Cette thèse comporte trois chapitres indépendants, consacrés à l’étude mathématique de trois problèmes physiques distincts, ayant pour modèles trois équations aux dérivées partielles différentes. Ces équations relèvent plus précisément de la méthode des surfaces de niveau, de la théorie de l’écoulement incompressible des matériaux non newtoniens et de la théorie cinétique des gaz raréfiés. Le premier chapitre de la thèse porte sur la dynamique des frontières en mouvement et contient une justification mathématique de la procédure numérique dite de ré-initialisation, dont les applications sont nombreuses dans le contexte de la célèbre méthode des surfaces de niveau. Nous appliquons ces résultats pour une classe d’équations issues de la méthode des surfaces de niveau de premier ordre. Nous écrivons la procédure de ré-initialisation comme un algorithme de décomposition et nous étudions la convergence de l’algorithme en utilisant des techniques d’homogénéisation dans la variable temporelle. Grâce à cette analyse rigoureuse nous introduisons également une nouvelle méthode pour l’approximation de la fonction de distance dans le contexte de la méthode des surfaces de niveau. Dans le cas où l’on cherche seulement une fonction de l’ensemble de niveau avec un gradient minoré proche du niveau zéro, nous proposons une approximation plus simple. Dans le cas général, où le niveau zéro pourrait présenter des changements de topologie, nous introduisons une nouvelle notion de limites relâchées. Dans le deuxième chapitre de la thèse, nous étudions un problème de frontière libre résultant de l’étude de l’écoulement incompressible d’un matériau non-newtonien, avec limite d’élasticité de type Drucker-Prager, sur un plan incliné et sous l’effet de la pesanteur. Nous obtenons une équation sous-différentielle, que nous formulons comme un problème variationnel avec un terme à croissance linéaire de type gradient, et nous étudions le problème dans un domaine non borné. Nous montrons que les équations sont bien posées et satisfont certaines propriétés de régularité. Nous sommes alors capables de relier les paramètres physiques avec le problème abstrait et de prouver des propriétés quantitatives de la solution. En particulier, nous montrons que la solution a un support compact, la limite de ce que nous appelons la frontière libre. Nous construisons également des solutions explicites d’une équation différentielle ordinaire qui peut estimer la frontière libre. Enfin, le troisième et dernier chapitre de la thèse est dédié aux solutions de l’équation de Boltzmann homogène avec molécules maxwelliennes et énergie infinie. Nous obtenons de nouveaux résultats d’existence de solutions éternelles pour cette équation dans un espace de mesures de probabilité d’énergie infinie (i.e. de moment d’ordre deux infini). Elles permettent de décrire le comportement asymptotique en temps d’autres solutions d’énergie infinie, mais elles apparaissent aussi comme des états asymptotiques intermédiaires dans l’étude des solutions d’énergie finie, mais arbitrairement grande. Les méthodes issues de l’analyse harmonique sont utilisées pour étudier l’équation de Boltzmann, où la variable de vitesse est exprimée en Fourier. Enfin, un changement d’échelle logarithmique en la variable temporelle permet de déterminer le bon comportement asymptotique à l’infini des solutions / This thesis consists of three different and independent chapters, concerning the mathematical study of three distinctive physical problems, which are modelled by three non- linear partial differential equations. These equations concern the level set method, the theory of incompressible flow of non-Newtonian materials and the kinetic theory of rare- fied gases. The first chapter of the thesis concerns the dynamics of moving interfaces and contains a rigorous justification of a numerical procedure called re-initialization, for which there are several applications in the context of the level set method. We apply these results for first order level set equations. We write the re-initialization procedure as a splitting algorithm and study the convergence of the algorithm using homogenization techniques in the time variable. As a result of the rigorous analysis, we are also able to introduce a new method for the approximation of the distance function in the context of the level set method. In the case where one only looks for a level set function with gradient bounded from below near the zero level, we propose a simpler approximation. In the general case where the zero level might present changes of topology