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Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / Las transformaciones de intercambios de intervalos aparecen como aplicaciones de primer retorno de flujos lineales en superficies de traslación con cierto género g ≥ 1, generalizando las rotaciones en el círculo. El estudio de las propiedades ergódicas de intercambios de inter- valos y de ciertas dinámicas de suspensión correspondientes a flujos lineales en superficies de traslación y flujos en billares poligonales ha sido extenso en las últimas décadas. De particu- lar interés ha sido el estudio de valores propios de estos sistemas, ya sean vistos desde una perspectiva medible o topológica [NR97], [AF07], [FZ11], [AD16]. Desde el punto de vista de dinámica simbólica, estos sistemas poseen representaciones como sistemas minimales de Cantor de rango topológico finito, i.e., existe una extensión simbólica que puede representarse como un sistema de Bratteli-Vershik con un número de torres de Kakutani-Rohlin por nivel globalmente acotado. Con esta motivación, condiciones necesarias y suficientes para que un número complejo sea valor propio, ya sea medible o topológico, han sido propuestas desde el trabajo pionero de B. Host [Hos86], en donde se prueba que todo valor propio medible asocia- do a un sistema dinámico proveniente de una substitución primitiva está siempre asociado a una función propia continua. Luego, condiciones necesarias y suficientes que caracterizan a los valores propios continuos y medibles en sistemas minimales de Cantor linealmente recurren- tes fueron explicitadas en [CDHM03] y en [BDM05], posteriormente extendidas en [BDM10] y [DFM15] al contexto de sistemas minimales de Cantor de rango finito. Es en esta última clase de sistemas en donde se centra el estudio de esta tesis. En la primera parte de este trabajo, proponemos una representación de Bratteli-Vershik para transformaciones de intercambios de intervalos construida a partir del algoritmo de Rauzy- Veech sobre la transformación original. Más generalmente, se propone una representación de Bratteli-Vershik de rango finito de shifts S -ádicos minimales. Estas representaciones son particularmente útiles para el estudio de valores propios de estos sistemas. Luego, exploramos como esta representación permite recuperar propiedades de mezcla débil en el caso de inter- cambios de tres intervalos. En un contexto más general, se propone parametrizar sistemas de Bratteli-Vershik por caminos infinitos dirigidos en un grafo dirigido finito, que llamare- mos grafo de renormalización. Con suficientes parámetros, las propiedades de mezcla sobre el shift actuando en el espacio de caminos dirigidos infinitos en este grafo permiten abstraer un resultado de mezcla débil topológica, inspirados en el trabajo de A. Nogueira y D. Rudolph [NR97]. Extendemos dicho resultado a la mezcla débil de estos sistemas, siguiendo las ideas de A. Avila y G. Forni [AF07]. Finalmente, ilustramos como estos resultados son suficientes para asegurar la mezcla débil en ciertas generalizaciones de sistemas de intercambios de intervalos, más concretamente, en ciertas involuciones lineales con una combinatoria específica. / CMM - Conicyt PIA AFB 170001

Estudia un sistema de Bresse con dos realimentaciones distribuidas localmente, que se emplean en la mecánica de solidos deformables. En el presente estudio se obtiene la existencia, unicidad de solución y el decaimiento exponencial y polinomial de la energía asociada al Sistema de Bresse Amortiguados por dos realimentaciones localmente distribuidas. Utilizaremos la teoría de semigrupos y del resolvente de un generador infinitesimal para analizar la existencia y unicidad de la solución, además cuando las velocidades de onda sean iguales se demostrará la estabilidad exponencial y si son distintas no será exponencialmente estable, pero será polinomialmente estable. / Tesis

El diseño y análisis de sistemas dinámicos es una tarea desa-fiante debido fundamentalmente a la no linealidad requerida en las ecuaciones matemáticas de los modelos, con el fin de lograr representaciones realistas de los sistemas y procesos. En lo que a ingeniería química respecta, estas no linealidades se manifiestan en los diversos términos de las ecuaciones de balance y se potencian por la realimentación positiva intro-ducida por los reciclos de masa y energía y por las hoy en día rigurosas restricciones de calidad de producto, medio ambien-te y seguridad. En esta tesis, se proponen metodologías para el diseño y análisis de sistemas dinámicos no lineales emple-ando elementos de la Teoría de Estabilidad de Lyapunov con la aplicación de técnicas de optimización. La base principal de la investigación es la determinación de estimaciones de los dominios de atracción de los puntos de equilibrio asintótica-mente estables. En primer lugar, se desarrolla una metodología para la estimación de dominios de atracción haciendo uso de funciones de Lyapunov de tipo racional y aplicando técnicas de optimización global. Esta metodología consiste en determi-nar el mejor conjunto de nivel de una función de Lyapunov contenida en la región de definición negativa de su derivada temporal. Posteriormente, se desarrolla una metodología para el diseño de sistemas dinámicos no lineales con el objetivo de optimizar en forma indirecta la extensión de los dominios de atracción. Este enfoque de diseño, asegura simultáneamente estabilidad asintótica del punto de equilibrio resultante y un dominio de atracción óptimo en términos del criterio adoptado. Las metodologías propuestas se ilustran por medio de ejemplos y se aplican a procesos y sistemas de interés ingenieril. / Dynamic systems design and analysis is a challenging task due to the nonlinearity required by the mathematical modeling equations, in order to obtain a realistic representation of the systems and processes. Regarding the chemical engineering discipline, these complexities are found in the different terms of the balance equations and are boosted by the positive feedback introduced by mass and energy recycles and by the current restrictive constraints on product quality, environment and safety. In this thesis, different methodolo-gies are proposed for the design and analysis of non-linear dynamical systems based on elements of the Lyapunov stability theory with the application of optimization techniques. The calculation of estimations of the domains of attraction of asymptotic stable equilibrium points is the main basis of this research. In the first place, a methodology is developed for the estimation of the domains of attraction of asymptotically stable equilibrium points using Lyapunov functions of the rational type and applying global optimization techniques,. This methodology consists in finding the best level set of a Lyapunov function contained in the negative definite region of its temporal derivate. Secondly, a metho-dology for the design of non-linear dynamical systems in order to optimize in an indirect way the extension of the domain of attraction is developed. This approach simultaneously ensures asymptotic stability of the resulting equilibrium and an optimum domain of attraction in terms of the adopted criterion. The proposed methodologies are illustrated through examples and applied to processes and systems of engineering interest.

