La thèse est divisée en deux parties, correspondantes aux deux sujets principaux de mon travail de thèse.Dans la première partie, on introduit les systèmes avec interactions à longue portée, dont les plasmas et les systèmes auto-gravitants. On résume les caractéristiques bien connues des systèmes isolés, en se focalisant sur la relaxation à l'équilibre. Ensuite, on considère les systèmes avec interactions à longue portée forcées hors d'équilibre et on généralise la théorie cinétique des systèmes isolés à des systèmes hors d'équilibre. Notre travail présentera les généralisations pour décrire les écoulements géophysiques et la turbulence bidimensionelle.La deuxième partie de la thèse traite des propriétés d'équilibre des systèmes Hamiltoniens utilisant les techniques des paysages énergétiques. On résume plusieurs résultats récents et on les applique à des systèmes avec interactions à longue et à courte portée. L'objectif principal de ce travail est l'étude de modèles avec un paysage énergétique beaucoup plus compliqué que ceux étudiés dans la littérature. Dans le cas de modéles O(n) ferromagnétiques, notre analyse a dévoilé une ressemblance surprenante entre l'énergie critique du modèle d'Ising et celle des autres modèles O(n). Une généralisation du formalisme de Stillinger et Weber est discutée. / The thesis is divided in two parts, corresponding to the two main subjects on which I have worked during my PhD. In the first Part, we introduce many-body long-range interacting systems, such as plasma and self-gravitating systems. We first review the well known properties of isolated systems, which show peculiar behaviors both for what concern the equilibrium and the relaxation to equilibrium. We then consider long-range systems driven away from equilibrium and we show how the techniques developed for isolated systems can be extended to describe these situations. Generalizations to describe simplified models relevant for geophysical flows and two-dimensional turbulence are also discussed. Our work stands at the edge between the study of long-range interacting systems and the study of non-equilibrium systems.The second part of the thesis is devoted to the study of equilibrium properties of Hamiltonian systems with energy landscape techniques. A number of recent results is reviewed and applied to long and short-range interacting systems. One of the scope of my work was to study models whose energy landscape is much more complicated than what previously done. In the case of ferromagnetic short-range O(n) models on hypercubic lattices, our analysis unveiled a striking similarity between the critical energies of the Ising model and the O(n) models defined on the same lattice with the same interaction matrix. Generalizations of the Stillinger and Weber formalism are discussed as preliminary results and future perspectives.

Dans le cadre de cette thèse, il s'agit d'étudier les effets électro-chimio-mécaniques à la nanoéchelle d'un système des argiles smectites saturés d'eau et des ions compensateurs à l'aide de la théorie de mécanique statistique. Des modèles plus complexes que celui de Poisson-Boltzmann comme DFT/MSA, HNC sont étudiés en prenant en compte des effets de corrélation entre des ions de taille finie ayant pour objectif de calculer la distribution des ions aux nanopores. D'autre part, en cherchant à comprendre la physique du système, nous avons résolu également le problème mécanique à cette échelle en introduisant les tenseurs des contraintes du fluide satisfaisant obligatoirement l'équilibre mécanique. Une fois les problèmes à la plus petite échelle sont dévoilés, une méthode d'homogénéisation périodique de type multi-échelles est utilisée pour passer aux échelles supérieures dans le but d'obtenir les lois constitutives macroscopiques des propriétés physiques comme la pression de gonflement, le transport, à partir des équations aux petites échelles. Dans ce contexte, les modèles à deux échelles et à trois échelles sont proposés pour atteindre les échelles microscopique ou macroscopique à partir des nanopores. En fin, le modèle de trois échelles (modèle de double porosité) est appliqué à la simulation d'une barrière argileuse avec un échange d'ions / In this work, we study electro-chemo-mechanical effects at the nanoscale of smectite clay particles saturated by saline solutions containing water and ions, with the aid of Statistical Mechanical theory. Some more complex models than Poisson-Boltzmann's one as DFT/MSA, HNC are studied taking into account the ion-ion correlations between ions with finite size in order to compute local ionic distributions in the nanopores. On the other hand, we resolved also the mechanical problem in this scale by introducing the stress tensors of fluid satisfying compulsorily mechanical equilibrium. Our aim next is to up-scale the model to higher scale based on homogenization of periodic structures aiming at obtaining the macroscopic constitutive laws for the disjoining pressure and transport problem. In this context, the two et three-scale models are proposed. Finally, the three-scale model (dual-porosity model) is applied for a clay barrier simulation with ion exchange problem

