La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse. / The main topic of the present thesis is spectral geometry. This area of mathematics is concerned with establishing links between the geometry of a Riemannian manifold and its spectrum. The spectrum of a closed Riemannian manifold M equipped with a Riemannian metric g associated with the Laplace-Beltrami operator is a sequence of non-negative numbers tending to infinity. The square root of any number of this sequence represents a frequency of vibration of the manifold. This thesis consists of four articles all related to various aspects of spectral geometry. The first paper, “Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunction”, is presented in Chapter 1. Nodal geometry of various elliptic operators, such as the Laplace-Beltrami operator, is studied. The goal of this paper is to generalize a result due to L. Polterovich and M. Sodin that gives a bound on the distribution of nodal extrema on a Riemann surface for a large class of functions, including eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator. The proof given by L. Polterovich and M. Sodin is only valid for Riemann surfaces. Therefore, I present a different approach to the problem that works for eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator on Riemannian manifolds of arbitrary dimension. The second and the third papers of this thesis are focused on a different elliptic operator, namely the p-Laplacian. This operator has the particularity of being non-linear. The article “Principal frequency of the p-Laplacian and the inradius of Euclidean domains” is presented in Chapter 2. It discusses lower bounds on the first eigenvalue of the Dirichlet eigenvalue problem for the p-Laplace operator in terms of the inner radius of the domain. In particular, I show that if p is greater than the dimension, then it is possible to prove such lower bound without any hypothesis on the topology of the domain. Such bounds have previously been studied by well-known mathematicians, such as W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos, and T. Carroll. Their papers are mostly oriented toward the case of the usual Laplace operator. The generalization of such lower bounds for the p-Laplacian is done in my third paper, “Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian”. It is presented in Chapter 3. My fourth paper, “Wolf-Keller theorem of Neumann Eigenvalues”, is a joint work with Guillaume Roy-Fortin. This paper is concerned with the shape optimization problem in the case of the Laplace operator with Neumann boundary conditions. The main result of our paper is that eigenvalues of the Neumann boundary problem are not always maximized by disks among planar domains of given area. This joint work is presented in Chapter 4.

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Face aux forts besoins de réduction de la consommation énergétique et de l’impact environnemental,le bâtiment d’aujourd’hui vise la performance en s’appuyant sur des sourcesd’énergie de plus en plus diversifiées (énergies renouvelables), une enveloppe mieux conçue(isolation) et des systèmes de gestion plus avancés. Plus la conception vise la basse consommation,plus les interactions entre ses composants sont complexes et peu intuitives. Seule unerégulation plus intégrée permettrait de prendre en compte cette complexité et d’optimiser lefonctionnement pour atteindre la basse consommation sans sacrifier le confort.Les techniques de commande prédictive, fondées sur l’utilisation de modèles dynamiqueset de techniques d’optimisation, promettent une réduction des consommations et de l’inconfort.Elles permettent en effet d’anticiper l’évolution des sources et des besoins intermittentstout en tirant parti de l’inertie thermique du bâtiment, de ses systèmes et autres élémentsde stockage. Cependant, dans le cas du bâtiment, l’obtention d’un modèle dynamique suffisammentprécis présente des difficultés du fait d’incertitudes importantes sur les paramètresdu modèle et les sollicitations du système. Les avancées récentes dans le domaine de l’instrumentationdomotique constituent une opportunité prometteuse pour la réduction de cesincertitudes, mais la conception d’un tel système pour une telle application n’est pas triviale.De fait, il devient nécessaire de pouvoir considérer les problématiques de monitoring énergétique,d’instrumentation, de commande prédictive et de modélisation de façon conjointe.Cette thèse vise à identifier les liens entre commande prédictive et instrumentation dansle bâtiment, en proposant puis exploitant une méthode générique de modélisation du bâtiment,de simulation thermique et de résolution de problèmes d’optimisation. Cette méthodologiemet en oeuvre une modélisation thermique multizone du bâtiment, et des algorithmesd’optimisation reposant sur un modèle adjoint et les outils du contrôle optimal. Elle a étéconcrétisée dans un outil de calcul permettant de mettre en place une stratégie de commandeprédictive