Cette thèse propose différentes méthodes théoriques et numériques pour simuler à coût réduit le comportement des plasmas ou des faisceaux de particules chargées sous l’action d’un champ magnétique fort. Outre le champ magnétique externe, chaque particule est soumise à champ électromagnétique créé par les particules elles-mêmes. Dans les modèles cinétiques, les particules sont représentées par une fonction de distribution f(x,v,t) qui vérifie l’équation de Vlasov. Afin de déterminer le champ électromagnétique, cette équation est couplée aux équations de Maxwell ou de Poisson. L’aspect champ magnétique fort est alors pris en compte par un dimensionnement adéquat qui fait apparaître un paramètre de perturbation singulière 1/ε. / This thesis is devoted to the study of charged particle beams under the action of strong magnetic fields. In addition to the external magnetic field, each particle is submitted to an electromagnetic field created by the particles themselves. In kinetic models, the particles are represented by a distribution function f(x,v,t) solution of the Vlasov equation. To determine the electromagnetic field, this equation is coupled with the Maxwell equations or with the Poisson equation. The strong magnetic field assumption is translated by a scaling wich introduces a singular perturbation parameter 1/ε.

Cette thèse porte sur les équations gyro-cinétiques et traite un développement rigoureux deslimites de l'équation de Vlasov avec différents opérateurs de collision dans un champ magnétiquefort, ainsi que du développement de méthodes numériques.On commence par une étude de l'opérateur de moyenne. L'opérateur de moyenne a été développé parM. Bostan dans le cadre général d'une équation pour laquelle une partie du transport estfortement pénalisée. Puis, on applique ces résultats généraux aux deux régimes limites que nousétudions : le régime du rayon de Larmor fini et le régime centre-guide.On s'intéresse au calcul précis et explicite de la moyenne de l'opérateur de Fokker-Planck-Landau. On se place pour cela dans le cas du régime du rayon de Larmor fini. Avant de réaliserles calculs sur l'opérateur de Fokker-Planck-Landau, qui contient des convolutions et des termesde diffusion, il semble raisonnable de calculer la moyenne de l'opérateur de relaxation deBoltzmann, dont l'expression est plus simple.On se place ensuite dans le cas du régime centre-guide et on présente un schéma numérique basésur une décomposition micro-macro de la fonction de distribution des particules qui provientd'un travail en collaboration avec N. Crouseilles et M. Lemou. On obtient un schéma uniformémentconsistant avec le modèle continu, pour tout ordre du champ magnétique. Des simulationsnumériques, basées sur cette approche, ont été réalisées à l'aide d'un code de calcul 2D quel'on a développé durant cette thèse.On présente ensuite un projet réalisé dans le cadre du Cemracs 2012, consacré à la modélisationdes écoulements sanguins dans le réseau veineux cérébral. / The main subject of this thesis is the gyro-kinetic equation. We present a rigourousdeveloppement of the Vlasov equation limits with different collision operator in a strongmagnetic field and numerical methods.We start with a study of the gyro-average operator. The average operator has been introduced byM. Bostan in the case of an equation where part of the transport is highly penalised. Then weapply our results at the two approximation we study : the finite Larmor radius approximation andthe guiding-center approximation.We first focus on the precise and explicit computation of the Fokker-Planck-Landau operatoraverage in the finite Larmor radius approximation. The Fokker-Planck-Landau operator containsconvolution and diffusion terms, it is then reasonable to first compute the average of theBoltzmann relaxation operator.We then focus on the guiding-center approximation and present a numerical scheme based on amicro-macro decomposition of the particles distribution fonction which comes from a joint workwith N. Crouseilles and M. Lemou. We obtain a scheme which is uniformly consistant with thecontinuous model for any order of the magnetic field. Numerical simulation based on thisapproach are presented.The last chapter of this thesis presents a project which was realised during the Cemracs 2012concerning the modelisation of blood flow in cerebral veins.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique de certains aspects de l'équation de Vlasov-Poisson, qui constitue un modèle cinétique classique en physique des plasmas. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la justification rigoureuse d'approximations de l'équation de Vlasov-Poisson avec un champ magnétique extérieur intense, qui sont couramment utilisées, notamment lors des simulations numériques. Le but est de décrire certains régimes d'intérêt par des modèles asymptotiques, obtenus en faisant tendre un petit paramètre vers 0 (modélisant la physique du problème considéré) dans les équations originelles. Nous étudions pour commencer la limite quasineutre, c'est-à-dire la limite quand la longueur de Debye tend vers 0, pour l'équation de Vlasov-Poisson avec des électrons suivant une loi de Maxwell-Boltzmann. Dans la limite des plasmas froids, à l'aide de la méthode de l'entropie relative et de techniques de filtrage, nous montrons la convergence vers des équations hydrodynamiques compressibles telles que l'équation d'Euler isotherme. Nous nous intéressons ensuite à l'approximation "rayon de Larmor fini" en trois dimensions, qui permet de décrire le comportement turbulent d'un plasma soumis à un champ magnétique intense. Pour cette étude, qui peut en fait être interprétée comme une limite quasineutre anisotrope, nous montrons des résultats très différents selon la dynamique décrite. En effet, dans le cas de la dynamique avec des électrons sans masse, nous exhibons un effet stabilisant qui permet d'obtenir le même résultat que pour le système bidimensionnel, alors que pour la dynamique avec des ions lourds, nous mettons en évidence les conséquences d'instabilités de type multi-fluides. Dans un second temps, nous nous consacrons à l'étude mathématique du confinement d'un plasma de tokamak. Nous commençons par proposer un modèle hydrodynamique simplifié à deux températures et étudions la stabilité au sens de Lyapunov de deux états stationnaires permettant de modéliser l'équilibre du plasma. Nos résultats sont conformes à l'heuristique physique et mettent de surcroit en évidence qu'un fort gradient de température favorise la stabilité : cela pourrait fournir une explication aux modes de haut confinement (H-modes) dans les tokamaks. Pour finir, nous attaquons ce problème du point de vue de la théorie du contrôle et prouvons des résultats pour l'équation de Vlasov-Poisson en présence de champs extérieurs (typiquement un champ magnétique).

