Ce travail propose de nouvelles contributions aux méthodes d’homogénéisation avec des applications aux composite, aux polycristaux et aux milieux poreux. Les propriétés effectives sont déterminées en résolvant un problème élémentaire sur la cellule unitaire que l’on peut reformuler avec l’équation de Lippmann-Schwinger (LS). Celle-ci est résolue en utilisant des développements en série de Neumann. Plusieurs approches sont alors proposées pour calculer les différents termes de la série, en utilisant des approches analytiques ou numériques. Ainsi, dans les deux premiers chapitres, on établit une famille d’équation LS pour la polarisation dans le contexte de la conductivité thermique et de l’élasticité. L’opérateur de cette équation est optimisé afin d’obtenir la meilleur convergence de la série de Neumann et par conséquent la meilleur estimation des propriétés effectives du composite. L’estimation proposée est basée à la fois sur une série tronquée et une estimation du résidu de la série de Neumann. Le travail présenté au chapitre 3 concerne le calcul des propriétés de transport de masse en milieu poreux. De manière classique, la loi de filtration est donnée par la loi de Darcy à l’échelle macroscopique. Dans ce travail, on calcule les termes correctifs à l’équation de Darcy lorsque la condition de stricte séparation des échelles n’est pas vérifiée. Ces termes correctifs sont calculés numériquement en résolvant une équation LS et en utilisant un schéma itératif basé sur la transformée de Fourier Rapide (TFR). Finalement, au chapitre 4, on détermine numériquement des bornes pour les propriétés élastiques des polycristaux en utilisant toujours les approches basées sur la TFR. L’approche proposée permet de tenir compte de la géométrie exacte de la cellule de Voronoi en utilisant les expressions exactes des fonctions formes pour des polygones et des polyèdres. La méthode est appliquée à des polycristaux constitués de monocristaux cubiques / This work proposed some contributions to the homogenization methods with applications to composites materials, polycristals and porous media. The effective properties are determined by solving the unit cell problem and the corresponding Lippmann-Schwinger (LS) equation. The latter is solved by means of Neumann series. Different approaches are considered to evaluate each terms of the series using analytic or numerical approaches. In the first two chapters, we formulate a general class of LS equations for the polarization in the case of conductivity and then elasticity. The operator of the latter is optimized to obtain the best convergence of the associated Neumann series and then of the better estimate of the effective of the composite. The estimate is based on both a truncated Neumann series and an approximation of its residual. In chapter 3, we deal with the mass transport properties of porous media. Classically, the filtration law is given by the Darcy equation at the macroscopic scale. In the present work we compute the corrective terms of the Darcy equation in the situation of no strict scale separation. These corrective terms are determined numerically by solving a LS equation with a fast Fourier Transform (FFT) based iterative scheme. Finally, in chapter 4, we derivative numerically some bounds for the elastic properties of polycristals still by means of an FFT iterative scheme. The approach uses an exact description of the voronoi-unit cell geometry by using the shape functions of polygons and polyhedrons. The method is applied to polycristals constituted of cubic single crystals

Au cours de cette thèse nous nous sommes intéressés à la problématique du démélange hyperspectral en milieux urbains. En particulier nous nous sommes penchés sur la prise en compte du phénomène de variabilité intra-classe dans les méthodes de démélange. La mise en évidence de la variabilité intra-classe a été le point de départ de cette étude. Nous avons ainsi constaté que ce phénomène était non-négligeable dans les milieux urbains et qu'il devait être pris en compte. En nous basant sur des modèles de mélange existants dans la littérature nous avons développé deux nouveaux modèles de mélange prenant en compte cette variabilité intra-classe. Le premier est un modèle de mélange linéaire. Le second est un modèle linéaire-quadratique qui permet de prendre en compte les réflexions multiples sur les bâtiments. Dans un premier temps nous ne nous sommes intéressés qu'au cas des modèles linéaires. Comme aucune méthode de la littérature ne permet d'effectuer le démélange à partir de nos modèles de mélange nous avons développé deux méthodes UP-NMF et IP-NMF. UP-NMF est une adaptation de la méthode NMF à notre modèle de mélange. Pour rendre compte de la notion de classes de matériaux purs une contrainte sur l'inertie des classes a été ajoutée à UP-NMF pour obtenir IP-NMF. Les premiers tests ont été effectués sur données semi-synthétiques et ont permis de déterminer l'impact de l'initialisation de ces méthodes sur leurs performances et de fixer le paramètre d'inertie. Les performances de UP-NMF et IP-NMF ont été comparées à celles des méthodes standards de démélange. Les seconds tests ont été effectués sur une portion d'image de Toulouse. Dans cette partie nous avons mis en évidence que, contrairement à des méthodes standards, les résultats de IP-NMF étaient peu sensibles à une erreur sur l'estimation du nombre de classes pures. Finalement nous avons développé une méthode de démélange linéaire-quadratique, LQIP-NMF, en nous basant sur le modèle que nous avons mis en place. Les tests de LQIP-NMF ont montré qu'en cas de trop forte variabilité intra-classe les effets de non-linéarité étaient de second ordre