L'étude de phénomènes d'irrégularité à l'aide des catégories de Baire date du début des années 1930. Cette notion de généricité donnée par Baire est de nature purement topologique et ne permet donc pas de quantifier la taille d'un ensemble. C'est pour remédier à cette lacune que Christensen définit une autre notion de généricité basée sur la théorie de la mesure, la prévalence. D'autres notions de généricité liées à ces deux premières ont vu le jour. Cette thèse a deux buts. Tout d'abord, regarder la régularité des fonctions d'un espace de Sobolev dans le cadre de la prévalence. Nous montrons que presque-toutes les fonctions sont multifractales, leur exposant de Hölder varie en effet d'un point à un autre. Le même résultat dans des espaces de Besov nous donne le formalisme multifractal utilisé dans les applications. Dans un second temps, nous comparons les différentes notions de généricité en les appliquant au problème déjà cité ou à des problèmes classiques d'analyse fonctionnelle.

Depuis l'utilisation pour des applications statistiques du mouvement brownien fractionnaire<br />par Mandelbrot & Van Ness en 1968, une vaste littérature s'est constituée autour de <br />l'estimation de l'autosimilarité et de la régularité hölderienne. Dans le cadre de l'analyse multifractale<br />des séries de Fourier et des séries d'ondelettes (pleines et lacunaires), les séries<br />aléatoires d'ondelettes basées sur un processus de branchement sont présentées. Leurs propriétés<br />analytiques (bifractalité, dimension de Hausdorff du graphe non entière) et la simulation de leurs<br />trajectoires montrent leur capacité à modéliser des processus intermittents. Une méthode d'estimation<br />conjointe des deux paramètres du modèle (estimation du paramètre de régularité et du paramètre<br />des lacunes) par filtrage d'une trajectoire est developpée pour ce modèle. Elle trouvera une application<br />naturelle pour la classification, en géophysique, des morphologies stylolitiques (roches sédimentaires de calcaire soumises à des processus<br />de dissolution sous contrainte). Ces séries généralisent ainsi les propriétés du mouvement brownien<br />fractionnaire (comme le font, d'une autre manière les processus stables) et peuvent expliquer les<br />phénomènes de persistance et de leptokurticité.

L'objectif de l'analyse multifractale (introduite dans le cadre de la turbulence pleinement developpee) est de déterminer la dimension des ensembles de points où une fonction a une régularité hölderienne fixée. Cette information ne peut être calculée directement sur les signaux réels et une formule appelée formalisme multifractal a été introduite pour calculer ces dimensions à partir de quantités obtenues directement par traitement du signal. Elle n'est pas vraie en toute généralité et nous étudions dans cette thèse différentes situations dans lesquelles le formalisme multifractal n'est pas valide.<br />Des résultats de type " Baire " démontrent que le formalisme multifractal est vrai quasi-sûrement pour de petites valeurs de l'exposant de Hölder et faux pour les autres valeurs. Nous montrons que cela est dû à la présence de singularités oscillantes.<br />D'autre part le formalisme multifractal ne s'applique qu'aux fonctions continues. Nous montrons qu'il est possible de généraliser la formule, en passant d'un critère de régularité ponctuelle hölderienne à un critère plus faible, à des fonctions qui peuvent ne plus être continues.<br />Enfin nous étudions un cas particulier de phénomène oscillant en dimension 2 qui n'est pas caractérisé par les critères de régularité ponctuelle précédents. Nous proposons une méthode d'analyse de ce comportement à base d'un algorithme de traitement de l'image.

On étudie certaines propriétés d'une classe de processus aléatoires réels à temps continu, les marches aléatoires multifractales. Une particularité remarquable de ces processus tient en leur propriété d'autosimilarité : la loi du processus à petite échelle est identique à celle à grande échelle moyennant un facteur aléatoire multiplicatif indépendant du processus. La première partie de la thèse se consacre à la question de la convergence du moment empirique de l'accroissement du processus dans une asymptotique assez générale, où le pas de l'accroissement peut tendre vers zéro en même temps que l'horizon d'observation tend vers l'infini. La deuxième partie propose une famille de tests non-paramétriques qui distinguent entre marches aléatoires multifractales et semi-martingales d'Itô. Après avoir montré la consistance de ces tests, on étudie leur comportement sur des données simulées. On construit dans la troisième partie un processus de marche aléatoire multifractale asymétrique tel que l'accroissement passé soit négativement corrélé avec le carré de l'accroissement futur. Ce type d'effet levier est notamment observé sur les prix d'actions et d'indices financiers. On compare les propriétés empiriques du processus obtenu avec des données réelles. La quatrième partie concerne l'estimation des paramètres du processus. On commence par montrer que sous certaines conditions, deux des trois paramètres ne peuvent être estimés. On étudie ensuite les performances théoriques et empiriques de différents estimateurs du troisième paramètre, le coefficient d'intermittence, dans un cas gaussien

