Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge sollen erstmals in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht werden. Eine jährliche Fortsetzung ist geplant. Der 9. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 29.09.2003 bis zum 01.10.2003 in Bärenstein statt.

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge werden seit 2003 in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht. Der 10. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 27.09.2004 bis zum 29.09.2004 in Klingenthal statt.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der zufälligen Wärmeausbreitung in beschränkten Gebieten. Dieses Phänomen wird dabei durch eine lineare parabolische Randanfangswertaufabe beschrieben, wobei die Anfangsbedingung und die Neumannrandbedingung als zufällige Felder mit gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung angenommen werden. Des Weiteren werden die zufälligen Felder als homogen und epsilon-korreliert mit einer kleinen Korrelationslänge epsilon > 0 vorausgesetzt und sollen glatte Realisierungen besitzen. Zur Lösung der Randanfangswertaufgabe werden sowohl die klassische Formulierung als auch die Variationsformulierung herangezogen und in diesem Zusammenhang die Fourier Methode sowie die Finite-Elemente Methode betrachtet. Die Finite-Elemente Methode und die Fourier-Methode führen auf einen expliziten funktionalen Zusammenhang zwischen der zufälligen Lösung der betrachteten Randanfangswertaufgabe und den Einflussgrößen, so dass Momentenfunktionen davon abgeleitet werden können. Das Hauptinteresse dieser Arbeit liegt auf der Berechnung dieser Momentenfunktionen, welche durch die gewählten Eigenschaften der stochastischen Einflußgrößen bestimmt werden. Basierend auf dem Finite-Elemente Ansatz bzw. dem Fourier Ansatz werden verschiedene Approximationsmöglichkeiten insbesondere für die Korrelationsfunktion erörtert. Des Weiteren wird die Möglichkeit der Simulation des zufälligen Randanfangswertproblems betrachtet. Hierzu wird zur Simulation der zufälligen Einflussgrößen auf die Theorie von Moving Average Feldern zurückgegriffen. Der letzte Teil der Arbeit widmet sich dem Vergleich der erhaltenen analytischen Resultate anhand konkreter numerischer Beispiele.

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge werden in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht. Der 12. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 20.09.2006 bis zum 22.09.2006 in Schöneck/Vogtland statt.

Im Mittelpunkt dieser Arbeit steht die Untersuchung des stochastischen Verhaltens von Lösungen parabolischer Randanfangswertprobleme mit zufälligen Koeffizienten. Aufgaben dieser Art entstehen beispielsweise bei der mathematischen Modellierung von Wärmeleitprozessen in Materialien, deren Wärmeleitfähigkeit als zufällige Größe bzw. als zufällige Funktion angesehen werden kann. Die Modellierung dieser stochastischen Einflüsse erfolgt u. a. mit Hilfe von epsilon-korrelierten Funktionen. Um stochastische Charakteristiken wie Erwartungswert-, Korrelations- und Varianzfunktion der Lösung des Randanfangswertproblems näherungsweise zu ermitteln, werden die Ansätze der Finite-Elemente-Methode (FEM), der Fouriermethode sowie der Stochastischen Simulation gewählt. Die beiden erstgenannten Verfahren erfahren eine Kombination mit der Methode der Störungsrechnung, wodurch sich jeweils Entwicklungen der gesuchten Charakteristiken bis zur zweiten Ordnung bezüglich eines Störungsparameters ergeben. Konkrete Ergebnisse werden für einfache ein- und zweidimensionale Gebiete ermittelt. Die Anwendung der Störungsrechnung wird im Fall der FEM zudem analytisch gerechtfertigt. Die Methode der Stochastischen Simulation nutzt die Approximation der eingehenden zufälligen Funktion durch Moving-Average-Felder. Für die Auswertung der auftretenden Integrale bei Anwendung der FEM werden explizite Formeln angegeben. Für einige Beispiele im ein- und zweidimensionalen Fall erfolgt die numerische Umsetzung sowie die grafische Präsentation der Ergebnisse sowie deren Vergleich für die verschiedenen eingesetzten Methoden. / This work focuses on the stochastic behavior of solutions of parabolic initial value problems with random coefficients. This sort of tasks is a result of modeling heat conduction processes on material whose heat conductivity can be considered as a random value or a random function. Stochastic influences are modeled, among others, by epsilon correlated functions. In order to determine stochastic characteristics like expectation value function, correlation function, and variance function of the problems solution approximately, the finite element method (FEM), the Fourier method, and the Monte Carlo Simulation are chosen. The first two methods are combined with perturbation techniques. This leads to expansions of the characteristics up to the second order with respect to a perturbation parameter. Results are determined for cases of one and two dimensional domains. The applicability of perturbation methods is verified for the FEM-based solution. The Monte Carlo Simulation uses the approximation of random functions by moving average fields. Explicit formulas are given for the evaluation of integrals which appear by applying the FEM. The work ends with the presenting of numerical examples for the one and two dimensional case.

