En este trabajo se aplica el método de Mínimos Cuadrados Ponderados como un método alternativo de estimación de parámetros en los Modelos Lineales Generalizados, y en particular para el caso de variables respuesta con distribución Multinomial y de Poisson, usando el enfoque desarrollado por Grizzme, Starmer y Koch (GSK). Se estudia la formación de funciones respuesta de variables dependientes con distribución Multinomial y Poisson. / In this work the metod of weighted least squares is applied as an alternative for estimating parameters in the Generalized Linear Models, and particularly, for the case of response variable with multimomial and Poisson distributions using the theory developed by Grizzme, Starmer y Koch. Beginning with the General linear model it is introduced the Generalized linear models and it is stablished the funtion formations for the response variables with multinomial and poisson distributions.

Doctor en Ciencias, Mención Física / Los solitones hidrodinámicos no propagativos son estructuras no lineales localizadas que aparecen en la superficie libre de un líquido cuasi-unidimensional que está sujeto a cierto tipo de inyección de energía, en particular, vibraciones verticales. En cierta región de parámetros, esto es a una amplitud y frecuencia específicas de vibración, la interfase desarrolla una onda transversal localizada que puede identificarse como la modulación del primer modo transversal de la superficie bajo una envolvente longitudinal con un rápido decaimiento espacial. A diferencia de los típicos solitones hidrodinámicos, este tipo de onda no se propaga. Su aparición además es no espontánea y debe ser inducida perturbando la superficie de tal manera que el movimiento sea similar al del solitón. A pesar de que algunos avances se han realizado en la comprensión de los procesos físicos de los solitones hidrodinámicos no propagativos, aún quedan muchas preguntas que no han sido resueltas. En particular, la dinámica de estas estructuras en escalas temporales lentas, como la deriva de solitones bajo la inclinación de la celda, la interacción con las paredes laterales, la interacción de a pares y la dinámica de los sistemas de múltiples solitones; no se han descrito adecuadamente en la literatura. Es más, la hidrodinámica subyaciente de un solo solitón predicha por la teoría, así como otros procesos hidrodinámicos de mayor complejidad, jamás han sido validados experimentalmente. El objetivo de esta tesis ha sido investigar estos temas de manera más profunda tanto desde un punto de vista experimental como teórico. El marco teórico que se presenta está basado en un análisis débilmente no lineal derivado a partir del principio variacional para ondas de superficie en fluidos ideales contenidos en celdas cerradas de profundidad constante. Este cálculo lleva a una ecuación de amplitud para la envolvente del primer modo transversal donde el forzamiento vertical puede ser fácilmente incorporado. Además, es posible estimar un coeficiente de disipación para las ondas a partir de las capas límites cerca de las paredes, el fondo y la superficie libre. El resultado final es la ecuación de Schrödinger no lineal con forzamiento paramétrico y disipación, la que además describe adecuadamente el comportamiento del solitón. Por otro lado, se llevaron acabo medidas experimentales en varias celdas rectangulares de acrílico llenas de agua. Las celdas estaban unidas a un vibrador electromecánico que oscilaba con una señal sinusoidal pura. Se utilizaron tres métodos experimentales distintos para la caracterización de las deformaciones de la superficie libre como del campo de velocidades subyaciente: medidas locales de nivel de fluido, reconstrucción de perfiles a través de imágenes y velocimetría de partículas por imágenes. Los resultados de esta investigación revelaron que los actuales modelos no explican adecuadamente ciertos comportamientos específicos de los solitones no propagativos. Los experimentos mostraron que, de hecho, los solitones se propagan muy lentamente hacia una posición específica que depende del ángulo de inclinación. El modelo también ha sido mejorado incluyendo un término que reproduce el acoplamiento observado del solitón con las paredes laterales, lo que permite que los solitones sean repelidos y no sólo atraídos por las paredes. Las medidas del campo de velocidades producto del acoplamiento viscoso, mostraron un comportamiento que no había sido antes documentado. Se incluye asimismo un análisis teórico con evidencia experimental del mecanismo de coalescencia de un estado conformado por múltiples solitones que puede ser caracterizado con una ley de escalamiento espaciotemporal autosimilar.