et qu'il ne semblait pas pertinent de les prendre en compte. / This work is devoted to unmixing for urban areas. We particularly focused on the impact of intra-class variability on unmixing. We first described the results of a study highlighting intra-class variability assessed in real images. It appeared that this phenomenon was significant and had to be included in the mixing models. Based on the state of the art we developed 2 new mixing models dealing with intra-class variability. The first one is a linear one. The second one is a linear-quadratic one which allows to consider multiple scattering effects on buildings. First only the linear mixing model was considered. Currently it does not exist any unmixing method able to deal with this new model. So two methods were developed, UP-NMF and IP-NMF. UP-NMF is a new unmixing method based on an extension of the standard NMF. To overcome UP-NMF limitations an extended method is proposed, IP-NMF, which limit the spreading of each class by adding an inertia constraint in the cost function. These methods were firstly tested on a semi-synthetic data set. These tests allowed us to study the impact of the initialisation on our methods performance and also to fix the inertia parameter. We also compared the results of UP-NMF and IP-NMF to the results obtained with standard methods. The second tests were performed on an image taken above Toulouse. It appeared that IP-NMF is less sensitive to an error in the estimation of classes number than standard methods. Finally we developed a linear-quadratic method, LQIP-NMF, dealing with the non-linear mixing model previously described. In cases of high intra-class variability, the quadratic terms are drowned in the large variability of materials. So it seems that it is not relevant to taking into account these non-linearities.

L'étude des formes de la nature, de leur diversité, de leur reproductibilité ainsi que de leurs origines a toujours suscité un vif intérêt et, en particulier, la forme polygonale des cellules au sein des épithéliums monocouches, depuis leur observation par Hooke en 1665. Le travail de thèse exposé à travers ce mémoire vise une meilleure compréhension de la morphogenèse de ces tissus. Pour y parvenir, trois approches ont été combinées : la biologie expérimentale du développement, l'analyse biostatistique et, principalement ici, la modélisation biomécanique et numérique. L'hypothèse d'une influence des efforts mécaniques dans l'organisation des épithéliums monocouches en formation a conduit au développement d'un modèle bidimensionnel de cellules, basé sur la physique des milieux divisés et permettant une plasticité de forme ainsi qu'une capacité de libre auto-organisation. Les simulations de morphogenèse de tissus constitués de ces cellules ont alors, d'une part, été confrontées aux observations et, d'autre part, permis de faire varier des paramètres difficilement accessibles expérimentalement, principalement ceux régissant l'évolution cellulaire ainsi que les conditions aux limites. Les résultats issus de ces simulations ont ainsi permis de corroborer ceux provenant des expérimentations : les tissus non prolifératifs sont plus organisés que les prolifératifs et l'apoptose semble jouer un rôle stabilisateur de la morphogenèse des épithéliums prolifératifs. En outre, les études numériques montrent que l'organisation des tissus non prolifératifs semble décroître quand leur vitesse de développement augmente. Par ailleurs, les tissus paraissent plus organisés avec une division et une apoptose contrôlées par des critères mécaniques plutôt que lorsque le système prolifère suivant des critères aléatoires. En conclusion, ce travail de thèse montre l'importance des interactions mécaniques dans le processus de morphogenèse épithéliale et représente une première base prometteuse pour des études futures en ce domaine (étude tridimensionnelle, structuration du cytosquelette, tissus hyperprolifératifs, etc.). / The study of natural forms, their diversity, their reproducibility and their origin has always fascinated the scientists, and particularly the polygonal form of cells in monolayer epithelia, since their observation by Hooke in 1665. The present PhD work aims to better understand tissue morphogenesis. To do so, three approaches have been combined: experimental biology, biostatistical analysis and, mainly here, biomechanical and numerical modeling. The hypothesis of the influence of mechanical efforts on the organization of forming monolayer epithelia leads to the development of a 2D cell model based on the physics of divided media, that enables form plasticity and the ability of free auto-organization. The simulations of tissue morphogenesis composed by these cells have been compared to biological observations. Besides, this approach enables the variation of parameters hardly accessible by experiments, mainly those governing the cell evolution as well as boundary conditions. Thus, the results issued from these simulations corroborate experimental data: non-proliferative tissues appear more organized than proliferative ones and apoptosis seems to be a positive regulator in morphogenetic stability. Furthermore, numerical studies show that the organization of non-proliferative tissues seems to decrease as their development speeds increase. In addition, the tissues appear more organized if the proliferation is mechanically controlled than if it is randomly governed. To conclude, this PhD work shows the importance of mechanical interactions in epithelial morphogenesis and constitutes a first promising basis for further studies in this field (3D study, cytoskeleton structuration, hyperproliferative tissue, etc.).