Mis en évidence dans les années 80 dans les domaines de la turbulence et des attracteurs étranges, les multifractals ont rapidement gagné en popularité. On les trouve aujourd'hui en finance, en géophysique, dans l'étude du trafic internet et dans bien d'autres domaines des sciences appliquées. Cet essor s'est accompagné de la nécessité de construire des modèles théoriques adaptés. La Mesure Aléatoire Multifractale de Bacry et Muzy est l'un de ces modèles. Du fait de son caractère très général, de sa grande souplesse et de sa relative simplicité, elle est devenue un outil central du domaine des multifractals depuis dix ans. Après un chapitre introductif, on propose dans cette thèse la construction de deux familles de processus multifractals. Ces constructions reposent sur les travaux de Schmitt et de ses co-auteurs et sur ceux de Bacry et Muzy. Dans le chapitre 2, on construit des processus multifractals à partir de moyennes mobiles alpha-stables, tandis que le chapitre 3 est consacré à la construction des Marches Aléatoires Fractionnaires Multifractales d'indice de Hurst 0<H<1/2. Ces travaux sont complétés par l'étude de versions affines par morceaux et par des simulations numériques. De nombreux problèmes connexes sont également étudiés. / Since their emergence in the 80's in the areas of turbulence and of strange attractors, multifractals have gained popularity. They appear now in finance, geophysics, study of network traffic and in many other areas of applied sciences. This development required adapted theoretical models. Bacry and Muzy's Multifractal Random Measure is one of these models. Thanks to its generality, its flexibility and to its relative simplicity, it became central in the domain of multifractals over the past ten years.In this PhD thesis, two families of multifractal processes are proposed. Their construction is based on the works of Schmitt and co-authors and of those of Bacry and Muzy. After the introduction (chapter 1), we use in chapter 2 alpha-stable moving averages to build multifractal processes; whereas chapter 3 is devoted to the construction of Multifractal Fractional Random Walks with Hurst index 0<H<1/2. This work is complemented by the study of linear versions and by numerical simulations. We study also numerous related problems.

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques aspects de la récurrence de trois classes de systèmes dynamiques : systèmes dynamiques $p$-adiques polynomiaux, systèmes topologiques ayant la propriété de spécification et système de Gauss associé aux fractions continues.<br /><br />Dans une première partie, on étudie d'abord les polynômes à coefficients dans $\mathbb{Z}_p$ d'ordre supérieur à $2$, comme des systèmes dynamiques sur $\mathbb{Z}_p$. Nous prouvons que pour un tel système, $\mathbb{Z}_p$ est composé des composants minimaux et de leurs bassins d'attraction. Pour tout polynôme quadratique sur $\mathbb{Z}_2$, nous exhibons tous ses composants minimaux. On étudie également les polynômes localement dilatants et transitifs. Nous montrons que la restriction d'un tel polynôme sur son ensemble de Julia est conjugué à un sous-shift de type fini.<br /><br />Dans une deuxième partie, nous prouvons que pour un système dynamique compact ayant la propriété de spécification, l'entropie topologique de l'ensemble des points génériques d'une mesure invariante est égale à l'entropie de la mesure. En corollaire, nous établissons un principe variationnel pour le spectre d'entropie topologique des moyennes de Birkhoff à valeurs dans un espace de Banach.<br /><br />La dernière partie est consacrée à l'étude des fractions continues. Nous trouvons en s'appuyant sur la théorie de l'opérateur de Ruelle, les spectres multifractals complets de l'exposant de Khintchine et de l'exposant de Lyapunov, qui ne sont ni concaves ni convexes. Notre résultat sur le spectre de Lyapunov complète celui de Pollicott et Weiss. Nous avons aussi bien étudié les fractions continues extrêmement non-normales et la fréquence des quotients partiels. Notre travail sur la fréquence complète celui de Billingsley et Henningsen.

