京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第19467号 / 理博第4127号 / 新制||理||1594(附属図書館) / 32503 / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)准教授 高村 茂, 教授 上 正明, 教授 加藤 毅 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Yangian symmetric correlators are defined as eigenfunctions of monodromy operators. Examples and relations are given and an evaluation method of the symmetry condition is described.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第18769号 / 理博第4027号 / 新制||理||1580(附属図書館) / 31720 / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 玉川 安騎男, 教授 小野 薫, 教授 望月 新一 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DGAM

Dans cette thèse, nous construisons des fonctions L p-adique algébriques pour les familles de représentations galoisiennes attachées aux familles p-adique analytiques de représentations automorphes en utilisant le formalisme des complexes de Selmer. Ce résultat est obtenu principalement en effectuant une modification des complexes de Selmer pour s’assurer que nous traitons avec des complexes parfaits et démontrer un théorème de contrôle pour les facteurs d'Euler locaux aux places en dehors de p. Le théoréme de contrôle pour les facteurs d'Euler locaux est obtenu par l’étude de la variation de la monodromie sous spécialisations purs des familles p-adiques de représentations galoisiennes restreintes aux groupes de décomposition en dehors de p. Cela nous permet de démontrer un théorème de contrôle pour les fonctions algébriques p-adique que nous construisons pour les familles de Hida de formes paraboliques ordinaires et les représentations automorphes ordinaires pour les groupes unitaires définies. Pour les familles de Hida de formes paraboliques ordinaires, nous construisons un fonction L p-adique algébrique de deux variables et formulons une conjecture la reliant à la fonction L p-adique analytique construite par Emerton, Pollack et Weston. En utilisant des résultats de Kato, Skinner et Urban, nous montrons cette conjecture dans certains cas particuliers. / In this thesis, we construct algebraic p-adic L-functions for families of Galois representations attached to p-adic analytic families of automorphic representations using the formalism of Selmer complexes. This is achieved mainly through making a modification of the Selmer complex to ensure that we deal with perfect complexes and proving a control theorem for the local Euler factors at places not lying above p. The control theorem for local Euler factors is obtained by studying the variation of monodromy under pure specializations of p-adic families of Galois representations restricted to decomposition groups at places of residue characteristic different from p. This allows us to prove a control theorem for the algebraic p-adic L-functions that we construct for Hida families of ordinary cusp forms and ordinary automorphic representations for definite unitary groups. For the Hida family of ordinary cusp forms, we construct a two-variable algebraic p-adic L-function and formulate a conjecture relating it with the analytic p-adic L-function constructed by Emerton, Pollack and Weston. Using results due to Kato, Skinner and Urban, we prove this conjecture in some special cases.

On étudie les résonances semi-excitées pour un Opérateur h-Pseudo-différentiel (h-PDO)H(x, hDx) sur L2(M) induites par une orbite périodique de type hyperbolique à l’énergie E = 0. Par exemple M = Rn et H(x, hDx; h) est l’opérateur de Schrödinger avec effet Stark, ouH(x, hDx; h) est le flot géodesique sur une variété axi-symétrique M, généralisant l’exemplede Poincaré de systèmes Lagrangiens à 2 degrés de liberté. On étend le formalisme de Gérard and Sjöstrand, au sens où on autorise des valeurs propres hyperboliques et elliptiques del’application de Poincaré, et où l’on considère des résonances dont la partie imaginaire est del’ordre de hs, pour 0 < s < 1.On établit une règle de quantification de type Bohr-Sommerfeld au premier ordre en fonction des nombres quantiques longitudinaux (réels) et transverses (complexes), incluantl’intégrale d’action le long de l’orbite, la 1-forme sous-principale, et l’indice de Conley-Zehnder. / In this Thesis we consider semi-excited resonances for a h-Pseudo-Differential Operator (h-PDO for short) H(x, hDx; h) on L2(M) induced by a periodic orbit of hyperbolic type at energy E = 0, as arises when M = Rn and H(x, hDx; h) is Schrödinger operator withAC Stark effect, or H(x, hDx; h) is the geodesic flow on an axially symmetric manifold M,extending Poincaré example of Lagrangian systems with 2 degree of freedom. We generalizethe framework of Gérard and Sjöstrand, in the sense that we allow for hyperbolic and ellipticeigenvalues of Poincaré map, and look for (excited) resonances with imaginary part of magnitude hs, with 0 < s < 1,It is known that these resonances are given by the zeroes of a determinant associatedwith Poincaré map. We make here this result more precise, in providing a first order asymptoticsof Bohr-Sommerfeld quantization rule in terms of the (real) longitudinal and (complex)transverse quantum numbers, including the action integral, the sub-principal 1-form and Gelfand-Lidskii index.