Ce travail de thèse a pour ambition d'apporter des éléments de compréhension du rôle des contraintes résiduelles au sein des plaques d'athérosclérose. Il s'inscrit dans un programme de recherche qui vise à développer de nouveaux outils favorisant l'aide au diagnostic de patients atteints de cette maladie cardiovasculaire. Suivant les évolutions majeures de ces dernières années, la première partie de ce travail présente une vision contemporaine de la maladie d'athérosclérose et des nombreux enjeux de modélisation mécanique auxquels la compréhension de la maladie et son diagnostic font appel. Nous faisons émerger un manque certain quant au rôle des contraintes résiduelles dans cette maladie. Les contraintes résiduelles sont un marqueur naturel du développement des tissus. La deuxième partie de ce travail aborde leur quantification expérimentale au sein des artères saines et pathologiques de souris. De façon intéressante nous montrons leur importance et la nécessité de les prendre en compte pour avoir une image raisonnable de l'état de contraintes des artères en conditions physiologiques. Ces résultats originaux n'ont toutefois pas permis d'établir de corrélation avec l'intensité du processus inflammatoire au sein des plaques. Enfin, la dernière partie de ce travail aborde la modélisation du développement des contraintes résiduelles. Un effort de description de la structure géométrique des corps avec des contraintes résiduelles a été fait afin de faire émerger de nouveaux outils de modélisation de leur développement. Une première application d'un modèle de croissance intrinsèque est présentée et illustrée. Cette approche semble prometteuse et apporte déjà quelques éléments de compréhension du développement des contraintes résiduelles. Toutefois, les travaux effectués ne constituent qu'une étape préliminaire et n'ont pas encore été exploités pleinement. Par contre ces travaux ouvrent assurément de nouvelles perspectives de recherche. / This graduate research has the ambition to bring some understandings of the role of residual stresses in atheroma plaques. It falls under a research program which aims at developing new tools in supporting the diagnosis of patients concerned with this cardiovascular disease. Considering the major changes in the past decade, the first part of this work presents a contemporary vision of the atherosclerosis disease and many mechanical modeling challenges brought by its understanding and diagnosis appeal. We emphasized a lack in the description of the role of residual stresses in this disease even if they are a natural marker of tissues development. The second part of this work approaches their experimental quantification within healthy and pathological mice arteries. Interestingly, we have shown their importance and the need to take them into account in order to have a reasonable image of the stresses state of arteries in physiological conditions. These original results however did not make it possible to establish correlation with the intensity of the inflammatory process within the plaques. Finally, the last part of this work approaches the modeling of the development of residual stresses. An effort in the description of the geometrical structure of material bodies with residual stresses allowed the emergence of new tools to model their development. A first application of an intrinsic growth model is presented and illustrated. This approach seems promising and already brings some key explaining elements in the development of residual stresses. However, carried out work constitutes only one preliminary stage and were not yet fully exploited. Hence, this work undoubtedly opens new prospects of research.