comportant des phases de commande optimale, d’estimation d’état et decalibration.En premier lieu, nous étudions la formulation et la résolution d’un problème de commandeoptimale. Nous abordons les différences entre un tel contrôle et une stratégie de régulationclassique, entre autres sur la prise en compte d’indices de performance et de contraintes. Nousprésentons ensuite une méthode d’estimation d’état basée sur l’identification de gains thermiquesinternes inconnus. Cette méthode d’estimation est couplée au calcul de commandeoptimale pour former une stratégie de commande prédictive.Les valeurs des paramètres d’un modèle de bâtiment sont souvent très incertaines. Lacalibration paramétrique du modèle est incontournable pour réduire les erreurs de prédictionet garantir la performance d’une commande optimale. Nous appliquons alors notreméthodologie à une technique de calibration basée sur des mesures de températures in situ.Nous ouvrons ensuite sur des méthodes permettant d’orienter le choix des capteurs à utiliser(nombre, positionnement) et des paramètres à calibrer en exploitant les gradients calculéspar la méthode adjointe.La stratégie de commande prédictive a été mise en oeuvre sur un bâtiment expérimentalprès de Chambéry. Dans le cadre de cette étude, l’intégralité du bâtiment a été modélisé,et les différentes étapes de notre commande prédictive ont été ensuite déployées de mainière séquentielle. Cette mise en oeuvre permet d’étudier les enjeux et les difficultés liées àl’implémentation d’une commande prédictive sur un bâtiment réel.Cette thèse est issue d’une collaboration entre le CEA Leti, l’IFSTTAR de Nantes et leG2ELab, et s’inscrit dans le cadre du projet ANR PRECCISION. / More efficient energy management of buildings through the use of Model Predictive Control(MPC) techniques is a key issue to reduce the environmental impact of buildings. Buildingenergy performance is currently improved by using renewable energy sources, a betterdesign of the building envelope (insulation) and the use of advanced management systems.The more the design aims for high performance, the more interactions and coupling effectsbetween the building, its environment and the conditions of use are important and unintuitive.Only a more integrated regulation would take in account this complexity, and couldhelp to optimize the consumption without compromising the comfort.Model Predictive Control techniques, based on the use of dynamic models and optimizationmethods, promise a reduction of consumption and discomfort. They can generate energysavings by anticipating the evolution of renewable sources and intermittent needs, while takingadvantage of the building thermal inertia and other storage items. However, in the caseof buildings, obtaining a good dynamic model is tough, due to important uncertainties onmodel parameters and system solicitations.Recent advances in the field of wireless sensor networks are fostering the deployment ofsensors in buildings, and offer a promising opportunity to reduce these errors. Nevertheless,designing a sensor network dedicated to MPC is not obvious, and energy monitoring,instrumentation, modeling and predictive control matters must be considered jointly.This thesis aims at establishing the links between MPC and instrumentation needs inbuildings. We propose a generic method for building modeling, thermal simulation andoptimization. This methodology involves a multi-zone thermal model of the building, andefficient optimization algorithms using an adjoint model and tools from the optimal controltheory. It was implemented in a specific toolbox to develop a predictive control strategywith optimal control phases, state estimation phases and model calibration.At first, we study the formulation and resolution of an optimal control problem. We discussthe differences between such a control and a conventional regulation strategy, throughperformance indicators. Then, we present a state estimation method based on the identificationof unknown internal gains. This estimation method is subsequently coupled with theoptimal control method to form a predictive control strategy.As the parameters values of a building model are often very uncertain, parametric modelcalibration is essential to reduce prediction errors and to ensure the MPC performance. Consequently,we apply our methodology to a calibration technique based on in situ temperaturemeasurements. We also discuss how our approach can lead to selection techniques in orderto choose calibrated parameters and sensors for MPC purposes.Eventually, the predictive control strategy was implemented on an experimental building,at CEA INES, near Chambéry. The entire building was modeled, and the different steps ofthe control strategy were applied sequentially through an online supervisor. This experimentgave us a useful feedback on our methodology on a real case.This thesis is the result of a collaboration between CEA Leti, IFSTTAR Nantes andG2ELab, and is part of the ANR PRECCISION project.