Comment les cellules eucaryotes remodèlent constamment leur espace intracellulaire est l'un des phénomènes auto-organisés les plus étonnants dans la nature. Pour ce faire, ces cellules exploitent la diffusion brownienne des macromolécules et cargos sur de petites échelles d’espace combinée avec des phénomènes de transport actif le long des filaments du cytosquelette entraînées par des protéines motrices.Malgré l'effort important de la communauté physico-mathématique sur ces problématiques biologiques, il est encore très difficile de rationaliser le mouvement des organites (et en général de la matière) à l'intérieur de la cellule.Dans cette thèse, nous abordons ce problème en généralisant l'analyse théorique d'un modèle physico-mathématique paradigmatique du transport hors-équilibre de protéines motrices (appelé TASEP) afin d'étudier l'impact d'un volume fini et d’une concentration finie de moteurs sur leur distribution dans le cytosol et le long du cytosquelette. En particulier, cela nécessite d'inventer une nouvelle méthodologie afin de résoudre ce problème où le mouvement de diffusion des moteurs dans le cytoplasme est couplé avec le transport collectif et dirigé de ces mêmes moteurs le long d'un ou plusieurs filaments du cytosquelette. De nouveaux phénomènes et régimes intéressants apparaissent par rapport aux études récentes apparus dans la littérature. En outre, la méthodologie développée ici, permet une analyse rapide et efficace des comportements de ces systèmes complexes pour lesquels la simulation numérique peut être longue en temps.La thèse est organisée comme suit. Le premier chapitre est consacré à l’introduction au sujet et à la définition des notions biologiques et physiques nécessaires pour le travail de recherche présenté ensuite.Le deuxième chapitre aborde une solution approchée pour le cas de transport réalisé sur un seul filament cytosquelettique plongé dans le cytosol, où le volume fini et la concentration finie de moteurs modifient qualitativement et quantitativement les diagrammes de phase décrivant la densité moyenne et le flux de moteurs le long du filament. Nous discutons ensuite les conditions physiques pour lesquels cette solution approchée n’est plus valable. Pour surmonter cette difficulté, dans le chapitre trois, nous décrivons une nouvelle méthode, inspirée par la « méthode des images » pour calculer les solutions de l'équation de Poisson en électrostatique, qui permet pour la première fois (à notre connaissance) de calculer analytiquement la distribution de moteurs qui diffusent en volume, c.à.d. le cytosol, sans aucune hypothèse d’approximation. En particulier, le procédé peut être facilement généralisé à tout type de distribution ou réseau de filaments et à plusieurs mécanismes de transport collectif le long des filaments. Cela permet d’explorer ainsi des régimes et des phénomènes nouveaux qui peuvent difficilement être étudiées par des simulations stochastiques en raison de la complexité des processus et de l'extension spatiale du système. Le chapitre quatre se concentre sur cette méthodologie innovante de calcul. Le chapitre cinq discute d’une variété de problèmes ouverts ainsi que d’ouvertures liées au thème étudié. Nous terminons cette thèse avec des conclusions générales se concentrant sur les implications physiques, biophysiques et biologiques de l’étude effectué.Les nombreux résultats obtenus ont un impact sur notre compréhension générale des processus de transport complexe, collectif et non-linéaire dans des phénomènes et situations où les moteurs peuvent se déplacer parmi des espaces avec des différentes dimensions physiques, avec des implications intéressantes pour la biologie, la mécanique statistique des systèmes hors-équilibre thermodynamique, de la théorie physico-mathématique du trafic et de la logistique. / How cells constantly remodel their intracellular space is one of the most astonishing self-organized phenomena in Nature. In order to do that, eukaryotic cells exploit the Brownian diffusion of macromolecules or organelles on small scales combined with active transport phenomena along cytoskeletal filament driven by motor proteins. Despite the important effort in the physico-mathematical community working on these biological issues, it is still very difficult to rationalize the motion of organelles (and in general of matter) inside the cell. In this thesis, we approach this problem by generalizing the theoretical analysis of a paradigmatic physico-mathematical model of non-equilibrium transport of motor proteins (called TASEP) to study the impact that a finite volume and a finite concentration of transporters have on their distribution in the cytosol and along the cytoskeleton. In particular, this requires inventing a new methodology in order to solve the problem where diffusive motion or transporters in the cytoplasm is coupled with directed collective transport along one or many cytoskeletal filaments. New interesting phenomena and regimes appear with respect to recent studies in literature. Moreover, the methodology developed so far, allow a fast and efficient investigation of complex systems behaviors for which numerical simulation can result very time consuming.The thesis is organized as follows. The first chapter is dedicated to an introduction on the topic and to the definition of biological and physical notions necessary for the research work presented. The second chapter tackles an approximate solution for the case of directed transport on a single cytoskeletal filament embedded in the cytosol, where the finite volume and the finite concentration of particles modify qualitatively and quantitatively the phase diagrams describing the average density and flux of transporters along the filament. We then discuss the physical conditions for which this approximated solution is no more valid. In order to overcome this difficulty, in chapter three we describe a novel method, inspired by the “images-method” to compute solutions of the Poisson equation in electrostatics, which allows for the first time (at our knowledge) to compute analytically the distribution of transporters in volume, i.e. the cytosol, without any approximated assumption. Importantly, the method can be easily generalized to any kind distribution or network of filaments and to other mechanisms of collective transport along the filaments. This makes possible to explore stationary regimes and new phenomena that can be hardly studied by stochastic simulations due to the complexity of the processes and the spatial extension of the system. Chapter four focuses on the innovative methodology of computation. Chapter five discusses miscellanea of problems and openings related to the topic studied. We end this thesis with general conclusions focusing on physical, biophysical and biological implications.The various results obtained have an impact on our general understanding on complex, collective and non-linear transport processes in situations and phenomena where transporters can move in spaces with different physical dimensions with interesting implications for biology, non-equilibrium statistical mechanics and the physico-mathematical theory of traffic and logistics.