<div> <div> <div> <p>Let K be a discrete valuation field with perfect residue field, we study the functor from weakly admissible filtered (φ,N,G_K)-modules over K to the isogeny category of Breuil- Kisin-Fargues G_K-modules. This functor is the composition of a functor defined by Fargues-Fontaine from weakly admissible filtered (φ,N,G_K)-modules to G_K-equivariant modifications of vector bundles over the Fargues-Fontaine curve X_FF , with the functor of Fargues-Scholze that between the category of admissible modifications of vector bundles over X_FF and the isogeny category of Breuil-Kisin-Fargues modules. We characterize the essential image of this functor and give two applications of our result. First, we give a new way of viewing the p-adic monodromy theorem of p-adic Galois representations. Also we show our theory provides a universal theory that enable us to compare many integral p-adic Hodge theories at the A_inf level. </p> </div> </div> </div>

This work is devoted to investigating the algebraic and analytic integrability of first order polynomial partial differential equations via an understanding of the well-developed area of local and global integrability of polynomial vector fields. In the view of characteristics method, the search of first integrals of the first order partial differential equations P(x,y,z)∂z(x,y) ∂x +Q(x,y,z)∂z(x,y) ∂y = R(x,y,z), (1) is equivalent to the search of first integrals of the system of the ordinary differential equations dx/dt= P(x,y,z), dy/dt= Q(x,y,z), dz/dt= R(x,y,z). (2) The trajectories of (2) will be found by representing these trajectories as the intersection of level surfaces of first integrals of (1). We would like to investigate the integrability of the partial differential equation (1) around a singularity. This is a case where understanding of ordinary differential equations will help understanding of partial differential equations. Clearly, first integrals of the partial differential equation (1), are first integrals of the ordinary differential equations (2). So, if (2) has two first integrals φ1(x,y,z) =C1and φ2(x,y,z) =C2, where C1and C2 are constants, then the general solution of (1) is F(φ1,φ2) = 0, where F is an arbitrary function of φ1and φ2. We choose for our investigation a system with quadratic nonlinearities and such that the axes planes are invariant for the characteristics: this gives three dimensional Lotka– Volterra systems x' =dx/dt= P = x(λ +ax+by+cz), y' =dy/dt= Q = y(µ +dx+ey+ fz), z' =dz/dt= R = z(ν +gx+hy+kz), where λ,µ,ν 6= 0. v Several problems have been investigated in this work such as the study of local integrability and linearizability of three dimensional Lotka–Volterra equations with (λ:µ:ν)–resonance. More precisely, we give a complete set of necessary and sufficient conditions for both integrability and linearizability for three dimensional Lotka-Volterra systems for (1:−1:1), (2:−1:1) and (1:−2:1)–resonance. To prove their sufficiency, we mainly use the method of Darboux with the existence of inverse Jacobi multipliers, and the linearizability of a node in two variables with power-series arguments in the third variable. Also, more general three dimensional system have been investigated and necessary and sufficient conditions are obtained. In another approach, we also consider the applicability of an entirely different method which based on the monodromy method to prove the sufficiency of integrability of these systems. These investigations, in fact, mean that we generalized the classical centre-focus problem in two dimensional vector fields to three dimensional vector fields. In three dimensions, the possible mechanisms underling integrability are more difficult and computationally much harder. We also give a generalization of Singer’s theorem about the existence of Liouvillian first integrals in codimension 1 foliations in Cnas well as to three dimensional vector fields. Finally, we characterize the centres of the quasi-homogeneous planar polynomial differential systems of degree three. We show that at most one limit cycle can bifurcate from the periodic orbits of a centre of a cubic homogeneous polynomial system using the averaging theory of first order.