Dans cette thèse, deux approches de caractérisation d'un comportement mécanique sont présentées, l'une sur la banquise Arctique, l'autre sur les milieux granulaires. Premièrement, une analyse de type mécanique des milieux continus est réalisée sur la banquise de manière à extraire la physique qui, au premier ordre, explique l'augmentation récente des vitesses de dérive et de déformation. Une méthode originale pour accéder aux propriétés mécaniques de la couverture de glace aux grandes échelles de temps et d'espace, c'est à dire sur tout le bassin Arctique et au cours de ces 40 dernières années, est proposée en quantifiant l'amplitude de la composante inertielle du mouvement des bouées enchâssées dans la glace. Le point fort de cette méthode réside dans le fait qu'elle apporte des informations sur la friction moyenne de la couverture de glace qui, jusqu'à maintenant, n'étaient pas disponible à ces échelles spatio-temporelles. A partir d'un modèle simple, nous montrons qu'un affaiblissement mécanique de la banquise, se traduisant par des changements dans le degré de fracturation de la couverture de glace, intervient au premier ordre dans la cinématique et la dynamique des glaces de mer. Cette observation souligne la nécessité de prendre en compte cette composante de manière appropriée dans les modèles ainsi que de développer des outils spécifiques pour accéder à cette quantité à l'échelle locale. Deuxièmement, une analyse de type mécanique statistique est adoptée dans l'étude numérique et expérimentale des milieux granulaires frottants sous compression. La quantification des hétérogénéités associées aux champs de contrainte et de déformation ainsi que leur lien avec le comportement mécanique macroscopique de ce matériau est étudiée. Aux petites échelles de temps, de fortes concentrations de contrainte et de déformation sont mises en évidence. De plus, des propriétés multi-échelles spécifiques caractérisent ces champs à l'instabilité macroscopique. Ainsi, à ce point d'instabilité, ces champs de déformation observés aux petites échelles de temps présentent des propriétés très différentes de celles présentées par la bande de cisaillement, habituellement caractérisée aux grandes échelles de temps. Le lien entre ces deux comportements caractéristiques reste à élucider. / Two approaches to study the mechanical behaviour of Arctic sea ice in one hand, and of granular media on the other hand, are presented in this thesis. First, a continuum mechanics analysis is conducted on sea ice in order to extract the relevant physics that, to the first order, explains the observed recent acceleration of sea ice drift and deformation. An original method to determine the mechanical properties of the sea ice cover at large time and spatial scales, i.e. over the whole Arctic basin and over 40 years of record, is proposed by quantifying the amplitude of inertial motion of ice drifters. This method allows to estimate an average ice cover friction, that is currently not accessible through other means at those large spatio-temporal scales. We show that a genuine mechanical weakening of the Arctic sea ice, associated to changes in the degree of fragmentation of the ice cover, comes into play to explain the observed changes in terms of sea ice kinematics and dynamics. This underlines the necessity to take into account this component in modelling studies, as well as to develop specific tools to measure an internal friction at local scales. Second, a statistical mechanics analysis is adopted in order to characterize the mechanical heterogeneities associated to the macroscopic behaviour of frictional granular materials submit- ted to compressive loading. From numerical modeling and experimental studies, quantitative estimates of heterogeneities that develop in the shear stress and strain fields are provided. At short timescales, intense stress and strain localization is reported, associated at the macrosco- pic instability to specific multi-scale properties. Thus, at this flow instability, these strain field properties significantly differ from the shear band formation observed after the instability when considering large time scales. The connection between these two characteristic features remains to be understood.

