Orientador: Marcelo Messias / Banca: Marcos Tadeu de Oliveira Pimenta / Banca: Márcio Ricardo Alves Gouveia / Resumo: O presente trabalho apresenta e prova um resultado sobre a existência e unicidade de um ponto-fixo para contrações locais sem assumir que a família de coeficientes seja uniformemente limitada por um número estritamente menor que a unidade, bem como sem restringir a cardinalidade desta família. Mais importante, mostra como este resultado de ponto-fixo pode ser aplicado a fim de estudar a existência e unicidade de soluções para equações recursivas que aparecem em economia dinâmica / Abstract: This work presents and proves a result on the existence and uniqueness of a fixed point for local contractions without assuming that the family of coefficients is uniformly bounded for a number stricrly less unit, and without restricting the cardinality of this family. More importantly, it shows how this fixed-point result can be applied to study the existence and uniqueness of solutions to recursive equations that arise in dynamic economy / Mestre

O presente trabalho soluciona o problema de cinética de difusão de nêutrons espacial em geometria cilíndrica analiticamente. A solução é exata no sentido que nenhuma aproximação é feita na sua derivação. Para isso, abordamos o estudo do problema de cinética espacial de duas formas, primeiramente, consideramos a técnica de separação de variáveis para resolver o problema monoenergético, com isso determinamos as autofunções espaciais apropriadas e analisamos todo o espectro de acordo com as condições de contorno. Além disso, considerando o mesmo modelo monoenergético, determinamos uma solução para um meio heterogêneo considerando duas células cilíndricas homogêneas adjacentes. A heterogeneidade do problema _e devido ao fato de que cada seção cilíndrica tem um conjunto de parâmetros nucleares diferentes. Posteriormente, estudamos o problema de cinética espacial considerando um modelo multigrupo com G grupos de energia e com I grupos de precursores de nêutrons atrasados. A ideia básica da solução consiste em supor que os uxos escalares e as concentrações de precursores de nêutrons atrasados possam ser expressos como o produto de funções espaciais por funções temporais e, com isso, conseguimos determinar a solução do problema de cinética desacoplado, solucionando uma EDP para as funções espaciais e solucionando o sistema de EDO's para as funções temporais. Apresentamos algumas simulações numéricas para validar o estudo teórico feito no desenvolvimento dessa pesquisa. / The present work solves the problem of spatial neutron di usion kinetics in cylindrical geometry analytically. The solution is analytical in the sense that no approximation is made in its derivation. For this, we approach the study of the problem of spatial kinetics in three ways, rstly, we consider the technique of separation of variables to solve the monoenergetic problem, with that we determine the appropriate spatial eigenfunctions and analyze the entire spectrum according to the boundary conditions. In addition, considering the same monoenergetic model, we determined a solution for a heterogeneous medium considering two adjacent homogeneous cylindrical cells. The heterogeneity of the problem is due to the fact that each cylindrical section has a set of di erent nuclear parameters. Subsequently, we study the problem of spatial kinetics considering a multigroup model with G energy groups and with I groups of delayed neutron precursors. The basic idea of the solution is to assume that scalar uxes and concentrations of delayed neutron precursors can be expressed as the product of spatial functions by time functions and, with that, we were able to determine the solution of the decoupled kinetic problem, solving an PDE for the spatial functions and solving the system of ODEs for the temporal functions. We present some numerical simulations to validate the theoretical study done in the development of this research.

Neste trabalho de mestrado tratamos de problemas de coloração em Teoria Extremal de Conjuntos. Para números inteiros positivos n, k, q e t, uma (q, t)-coloração de um hipergrafo k-uniforme H com n vértices é uma função que associa cada hiperaresta de H a uma cor em [q], onde dois elementos de mesma cor possuem intersecção de tamanho pelo menos t. Um resultado recente [1] informa qual é o hipergrafo que admite o maior número de (q, t)-colorações quando q {2, 3, 4} ou q ≥ 5 e k ≥ 2t - 1. No caso em que q ≥ 5 e k < 2t 1, este resultado determina propriedades que um hipergrafo que atinge o número máximo de colorações deve possuir, porém não identi ca os hipergrafos ótimos entre todos que satisfazem essas propriedades. A principal contribuição do nosso trabalho foi estudar uma conjectura proposta pelos autores daquele trabalho. Adaptando uma técnica clássica, demonstramos que essa conjectura é verdadeira em alguns casos. Uma outra contribuição deste trabalho foi a apresentação detalhada de demonstrações de resultados clássicos associados a este problema. / In this master's thesis we considered problems in Extremal Set Theory. For positive numbers n, k, q and t, we say that a (q, t)-coloring of an n-vertex k-uniform hypergraph H is a function such that each hyperedge from H is associated with a color in [q], where two hyperedges with the same color have at least t elements in common. A recent result [1] determined the set of hypergraphs allowing the maximum number of (q, t)-colorings when q {2, 3, 4}or when q ≥ 5 and k ≥ 2t . In the case q ≥ 5 and k < 2t - 1, that work found properties that a hypergraph with the maximum number of (q, t)-colorings satis es, but did not determine which hypergraphs are extremal. The main contribution of our work is to study a conjecture proposed by the authors of [1], which further restricts the class of possible extremal hipergraphs. Using a classical technique, we prove their conjecture for q 2 f5; 6g and restrict the class of possible extremal hipergraphs in the other cases. Another contribution of this work is the presentation of detailed proofs of the classical results related to this problem.