La dynamique des écoulements géophysiques planétaires est fortement influencée par des processus physiques souvent non résolus par les modèles numériques de circulation générale. Il est essentiel de comprendre les mécanismes physiques sous-jacents pour paramétrer l’effet des petites échelles sur les grandes. Dans cette thèse, nous étudions un problème emblématique d’interactions entre ondes et écoulements moyens : la dynamique des écoulements zonaux forces par des ondes internes de gravite. Une manifestation remarquable de ces interactions est l’oscillation quasi-biennale (QBO) des vents équatoriaux dans l’atmosphère terrestre. Dans un premier temps, nous décrivons une transition vers le chaos dans un modèle quasi-linéaire classique du QBO. Nous montrons que ces bifurcations persistent dans des simulations numériques directes. A l’aune de ces résultats, nous proposons une interprétation de l’observation d’une rupture inattendue de la périodicité du QBO en 2016. Le mécanisme de génération d’écoulements moyens par les ondes dans les fluides stratifies nécessite la prise en compte d’effets dissipatifs. Il s’agit d’un phénomène analogue au "streaming" acoustique. Dans un second temps nous exploitons cette analogie en étudiant la génération d’écoulements moyens par les ondes internes proche d’une paroi, a l’aide d’approches asymptotiques multi échelles. Finalement, nous proposons une approche inertielle pour décrire l’émergence spontanée d’écoulements vorticaux en présence d’ondes : nous appliquons les outils de mécanique statistique pour calculer la partition d’énergie entre petites et grandes échelles dans le modèle d’eau peu profonde. / The dynamics of planetary-scale geophysical flows is strongly influenced by physicalprocesses, mostly unresolved by general circulation numerical models. To parametrisethe coupling between small and large scales, it is essential to understand the underlying physical mechanisms. In this thesis, we study an emblematic problem of interactions between waves and mean flows: the dynamics of zonal flows forced by internal gravity waves. A striking manifestation of these interactions is the quasi-biennial oscillation (QBO) of equatorial winds in the Earth’s atmosphere. First, we describe a transition to chaos in a classical quasilinear model of the QBO and show that these bifurcations persist in direct numerical simulations. Based on these results, we suggest an interpretation for the observation of the unexpected periodicity disruption of the QBO in 2016. The mechanism by which mean flows are generated by waves in stratified fluids requires the consideration of dissipative effects. This phenomenon is analogous to acoustic "streaming". In a second time, we exploit this analogy to study the generation of mean flows by internal gravity waves close to a wall, using multi-scale asymptotic approaches. Finally, we propose an inertial approach to describe the spontaneous emergence of vortical flows in the presence of waves: we apply the tools of statistical mechanics to calculate the partition of energy between small and large scales in the shallow-water model.