In praktischen Aufgabenstellungen können zur Modellierung zufälliger Einflüsse, welche sich durch schwache Abhängigkeiten auszeichnen, schwach korrelierte zufällige Funktionen genutzt werden. Die nähere Untersuchung von Funktionalen schwach korrelierter zufälliger Funktionen ist durch die Gestalt der Lösungen von praktischen Fragestellungen motiviert. Die stochastischen Charakteristiken dieser Lösungen lassen sich im Allgemeinen nicht exakt bestimmen, so dass auf Approximationsverfahren zurückgegriffen werden muss. Diese stehen im Mittelpunkt der Dissertation. Zu Beginn werden Entwicklungen von Momenten und Kumulanten der betrachteten linearen Integralfunktionale schwach korrelierter Prozesse nach der Korrelationslänge des Prozesses hergeleitet und eine Vermutung über die exakte Darstellung der Kumulanten formuliert. Für Integralfunktionale von schwach korrelierten Simulationsprozessen, welche aus der Interpolation von Moving-Average-Prozessen entstehen, werden die definierten Charakteristiken hergeleitet. Außerdem steht die Approximation der unbekannten Dichtefunktion im Fokus der Arbeit. Es werden verschiedene Zugänge genutzt. Eine alternative Herleitung zur bereits in der Literatur untersuchten Gram-Charlier-Entwicklung wird in Form der Edgeworth-Entwicklung angegeben. Des Weiteren werden die Sattelpunkt-Approximation und die Maximum-Entropie-Methode untersucht und anhand von Simulationsergebnissen für Integralfunktionale von Simulationsprozessen miteinander verglichen. / In engineering applications stochastic influences which are characterized by weak dependencies can be modelled, among others, by weakly correlated random functions. The solutions of such problems shape up as integral functionals of weakly correlated random functions which motivates more detailed investigations. In general the exact calculation of stochastic characteristics of such integral functionals is impossible so that we have to be content with approximation methods this thesis focuses on. At the beginning expansions of moments and cumulants of linear integral functionals of weakly correlated random processes with respect to the correlation length are considered and an explicit formula of cumulants is conjectured. For integral functionals of weakly correlated random simulation processes, defined as interpolations of moving average processes, the required expansion coefficients are derived. Furthermore the approximation of the unknown probability density is requested. In the thesis there are different approaches used. First we state an alternative way to achieve the already known Gram Charlier approximation by means of Edgeworth expansion. Then we study two further methods, namely the saddlepoint approximation and the maximum entropy method and compare them on the basis of simulation results for integral functionals of simulation processes.