Nous présentons un nouveau type d'imageur plénoptique appelé LOFI (Laser Optical Feedback Imaging). Le grand avantage de cette technique est qu'elle est auto-alignée, car le laser sert à la fois de source et de détecteur de photons. De plus, grâce à un effet d'amplification intra-cavité produit par la dynamique du laser, et grâce à un marquage acoustique des photons réinjectés, ce dispositif possède une sensibilité ultime au photon unique. Cette sensibilité est nécessaire si l'on veut réaliser des images à travers des milieux diffusants. L'autre intérêt présenté par le caractère plénoptique de notre imageur, est qu'il permet d'obtenir simultanément une double information: la position et la direction de propagation des rayons lumineux. Cette propriété offre des possibilités inhabituelles, comme celle de conserver la résolution d'un objectif de microscope bien au-delà de sa distance de travail, ou encore de pouvoir corriger par un post-traitement numérique les aberrations causées par la traversée d'un milieu hétérogène. Le dispositif LOFI plénoptique semble donc idéal pour une imagerie en profondeur à travers des milieux complexes, tels que les milieux biologiques. Les performances très intéressantes de cette imageur sont cependant obtenues au prix d'un filtrage spatial très coûteux en photons et au prix d'une acquisition des images réalisées point par point, donc relativement lente. / We present LOFI (Laser Optical Feedback Imaging). The main advantage of this technique is that it is auto-aligned, as the laser plays both the role of an emitter and a receiver of photons. Furthermore, thanks to an intra-cavity amplification effect caused by the laser dynamics and an acoustic tagging of re-injected photons, this setup reaches a shot noise sensitivity (single photon sensitive). This sensitivity is necessary if our aim is to make images through scattering media. The other interest, which comes from the plenoptic property of our setup, is that one have access to a complete information about light rays (position and direction of propagation). This property implies unusual possibilities like keeping a constant resolution beyond microscope objectives working distance or being able to numerically compensate, after acquisition, aberrations caused by the propagation through heterogeneous media. Our setup is thus ideal for deep imaging through complex media (turbid and heterogeneous) like biological ones. These interesting properties are achieved at the price of a spatial filtering degrading photon collection efficiency and of a point by point image acquisition which is slow.

Dans cette thèse, le problème de l'infiltration de bio-adhésifs résineux dans la dentine a été abordé par le biais de deux études, expérimentale et numérique. L'originalité de ces travaux réside dans le fait que l'échelle à laquelle nous nous sommes placés est nanoscopique. En effet, c'est l'infiltration d'un réseau de fibres de collagène de diamètre de l'ordre de 80nm qui pilote l'adhésion des composites résineux à la dentine. Une étude MEB a été menée pour confirmer et compléter la connaissance actuelle du milieu poreux. Cependant un paramètre manque dans la perspective d'une modélisation géométrique du réseau : la porosité n'est pas connue. Une étude complémentaire du substrat par porosimétrie à intrusion de mercure a donc été menée. La porosité volumique de la dentine déminéralisée est estimée à 55%. Deux tailles de pores sont révélées : la première correspond aux tubules et canalicules (autour de 1micron) et la seconde aux espaces interfibrillaires (autour de 50nm) jamais encore caractérisés de manière volumique. Cette étude permet aussi une investigation méthodologique. La lyophilisation, technique de séchage peu utilisée en odontologie, est évaluée et comparée à la technique de séchage utilisant l'HMDS. La lyophilisation semble être une technique de séchage fiable et convient parfaitement aux essais de porosimétrie. La modélisation géométrique du réseau fibreux est ensuite réalisée : les fibres sont considérées comme des zones à viscosité élevée. Cette modélisation est validée par comparaison des écoulements entre une fibre modélisée implicitement et une autre modélisée plus classiquement. L'orientation des fibres n'étant pas connue quantitativement, il a été choisi de construire trois types de réseau, le plus proche de la réalité (à la vue des images MEB) étant le réseau où les fibres sont disposées aléatoirement. Sa perméabilité a été estimée et validée par comparaison avec différentes études de réseaux fibreux ou non. Enfin, l'avancée du front est abordée de manière dynamique. Les équations d'avancée du front sont mises en place. Les équations de Navier Stokes sont couplées avec une méthode level set : l'interface correspondant au front d'infiltration n'est pas maillé (tout comme les fibres) mais correspond à une isovaleur d'une certaine fonction. Un attention particulière est portée aux conditions aux limites au niveau de la ligne triple et par le biais d'un terme ajouté à la formulation variationnelle, l'angle de contact est fixé. Ici, la principale difficulté est la prise ne compte des fibres qui ont été définies de manière implicite. Cette fois, les fibres sont uniquement le lieu de l'application de la condition aux limites fixant l'angle de contact et ne sont plus des zones de viscosité élevée car cela bloquerait