Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verallg. Nash-Gleichgewichtsproblemen im Zusammenhang mit Optimalsteuerungsproblemen mit (nichtlinearen) partiellen Differentialgleichungen. Ausgehend von der Existenzfrage von Nash-Gleichgewichten werden Bedingungen an Optimalsteuerungsprobleme mit nichtlinearen Lösungsoperatoren hergeleitet, welche die Konvexität des reduzierten Problems garantieren. Dazu nutzen wir die verallg. Konvexität von vektorwertigen Operatoren. Da keine expl. Darstellung des Lösungsoperators bekannt ist, werden hinreichende Bedingungen an die Operatorgleichung formuliert. Zusammen mit Anforderungen an das Zielfunktional wird so die Konvexität des reduzierten Problems garantiert. Das erlaubt auch Stationaritätssysteme im nichtglatten Fall herzuleiten. Eine zusätzliche Bedingung an die Lösung der Operatorgleichung koppelt die Strategien der Spieler. Das markiert den Übergang zu verallgemeinerten Nash-Spielen. Um diese Probleme anzugehen, wenden wir eine Penalty-Technik an. Damit wird die beschriebene Abhängigkeit vermieden und zum Zielfunktional transportiert. Damit wird eine Folge von Ersatzproblemen formuliert, deren Grenze das ursprüngliche Problem ist. Für die mathematische Beschreibung entwickeln wir eine erweiterte Γ-Konvergenz für Gleichgewichtsprobleme. Das Verhalten der Lagrange-Multiplikatoren im Stationaritätssystem wird unter Verwendung einer Pfadverfolgungstechnik analysiert und eine numerisch nutzbare Updatestrategie wird hergeleitet. Für ein praktisch anwendbares Lösungsverfahren ist eine Diskretisierung notwendig. Dazu verwenden wir eine Finite-Elemente-Methode. Die Herleitung der A-priori-Konvergenz basierend auf der zuvor verallgemeinerten Γ-Konvergenz wird für Gleichgewichtsprobleme mit gleichzeitiger Regularisierung etabliert. Im Blick auf durch Hindernisbedingungen erzeugte Kontaktmengen wenden wir uns auch adaptiven Finite-Elemente-Methoden zu. Unsere theoretischen Ergebnisse werden durch mehrere akademische Anwendungen illustriert. / The present work deals with generalized Nash equilibrium problems related to optimal control problems on (nonlinear) partial differential equations. Starting from the question of the existence of Nash equilibria, conditions for optimal control problems with nonlinear solution operators are derived that guarantee the convexity of the reduced problem. To do so, we discuss generalized convexity of vector-valued operators. As no explicit representation of the solution operator is known, conditions on the operator equation that imply this property are formulated. In combination with requirements for the objective functional, the convexity of the reduced problem can be guaranteed. This approach also allows us to derive stationarity systems even in the nonsmooth case. The presence of a condition on the solution of the operator equation couples the players' strategies. This marks the transition to generalized Nash games. To address these problems, we apply a penalty technique. Hence, the described dependency is avoided and transported to the objective. As the penalty functional is scaled with a parameter, a sequence of surrogate problems, whose limit is the original problem, is formulated. For its mathematical description, we introduce an extended Γ-convergence for equilibrium problems. The behavior of the Lagrangian multipliers in the stationarity system is analyzed using a path-following technique, and a numerically usable update strategy is derived. A discretization is necessary for a practically applicable solution method. For this, we use a finite element method. The derivation of the a priori convergence based on the previously generalized Γ-convergence is established for equilibrium problems with simultaneous regularization. With regard to the presence of contact sets induced by obstacle conditions, we also turn to adaptive finite element methods. Our theoretical results are illustrated by several academic applications.