CeCu_2Si_2 was the first heavy-fermion compound showing signatures of bulk superconductivity (T_c = 0.5 K). Further observations have put in evidence the correlations between superconductivity, magnetic order, Kondo physics, and quantum critical phenomena. In spite of the interest generated, a systematic study of such correlations was hampered by strong sample dependences. Fortunately, the inherent complexity associated to the stoichiometric composition has been recently understood. The availability of single-crystals with well-defined properties has thus reignited the interest in CeCu_2Si_2 as a window to novel phenomena, such as unconventional superconductivity. The present work summarizes the results of my doctoral research. It exemplifies the importance not only of high-quality materials, but also of suitable experimental techniques. A first step in this project involved the design of angle-dependent techniques in the milli-kelvin range, namely: electrical resistivity and thermal conductivity. It comprised the development of a rotational stage, the construction of sample holders, and the implementation of controlling and measuring components. In the second part of the project, electrical- and thermal-transport measurements on CeCu_2Si_2 were performed. Power-law behavior below T_c in the thermal conductivity suggests the presence of lines of nodes in the gap function. Also, the non-vanishing extrapolated residual terms (k_00/T ) support the presence of a residual density of states. The nodes are broadened by potential scattering, which appears to be significant in CeCu_2Si_2. The scattering hinders the determination of the symmetry of the order parameter and might be responsible for the observed isotropic angle dependence of the thermal conductivity. In contrast, angle-dependent measurements of the upper critical field exhibit a four-folded behavior, which also points towards the presence of nodes. By comparing with a weak-coupling model including the effects of Pauli limiting and anisotropic Fermi velocity, the results point towards a d_xy-wave symmetry of the order parameter. Such results represent the first angle-dependent measurements supporting a d-wave symmetry in CeCu_2Si_2.

This PhD thesis focuses on the mutual interplay of frustration and quenched disorder in magnetic insulators. Frustrated quantum magnets are known to host a plethora of interesting many-body phenomena ranging from noncollinear N\'el ordering to spin liquid phases. In this thesis, the consequences of the breakdown of translation symmetry, a widely occurring phenomenon in real materials, are studied in several examples of frustrated spin systems. The thesis is split into two parts dedicated to different kinds of frustrated magnets and the effects of quenched random perturbations in them. In the first part, bond randomness in frustrated noncollinear ordering is considered. Noncollinear magnetic orders originating from the spontaneous breakdown of continuous spin rotation symmetries at zero temperature are found to be unstable in the presence of exchange randomness. It is shown that in this case, the frustrated N\'{e}el ordering is destroyed for any magnitude of random exchange disorder. The resulting disordered ground states, however, possess interesting distinctions depending on the precise nature of the broken spin rotation symmetry. For SU(2) Heisenberg spins, it is demonstrated that the weak disordered ground describes a classical spin glass at zero temperature with a finite correlation length. At higher disorder, enhanced quantum fluctuations are predicted to modify that ground state into a random-singlet-like form. On the other hand, for noncollinear XY spin systems with U(1) or SO(2) symmetry which have stable integer-valued vortex topological defects, it is instead found that the weak disorder and the strong disorder ground states are distinct even at the classical level. The former has a quasi-long range order spin arrangement, while the latter exhibits a truly short-range ordered state. These two phases are shown to be separated by a Kosterlitz-Thouless-like phase transition point where vortex unbinding takes place. The spontaneously broken chiral degeneracy of noncollinear N\'el ordering is witnessed to be robust up to the point of the vortex-driven phase transition. In the second part of the thesis, the focus is switched to the effects of quenched disorder on quantum spin liquids. These are quantum disordered phases of matter with long-range entanglement, topological order, and fractionalised excitations that often arise in frustrated spin systems. The U(1) Dirac spin liquid with its magnetic monopole excitations has been identified as a parent state for N\'{e}el, valence-bond solid, and algebraic spin liquid phases. In this thesis, the fate of this state is studied in the presence of quenched random perturbations. It is demonstrated that a wide class of random perturbations induce monopole-driven confinement of the fractionalised quasi-particles of the spin liquid, leading to the onset of a spin glass-like order. Finally, dilution effects in the $\rm Z_2$ spin liquid phase of the Kitaev model are discussed in the presence of generic symmetry allowed interactions. The spin-liquid state remains stable when the non-Kitaev perturbations and dilution are small. However, the low-energy properties of the ground state are altered. It is shown that the degeneracies from the Majorana zero modes, which are known to localise at defect sites of the Kitaev spin liquid, are generically lifted by the non-Kitaev perturbations. Consequently, a dilution-tuned impurity band with a finite density of states is found to emerge.