La compréhension de l'effet des petites échelles turbulentes sur l'organisation des grandes échelles des écoulements océaniques est un problème important, tant pour la description des courants de surface que pour la structure verticale des océans. Ces écoulements sont caractérisés par un nombre de degrés de liberté très élevé qui rend illusoire toute approche déterministe. Les outils de mécanique statistique permettent en revanche de réduire ces problèmes à l'étude de quelques paramètres. Dans la première partie, nous appliquons la mécanique statistique d'équilibre des écoulements bidimensionnels à l'étude de modèles simples d'océan. Il s'agit de comprendre les phénomènes d'organisation des courants à grande échelle. La seconde partie est une approche phénoménologique du mélange turbulent dans les fluides stratifiés. Il s'agit de décrire l'évolution temporelle de la probabilité de mesurer une certaine densité de fluide à une profondeur donnée.

Nous étudions les interfaces de quatre modèles de spins sur réseau: le modèle d'Ising à basse température, le modèle de Potts à la température critique, un modèle à symétrie continue et son approximation d'horloge.<br />Pour chacun de ces modèles, nous imposons des conditions au bord spécifiques qui assurent l'existence d'une interface ; les mesures de Gibbs associées à de telles conditions au bord satisfont alors de puissantes inégalités de corrélation. Ces inégalités nous permettent de montrer que les interfaces considérées sont rigides, au sens où ce sont des hyperplans légèrement déformés par des aspérités locales. Cette méthode est une version restreinte de la méthode de positivité par réflexion, l'une des directions de réflexion étant prohibée par les conditions au bord choisies.<br />Pour Ising et Potts, notre méthode simplifie considérablement les démonstrations historiques, puisque ni la théorie de Pirogov-Sinai, ni les développements en amas ne sont nécessaires à son application. Par ailleurs, la théorie-PS n'est directement envisageable ni pour le modèle continu ni son approximation car leurs états fondamentaux sont infiniment dégénérés; notre méthode est donc une réelle alternative à ces techniques.

Ce travail propose une étude expérimentale au niveau fondamental des fluctuations du travail et de la chaleur dans des sytèmes mécaniques hors d'équilibre, en vue de valider les approches théoriques récentes sur le sujet dues à Jarzynski, Crooks, Gallavotti, Cohen, van Zon et leurs collaborateurs. Dans un premier chapitre, nous introduisons ces nouveaux concepts et motivons la nécessité de réaliser des expériences afin de tester ces nouveaux résultats. Le second chapitre est consacré aux principes ainsi qu'à la réalisation du dispositif de mesure: un interféromètre différentiel inspiré de la technique de Nomarski, permettant de mesurer les déplacements thermiques sub-nanométriques de petits oscillateurs mécaniques dissipatifs. Un troisième chapitre détaille le principe ainsi que la réalisation d'une technique de réduction du bruit originale s'inspirant du filtrage de Wiener, dans le but de s'affranchir du bruit environnemental transmis aux systèmes considérés. Dans les deux derniers chapitres, nous étudions expérimentalement et théoriquement les fluctuations du travail ainsi que de la production de chaleur de petits oscillateurs mécaniques dissipatifs portés dans des états hors d'équilibre.