we introduce a new notion of relaxed limits. In the second chapter of the thesis, we study a free boundary problem arising in the study of the flow of an incompressible non-Newtonian material with Drucker-Prager plasticity on an inclined plane. We derive a subdifferential equation, which we reformulate as a variational problem containing a term with linear growth in the gradient variable, and we study the problem in an unbounded domain. We show that the equations are well posed and satisfy some regularity properties. We are then able to connect the physical parameters with the abstract problem and prove some quantitative properties of the solution. In particular, we show that the solution has compact support and the support is the free boundary. We also construct explicit solutions of an ordinary differential equation, which we use to estimate the free boundary. The last chapter of the thesis is dedicated to the study of infinite energy solutions of the homogeneous Boltzmann equation with Maxwellian molecules. We obtain new results concerning the existence of eternal solutions in the space of probability measure with infinite energy (i.e. the second order moment is infinite). These solutions describe the asymptotic behaviour of other infinite energy solutions but could also be useful in the study of intermediate asymptotic states of solutions with finite but arbitrarily large energy. We use harmonic analysis tools to study the equation, where the velocity variable is expressed in the Fourier space. Finally, a logarithmic scaling of the time variable allows to determine the correct asymptotic scaling of the solutions

Ce travail est une contribution expérimentale à l’étude rhéologique et en écoulement de fluides complexes (à seuil et thixotropes) transitant dans un circuit hydraulique. Il s’agit notamment de suspensions de bentonite ainsi que des complexes bentonite/polymère. L’étude porte sur l’évolution des pertes de charge et des champs de vitesse et se situe en régime laminaire, transitoire et turbulent. L’étude a été réalisée en utilisant un vélocimètre ultrasonore Doppler pulsé développé au laboratoire. Dans la première partie expérimentale de la thèse, des mesures rhéologiques et en écoulement ont été effectuées sur des suspensions de bentonite pures (sans additifs) à différentes concentrations. A partir des essais sur boucle hydraulique, une étude détaillée est présentée sur l’évolution des coefficients de frottement et des profils de vitesse pour les différents régimes d’écoulement. Dans une seconde partie, une suspension de bentonite pure et des mélanges bentonite/CMC à différentes concentrations massiques ont été étudiées en termes de comportement rhéologique et hydrodynamique en écoulement en conduite. En ce qui concerne les mesures effectuées en boucle hydraulique, il a été montré que le polymère a des propriétés viscosifiantes en régime laminaire. Par contre, en régime turbulent, le polymère agit comme un réducteur de frottement. La dernière partie de la thèse a été consacrée à l’étude de l’influence de la température sur le comportement rhéologique des solutions de polymère et des mélanges argile/polymère. Les mesures rhéologiques à différents paliers de températures ainsi que les balayages en température ont mis en évidence le caractère thermodépendant des dispersions. / This experimental work is a contribution to the study of rheological and pipe flow proprieties of complex fluids (yield stress and thixotropic). Bentonite suspensions and mixtures containing bentonite and carboxymethyl cellulose were investigated. The axial velocity distribution was determined using ultrasonic pulsed Doppler velocimetry technique. In the first experimental part of the thesis, rheological and pipe flow measurements were performed for pure bentonite suspensions at different concentrations. A detailed study is presented on the evolution of the friction factors and velocity profiles for different flow regimes. In a second part, suspension of bentonite and mixtures of bentonite / CMC at different mass concentrations of polymer were studied in terms of their rheological and hydrodynamic flow behavior. It was shown that the polymer has viscosifying properties in laminar regime. However, in the turbulent regime, the polymer acts as a friction reducer. The last part of the thesis was devoted to the study of the effect of temperature on the rheological behavior of polymer solutions and mixtures of clay / polymer. The rheological measurements at different temperatures showed a thermodependent character of the different fluids.