Les électrons dans les atomes lourds, en particulier ceux qui sont proches du noyau, sont soumis à des effets relativistes importants. Il est nécessaire de prendre en compte ces effets si l'on veut, par exemple, décrire précisément les niveaux d'énergies des atomes. L'étude des modèles atomiques quantiques relativistes remonte aux travaux fondateurs de P.A.M. Dirac, dès 1928. Ses travaux ont permis d'anticiper la découverte des antiparticules. En effet, le hamiltonien quantique qu'il obtient pour l'atome d'hydrogène n'a de sens physique que si l'on peut interpréter ses énergies négatives comme celles d'une mer infinie de particules virtuelles. Un « trou » dans le spectre des énergies négatives est alors interprété comme l'apparition d'une anti-particule : le positron. Peu après, en 1938, pour étudier les atomes à plusieurs électrons Swirles propose un modèle d'approximation qui donnera lieu aux fameuses équations de Dirac-Fock. Cette approche qui est auto-consistante, et pour laquelle les équations obtenues sont non linéaires, permet une étude numérique dont les résultats sont en très bon accord avec les mesures expérimentales. Pour autant, la motivation physique de cette approche reste incomplète. Elle s'appuie essentiellement sur l'analogue non relativiste des modèles atomiques quantiques, mais ne tient pas compte de l'interprétation de Dirac. De plus, le lien des équations de Dirac-Fock avec l'approche théorique donnée par l'électrodynamique quantique (QED) reste à établir clairement. En particulier, en QED, la question de la définition d'un espace qui décrit les états électroniques reste posée. Le travail présenté ici est une tentative d'apporter quelques réponses mathématiques rigoureuses sur ces problèmes. Nous commencerons par construire une famille de fonctionnelles à partir du hamiltonien formel de la QED qui dépendra du choix de l'espace à un électron. On se placera dans l'approximation de Hartree-Fock. On étudiera alors le problème de la stabilité, celui de l'existence de minima pour ces fonctionnelles (avec ou sans condition de charge totale fixée). On se consacrera ensuite à l'exposé des résultats obtenus qui permettent de comparer les deux approches : « Equations de Dirac-Fock » et « QED dans l'approximation de Hartree-Fock ». On distinguera en particulier le cas des couches pleines qui conduit aux mêmes résultats dans les deux cas, tout au moins pour des constantes de couplages faibles.

Réduire la vulnérabilité et accroître la résilience des sociétés d'aujourd'hui aux fortes précipitations et inondations exige de mieux caractériser leur très forte variabilité spatio-temporelle observable sur une grande gamme d'échelle. Nous mettons donc en valeur tout au long de cette thèse l'intérêt méthodologique d'une approche multifractale comme étant la plus appropriée pour analyser et simuler cette variabilité. Cette thèse aborde tout d'abord le problème de la qualité des données, qui dépend étroitement de la résolution temporelle effective de la mesure, et son influence sur l'analyse multifractale et la détermination de lois d'échelle des processus de précipitations. Nous en soulignons les conséquences pour l'hydrologie opérationnelle. Nous présentons la procédure SERQUAL qui permet de quantifier cette qualité et de sélectionner les périodes correspondant aux critères de qualité requise. Un résultat surprenant est que les longues chronologies de pluie ont souvent une résolution effective horaire et rarement de 5 minutes comme annoncée. Ensuite, cette thèse se penche sur les données sélectionnées pour caractériser la structure temporelle et le comportement extrême de la pluie. Nous analysons les sources d'incertitudes dans les méthodes multifractales " classiques " d'estimation des paramètres et nous en déduisons des améliorations pour tenir compte, par exemple, de la taille finie des échantillons et des limites de la dynamique des capteurs. Ces améliorations sont utilisées pour obtenir les caractéristiques multifractales de la pluie à haute résolution de 5 minutes pour plusieurs départements de la France (à savoir, les départements 38, 78, 83 et 94) et pour aborder la question de l'évolution des précipitations durant les dernières décennies dans le cadre du changement climatique. Cette étude est confortée par l'analyse de mosaïques radars concernant trois événements majeurs en région parisienne. Enfin, cette thèse met en évidence une autre application des méthodes développées, à savoir l'hydrologie karstique. Nous discutons des caractéristiques multifractales des processus de précipitation et de débit à différentes résolutions dans deux bassins versant karstiques au sud de la France. Nous analysons, en utilisant les mesures journalière, 30 minutes et 3 minutes, la relation pluie-débit dans le cadre multifractal. Ceci est une étape majeure dans la direction d'une définition d'un modèle multi-échelle pluie-débit du fonctionnement des bassins versants karstiques