le front. Le problème est résolu pour différentes géométries de réseaux fibreux. Tout d'abord, l'influence de certains paramètres sur des réseaux simples est sondée puis l'infiltration du modèle géométrique complet (réseau fibreux et tubules) est réalisée. Une conclusion cruciale pour les praticiens est mis en avant : augmenter le temps d'infiltration de la résine n'améliore pas l'infiltration. La simulation d'un essai de porosimétrie permet de distinguer deux tailles de pores distinctes et nécessite un ajustement car un décalage en pression par rapport à la courbe expérimentale est observée. L'outil construit permet une approche pédagogique de l'essai de porosimétrie et, après ajustement, pourra permettre la validation de diverses géométries. / In dentin restoration, collagen fiber network infiltration is an issue. In this thesis, an experimental study is lead prior to numerical modelling. Demineralized dentin porosity is a key parameter in dentin bonding that will in?uence the hybrid layer quality. Its characterization could be helpful to improve the monomers in?ltration. So, the objectives of the experimental study were to assess demineralized dentin porosity and quantify the different porous features distribution within the material using mercury intrusion porosimetry (MIP) technique. We compared hexamethyldisilazane (HMDS) drying and lyophilization (LYO) (freeze-drying) in sample preparation. The results showed two types of pores corresponding either to tubules and microbranches or to inter-?brillar spaces created by demineralization. Global porosity varied from 59% (HMDS-dried samples) to 70% (freeze-dried samples). Lyophilization drying technique seems to lead to less shrinkage than HMDS drying. FESEM revealed that collagen ?bers of demineralized lyophilized samples are less melted together than in the HMDS-dried samples. Using our experimental data , we have constructed a relevant numerical geometrical model of the network. The specificity of our model is that the fibers are taken into account implicitly using a regularized Heaviside function. This function is either used to set the viscosity or to localize the contact line where capillary forces are applied. A level set technique with respect to fluid infiltration front tracking in five fiber networks using the level set method and Navier-Stokes equations with capillary terms is used to point out efficient critical infiltration parameters. A variational formulation which can be implemented in FEM is proposed both for the infiltration front and the contact line. Because of lack of knowledge on fiber orientation, different configurations were tested through permeability assessment of the whole network. Fiber orientation, interfibrillar space and contact angle influence were investigated. Then a network representing the dentinal porous substrate is infiltrated by a wetting fluid and we came to a useful conclusion : increasing infiltration time will not improve the quality of the bonding. In order to link the numerical and experimental studies, infiltration curves of mercury into the porous network are compared. We used a non-wetting fluid (mercury) to invade the numerical porous network to model the porosimetry test. As mercury do not invade the porous network naturally, an incremental pressure is applied to force it to penetrate the porous medium. The simulation is qualitatively satisfying and enables to point out the porosimetry test limitations in a pedagogical way. Thanks to the simulation, we can see the mercury invading pore spaces: big pores are penetrated first and then small pores (which obviously cannot be seen during the experimental process). Quantitatively, two sizes of pore are detected and their contributions to total porosity are satisfying. Nevertheless, the pore size values have to be ajusted. To conclude, this thesis contributed to the characterization of demineralized dentin. The numerical modeling allows us to point out influencing parameters during capillary infiltration of a fibrous network and to illustrate the porosimetry test process an its limitations. An interesting tool to confirm a geometrical model has been built. The tools that have been built can easily been used to other porous structures.

Lorsque les longueurs caractéristiques sont bien séparées, la théorie de l'homogénéisation propose un cadre théorique rigoureux pour les matériaux hétérogènes. Dans ce contexte, les propriétés macroscopiques peuvent être calculées à partir de la résolution d’un problème auxiliaire formulé sur un volume élémentaire représentatif (avec des conditions limites adéquates). Dans le présent travail, nous nous intéressons à l’homogénéisation de matériaux hétérogènes décrits à l’échelle la plus fine par deux modèles différents (tous deux dépendant d’une longueur caractéristique spécifique) alors que le milieu homogène équivalent se comporte, dans les deux cas, comme un milieu de Cauchy classique.Dans la première partie, une microstructure aléatoire de type Cauchy est considérée. La résolution numérique du problème auxiliaire, réalisée sur plusieurs réalisations, implique un coût de calcul important lorsque les longueurs caractéristiques des constituants ne sont pas bien séparées et/ou lorsque le contraste mécanique est élevé. Pour surmonter ces limitations, nous basons notre étude sur une description mésoscopique