Transformations between different geodetic reference frames are often performed such that first the transformation parameters are determined from control points. If in the first place we do not know which of the numerous transformation models is appropriate then we can set up a multiple hypotheses test. The paper extends the common method of testing transformation parameters for significance, to the case that also constraints for such parameters are tested. This provides more flexibility when setting up such a test. One can formulate a general model with a maximum number of transformation parameters and specialize it by adding constraints to those parameters, which need to be tested. The proper test statistic in a multiple test is shown to be either the extreme normalized or the extreme studentized Lagrange multiplier. They are shown to perform superior to the more intuitive test statistics derived from misclosures. It is shown how model selection by multiple hypotheses testing relates to the use of information criteria like AICc and Mallows’ Cp, which are based on an information theoretic approach. Nevertheless, whenever comparable, the results of an exemplary computation almost coincide.

Transformations between different geodetic reference frames are often performed such that first the transformation parameters are determined from control points. If in the first place we do not know which of the numerous transformation models is appropriate then we can set up a multiple hypotheses test. The paper extends the common method of testing transformation parameters for significance, to the case that also constraints for such parameters are tested. This provides more flexibility when setting up such a test. One can formulate a general model with a maximum number of transformation parameters and specialize it by adding constraints to those parameters, which need to be tested. The proper test statistic in a multiple test is shown to be either the extreme normalized or the extreme studentized Lagrange multiplier. They are shown to perform superior to the more intuitive test statistics derived from misclosures. It is shown how model selection by multiple hypotheses testing relates to the use of information criteria like AICc and Mallows’ Cp, which are based on an information theoretic approach. Nevertheless, whenever comparable, the results of an exemplary computation almost coincide.

Diese Dissertation befasst sich mit der Analyse von semi-expliziten Systemen aus stochastischen Differentialgleichungen (SDEs) gekoppelt mit stochastischen partiellen Differentialgleichungen (SPDEs) und algebraischen Gleichungen (AEs) mit möglicherweise stochastischen Anteilen in den Operatoren. Diese Systeme spielen eine entscheidende Rolle bei der Modellierung von realen Anwendungen, wie zum Beispiel elektrischen Schaltkreisen und Gasnetzwerken. Der Hauptbeitrag dieser Arbeit besteht darin, einen Rahmen bereitzustellen, in dem diese semiexpliziten Systeme auch bei stochastischen Einflüssen in den algebraischen Randbedingungen eine eindeutige Lösung haben. Wir führen einen numerischen Ansatz für solche Systeme ein und schlagen eine neue Möglichkeit vor, um Konvergenzergebnisse von driftimpliziten Methoden für SDEs auf stochastische Differential-Algebraische Gleichungen (SDAEs) zu erweitern. Dies ist wichtig, da viele Methoden für SDEs gut entwickelt sind, aber im Allgemeinen nicht für SDAEs in Betracht gezogen werden. Darüber hinaus untersuchen wir praktische Anwendungen in der Schaltkreis- und Gasnetzwerksimulation und diskutieren die dabei auftretenden Herausforderungen und Einschränkungen. Insbesondere stellen wir dabei auch einen Modellierungsansatz für Gasnetzwerke bestehend aus Rohren und algebraischen Komponenten vor. Abschließend testen wir in beiden Anwendungsfeldern die numerische Konvergenz anhand konkreter Beispiele mit verschiedenen Arten von stochastischer Modellierung. / This dissertation delves into the analysis of semi-explicit systems of stochastic differential equations (SDEs) coupled with stochastic partial differential equations (SPDEs) and algebraic equations (AEs) with possibly noise-driven operators. These systems play a crucial role in modeling real-world applications, such as electrical circuits and gas networks. The main contribution of this work is to provide a setting in which these semi-explicit systems have a unique solution even with stochastic influences in the algebraic constraints. We introduce a numerical approach for such systems and propose a new approach for extending convergence results of drift-implicit methods for SDEs to stochastic differential-algebraic equations (SDAEs). This is important, as many methods are well-developed for SDEs but generally not considered for SDAEs. Furthermore, we examine practical applications in circuit and gas network simulation, discussing the challenges and limitations encountered. In particular, we provide a modeling approach for gas networks consisting of pipes and algebraic components. To conclude, we test numerical convergence in both application settings on concrete examples with different types of stochastic modeling.