Le chapitre 1 introduit les modèles et donne les principaux résultats obtenus. Dans le chapitre 2, on présente des simulations numériques d'un modèle macroscopique en deux dimensions. La méthode de discrétisation par éléments finis utilisée est décrite. Pour le cas test de l'écoulement autour d'un cylindre, les phénomènes en jeu dans les fluides vieillissants sont observés. Le chapitre 3 concerne l'étude mathématique de la version unidimensionnelle du système d'équations aux dérivées partielles utilisé pour les simulations. On montre que le problème est bien posé et on examine le comportement en temps long de la solution. Dans le dernier chapitre, des équations macroscopiques sont dérivées à partir d'une équation mésoscopique. L'analyse mathématique de cette équation mésoscopique est également menée / This thesis is devoted to the modelling, the mathematical analysis and the simulation of non-Newtonian fluids. Some fluids in an intermediate liquid-solid phase are particularly considered: aging fluids. Modelling scales are macroscopic and mesoscopic. In Chapter 1, we introduce the models and give the main results obtained. In Chapter 2, we present numerical simulations of a macroscopic two-dimensional model. The finite element method used for discretization is described. For the flow past a cylinder test-case, phenomena at play in aging fluids are observed. The Chapter 3 contains a mathematical analysis of the one-dimensional version of the system of partial differential equations used for the simulations. We show well-posedness and investigate the longtime behaviour of the solution. In the last chapter, macroscopic equations are derived from a mesoscopic equation. The mathematical analysis of this mesoscopic equation is also carried out

L’étude du transfert de masse turbulent aux interfaces gaz-liquide est d’un grand intérêt dans de nombreuses applications environnementales et industrielles. Bien que ce problème soit étudié depuis de nombreuses années, sa compréhension n’est pas encore suffisante pour la création de modèles de transfert de masse réalistes (de type RANS ou LES sous maille), en particulier en présence d’une phase liquide à rhéologie complexe. Ce travail expérimental a pour but l’étude des aspects fondamentaux du transfert de masse turbulent à une interface plane horizontale entre du dioxyde de carbone gazeux et une phase liquide newtonienne ou non, agitée par une turbulence homogène quasi isotrope. Les milieux liquides non newtoniens étudiés sont des solutions aqueuses d’un polymère dilué à des concentrations variables et aux propriétés viscoélastiques et rhéofluidifiantes. Deux méthodes de mesure optiques permettant l’obtention du champ de vitesse de la phase liquide (SPIV) et de concentration du gaz dissout (I-PLIF) sont couplées tout en maintenant une haute résolution spatiale, afin de déduire les statistiques de vitesse et de concentration couplées dans les premiers millimètres sous la surface. Une nouvelle version de I-PLIF est développée pour les mesures en proche surface. Elle peut également s’appliquer dans différentes études de transfert de masse. La turbulence de fond est générée par un dispositif de grille oscillante. Les mécanismes de production et les caractéristiques de la turbulence sont étudiés. L’importance de la composante oscillante de la turbulence est discutée, et un phénomène d’amplification de l’écoulement moyen est mis en évidence. Les mécanismes du transfert de masse turbulent à l’interface sont finalement observés pour l’eau et une solution de polymère dilué à faible concentration. L’analyse conditionnelle des flux de masse turbulent permet de mettre en évidence les évènements contribuant au transfert de masse et de discuter de leur impact relatif sur le transfert total. / The study of turbulence induced mass transfer at the interface between a gas and a liquid is of great interest in many environmental phenomena and industrial processes. Even though this issue has already been studied for several decades, its understanding is still not good enough to create realistic models (RANS or sub-grid LES), especially when considering a liquid phase with a complex rheology. This experimental work aims at studying fundamental aspects of turbulent mass transfer at a flat interface between carbon dioxide and a Newtonian or non-Newtonian liquid, stirred by homogeneous and quasi isotropic turbulence. Non-Newtonian fluids studied are aqueous solutions of a model polymer, Xanthan gum (XG), at various concentrations, showing viscoelastic and shear-thinning properties. Optical techniques for the acquisition of the liquid phase velocity field (Stereoscopic Particle Image Velocimetry, SPIV) and dissolved gas concentration field (Inhibited Planar Laser Induced Fluorescence, I-PLIF) are for the first time coupled, keeping a high spatial resolution, to access velocity and concentration statistics in the first few millimetres under the interface. A new version of I-PLIF is developed. It is designed to be more efficient for near surface measurements, but its use can be generalized to other single or multiphase mass transfer situations. Bottom shear turbulence in the liquid phase is generated by an oscillating grid apparatus. The mechanisms of turbulence production and the characteristics of oscillating grid turbulence (OGT) are studied. The importance of the oscillatory component of turbulence is discussed. A mean flow enhancement effect upon polymer addition is evidenced. The mechanisms of turbulent mass transfer at a flat interface are finally observed in water and low concentration polymer solutions. A conditional analysis of turbulent mass fluxes allows to distinguish the type of events contributing to mass transfer and discuss their respective impact in water and polymer solutions.

