Orientador: Prof. Dr. Jeferson Cassiano / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Neste trabalho de dissertação, apresentamos uma linha de pesquisa envolvendo a incomensurabilidade com um estudo de caso do número de ouro; sua definição, suas aplicações, sua relação com o pentagrama e com a sequência de Fibonacci e também suas curiosidades que o relacionamos com a arte e a natureza. O objetivo é mostrar como este tema pode vir a ser abordado entre os alunos do Ensino Fundamental e Medio de forma prática e interativa. / In this dissertation, we present a line of research involving incommensurable with a case study of the number of gold, its defnition, its applications, its relationship with the pentagram and the Fibonacci sequence and its curiosities that relate to art and nature. The goal is to show how this theme might be broached among students of middle school and high school in a practical and interactive way.

Orientador: Prof. Dr. Maurício Firmino Silva Lima / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Esta dissertação apresenta as Frações Contínuas como facilitador para a compreensão do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Busco retomar aspectos históricos sobre os segmentos comensuráveis e incomensuráveis, utilizando os convergentes das frações contínuas finitas e infinitas para compreensão da importância de uma boa aproximação. Assim, apresento como sugestão que esse tema seja incluído na Educação Básica, não como um tema curricular, mas como uma rica ferramenta para aplicação em diversos conteúdos já previstos nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio. / This dissertation presents the continued fractions as a facilitator to understanding the set of rational numbers and the set of irrational numbers. I have been looking for ways to resume historical aspects of the commensurable and incommensurable segments, using the convergent finite continued fractions and infinite to understanding the importance of a good approach. So, I offer a suggestion that this issue be included in basic education, not as a curriculum subject, but as a rich tool for application on content already provided for in the final years of elementary school and in high school.

Orientador: Prof. Dr. Sinuê Dayan Barbero Lodovici / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Esta dissertação apresenta as Frações Contínuas como facilitador para a compreensão do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Busco retomar aspectos históricos sobre os segmentos comensuráveis e incomensuráveis, utilizando os convergentes das frações contínuas finitas e infinitas para compreensão da importância de uma boa aproximação. Assim, apresento como sugestão que esse tema seja incluído na Educação Básica, não como um tema curricular, mas como uma rica ferramenta para aplicação em diversos conteúdos já previstos nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio. / The main objective of this thesis is to present basic structures of algebra and some algebraic concepts related to Galois theory, in order to prove Abel¿s theorem. In addition, we¿ll show you how to solve quadratic equations, cubic and quartic equations by radicals. Finally, we present Newton¿s method, by which we can numerically solve equations that are not solvable by radicals.

Orientadora: Profa. Dra. Ana Carolina Boero / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / O Teorema Fundamental da Álgebra é um tópico de grande relevância para a Matemática, com o qual o aluno toma contato na 3a série do Ensino Médio. Talvez porque todas as demonstrações conhecidas desse resultado utilizem argumentos que não podem ser apresentados de modo preciso nessa etapa de ensino, sua abordagem em diversos livros didáticos resume-se, basicamente, a destacar algumas de suas consequências e aplicações. O propósito deste trabalho é fornecer um material que possa ser utilizado por professores da Educação Básica no intuito de explorar esse fascinante resultado. Para atingirmos esse objetivo, apresentamos uma breve contextualizaçãohistória do Teorema Fundamental da Álgebra, que serve tanto para apontar sua utilidade em outros ramos da Matemática como também para observar a evolução de certos conceitos matemáticos. Em seguida, apresentamos uma prova rigorosa desse resultado, com o menor nível de complexidade possível, além de duas abordagens alternativas com apelo visual que podem ser utilizadas para apresentar uma justificativa de sua validade aos alunos do Ensino Médio. / The Fundamental Theorem of Algebra is a topic of great relevance to Mathematics, with which the student makes contact in the 3rd grade of High School. Perhaps because all known demonstrations of this result use arguments that can not be accurately presented at this stage of teaching, its approach in several textbooks basically boils down to highlighting some of its consequences and applications. The purpose of this work is to provide a material that can be used by teachers of Basic Education in order to explore this fascinating result. To reach this goal, we present a brief history of the Fundamental Theorem of Algebra, which serves both to point out its usefulness in other branches of mathematics and also to observe the evolution of certain mathematical concepts. Next, we present a rigorous proof of this result, with the lowest level of complexity possible, as well as two alternative approaches with visual appeal that can be used to present a justification of its validity to high school students.