A Grapholita molesta (mariposa oriental) é a principal praga associada à cultura do pessegueiro na Região Sul do Brasil, provocando perdas da ordem de 3% a 5%. Diante disso, desenvolvemos um modelo matemático para descrever a evolução temporal de três fases do ciclo de vida da mariposa (ovo, lagarta e fêmea adulta) e de dois inimigos naturais (parasitoides). Determinamos os pontos de equilíbrio do modelo. viabilidade biológica suas respectivas estabilidades locais. Os Parâmetros para o modelo foram estabelecidos de acordo com dados experimentais encontrados na literatura.

Neste trabalho, apresentamos algumas técnicas de Análise Harmônica (envolvendo operadores integrais singulares, teoria de Calderón-Zygmund e o teorema Hardy- Littlewood-Sobolev) para a investigação das soluções da equação de Poisson u = f em Rn, no caso em que f 2 Lp(Rn) para algum 1 < p < 1. Nesta situação, as soluções não são (em geral) clássicas, mesmo assim exibem interessantes propriedades de regularidade que são analisadas com o uso destas técnicas. Em particular, mostramos como construir soluções e indicamos condições garantindo sua unicidade. Além disso, são obtidas diversas estimativas de interesse para as soluções construídas. Finalmente, aproveitamos parte da teoria desenvolvida para estabelecer alguns resultados importantes conhecidos sobre a pressão hidrodinâmica p( ; t) em escoamentos descritos pelas equações de Navier-Stokes para uidos viscosos incompressíveis. / In this work, we show some harmonic analysis techniques (involving singular integral operators, Calderón-Zygmund theory and the Hardy-Littlewood-Sobolev theorem) to investigate the solution of the Poisson equation u = f in Rn, in the case f 2 Lp(Rn) for some 1 < p < 1. In this situation, the solutions are not (in general) classics, but they still show interesting regularity properties that will be analyzed with the use of these technics. In particular, we show how to build solutions, and indicate conditions ensuring its uniqueness. In addition, various estimates of interest for solutions built are obtained. Finally, we take advantage of the theory developed to establish some important known results on the hydrodynamic pressure p( ; t) in ows described by the Navier-Stokes equations for incompressible viscous uids.

A técnica da matriz não-moda! é útil num contexto em que não se tem acesso aos modos normais de um sistema, caso freqüente em muitos modelos meteorológicos de área limitada. O método é investigado no contexto de um modelo unidimensional, tanto para integração temporal, como para filtrar componentes de altas freqü ências dos dados iniciais do modelo (procedimento conhecido como inicialização). Determinam-se os campos de velocidade com o uso da inversa generalizada de Moore-Penrose, como solução de uma equação de Poisson associada a cada componente da velocidade horizontal. Mostra-se também um estudo da dispersão vertical de contaminantes em camadas estáveis, cujo coeficiente de difusão turbulenta é obtido ela teoria ele similaridade local , num esquema de fechamento de primeira ordem. / The non-modal matrix technique is valuable if it does not have knowledgc of thc normal medes of the system. It is very usual in many limited area metercological models. The method is investigated in the one-dimensional model context, for temporal integration, anel for filtering high frequcncies in the initial data of the model (this procedure is known as initialization) . The velocity fields are obtained by using thc Moore-Pcnrosc gcncralizcd invcrsc. This inverse is a solution of the Poisson equa.t ions assotiatcd to cach horizontal velocity component. It is also shown a study of the vertical dispersion of containants in stable la.ycrs, whose turbulent coefficient is taken from Lhe local similarity theory (first closc ordcr).

Neste trabalho analisamos a hipótese de diferenciabilidade da função valor-ótimo em uma classe de problemas de otimização dinâmica. A classe de problemas analisada é cálculo variacional com horizonte infinito. O artigo de Benveniste e Scheinkman (1979) é apresentado de forma detalhada, além disso, seu lema fundamental é generalizado ao excluirmos a hipótese de concavidade sobre a função auxiliar. Finalmente, aplicamos alguns resultados estabelecidos por Milgrom e Segal (2002), a fim de obtermos a diferenciabilidade da função valor-ótimo para a mesma classe de problemas, mas de uma nova maneira, ampliando a análise sobre o tema.