La méthode LS-STAG est une méthode de type frontière immergée/cut-cell pour le calcul d’écoulements visqueux incompressibles qui est basée sur la méthode MAC pour grilles cartésiennes décalées, où la frontière irrégulière est nettement représentée par sa fonction level-set, résultant en un gain significatif en ressources informatiques par rapport aux codes MFN commerciaux utilisant des maillages qui épousent la géométrie. La version 2D est maintenant bien établie et ce manuscrit présente son extension aux géométries 3D avec une symétrie translationnelle dans la direction z (configurations extrudées 3D). Cette étape intermédiaire sera considérée comme la clé de voûte du solveur 3D complet, puisque les problèmes de discrétisation et d’implémentation sur les machines à mémoire distribuée sont abordés à ce stade de développement. La méthode LS-STAG est ensuite appliquée à divers écoulements newtoniens et non-newtoniens dans des géométries extrudées 3D (conduite axisymétrique, cylindre circulaire, conduite cylindrique avec élargissement brusque, etc.) pour lesquels des résultats de références et des données expérimentales sont disponibles. Le but de ces investigations est d’évaluer la précision de la méthode LS-STAG, d’évaluer la polyvalence de la méthode pour les applications d’écoulement dans différents régimes (fluides newtoniens et rhéofluidifiants, écoulement laminaires stationnaires et instationnaires, écoulements granulaires) et de comparer ses performances avec de méthodes numériques bien établies (méthodes non structurées et de frontières immergées) / The LS-STAG method is an immersed boundary/cut-cell method for viscous incompressible flows based on the staggered MAC arrangement for Cartesian grids where the irregular boundary is sharply represented by its level-set function. This approach results in a significant gain in computer resources compared to commercial body-fitted CFD codes. The 2D version of LS-STAG method is now well-established and this manuscript presents its extension to 3D geometries with translational symmetry in the z direction (3D extruded configurations). This intermediate step will be regarded as the milestone for the full 3D solver, since both discretization and implementation issues on distributed memory machines are tackled at this stage of development. The LS-STAG method is then applied to Newtonian and non-Newtonian flows in 3D extruded geometries (axisymmetric pipe, circular cylinder, duct with an abrupt expansion, etc.) for which benchmark results and experimental data are available. The purpose of these investigations is to evaluate the accuracy of LS-STAG method, to assess the versatility of method for flow applications at various regimes (Newtonian and shear-thinning fluids, steady and unsteady laminar to turbulent flows, granular flows) and to compare its performance with well-established numerical methods (body-fitted and immersed boundary methods)

Avec la naissance de l’"astronomie gravitationnelle", vient l’opportunité inédite de tester la relativité générale et ses alternatives dans un régime de champ fort jamais observé jusqu’alors : celui de la coalescence d’un système binaire d’objets compacts. Cette thèse propose d’étudier le problème du mouvement ainsi que du rayonnement gravitationnel d’un tel système en gravités modifiées, en y adaptant et en généralisant certains développements analytiques clés de la relativité générale. On montre d’abord comment étendre le formalisme "effective-one-body" (EOB) à une large classe de gravités modifiées, parmi lesquelles les théories scalaire-tenseur. Dans ces dernières, l’interaction gravitationnelle est modifiée par l’ajout d’un degré de liberté scalaire (sans masse) à la relativité générale. Le lagrangien à deux corps correspondant étant