In unserer lautsprachlichen Welt ist Kommunikation stark auf das Hören angewiesen. Normalhörende Kinder sammeln in ihren ersten Lebensjahren Hörerfahrungen, die ihre sprachliche Entwicklung unterstützen. Früh ertaubten oder von Geburt an gehörlosen Kindern fehlt diese Möglichkeit bis zur Cochlea-Implantation. Ein Cochlea-Implantat (CI) ist eine Innenohrprothese, die geschädigte sensorische Haarzellen ersetzt und das Hören ermöglicht, wenn der Hörnerv intakt ist. Nach der Implantation beginnen CI-tragende Kinder ohne relevante Hörerfahrung mit der lautsprachlichen Entwicklung und müssen zu gleichaltrigen normalhörenden Kindern aufschließen. Die CI-Funktionen werden in mehreren Sitzungen an die Wahrnehmung der Person angepasst, doch das CI überträgt die Tonwelt nicht so exakt wie ein intaktes Gehör, was die auditive Umgebungswahrnehmung von CI-tragenden Kindern erschwert. Erwachsene CI-Nutzer können bei der Anpassung verbal kommunizieren, Kleinkinder oder Säuglinge jedoch nicht, weshalb ihre Hörwelt weitgehend unbekannt bleibt. Sprache und Musik teilen einige Wahrnehmungseigenschaften: Prosodie (Sprachmelodie) basiert auf Frequenz und Intonation, Emotionen werden durch Rhythmus und Intensität ausgedrückt, und Klangfarbe ermöglicht die Unterscheidung von Sprechstimmen und Instrumenten. Die Studie untersucht die musikalische Hörverarbeitung bei normalhörenden Säuglingen und CI-tragenden Kleinkindern mit vergleichbarem Höralter. Mithilfe der Mismatch Negativity (MMN) im EEG, die unabhängig von der Aufmerksamkeit des Probanden ausgelöst wird, wurde die Hörwahrnehmung objektiv beurteilt. Verschiedene musikalische Qualitäten wurden mit einem Multi-feature-MMN-Paradigma untersucht. Die Stimuli bestanden aus einem Tonlauf von vier Achtelnoten (Alberti-Bass) und wurden in allen Dur- und Moll-Tonarten in randomisierter Reihenfolge dargeboten, wobei der dritte Ton in Tonhöhe (pitch), Klangfarbe (timbre), Intensität (intensity), Rhythmus (rhythm), Glissando (slide) und einem zweiten Standard (standard2) variierte. Die Probanden wurden während der Stimulus-Präsentation geräuschlos abgelenkt. Es wurden Daten von 17 prälingual ertaubten CI-tragenden Kleinkindern (durchschnittlich 1 Jahr und 7 Monate alt) und 21 normalhörenden Säuglingen (6 Monate alt), beide mit 6 Monaten Hörerfahrung, ausgewertet. Für jede Bedingung wurde der Grand Average in beiden Gruppen und deren Untergruppen gebildet, und die MMN in frühen und späten Zeitfenstern analysiert. Die Ergebnisse zeigen, dass CI-tragende Kinder bei allen Devianten eine signifikante MMN zeigten. Die Untergruppe „mit Hörerfahrung“ wies bei timbre, intensity, rhythm und standard2 signifikante Ergebnisse auf, während die Untergruppe „ohne Hörerfahrung“ bei allen Devianten Signifikanzen zeigte. Dies wird jedoch aufgrund der kleinen Stichprobengröße nicht als robust betrachtet. Normalhörende Kinder zeigten bei allen Devianten außer standard2 eine signifikante MMN. CI-tragende Kinder reagierten unerwartet stark auf intensity und schwach auf rhythm, während normalhörende Kinder standard2 nicht wahrnehmen konnten. Erstmals wurde die Hörwahrnehmung von früh implantierten, bilateral CI-tragenden Kindern in ihrem frühen Höralter von sechs Monaten untersucht. CI-tragende Kinder konnten alle untersuchten Abweichungen wahrnehmen, wobei