Nous étudions la géométrie d'une molécule d'ADN ouverte soumise à une contrainte de supertour. Nous redémontrons le théorème de Cãlugãreanu-White qui relie cette contrainte globale à la torsion locale. Le modèle de la tige élastique, utilisant la formule de Fuller, conduit à une divergence dans la limite continue. Cette pathologie est étudiée à l'aide de simulations numériques. Une analogie entre la forme d'un polymère et la trajectoire d'un rayon lumineux en diffusion multiple permet d'interpréter des expériences de diffusion de la lumière polarisée en termes géométriques. Dans le seconde partie, nous étudions la simulation numérique locale des systèmes chargés en interaction coulombienne. On présente les techniques usuelles de simulations numériques dont on discute les avantages et les inconvénients. Nous présentons un nouvel algorithme pour ces systèmes basé sur la loi de Gauss. Sa résolution rigoureuse conduit à ajouter un terme transverse au champ électrique que l'on fait évoluer par un algorithme de Monte-Carlo. La localité de l'algorithme permet un traitement rigoureux des inhomogénéités diélectriques et conduit à une complexité en O(N).

Les semi-groupes de Markov ergodiques permettent d'approcher des mesures de probabilité au moyen d'inégalités fonctionnelles. L'objectif de la thèse est l'étude de certaines de ces inégalités, de l'isopérimétrie gaussienne aux inégalités de Sobolev. Nous cherchons essentiellement à établir des liens entre elles, à déterminer leurs constantes optimales et à obtenir des critères assurant leur existence. Le travail est divisé en trois parties. Dans la première , nous nous intéressons aux liens entre les inégalités de Sobolev logarithmiques (SL) et celles d'?isopérimétrie gaussienne de Bobkov (IGB). Nous montrons qu'?un semi-groupe de courbure minorée (éventuellement négative) qui satisfait à (SL) vérifie également une inégalité (IGB). Nous obtenons ainsi une inégalité (IGB) pour certains systèmes de spins. Dans la seconde partie, nous montrons que la constante de Poincaré d'une mesure de probabilité log-concave sur la droite réelle est universellement comparable au carré de la distance moyenne à la médiane. La preuve repose sur un calcul de variations dans l'ensemble des fonctions convexes. La dernière partie est consacrée à de nouveaux critères conduisant aux inégalités de Sobolev lorsque le critère de courbure-dimension (CD) de Bakry et Emery est mis en défaut. La technique utilisée repose sur la construction (au moyen de changements conformes de métrique et tensorisation) d?'une structure de Dirichlet en dimension supérieure qui satisfait un critère (CD) et se projette sur la structure de départ.

Dans cette thèse, nous étudions le modèle de synchronisation de Kuramoto et plus généralement des systèmes de diffusions interagissant en champ moyen, en présence d'un aléa supplémentaire appelé désordre. La motivation principale en est l'étude du comportement du système en grande population, pour une réalisation fixée du désordre (modèle quenched). Ce document, outre l'introduction, comporte quatre chapitres. Le premier s'intéresse à la convergence de la mesure empirique du système d'oscillateurs vers une mesure déterministe, solution d'un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires couplées (équation de McKean-Vlasov). Cette convergence est prouvée indirectement via un principe de grandes déviations dans le cas averaged et directement dans le cas quenched, sous des hypothèses plus faibles sur le désordre. Le deuxième chapitre est issu d'un travail en commun avec Giambattista Giacomin et Christophe Poquet et concerne la régularité des solutions de l'EDP limite ainsi que la stabilité de ses solutions stationnaires synchronisées dans le cas d'un désordre faible. Les deux derniers chapitres étudient l'influence du désordre sur une population d'oscillateurs de taille finie et illustrent des problématiques observées dans la littérature physique. Nous prouvons dans le troisième chapitre un théorème central limite quenched associé à la loi des grands nombres précédente: on montre que le processus de fluctuations quenched converge, en un sens faible, vers la solution d'une EDPS linéaire. Le dernier chapitre étudie le comportement en temps long de cette EDPS, illustrant le fait que les fluctuations dans le modèle de Kuramoto ne sont pas auto-moyennantes.