Avec l’accroissement des exigences des avionneurs, les problématiques thermique interviennent de plus en plus tôt dans les phases de conception d’un équipement roue et frein. La première phase de conception, appelée pré-étude, doit permettre de définir les grands choix technologiques pour répondre aux spécifications. Cette phase se déroulant sur une période de l’ordre du mois, la prévision du comportement thermique induit par les différentes solutions doit être de l’ordre de quelques jours. Aussi, les outils de simulation (de type CFD) ne peuvent pas être utilisé, car le temps d’implémentation (maillage) et de calcul ne sont pas adaptés. En outre, compte tenu de la faible maturité du design, aucune CAO n’est disponible. En revanche, le degré de précision et de résolution exigé sur les résultats est plus faible. Dans cette thèse nous proposons un outil de modélisation simplifiée adapté aux contraintes de cette phase de conception, à savoir, un temps d’implémentation et de calcul de l’ordre de quelques heures, et, un très fort niveau de paramétrisation. Pour cela, nous avons tout d’abord établi une représentation géométrique simplifié de l’équipement dans une grille en coordonnées R,T,Z. La simplification géométrique se traduit par une adaptation de la forme des pièces à la grille. L’obtention de cette représentation devient alors automatisable pour réduire le temps d’implémentation. Le modèle thermique utilisé est basé sur l’association d’une approche nodale par l’utilisation de formulation RC et un maillage spatiale adaptable sur chaque pièce qui se rapproche du principe d’une méthode de type volume finis. La complexité du problème thermique (liée à la géométrie, aux transferts multi-modes instationnaires, aux hautes températures et aux non-linéarités) va nous imposer, à des fins d’analyses, la mise au point d’un outil de représentation spatiale et temporelle des grandeurs thermiques. Une décomposition géométrique, associée à une décomposition temporelle du refroidissement par rapport à des temps caractéristiques, a permis d’établir une représentation intelligible des informations sous formes de cartographies. Dans une première étape, des cartographies de températures ont été établies à partir de données d’essais. Ces cartographies ont permis d’énoncer quelques hypothèses sur le sens et l’intensité des transferts, en particulier, conductifs. Dans une seconde étape, les résultats d’un modèle thermo-aéraulique complet de l’équipement, recalés sur les températures d’essais, ont offert la possibilité d’obtenir des cartographies énergétiques par l’intermédiaire des flux et des décompositions spatiale et temporelle. Ces dernières mettent en évidence les lieux et l’intensité des transferts énergétiques, ainsi que, les pièces stockant la chaleur. Cet outil de représentation a pu être utilisé sur d’autres équipements roue et frein, et sur plusieurs énergies de freinage (16 à 64MJ). / For several years, expectations of aircraft manufacturers and airlines have risen as far as reduction of aircraft weight and turn-around time are concerned. Mass reduced wheel and brake equipments tend to reach higher maximal temperature and need to be cooled down more efficiently. Therefore, equipments need to be better designed in terms of heat transfer, especially from the early design phases (i.e. right from the request for proposal). Brake cooling is insured by transient and multi-modal heat transfer, involving particularly, surface-to-surface thermal radiation, natural convection and heat conduction. Furthermore, because of the geometric complexity of the system, three-dimensional heat transfer should be considered. The first aim of this work is to develop a simplified representation of the heat transfer, inside the equipment and with the outdoor, leading to a better acknowledgment of its thermal comportment. This would eventually provide to the engineers some guidelines to a way to help the decision forecast and improve the thermal design of wheel and brake equipments. Secondly, a simplified thermal model should be developed, in order to fill the lack of dedicated tools ,in the preliminary design stage, to predict the thermal comportment. To predict thermal fields, in such a complex system, modelisation approaches, such as finite volume or finite-element methods (the use of CFD in the case of coupled convection/conduction problems) are commonly used in industry. Despite their ability to provide suitable and accurate results, that kind of numerical methods don't fit with the preliminary design stage requirements, especially in term of implementation and calculation time. On the opposite, model based on RC thermal network seems to meet the requirements of fast calculation time and implementation time thanks to fully adapted parameterization.