connu à l’ordre post-post-keplerien, nous construisons un hamiltonien EOB associé, décrivant le mouvement d’une particule test dans des champs effectifs. Ceci permet de simplifier la dynamique à deux corps et d’en définir une resommation ; et ainsi, d’en explorer le régime de champ fort, près de la coalescence du système. On "s’attaque" ensuite, et pour la première fois, à la description analytique d’un système binaire de trous noirs "chevelus", afin d’obtenir les formes d’ondes gravitationnelles (EOB) associées ; et ce, sur l’exemple simple des théories Einstein-Maxwell-dilaton, qui généralisent les théories scalaire-tenseur par l’ajout d’un champ vectoriel (sans masse). Pour ce faire, on calcule le lagrangien à deux corps à l’ordre post-keplerien ainsi que le flux d’énergie rayonnée à l’infini à l’ordre quadrupolaire. Tout comme en relativité générale, ces développements reposent sur la description de la trajectoire des trous noirs par les lignes d’univers de particules ponctuelles, décrites par une action "skeleton" généralisant celle, géodésique, de la relativité générale. Enfin, à l’aide des "superpotentiels" de Katz, que l’on généralise pour définir la masse (nœtherienne) d’un trou noir à "cheveux" vectoriel et scalaire, on montre que la première loi de la thermodynamique qui en découle est particulièrement adaptée, lorsqu’un trou noir est membre d’un système binaire, pour en décrire les réajustements éventuels sous l’influence d’un compagnon lointain. La thermodynamique des trous noirs est alors utilisée pour interpréter et discuter du domaine de validité de leur "skeletonisation". / With the birth of "gravitational wave astronomy" comes the opportunity to test general relativity and its alternatives in a strong field regime that had never been observed so far: that of the coalescence of a compact binary sytem. This thesis studies the problem of motion and gravitational radiation from such systems in modified gravities, by adapting some of the key analytical tools that were first developed in the context of general relativity. First, we show how to widen the "effective-one-body" (EOB) formalism to a large class of modified gravities, including, e.g., scalar-tensor theories. In the latter, the gravitational interaction is described by supplementing general relativity with a (massless) scalar degree of freedom. The corresponding two-body lagrangian being known at post-post-keplerian order, we build an associated EOB hamiltonian, which describes the motion of a test particle orbiting in effective external fields. This enables to simplify and resum the two-body dynamics; and hence, to explore the strong-field regime near merger. We then "tackle", for the first time, the analytical description of "hairy" binary black hole systems, and obtain their (EOB) gravitational waveform counterparts in Einstein-Maxwell-dilaton theories, which generalize scalar-tensor theories by means of a (massless) vector field. To that end, we derive the two-body lagrangian at post-keplerian order as well as the energy flux radiated at infinity at quadrupolar order. As in general relativity, our developments rely on the phenomenological description of the black hole’s trajectories as worldlines of point particles that are, in turn, described by a "skeleton" action generalizing that of general relativity. Finally, we develop a formalism based on Katz’ "superpotentials" to define the mass (as a nœther charge) of a black hole that is endowed with vector and scalar "hair". We then deduce the first law of thermodynamics, which is particularly suitable to describe its readjustments when interacting with a faraway companion. Black hole thermodynamics is lastly shown to be a powerful tool to interpret and discuss the scope of their "skeletonization".