Die Strukturen in Lösung dreier unterschiedlich modifizierter DNA Doppelstränge wurden mittels NMR Spektroskopie gelöst. Sie alle besitzen polare Sonden im Zentrum der Helix, welche sensitiv für die nähere Umgebung sind. Ihr Schmelzverhalten wurde mit Hilfe einer neuen Methode charakterisiert, welche komplette Absorptionsspektren in Kombination mit Singularwertzerlegung (SVD) nutzt. Letztere erlaubt die Analyse der Spektren als Ganzes, die notwendig ist um der Blauverschiebung des Sondensignals zu folgen, welche durch die zuvor genannte Sensitivität zur Umgebung verursacht wird. Auf diese Weise kann der Schmelzprozess des Duplex lokal und global beschrieben werden. Die erste Modifikation, 2-Hydroxy-7-Carboxyfluoren (HCF), wurde gegenüber einer abasischen Seite platziert, um sterische Spannungen zu vermeiden. Die NMR Spektroskopie deckte zwei gleichverteilte Konformationen auf, da die Rotation des HCF Chromophors nur durch die Stapelwechselwirkung innerhalb der Helix unterbunden wird. Der zweite Doppelstrang enthält ein über R-Glycerol gebundenes 6-Hydroxychinolinium (6HQ) gegenüber Cytosin. Der Einbau von 6HQ als Mononukleotid einer Glykolnukleinsäure (GNA) ist ein strukturelles Alleinstellungsmerkmal. Bisher sind nur Kristallstrukturen von vollständiger GNA bekannt, daher ist die Struktur in Lösung dieses Doppelstranges von generellem Interesse. Die geringe Größe von R-Glycerol stört das Rückgrat des 6HQ-Stranges, welche eine von der helikalen Achse abweichende Stapelachse für die drei zentralen Basen verursacht. Die letzte Modifikation ist ein künstliches Basenpaar bestehend aus 4-Aminophthalimid (4AP) und 2,4-Diaminopyrimidin (DAP). Anstatt der gewünschten drei Wasserstoffbrücken wurden zwei Strukturen, die entweder eine oder zwei Wasserstoffbrücken beinhalten, beobachtet, welche durch die Verbindung von 4AP zur 2’-Deoxyribofuranose erklärt werden können. / The solution structures of three differently modified DNA double strands were solved by NMR spectroscopy. They all incorporate polarity probes in the center of the helix that are sensitive to the immediate environment. Their melting behavior was characterized by a new method that utilizes complete absorption spectra in combination with Singular Value Decomposition (SVD). The latter allows to analyze the spectra in their entirety, which is required to follow the blue shift of the probe signal that is caused by the aforementioned sensitivity to the environment. In this way the duplex melting process is characterized in local and global terms.The first modification, 2-hydroxy-7-carboxyfluorene (HCF), is placed opposite an abasic site to avoid steric strain. NMR spectroscopy revealed two equally distributed conformations, since rotation of the HCF chromophore is only hindered by stacking interactions inside the helix. The second double strand comprises R-glycerol linked 6-hydroxyquinolinium (6HQ) opposite cytosine. The incorporation of 6HQ as glycol nucleic acid (GNA) mononucleotide is a unique structural feature. Until now, only crystal structures of full GNA backbone duplexes are known, so the solution structure of this double strand is of general interest. The small size of R-glycerol disturbs the backbone of the 6HQ strand, which causes a stacking axis that differs from the helical long axis for the three central bases. The last modification is an artificial base pair made of 4-aminophthalimide (4AP) and 2,4-diaminopyrimidine (DAP). Instead of the desired three hydrogen bonds, two structures containing either a single or two hydrogen bonds are observed that can be explained by the linkage of 4AP to 2’-deoxyribofuranose.