du matériau combinée à la théorie de l'information. Dans cette mésostructure, obtenue par filtrage, les détails les plus fins sont lissés.Dans la seconde partie, nous nous intéressons aux matériaux à gradient dans lesquels il existe au moins une longueur interne, qui induit des effets de taille à l’échelle macroscopique. La microstructure aléatoire est décrite par un modèle à gradient de contrainte récemment proposé. Malgré leur similarité conceptuelle, nous montrerons que le modèle de stress-gradient et strain-gradient définissent deux classes de matériaux distinctes. Nous proposons ensuite des approches simples (méthodes de champs moyens) pour mieux comprendre les hypothèses de modélisation. Les résultats semi-analytiques obtenus nous permettent d’explorer l'influence des paramètres du modèle sur les propriétés macroscopiques et constituent la première étape vers la simulation en champs complets / If the length-scales are well separated, homogenization theory can provide a robust theoretical framework for heterogeneous materials. In this context, the macroscopic properties can be retrieved from the solution to an auxiliary problem, formulated over the representative volume element (with appropriate boundary conditions). In the present work, we focus on the homogenization of heterogeneous materials which are described at the finest scale by two different materials models (both depending on a specific characteristic length) while the homogeneous medium behaves as a classical Cauchy medium in both cases.In the first part, the random microstructure of a Cauchy medium is considered. Solving the auxiliary problem on multiple realizations can be very costly due to constitutive phases exhibiting not well-separated characteristic length scales and/or high mechanical contrasts. In order to circumvent these limitations, our study is based on a mesoscopic description of the material, combined with information theory. In the mesostructure, defined by a filtering framework, the fine-scale features are smoothed out.The second part is dedicated to gradient materials which induce microscopic size-effect due to the existence of microscopic material internal length(s). The random microstructure is described by a newly introduced stress-gradient model. Despite being conceptually similar, we show that the stress-gradient and strain-gradient models define two different classes of materials. Next, simple approaches such as mean-field homogenization techniques are proposed to better understand the assumptions underlying the stress-gradient model. The obtained semi-analytical results allow us to explore the influence on the homogenized properties of the model parameters and constitute a first step toward full-field simulations

Dans cette thèse, deux problèmes complètement indépendants sont étudiés. Le premier sujet porte sur l'analyse mathématique d'un modèle simple de délamination de films minces et d'apparition de cloques. Le second sujet est une étude fine de l'équation des milieux poreux motivée par des problèmes d'intrusion saline. Dans le premier sujet de ce travail, nous considérons un modèle variationnel simple unidimensionnel décrivant la délamination de films minces sous l'effet d'un refroidissement. Nous caractérisons les minimiseurs globaux qui correspondent à trois types de films: non-délaminés, partiellement délaminés (appelés cloques) ou bien complètement délaminés. Deux paramètres jouent un rôle crucial dans un tel phénomène : la longueur du film et la température. Dans le plan de phase de ces deux derniers, nous classifions l'ensemble des minimiseurs. Comme conséquence de notre analyse, nous identifions explicitement les cloques les plus petites pour ce modèle. Dans le deuxième sujet, nous répondons d'abord à une question ouverte depuis longtemps concernant l'existence de nouvelles contractions pour l'équation de type milieux poreux. Pour m>0, nous nous sommes intéressés à des solutions positives de l'équation suivanteU_t=Delta U^m. Pour 0<m<2, nous présentons une nouvelle famille de contractions pour cette équation en toute dimension, ce qui induit une extension des propriétés de la contraction L^1. Notre contraction peut être considérée comme étant la quatrième contraction connue pour cette équation. Même pour le cas m=1, notre approche aboutit à des nouveaux résultats pour l'équation de la chaleur standard. Dans un second temps, nous avons traité le même problème mais en utilisant une approche différentielle différente basée sur les distances géodésiques. Cette approche originale et générale sert à fabriquer des familles de contractions pour des équations aux dérivées parielles non linéaires, d'évolutions ou stationnaires. Nous présentons dans ce cadre diverses applications. En particulier, nous traitons à nouveau l'équation des milieux poreux et l'équation doublement non linéaire / In this thesis, we study two completely independent problems. The first one focuses on a simple mathematical model of thin films delamination and blistering analysis. In the second one, we are interested in the study of the porous medium equation motivated by seawater intrusion problems. In the first part of this work, we consider a simple one-dimensional variational model, describing the delamination of thin films under cooling. We characterize the global minimizers, which correspond to films of three