A técnica da matriz não-moda! é útil num contexto em que não se tem acesso aos modos normais de um sistema, caso freqüente em muitos modelos meteorológicos de área limitada. O método é investigado no contexto de um modelo unidimensional, tanto para integração temporal, como para filtrar componentes de altas freqü ências dos dados iniciais do modelo (procedimento conhecido como inicialização). Determinam-se os campos de velocidade com o uso da inversa generalizada de Moore-Penrose, como solução de uma equação de Poisson associada a cada componente da velocidade horizontal. Mostra-se também um estudo da dispersão vertical de contaminantes em camadas estáveis, cujo coeficiente de difusão turbulenta é obtido ela teoria ele similaridade local , num esquema de fechamento de primeira ordem. / The non-modal matrix technique is valuable if it does not have knowledgc of thc normal medes of the system. It is very usual in many limited area metercological models. The method is investigated in the one-dimensional model context, for temporal integration, anel for filtering high frequcncies in the initial data of the model (this procedure is known as initialization) . The velocity fields are obtained by using thc Moore-Pcnrosc gcncralizcd invcrsc. This inverse is a solution of the Poisson equa.t ions assotiatcd to cach horizontal velocity component. It is also shown a study of the vertical dispersion of containants in stable la.ycrs, whose turbulent coefficient is taken from Lhe local similarity theory (first closc ordcr).

Neste trabalho de mestrado tratamos de problemas de coloração em Teoria Extremal de Conjuntos. Para números inteiros positivos n, k, q e t, uma (q, t)-coloração de um hipergrafo k-uniforme H com n vértices é uma função que associa cada hiperaresta de H a uma cor em [q], onde dois elementos de mesma cor possuem intersecção de tamanho pelo menos t. Um resultado recente [1] informa qual é o hipergrafo que admite o maior número de (q, t)-colorações quando q {2, 3, 4} ou q ≥ 5 e k ≥ 2t - 1. No caso em que q ≥ 5 e k < 2t 1, este resultado determina propriedades que um hipergrafo que atinge o número máximo de colorações deve possuir, porém não identi ca os hipergrafos ótimos entre todos que satisfazem essas propriedades. A principal contribuição do nosso trabalho foi estudar uma conjectura proposta pelos autores daquele trabalho. Adaptando uma técnica clássica, demonstramos que essa conjectura é verdadeira em alguns casos. Uma outra contribuição deste trabalho foi a apresentação detalhada de demonstrações de resultados clássicos associados a este problema. / In this master's thesis we considered problems in Extremal Set Theory. For positive numbers n, k, q and t, we say that a (q, t)-coloring of an n-vertex k-uniform hypergraph H is a function such that each hyperedge from H is associated with a color in [q], where two hyperedges with the same color have at least t elements in common. A recent result [1] determined the set of hypergraphs allowing the maximum number of (q, t)-colorings when q {2, 3, 4}or when q ≥ 5 and k ≥ 2t . In the case q ≥ 5 and k < 2t - 1, that work found properties that a hypergraph with the maximum number of (q, t)-colorings satis es, but did not determine which hypergraphs are extremal. The main contribution of our work is to study a conjecture proposed by the authors of [1], which further restricts the class of possible extremal hipergraphs. Using a classical technique, we prove their conjecture for q 2 f5; 6g and restrict the class of possible extremal hipergraphs in the other cases. Another contribution of this work is the presentation of detailed proofs of the classical results related to this problem.

Neste trabalho, apresentamos algumas técnicas de Análise Harmônica (envolvendo operadores integrais singulares, teoria de Calderón-Zygmund e o teorema Hardy- Littlewood-Sobolev) para a investigação das soluções da equação de Poisson u = f em Rn, no caso em que f 2 Lp(Rn) para algum 1 < p < 1. Nesta situação, as soluções não são (em geral) clássicas, mesmo assim exibem interessantes propriedades de regularidade que são analisadas com o uso destas técnicas. Em particular, mostramos como construir soluções e indicamos condições garantindo sua unicidade. Além disso, são obtidas diversas estimativas de interesse para as soluções construídas. Finalmente, aproveitamos parte da teoria desenvolvida para estabelecer alguns resultados importantes conhecidos sobre a pressão hidrodinâmica p( ; t) em escoamentos descritos pelas equações de Navier-Stokes para uidos viscosos incompressíveis. / In this work, we show some harmonic analysis techniques (involving singular integral operators, Calderón-Zygmund theory and the Hardy-Littlewood-Sobolev theorem) to investigate the solution of the Poisson equation u = f in Rn, in the case f 2 Lp(Rn) for some 1 < p < 1. In this situation, the solutions are not (in general) classics, but they still show interesting regularity properties that will be analyzed with the use of these technics. In particular, we show how to build solutions, and indicate conditions ensuring its uniqueness. In addition, various estimates of interest for solutions built are obtained. Finally, we take advantage of the theory developed to establish some important known results on the hydrodynamic pressure p( ; t) in ows described by the Navier-Stokes equations for incompressible viscous uids.