Estudia ecuaciones elípticas de la forma (P) −∆u + λu = f(x, u), en Ω, u ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) es un dominio limitado o Ω = R N y f : Ω × R → R es una función continua con condiciones de crecimiento subcrítico y crítico. También estudia sistemas de ecuaciones elípticas de la forma (S)    −∆u = f(x, u, v), em Ω, −∆v = g(x, u, v), em Ω, u, v ∈ H1 0 (Ω), donde Ω ⊂ R N (N ≥ 2) , f, g : Ω × R 2 → R son funciones continuas con condiciones de crecimiento subcrítico. Encuentra soluciones definidas en H1 0 (Ω) × H1 0 (Ω), para sistemas elípticos de tipo gradiente y de tipo hamiltoniano. Para la existencia de soluciones usa Métodos Varacionales, haciendo uso especial del Teorema del Paso de Montaña. / Tesis

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniera Civil Matemática / Consideramos un volumen $V\subset \R^3$ generado al rotar alrededor del eje $Z$ un dominio $\Omega \subset \R^2$ acotado y suave que vive en el plano $XZ$. En este trabajo se construye una solución del flujo de mapa armónico del volumen $V$ a la esfera $S^2$ que revienta en tiempo finito, el problema es \begin{eqnarray*} v_t &=& \Delta v + |\nabla v |^2 v \text{ in } V \times (0,T)\\ v &=& v_{\partial V} \text{ in } \partial V \times (0,T)\\ v(\cdot , 0) &=&v_0 \text{ in } V, \end{eqnarray*} donde $v: V \times [0,T) \to S^2$, $v_0 : \overline{V} \to S^2$ es suave y $v_{\partial V}=\left. v_0\right|_{\partial V} : \partial V \to S^2$. Dado un punto $q \in \Omega$ de define la circunferencia $c(q)$ generada al rotar el punto $q$ alrededor del eje Z. Se encuentran datos iniciales y de frontera tales que la solución $v$ revienta exactamente en la curva $c(q)$ en un tiempo finito pequeño. La construcción de la solución se hace reduciendo el problema a 2 dimensiones y usando el método de Dávila, Del Pino y Wei \cite{dav} que transforma el problema en un sistema de \textit{inner-outer gluing} que separa el efecto principal de la ecuación cerca y lejos de la singularidad. Se obtiene una solución cuyo orden principal cerca de la singularidad tiene el perfil de un mapa armónico 1-corrotacional escalado. En la introducción se recuerdan la ecuación de flujo de mapa armónico y su origen, se establece el problema y la reducción a 2 dimensiones. En el primer capítulo se enuncian resultados útiles de topología y análisis funcional, y propiedades probadas en \cite{dav} para los mapas armónicos 1-corrotacionales y el operador linealizado en torno a ellos. En el segundo capítulo se obtiene un ansatz de la solución y se usa el método de Dávila, Del Pino y Wei \cite{dav} para reducir el problema a resolver un sistema de \textit{inner-outer gluing} que después se resuelve usando punto fijo. En el capítulo cuatro se obtienen las hipótesis para el punto fijo mediante estimaciones a priori obtenidas dividiendo el sistema en tres problemas principales: el problema interior, el problema exterior y el problema de los parámetros. En la parte final se concluye con algunas observaciones sobre este trabajo y posibles trabajos futuros en torno a el. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto Fondecyt 1150066 y el Centro de Modelamiento Matemático, Proyecto Basal PFB 03 / Fondecyt 1150066 y CMM - Conicyt PIA AFB170001