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El objetivo de esta memoria es el estudio de propiedades para una clase de operadores totalmente no lineales, modelados por el p-laplaciano. La ecuaci´on asociada que se analiza es F(∇u, D2u + b(x) · ∇u |∇(u(x))|α + c(x)u |u|α = f en Ω donde α > −1, Ω ⊆ R n es un dominio acotado, b y c son funciones continuas y acotadas, f ∈ L n (Ω), F : (R n \ {0} × S(n)) → R es continua. Además, para toda matriz simétrica X, F satisface una condición de homogeneidad F (tp, µX) =|t| α µF (p, X), ∀t ∈ R \ {0}, µ ∈ R + y cotas |p| α M− (X) ≤ F (p, X) ≤ |p| α M+ (X). Aquí M− y M+ son los operadores extremales de Pucci. Este tipo de operadores ya ha sido estudiado por Birindelli y Demengel y se conocen resultados de comparación, existencia para el problema de Dirichlet y existencia del primer valor propio. El marco teórico utilizado por Birindelli y Demengel es el de soluciones viscosas, el cual es particularmente apropiado cuando se consideran operadores totalmente no lineales no variacionales. El primer resultado que se prueba es el principio del máximo de AlexandroffBakelman-Pucci, siguiendo las técnicas utilizadas por Cafarelli, Crandall, Kocan y Swiech . A continuación, se prueba la desigualdad de Harnack en el caso α ∈ (−1, 0). Este resultado entrega regularidad interior de las soluciones. Inspirados por Esteban, Felmer y Quaas y a la compacidad obtenida en esta memoria se procede al estudio de existencia de soluciones globales y explosión en la frontera, para una ecuación superlineal asociada.

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En esta investigación se propone una metodológica alternativa a la metodología de Box y Jenkins, donde se podrá evidenciar el modelamiento de series temporales no lineales, mediante el enfoque paramétrico y el enfoque No paramétrico. En el enfoque paramétrico me inclinaré por la extensión de los métodos de Box y Jenkins, es decir, los modelos ARCH, GARCH, TGARCH entre otros, para el modelado de series temporales no lineales, en la cual obtendré los pronósticos del año 2012 para la serie temporal:  Número de peruanos retornantes según año de regreso mediante medio de transporte aéreo. En el enfoque No paramétrico presentaré el método de la red neural de retropropagación resiliente para el modelado de series temporales no lineales, en la cual obtendré los pronósticos del año 2012 para la serie temporal:  Número de peruanos retornantes según año de regreso mediante medio de transporte aéreo. La serie de tiempo estudiada para esta investigación presenta un cambio estructural durante los años del 2000-2003, lo que induce a la no linealidad de la serie. La estimación de los dos enfoques serán comparados y se elegirá el enfoque que otorgue mejores pronósticos, la cual escogeré mediante indicadores de validación como por ejemplo el MAD (Desviación Media Residual) y SSE (Suma de los Cuadrados de los Residuos). / In this research an alternative to Box and Jenkins methodology, where you can demonstrate the modeling of nonlinear time series, using parametric and nonparametric approach is proposed methodological approach. In the parametric approach, we prefer the extension of the methods of Box and Jenkins, ie ARCH, GARCH, TGARCH models among others, for modeling nonlinear time series, in which we obtain forecasts for 2012 for the series time:  Number of returnees back Peruvians by year by means of air transport. In the parametric approach not present the method of the Resilient Backpropagation Neural Network for modeling nonlinear time series, in which we obtain forecasts of 2012 to the time series:  Number of returnees back Peruvians by year by means of air transport. The time series studied for this research presents a structural change during the years of 2000-2003, which leads to the nonlinearity of the series. The estimation of the two approaches will be compared and approach that gives better predictions will be chosen, which will choose validation using indicators such as MAD (mean deviation residual) and SSE (sum of the squares of the waste)

Presenta el método integral de Melnikov para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias hamiltoniano, asociado a una perturbación uniparamétrica. Desarrolla un método para probar la existencia o no existencia de puntos homoclínicos transversales. Presenta como aplicación un estudio sobre la existencia y unicidad de una solución de tipo onda viajante para un modelo matemático en la combustión en un medio poroso.

Se desarrolla el método de elementos finitos para resolver un problema parabólico no lineal como es el caso de la ecuación de Fisher-Kolmogorov unidimensional, la cual es una clase importante de ecuaciones de reacción-difusión. Primero se parte de la aplicación del método de elementos finitos para resolver una ecuación diferencial lineal sujeta a condiciones de frontera, posteriormente se desarrolla el método de elementos finitos para resolver una ecuación diferencial no lineal con condiciones de frontera. Finalmente se resuelve por el método de elementos finitos, la ecuación de Fisher-Kolmogorov sujeta a condición inicial y de frontera, cuyos resultados numéricos son mostrados en las gráficas obtenidas en MATLAB. / Tesis