possible types : non delaminated, partially delaminated (called blisters), or fully delaminated. Two parameters play an important role : the length of the film and the cooling parameter. In the phase plane of those two parameters, we classify all the minimizers. As a consequence of our analysis, we identify explicitly the smallest possible blisters for this model. In the second part, we answer a long standing open question about the existence of new contractions for porous medium type equations. For m>0, we consider nonnegative solutions U(t,x) of the following equationU_t=Delta U^m.For 0<m<2, we present a new family of contractions for this equation in any dimension, which extends the L^1 contraction properties. Our contraction can be seen as the fourth known contraction for this equation. Even for the case m=1, our approach leads to new results for the standard heat equation. A second work focuses on the same problem but using a differential approach based on geodesic distances. This original and general method is used to produce families of contractions for nonlinear partial differential equations, of evolution or stationary type. We present in this part various applications of this original method. In particular, we are concerned with the porous medium and the doubly nonlinear equations

Ce travail de thèse contribue à l'étude acoustique expérimentale des propriétés élastiques des milieux granulaires et de leurs évolutions lentes avec le temps faisant suite à des sollicitations mécaniques. Grâce à un montage expérimental et des protocoles expérimentaux précisément décrits, une étude des caractéristiques acoustiques linéaires et non linéaires d'une tranche de milieu granulaire est réalisée. Des zones fréquentielles caractéristiques de la fonction de transfert acoustique sont identifiées. Dans une zone basse fréquence, les propriétés élastiques du squelette solide (les billes et leurs contacts) régissent le comportement de la fonction de transfert acoustique. A plus hautes fréquences, seuls les paramètres acoustiques du fluide équivalent jouent un rôle. Il est montré que le couplage des modes de propagation au niveau de la détection du signal se manifeste à la transition entre ces zones caractéristiques. Les effets non linéaires d'auto-action et génération d'harmonique 2 dans cette tranche sont analysés pour différentes compacités. L'étude des effets de mémoire d'un échantillon granulaires est réalisée lors de la modification du protocole de compaction (l'amplitude de la sollicitation mécanique change de valeur). Cette modification entraîne des variations soudaines des paramètres élastiques et dissipatifs, linéaires et non linéaires, qui sont interprétées en termes de forces de contacts et distribution de forces de contacts. Pour la première fois, les effets de mémoire sont analysés via l'élasticité du milieu granulaire et non simplement via sa géométrie. Enfin, la relaxation lente des propriétés élastiques, linéaires et non linéaires, est observée suite à une unique sollicitation mécanique, un "tap". L'augmentation du paramètre élastique linéaire, la diminution de l'atténuation linéaire et les diminutions des paramètres non linéaires sont recueillies avec une résolution en temps de l'ordre de la seconde. Les rôles de la température et de l'hygrométrie de l'air ambiant dans les temps caractéristiques de relaxation qui sont de l'ordre de plusieurs minutes sont analysés. / This work is a contribution to the experimental acoustic study of the elastic properties of granular media and their slow evolutions during time after mechanical solicitations. With an experimental setup and experimental methods specially adapted, a study of the linear and nonlinear acoustic characteristics of a granular slab is done. Characteristic frequency regions of the acoustic transfer function are identified. In a low frequency band (<10 kHz) the elastic properties of the solid skeleton (beads and theirs contacts) govern the behavior of the acoustic transfer function. In a higher frequency range (15 - 30 kHz), only the acoustic parameters of the equivalent fluid play a role. It is shown that the coupling of propagation modes in the detected signal is visible at the transition between these characteristic frequency regions. The nonlinear effects of self-action and harmonic generation in this slab are analyzed for several compacities. Then the study of the memory effects in a granular sample is performed during the modification of the compaction process (the amplitude of the mechanical solicitation is changed). This modification makes sudden variations of the linear and nonlinear elastic and dissipative parameters. These modifications are interpreted in terms of contact forces and contact force distribution. For the first time, the memory effects are not simply analyzed via packing geometry effects but via elasticity of the granular packing. Finally, the slow relaxation of the linear and nonlinear elastic properties is observed after one single mechanical solicitation called "tap". The increase in the linear elastic parameter, the decrease in the linear attenuation and the decrease in the nonlinear parameters are observed with a less than one second time resolution. Roles of the temperature and the hygrometry of the ambient air in the characteristic relaxation times which are lasting several minutes are analyzed.