timbre und intensity besser und rhythm schwächer als erwartet wahrgenommen wurden. Normalhörende Kinder konnten standard2 aufgrund ihres Entwicklungsstandes nicht wahrnehmen, während ältere CI-tragende Kleinkinder dies kognitiv leisten konnten. Die CI-tragenden Kinder zeigten eine vergleichbare Fähigkeit zur Wahrnehmung akustischer Reize wie normalhörende Kinder, trotz fehlender oder unterbrochener Hörerfahrung.:Inhaltsverzeichnis Relevanz der Dissertation für den Forschungsbereich 1. Einleitung 1.1. Das auditive System 1.1.1. Anatomie des Ohres 1.1.2. Physiologie der akustischen Wahrnehmung 1.1.3. Embryologische Entwicklung des Innenohres: Der Beginn des Hörens 1.1.4. Kindliche Hörstörungen 1.2. Das Cochlea-Implantat (CI) 1.2.1. Definition und Entwicklung 1.2.2. Aufbau und Funktion 1.2.3. CI-Versorgung bei Kleinkindern 1.3. EEG und evozierte Potentiale 1.3.1. EEG 1.3.2. Ereignis-korrelierte Potentiale 1.3.3. CI-Artefakte 1.4. Bedeutung von Musik für die Entwicklung 1.4.1. Musik als Kulturgut 1.4.2. Psychosoziale Aspekte 1.4.3. Hörwahrnehmungen bis zum Kleinkindalter 1.4.4. Musikwahrnehmung mit CI 2. Experiment 2.1. Motivation 2.2. Stand der Wissenschaft 2.3. Fragestellung und Hypothesen 2.4. Methoden 2.4.1. Probanden 2.4.2. Versuchsdesign 2.4.3. Versuchsablauf 2.4.4. Elektrophysiologische Ableitung 2.4.5. Datenanalyse 2.5. Ergebnisse 2.5.1. Patientengruppe (CI-tragende Kinder) 2.5.2. Kontrollgruppe (normalhörende Kinder) 2.5.3. Übersicht über die CI- und die NH-Gruppe 2.5.4. Die Auswirkung des CI-Artefakts auf die MMN 3. Diskussion 3.1. Hörwahrnehmung CI-tragender Kinder 3.1.1. Pitch 3.1.2. Timbre 3.1.3. Intensity 3.1.4. Rhythm 3.1.5. Slide 3.1.6. Standard2 3.1.7. Globaler Vergleich der diskutierten Studien 3.2. Hörwahrnehmung normalhörender 6 Monate alter Säuglinge 3.3. Untergruppen „mit“ und „ohne Hörerfahrung“ 3.4. Latenzen 3.5. Fazit 3.6. Limitationen 3.7. Ausblick 4. Zusammenfassung 4.1. Deutsch 4.2. English Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Literaturverzeichnis Anlage 1: Erklärung zur Eröffnung des Promotionsverfahrens Anlage 2: Erklärung zur Einhaltung aktueller gesetzlicher Vorgaben

The capability to probe the dispersion of elementary spin, charge, orbital, and lattice excitations has positioned resonant inelastic x-ray scattering (RIXS) at the forefront of photon science. In this work, we will investigate how RIXS can contribute to a deeper understanding of the orbital properties and of the pairing mechanism in unconventional high-temperature superconductors. In particular, we will show how direct RIXS spectra of magnetic excitations can reveal long-range orbital correlations in transition metal compounds, by discriminating different kind of orbital order in magnetic and antiferromagnetic systems. Moreover, we will show how RIXS spectra of quasiparticle excitations in superconductors can measure the superconducting gap magnitude, and reveal the presence of nodal points and phase differences of the superconducting order parameter on the Fermi surface. This can reveal the properties of the underlying pairing mechanism in unconventional superconductors, in particular cuprates and iron pnictides, discriminating between different superconducting order parameter symmetries, such as s, d (singlet pairing) and p wave (triplet pairing).