Nous calculons presque sûrement, simultanément, les dimensions de Hausdorff des ensembles de branches infinies de la frontière d'un arbre de Galton-Watson super-critique (muni d'une métrique aléatoire) le long desquelles les moyennes empiriques d'une marche aléatoire de branchement vectorielle admettent un ensemble donné de points limites. Cela va au-delà de l'analyse multifractale, question pour laquelle nous complétons les travaux antérieurs en considérant les ensembles associés à des niveaux situés dans la frontière du domaine d'étude. Nous utilisons une méthode originale dans ce contexte, consistant à construire des mesures de Mandelbrot inhomogènes appropriées. Cette méthode est inspirée de l'approche utilisée pour résoudre des questions similaires dans le contexte de la dynamique hyperboliques pour les moyennes de Birkhoff de potentiels continus. Elle exploite des idées provenant du chaos multiplicatif et de la théorie de la percolation pour estimer la dimension inférieure de Hausdorff des mesures de Mandelbrot inhomogènes. Cette méthode permet de renforcer l'analyse multifractale en raffinant les ensembles de niveaux de telle sorte qu'ils contiennent des branches infinies le long desquels on observe une version quantifiée de la loi des grands nombres d'Erdös Renyi ; de plus elle permet d'obtenir une loi de type $0-\infty$ pour les mesures de Hausdorff de ces ensembles. Nos résultats donnent naturellement des informations géométriques et de grandes déviations sur l'hétérogénéité du processus de naissance le long des différentes branches infinies de l'arbre de Galton-Watson.

Nous considérons le problème d’un électron sur des pavages quasipériodiques en une et deux dimensions. Nous introduisons tout d’abord les pavages quasipériodiques d’un point de vue géométrique, et défendons en particulier l’idée que ces pavages sont les pavages apériodiques les plus proches de la périodicité. Nous concentrant plus particulièrement sur l’un des pavages quasipériodiques les plus simples, la chaîne de Fibonacci, nous montrons à l’aide d’un groupe de renormalisation que la multifractalité des états électroniques découle directement de l’invariance d’échelle de la chaîne. Élargissant ensuite notre champ d’étude à un ensemble de chaînes quasipériodiques, nous nous intéressons au théorème de label des gaps, qui décrit comment la géométrie d’une chaîne donnée contraint les valeurs que peut prendre la densité d’états intégrée dans les gaps du spectre électronique. Plus précisément, nous nous intéressons à la façon dont l’énoncé de ce théorème est modifié lorsque l’on considère une séquence d’approximants périodiques approchant une chaîne quasipériodique. Enfin, nous montrons comment des champs de hauteurs géométriques peuvent être utilisés pour construire des états électroniques exacts sur des pavages en une et deux dimensions. Ces états sont robustes aux perturbations du hamiltonien, sous réserve que ces dernières respectent les symétries du pavage sous-jacent. Nous relions les dimensions fractales de ces états à la distribution de probabilités des hauteurs, que nous calculons de façon exacte. Dans le cas des chaînes quasipériodiques, nous montrons que la conductivité suit une loi d’échelle de la taille de l’échantillon, dont l’exposant est relié à cette même distribution de probabilités. / We consider the problem of a single electron on one and two-dimensional quasiperiodic tilings. We first introduce quasiperiodic tilings from a geometrical point of view, and point out that among aperiodic tilings, they are the closest to being periodic. Focusing on one of the simplest one-dimensional quasiperiodic tilings, the Fibonacci chain, we show, with the help of a renormalization group analysis, that the multifractality of the electronic states is a direct consequence of the scale invariance of the chain. Considering now a broader class of quasiperiodic chains, we study the gap labeling theorem, which relates the geometry of a given chain to the set of values the integrated density of states can take in the gaps of the electronic spectrum. More precisely, we study how this theorem is modified when considering a sequence of approximant chains approaching a quasiperiodic one. Finally, we show how geometrical height fields can be used to construct exact eigenstates on one and two-dimensional quasiperiodic tilings. These states are robust to perturbations of the Hamiltonian, provided that they respect the symmetries of the underlying tiling. These states are critical, and we relate their fractal dimensions to the probability distribution of the height field, which we compute exactly. In the case of quasiperiodic chains, we show that the conductivity follows a scaling law, with an exponent given by the same probability distribution.