Les machines électriques synchrones à aimants permanents sont susceptibles de rencontrer un disfonctionnement suite à un échauffement non maîtrisé. L’objectif de cette étude est de développer un modèle thermique générique et prédictif pouvant simuler diverses situations d’intérêts: régime permanent, régime transitoire, mode dégradé, entrefer immergé, haute vitesse. Pour cela, la méthode nodale est utilisée pour développer le modèle thermique générique. En parallèle, un banc d’essai et un prototype sont conçus pour valider le modèle. L’étude de sensibilité des résultats du modèle à certains paramètres montrent que certains coefficients de convection, certaines conductances de contact et la conductivité thermique radiale du bobinage ont une influence considérable sur les résultats du modèle. Cependant ces paramètres sont mal connus, car ils sont issus des formules empiriques ou des abaques. Grâce au prototype et au modèle développé, ces paramètres sont identifiés. Trois méthodes d’identification sont testées pour aboutir à une stratégie d’identification: les algorithmes génétiques, la méthode de Gauss-Newton et la méthode de Levenberg-Marquardt. Plusieurs essais sont effectués sur le prototype instrumenté. La mesure des températures à des lieux précis du prototype permet d’identifier les paramètres mal connus et de valider le modèle. / Permanent magnet synchronous machines are likely to break down due to poorly controlled heating. The goal of this study was to develop a generic and predictive thermal model to calculate the temperature of machines during the design phase simulating temperatures at various states. These states include: steady state, transient state, fault mode, axial circulating of a cooling fluid in the air-gap and high speed. The lumped parameter method was used to develop this generic thermal model. Meanwhile, a test bench and a prototype instrumented with thermocouples were manufactured to validate the model at the same time. Sensitivity studies of the results of the model to some parameters demonstrated that some convective coefficients, contact conductances and the thermal conductivity of the winding in the radial direction influenced the model. However, these parameters are poorly known, because empirical formulas or abacus are used to calculate them. Using, the prototype and the developed model, these parameters were identified. Three methods of identification were tested in order to find a strategy for the identification: the genetic algorithms method, the Gauss-Newton method and the Levenberg-Marquardt method. Many tests were done on the prototype. The measure of the temperatures on the specific place allows to identify these parameters and to validate the model.

The study at hand introduces a newapproach to characterize fatigue crack growth in small strain linear viscoelastic solids by configurational mechanics. In this study, Prony series with n-Maxwell elements are used to describe the viscoelastic behavior. As a starting point in this work, the local balance of energy momentum is derived using the free energy density. Moreover, at cyclic loading, the cyclic free energy substitutes the free energy. Using the cyclic free energy, the balance of cyclic energy momentum is obtained. The newly derived balance law at cyclic loading is appropriate for each cycle. In the finite element framework, nodal material forces and cyclic nodal material forces are obtained using the weak and discretized forms of the balance of energy momentum and cyclic energy momentum, respectively. The crack driving force and the cyclic crack driving force are determined by the nodal material forces and the cyclic nodal material forces, respectively. Finally, numerical examples are shown to illustrate path-independence of the domain integrals using material forces and cyclic material forces. The existence of the balance of energy momentum and cyclic energy momentum are also illustrated by numerical examples.