Un origami est un revêtement du tore T2, éventuellement ramifié au-dessus de l'origine.Cet objet a été introduit par William P. Thurston et William A. Veech dans les années 1970.Un origami peut être vu comme un ensemble fini de copies du carreau unitaire qui sont collées par translations. Ainsi, un origami est un cas particulier d'une surface de translation,un élément de l'espace des modules de surfaces de Riemann munies d'une 1-forme holomorphe.Un origami O avec n carreaux correspond à une paire de permutations (σ, τ ) Є 2 Sn X Sn définie à conjugaison près. Le groupe Mon(O) engendré par une telle paire s'appelle le groupe de monodromie de O. On dit qu'un origami est primitif si son groupe de monodromie est un groupe de permutation primitif. Il y a une action naturelle du groupeGL2(Z) sur les origamis, le stabilisateur de O pour cette action est le groupe de Veechdésigné par GL(O). Le groupe de monodromie est un invariant des GL2(Z)-orbites.Dans le chapitre 3 de la thèse, nous montrons que le groupe de monodromie de tout origami primitif à n carreaux dans la strate H(2k) est An ou Sn si n ≥ 3k + 2, et noustrouvons la borne exacte quand 2k + 1 est premier. La même proposition est vraie pourla strate H(1; 1) si n =/= 6. Dans le chapitre 4, nous considérons les origamis réguliers,i.e. ceux pour lesquels le nombre de carreaux est égal à l'ordre du groupe de monodromie.Nous construisons de nouvelles familles d'origamis intéressantes et cherchons leurs strates et groupes de Veech. Nous estimons également le nombre de GL2(Z)-orbites et strates distinctes des origamis réguliers ayant un groupe de monodromie donné. Afin de trouver une borne inférieure pour les origamis alternés, nous prouvons que chaque permutation dans An quifixe peu de points est le commutateur d'une paire engendrant An. Dans le chapitre 6, nous étudions une propriété de sous-groupes de PSL2(Z) qui est liée à la propriété d'être le groupe de Veech d'un origami. / An origami is a covering of the torus T2, possibly ramified above the origin. This objectwas introduced by William P. Thurston and William A. Veech in 1970s. Un origami can beviewed as a finite collection of copies of the unitary square that are glued by translations.Thus, un origami is a particular case of a translation surface, that is, an element of the moduli space of Riemann surfaces equipped with a holomorphic 1-form.An n-square origami O corresponds to a pair of permutations (σ, τ ) Є 2 Sn X Sn defined up to conjugation. The group Mon(O) generated by such a pair is called the monodromy group of O. We say that an origami is primitive if its monodromy group is a primitive permutation group. There is a natural action of group GL2(Z) on the origamis, the stabilizer of O for this action is the Veech group denoted by GL(O). The monodromy group is aninvariant of the GL2(Z)-orbits.In the chapter 3 of the thesis, we show that the monodromy group of any primitive n-square origami in the stratum H(2k) is either An or Sn if n ≥ 3k + 2, and we find the exact bound when 2k + 1 is prime. The same proposition is true for the stratum H(1; 1) if n =/= 6.In the chapter 4, we consider the regular origamis, i.e. the origamis for which the number of squares equals the order of the monodromy group. We construct new families of origamis and investigate their strata and Veech groups. Also, we estimate the number of distinct GL2(Z)-orbits and strata of regular origamis with a given monodromy group. In order to find a lower bound for alternating origamis, we prove that each permutation in An which fixes few points is the commutator of a pair generating An. In the chapter 6, we study a subgroup property of PSL2(Z) that is related to the property to be the Veech group of an origami.

General ideas in the conformal bootstrap program are covered. Both numerical and analytical approaches to the bootstrap equation are reviewed to show how it can be manipulated in different ways. Further analytical approaches are studied for theories with defects. We consider the three-dimensional CFT at the corresponding WF fixed point in the O(N) \phi^4 model with a co-dimension two, monodromy defect. Anomalous dimensions for bulk- and defect-local fields as well as one of the OPE coefficients are found to the first loop order. Implications of inserting this defect and constraints that arises from symmetries of the theory are investigated.

Cette thèse possède un double objectif : le premier est l'amélioration des techniques de contrôle en mécanique quantique, et plus particulièrement en RMN, grâce aux techniques du contrôle optimal géométrique. Le second consiste à étudier l'influence des singularités hamiltoniennes dans les systèmes physiques contrôlés. Le chapitre traitant du contrôle optimal étudie trois problèmes classiques en RMN : l'inversion simultanée de deux spins, l'inclusion des termes non-linéaires dans le modèle et la méthode du point fixe. Ensuite, nous appliquons le PMP au problème de transfert de population dans un système quantique à trois niveaux pour retrouver le processus STIRAP. Les deux chapitres suivants étudient les singularités hamiltoniennes. Nous montrons comment l'étude des singularités hamiltoniennes permet de contrôler la polarisation dans différentes fibres optiques. Ensuite, nous montrons l'existence d'une monodromie hamiltonienne généralisée dans le spectre vibrationnel de la molécule HOCl. Enfin, nous donnons une méthode de mesure de la monodromie hamiltonienne dynamique dans deux systèmes classiques en optique non-linéaire : le modèle de Bragg et le mélange à trois ondes / This thesis has two goals: the first one is to improve the control techniques in quantum mechanics, and more specifically in NMR, by using the tools of geometric optimal control. The second one is the study of the influence of Hamiltonian singularities in controlled systems. The chapter about optimal control study three classical problems of NMR : the inversion problem, the influence of the radiation damping term, and the steady state technique. Then, we apply the geometric optimal control to the problem of the population transfert in a three levels quantum system to recover the STIRAP scheme.The two next chapters study Hamiltonian singularities. We show that they allow to control the polarization in different type of optical fibers. Then, we show the existence of generalized hamiltonian monodromy in the vibrational spectrum of the HOCl molecule. Finally, we propose a method to measure dynamically the monodromy in two different nonlinear optics systems : the Bragg model and the three waves mixing model