Orientador: Prof. Dr. Vinicius Cifú Lopes / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Inicia-se o presente trabalho apresentando ao leitor a necessidade de se apropriar profundamente dos conceitos relacionados às funções lineares e quadráticas, seu crescimento e decrescimento, estudos dos sinais e construção de seus respectivos gráficos, da resolução pelo método do varal para inequações-produto e inequações-quociente, que auxiliam na construção de gráficos de funções de graus maiores que dois, das variáveis e substituição de variáveis, bem como calcular e operar com polinômios, especialmente a divisão euclidiana e o algoritmo de Briot-Ruffini, para então estudar as sequências e séries numéricas. O estudo das séries de potências, desenvolvido no capítulo 5, é de fundamental importância na expansão do polinômio de Taylor, com suas aproximações sucessivas para as funções seno, cosseno entre outras, definidas por séries de potências e para a perfeita compreensão dos resultados presentes no capítulo final. / The present work begins by presenting to the reader the need to take a firm hold of the concepts related to linear and quadratic functions, their growth and decrement, studies of their signal and construction of their respective graphs, resolution by the factor method for product inequalities and quotient inequalities, which help constructing graphs of functions of degrees greater than two, variables and variable substitution, as well as to calculate and operate with polynomials, especially the Euclidean division and the Briot-Ruffini algorithm, and then to study the sequences and series numbers. The study of power series, developed in Chapter 5, has fundamental importance for the expansion of the Taylor polynomial, with its successive approximations for the functions sine, cosine among others, defined by power series, and for the perfect understanding of the results shown in the final chapter.

Orientador: Prof. Dr. Marcus Antônio Mendonça Marrocos / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Nessa dissertação, os números complexos ganham uma nova maneira de ser explorados em sala de aula. Apropriando-se de teorias contemporâneas e do mais alto nível em Matemática, como Sistemas Dinâmicos e Fractais, foi possível investigar e explorar os Conjuntos de Mandelbrot e os Preenchidos de Julia. Utilizando-se das TIC¿s (Tecnologias da Informação e Comunicação), o software Geogebra e aplicativos do celular somam forças para proporcionar ao aluno uma forma diferente de experimentar o Conjunto dos Números Complexos, usando-os, na contemplação dos Fractais de Julia e Mandelbrot. / In this dissertation, complex numbers acquire a new form of explanation in the classroom. By using contemporary theories of the highest level in Mathematics, as Dynamical Systems and Fractals, it was possible to investigate and explore the Mandelbrot sets and the Filled Julia set. By using ICT¿s (Information and Communication Technologies), the Geogebra software and mobile apps, provide the student with a new way to experience with the Set of Complex Numbers, using them, in the visualization, of Julia and Mandelbrot¿s Fractals.

Orientador: Prof. Dr. André Ricardo Oliveira da Fonseca / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Esse trabalho aborda o ensino e aprendizagem das Equações Algébricas na educação básica estadual paulista, tema que compõe o currículo oficial do Estado de São Paulo, mais especificamente, o segundo bimestre do terceiro ano do ensino médio. Discorre sobre os aspectos históricos das equações algébricas, as deduções de fórmulas resolutivas das equações até o quarto grau e a impossibilidade de haver fórmulas resolutivas para as equações de grau superior a quatro. Discute-se ainda alternativas para encontrar soluções de equações de grau superior a dois, sem a utilização de fórmulas resolutivas, a partir da pesquisa das possíveis raízes racionais, se existirem, e da diminuição do grau da equação, quando se conhece algumas de suas raízes. Disserta também sobre como o estudo das equações é tratado no material disponibilizado aos alunos do ensino público paulista. Traz, finalmente, algumas sugestões de atividades sobre o tema proposto, além de um estudo de caso realizado com alunos do terceiro ano do ensino médio, em que se faz uma análise dos conhecimentos trazidos por eles de estudos realizados em anos anteriores e uma avaliação formativa durante e após a aplicação das atividades. / This work addresses the teaching and learning of Algebraic Equations in São Paulo state basic education, a subject that makes up the official curriculum of the State of São Paulo, more specifically, the second quarter of the third year of high school. It discusses the historical aspects of algebraic equations, deductions from resolving formulas equations to the fourth degree and the impossibility of resolving formulas for equations of degree higher than four. It is also discussed alternatives to find equations of degree solutions higher than two, without the use of resolving formulas, from the research of the possible rational roots, if any, and the decrease in the degree of the equation when you know some of its roots . It also talks about how the study of equations is treated in the material available to students of the São Paulo public education. It brings finally some suggestions of activities on the theme, as well as a case study in the third year of high school students, in which an analysis of the knowledge brought by them studies in previous years and formative assessment during and after the implementation of activities.

