen Synthese trotz intensiver Forschung immer noch Rätsel aufgibt. Zum anderen betrachten wir das zweidimensionale Elektronengas, das sich an der Schnittstelle zwischen LaAlO$_{3}$ und SrTiO$_{3}$ bildet und welches durch seine hohe Ladungsträgermobilität bekannt geworden ist.