Made available in DSpace on 2014-06-12T18:01:22Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo2356_1.pdf: 8441876 bytes, checksum: 31a6f5c664996110b64b2134094cdd42 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2009 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Nesta tese, realizamos experiências relacionadas com o armazenamento de informação óptica em um ensemble de átomos frios de césio. A configuração experimental utilizada foi semelhante à de mistura de quatro ondas degenerada resolvida no tempo, usando a geometria conhecida como conjugação de fase óptica. Investigamos, tanto teórica quanto experimentalmente, diversos efeitos coerentes e mostramos explicitamente o armazenamento de uma grade de coerência entre os subníveis Zeeman pertencentes a um nível hiperfino do estado fundamental do césio. Analisamos o comportamento da energia dos pulsos gerados em função das intensidades dos campos envolvidos e observamos diferentes comportamentos de saturação. Em outro experimento, estudamos as correlações de energia entre diferentes modos temporais e espaciais gerados coerentemente pelo meio, o qual permitiu observar que os efeitos de emissão espontânea são predominantes quando cada transição do sistema é acessada com mesma intensidade de leitura. As larguras temporais dos modos envolvidos no processo mostraram ser invariantes quando a intensidade total de leitura se mantém constante. Realizamos também, usando um campo magnético externo, uma investigação sobre a evolução coerente do estado armazenado. Medimos a evolução temporal do sinal difratado em duas condições experimentais distintas: com o campo magnético externo aplicado paralelo e perpendicularmente à direção de propagação dos campos ópticos. Em ambos os casos, observamos uma série de collapses and revivals que estão intimamente relacionados com a precessão de Larmor da grade Zeeman armazenada em torno do campo magnético aplicado externamente. Finalmente, realizamos experiências envolvendo modos do campo eletromagnético que possuem momentum angular orbital (MAO). Demonstramos o armazenamento de estados de MAO e de suas superposições coerentes, bem como sua manipulação com campos magnéticos externos. Mostraremos que o MAO óptico pode ser armazenado, manipulado e recuperado coerentemente a partir do sistema atômico.

This master´s thesis deals with processing and analysis of data, acquired from experimental examination performed with functional magnetic resonance imaging technique. It is an oddball type experimental task and its goal is an examination of cognitive functions of the subject. The principles of functional magnetic resonance imaging, possibilities of experimental design, processing of acquired data, modeling of a response of organism and statistical analysis are described in this work. Furthermore, particular parts of preprocessing and analysis are carried out using real data set from experiment. The main goal of this work is suggestion and realization of model, which enables advanced categorization of stimuli, considering the type of previous rare stimulus and the number of frequent stimuli within them. With its in-depth categorization, this model enables detail exploration of cerebral processes, associated mainly with attention, memory, expectancy or cognitive closure. The second point of that work is an evaluation of models of hemodynamic response, which are applied in statistical analysis of data from fMRI experiment. Comparison of basis functions, the models of hemodynamic response to experimental stimulation used for general linear model, is performed in this work. The result of this comparison is an evaluation of detection efficiency of activated voxels, false positivity rate and computational and user difficulty.