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Resolver un sistema de ecuaciones lineales simult´aneas es un problema fundamental en el algebra lineal num´erica, y una de las etapas elementales en simulaciones cient´ıficas. Ejemplos son los problemas de ciencias e ingenier´ıa modelados por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales, cuya soluci´on num´erica est´a basada en m´etodos de discretizaci´on que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. Estos sistemas pueden ser resueltos de manera directa; sin embargo, cuando el orden del sistema es demasiado grande el costo computacional se incrementa. Ante esta situaci´on se emplean m´etodos iterativos, los cuales son m´as eficientes y tienen una menor demanda computacional (p.e: Jacobi, Gauss-Seidel, Gradiente Conjugado, etc.). En el presente trabajo se presenta un sistema digital basado en un procesador, un coprocesador y una memoria externa que desarrolla el m´etodo del Gradiente Conjugado. El sistema fue implementado en la arquitectura Spartan-6, la cual cuenta con un softprocessor de 32 bits llamado MicroBlaze y el FPGA propiamente dicho. MicroBlaze dirige el flujo del algoritmo, adem´as de desempe˜nar las operaciones m´as sencillas (sumas vectoriales, productos internos, divisiones, etc). En tanto, en el FPGA se implement´o un coprocesador, el cual fue descrito en VHDL, que se encarga de la operaci´on de mayor costo computacional: el producto Matriz - Vector. El procesador y el coprocesador se comunican mediante interfaces unidireccionales basadas en unidades FIFO llamadas Fast Simplex Link (FSL). Se emple´o el entorno EDK (Embedded Development Kit) de la empresa Xilinx, para configurar el procesador, los perif´ericos y el coprocesador; y se emple´o la plataforma Atlys de la empresa Digilent para implementar el sistema propuesto. La implementaci´on final es aproximadamente 2 veces m´as r´apida y tiene una eficiencia de 0.25, respecto de la implementaci´on de referencia que se desarroll ´o empleando solo el procesador. El orden que sigue la tesis es el siguiente: En el primer cap´ıtulo se presenta el contexto de la tesis y se define puntualmente el problema que se desea resolver. En el segundo cap´ıtulo se cubre la mayor´ıa de aspectos te´oricos necesarios. La arquitectura propuesta, y los detalles de los componentes del sistema se especifican en el cap´ıtulo tres. Por ´ultimo, se presentan los resultados en el cap´ıtulo cuatro, seguido de las conclusiones. / Tesis

The area of fractional calculus is more than three centuries old but applications have only appeared in the past few decades. Differential equations of non-integer order are known to represent certain physical processes in a more precise way than using the usual differential equations with integer order. Therefore, considering fractional calculus in the context of input- output systems can be beneficial. A useful representation of an input-output map in control theory is the Chen-Fliess functional series or Fliess operator. It can be viewed as a generalization of a Taylor series, and its algebraic nature is especially well suited for several important applications. In this thesis, a general solution for a fractional linear and bilinear time invariant system via formal power series methods and Fliess operators is presented. A mathematical model (that includes a differential equation) for an input-output linear and bilinear time invariant system is very well known, both the explicit solution and the one using formal power series. However, the question of how this system behaves when a fractional differential equation (where the derivative is of a non-integer order) has not been yet studied from the power series point of view. This thesis focuses on two specific kind of derivatives, one using Riemann-Liouville fractional derivatives and the other using Caputo fractional derivatives. / Tesis

Las observaciones intervalo censuradas se presentan en estudios donde no se puede precisar exactamente la observación, solamente se conoce un rango de ocurrencia, dentro del cual se supone recae la información, como por ejemplo, datos de estudios médicos, económicos, etc. En este documento se consideran modelos de regresión lineal en los cuales la variable respuesta es intervalo censurada y/o la variable covariante. El uso de un método ad hoc de análisis para dichos datos, como el que emplea los puntos medios de los intervalos de las variables intervalo censuradas en mínimos cuadrados ordinarios para la estimación de parámetros, no es válido en general, pues da lugar a estimaciones sesgadas. En este documento se emplea, una aproximación de máxima verosimilitud semiparamétrica, junto a un algoritmo condicional de dos fases, para estimar conjuntamente los coeficientes de regresión así como la distribución marginal de la covariante intervalo censurada. El método se aplica a la estimación del Gasto familiar en alimentación dependiente del Gasto total familiar, tomando datos censurados por intervalos. Se comparan las estimaciones obtenidas por el método con las estimaciones obtenidas por el procedimiento que emplea puntos medios, para analizar las bondades del método propuesto.

Se estudia el comportamiento asintótico de la solución global del problema no lineal L∂tu + ∂ₓu +a (t) uP∂ₓu =O, X ϵ R, t > O u(O) = φ(x) donde φ ϵ Hs (R), p es un entero positivo y L : Hs(R) → L²(R) es el operador seudo-diferencial definido por Lu(y) = m(y)u(y)u ϵ Hs(R). Para esto se utiliza el método de la fase estacionaria.

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