Orientador: Prof. Dr. Rafael de Mattos Grisi / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Neste trabalho analisamos uma versão simplificada do jogo Monopoly utilizando um modelo de Cadeia de Markov com parâmetro de tempo discreto. No primeiro capítulo discorremos sobre a Teoria Clássica das Probabilidades, trazendo os resultados mais importantes para este estudo, precedida por uma breve introdução acerca das ideias sobre o acaso ao longo da história da humanidade e os principais pensadores envolvidos no desenvolvimento dessa Teoria. No segundo capítulo fazemos uma introdução histórica aos processos estocásticos e às Cadeias de Markov; em seguida, explicamos os conceitos fundamentais sobre Cadeias de Markov, colocando alguns exemplos e por fim discutindo a ergodicidade de uma Cadeia de Markov. No terceiro capítulo, após uma breve explicação sobre o surgimento e posterior evolução do jogo Monopoly ao longo do século XX, analisamos a dinâmica do jogo pelo modelo de uma Cadeia de Markov, utilizando como objeto de estudo uma versão mais simples do jogo em questão. / In this work we analyze a simplified version of the Monopoly game using a Markov chain model with discrete time parameter. In the first chapter we discuss on the Classical Theory of Probability, bringing the most important results for this study, preceded by a brief introduction about the ideas of chance throughout the history of mankind and leading thinkers involved in the development of this theory. In the second chapter we make a historical introduction to stochastic processes and Markov chains; then we explain the fundamental concepts of Markov Chains, putting some examples and finally discussing the ergodicity of a Markov chain. In the third chapter, after a brief explanation of the emergence and subsequent evolution of the Monopoly game throughout the twentieth century, we analyze the dynamics of the game by the model of a Markov chain, using as an object of study a simpler version of the game in question.

Orientador: Prof. Dr. Daniel Miranda Machado / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Este trabalho foi desenvolvido para auxiliar alunos ingressantes no ensino superior, revisando t opicos da trigonometria e de funcoes trigonometricas, podendo auxiliar tambem alunos do ensino medio, professores ou interessados no assunto. Este trabalho parte de estudos iniciais da trigonometria e aborda de maneira simples a construcao de graficos de funcoes trigonometricas da forma f(x) = a+b. sen(c.x+d), onde a, b, c e d sao coeficientes reais que alteram a amplitude, a imagem e período das funcões trigonometricas. Sao deduzidas as formulas de adicao de arcos, que auxiliam na demonstracao de outras equacoes, como por exemplo o teorema das relacoes entre as cordas de circunferencia, de Ptolomeu,. Tambem apresentamos aplicacoes da trigonometria aos triangulos nao retangulos, como a lei dos senos e a lei dos cossenos, utilizada tambem para um triangulo qualquer, auxiliando na demonstracao de equacoes importantes, como por exemplo da força resultante, em Física. / In this work we analyze a simplified version of the Monopoly game using a Markov chain model with discrete time parameter. In the first chapter we discuss on the Classical Theory of Probability, bringing the most important results for this study, preceded by a brief introduction about the ideas of chance throughout the history of mankind and leading thinkers involved in the development of this theory. In the second chapter we make a historical introduction to stochastic processes and Markov chains; then we explain the fundamental concepts of Markov Chains, putting some examples and finally discussing the ergodicity of a Markov chain. In the third chapter, after a brief explanation of the emergence and subsequent evolution of the Monopoly game throughout the twentieth century, we analyze the dynamics of the game by the model of a Markov chain, using as an object of study a simpler version of the game in question.

Orientador: Prof. Dr. Jerônimo Cordoni Pellegrini / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / O objetivo deste trabalho é apresentar alguns métodos para a resolução de problemas de programação linear. Iremos definir este tipo de problema e mostrar alguns casos onde pode-se obter uma solução ótima com a ajuda de gráficos. Outra preocupação é mostrar que existem várias aplicações para otimização linear, por esse motivo alguns problemas clássicos serão discutidos e modelados. Para uma melhor compreensão sobre restrições lineares e soluções viáveis, iremos definir conjunto convexo, poliedro e politopo. Algumas situações especiais que podem surgir em otimização serão discutidas, especificamente os casos de problemas inviáveis, ilimitados e degenerados. O Método Simplex, que percorre os vértices do poliedro determinado pelas restrições lineares, será apresentado juntamente com o método das duas fases e alguns exemplos. Para resolver problemas de programação linear inteira, que são aqueles onde restringimos as variáveis de decisão a valores inteiros, o método Branch-and-Bound e Planos de Corte serão apresentados. O caso de matriz totalmente unimodular também será discutido. Finalizando, uma sequência de problemas de programação linear será sugerida, onde professor e aluno do ensino médio terão a oportunidade de discutir, modelar e encontrar a solução ótima destes problemas contando com auxílio de recursos computacionais se necessário. / The aim of this work is to present some methods for solving linear programming problems. We will define this kind of problem and show some cases where you can obtain an optimal solution with the help of graphics. Another concern is to show that there are several applications for linear optimization, therefore some classic problems will be discussed and modeled. For a better understanding about linear constraints and feasible solutions, we will define convex set, polyhedron and polytope. Some special situations that may arise in optimization will be discussed, specifically the cases of unfeasible, unlimited and degenerate problems. The Simplex method, which runs through the vertices of the polyhedron determined by linear constraints, will be presented along with the method of the two phases and some examples. To solve integer programming problems, which are those that restrict the decision variables to integer values, the Branch-and-Bound and Cutting-Plane method will be presented. The case of totally unimodular matrix will also be discussed. Finally, a sequence of linear programming problems is suggested, where teacher and high school student will have the opportunity to discuss, model and find the optimal solution of these problems with help of computer resources if necessary.