Cette thèse propose différentes méthodes théoriques et numériques pour simuler à coût réduit le comportement des plasmas ou des faisceaux de particules chargées sous l'action d'un champ magnétique fort. Outre le champ magnétique externe, chaque particule est soumise à un champ électromagnétique créé par les particules elles-mêmes. Dans les modèles cinétiques, les particules sont représentées par une fonction de distribution f(x,v,t) qui vérifie l'équation de Vlasov. Afin de déterminer le champ électromagnétique, cette équation est couplée aux équations de Maxwell ou de Poisson. L'aspect champ magnétique fort est alors pris en compte par un adimensionnement adéquat qui fait apparaître un paramètre de perturbation singulière 1/ε. Le premier chapitre de cette thèse est une introduction à la fusion contrôlée par confinement magnétique dans les Tokamaks. Le second chapitre est consacré à la théorie gyrocinétique géométrique. Cette théorie repose sur la géométrie différentielle et la dynamique des systèmes hamiltoniens. L'objectif est de faire une succession de changements de coordonnées afin de se ramener à un système proche du centre-guide historique dans lequel les expressions de la matrice de Poisson et du Hamiltonien permettent une réduction de la dimension des trajectoires. Le chapitre 3 met en pratique les mêmes techniques sur un autre problème, la modélisation paraxiale d'un faisceau de particules chargées. Le dernier chapitre est dédié à un schéma numérique basé sur un intégrateur exponentiel en vitesse. Ce schéma a pour objectif d'approcher numériquement des solutions fortement oscillantes avec une méthode Particle-In-Cell en utilisant un pas de temps beaucoup plus grand que la période d'oscillation rapide. Il est testé sur une équation de Vlasov linéaire ainsi que sur le système de Vlasov-Poisson.

In a fusion plasma, the ions have to be heated to reach fusion relevant temperatures. One possibility is to launch an electromagnetic wave in the radio frequency band into the plasma. This wave can resonate with the ions at their cyclotron frequency and hence, the method is called ion cyclotron resonance heating. If the Larmor radius is of similar length scales as the wavelength, finite Larmor radius (FLR) effects are important. This introduces additional possible wave modes. To accurately predict the heating, simulations of these additional modes can be important. In order to describe the FLR effects in simulations, this work applies a Taylor expansion to second order in the perpendicular wavenumber of the dielectric tensor. In real space, the Taylor expansion corresponds to a series of spatial derivatives. These derivatives are implemented as weak-form contributions for a onedimensional finite element method (FEM)simulation. The approach is realized in a fork of the FEMIC code, coupling plasma physics in MATLAB with the FEM solver in COMSOL. The discretization of the FEM solver is adapted using a Helmholtz filter to provide the required degree of smoothness. Our approach proves successful to simulate FLR effects within the limitations caused by the modeling choices. We compare results with an all-order FLR method, showing good qualitative agreement. This work serves as a proof of concept to describe challenges on the way towards incorporation of second order FLR effects in twodimensional simulations in FEMIC. / I ett fusionsplasma måste jonerna värmas för att plasmat ska nå temperaturer relevanta för fusion. En möjlighet är att sända in en elektromagnetisk våg i radiofrekvensbandet i plasmat. Den vågen kan sedan resonera med jonerna vid deras cyklotronfrekvens, och därför kallas metoden för joncyklotronresonansuppvärmning. Om våglängden är jämförbar med Larmorradien blir ändliga Larmorradie-effekter viktiga. Detta möjliggör ytterligare typer av vågor. Det kan vara viktigt att simulera dessa typer av vågor för att förutsäga uppvärmningen på ett träffsäkert vis. I denna masteruppsats Taylorutvecklar vi den dielektriska tensorn till andra ordningen i det vinkelräta vågtalet för att beskriva hur FLR-effekter påverkar simuleringarna. I det reella rummet motsvarar Taylorutvecklingen en serie av rumsliga derivator. Dessa derivator implementeras sedan som bidrag på svag form i en endimensionell modell som löses med den finita elementmetoden (FEM). Metoden implementeras i FEMIC-koden, som kopplar plasmafysik i MATLAB med FEM-lösaren i COMSOL. Diskretiseringen av FEM anpassas med ett Helmholtzfilter för att få en tillräckligt slät funktion. Ansatsen visar sig kunna framgångrikt simulera FLR-effekter, med vissa förväntade begränsningar. Lösningen jämförs sedan med lösningen från en metod som tar hänsyn till FLR-effekter, men som inte är baserad på en serieuteckling. Vi finner god kvalitativ överensstämmelse. Detta arbete fungerar som en prototyp och ämnar att beskriva de utmaningar som kan uppstå vid implementation av FLR-effekter den tvådimensionella axisymmetriska versionen av FEMIC.