Les machines électriques jouent un rôle très important dans la conversion d'énergie dans plusieurs applications et domaines. Les contraintes thermiques jouent ainsi un rôle indispensable dans la conception des machines électriques de plus en plus petites et performantes. En effet, la performance des machines électriques est limitée par les températures maximales admissibles dans certaines zones critiques telles que le bobinage, les aimants permanents et les roulements. Deux approches principales peuvent être utilisées pour étudier le comportement thermique de la machine: la méthode nodale ou le circuit à constantes localisées ou les modèles numériques. Dans notre étude, nous proposons d'appliquer la méthode nodale sur une machine électrique intégrée dans un environnement mécatronique complexe. Le modèle thermique développé de la machine est ainsi présenté avec ses différents éléments. En effet, un modèle précis dépend fortement de plusieurs paramètres thermiques tels que les coefficients d'échange convectif, les conductances de contact, les conductivités équivalentes du bobinage, et autres paramètres. En conséquence, des techniques d'analyse de sensibilité sont ensuite appliquées sur le modèle thermique pour identifier les paramètres d'influence significative sur les températures de la machine ainsi que pour la réduction de ce modèle. Ensuite, nous appliquons deux méthodologies d'identification des paramètres thermiques incertains sont développées et appliquées afin de recaler le modèle thermique de la machine. Cette étape permet la validation de ce modèle par rapport à des mesures thermiques sur une machine synchrone à aimants permanents internes installée sur un banc de caractérisation de machine électriques. Finalement, nous intégrons le modèle recalé dans une approche système mécatronique comportant les lois de commande de la machine ainsi que son convertisseur. Ceci permettra ainsi d'étudier l'influence de la température d'une machine électrique sur le système mécatronique complet. / Electric machines play an important role in power conversion in several applications and fields. With the increasing demand for designing lighter and more efficient machines and optimizing the existing structures, thermal analysis becomes a necessary; in fact, the performance of electric machines islimited by the allowable temperatures in many critical components like windings, permanent magnetsand bearings. Two main approaches can be employed in order to study the machine thermal behavior : the lumped parameter thermal network (LPTN) or numerical models. Considering low-computationtime-consuming and the possibility to be integrated in a mechatronics system design, the LPTN method is considered in our study. The latter is mainly applied on electric machine integrated in a complex mechatronics environment. The thermal network is presented along with the definition of the principal elements constituting this network. In fact, an accurate and reliable network strongly depends on many critical parameters like heat transfer coefficients, interface gaps, impregnation goodness, among others. For this reason, different sensitivity analysis techniques are carried out in order to, first, identify the significance of uncertainties in the evaluation of these parameters on machine temperatures and second, to reduce the thermal network. Next, we propose two optimization algorithm-based identification methodologies in order to calibrate results of the thermal network with measured temperatures obtained from a test-bench of a permanent magnet based integrated starter-generator machine. The calibrated model is then integrated in a mechatronics system consisting of an electric model of the electric machine, along with its control strategy and the power converter. This final study allows us to evaluate the impact of the machine temperature rise on the mechatronic system.

Cilia and flagella are hair-like appendages of eukaryotic cells. They are actively bending structures that exhibit regular beat patterns and thereby play an important role in many different circumstances where motion on a cellular level is required. Most dramatic is the effect of nodal cilia whose vortical motion leads to a fluid flow that is directly responsible for establishing the left-right axis during embryological development in many vertebrate species, but examples range from the propulsion of single cells, such as the swimming of sperm, to the transport of mucus along epithelial cells, e.g. in the ciliated trachea. Cilia and flagella contain an evolutionary highly conserved structure called the axoneme, whose characteristic architecture is based on a cylindrical arrangement of elastic filaments (microtubules). In the presence of a chemical fuel (ATP), molecular motors (dynein) exert shear forces between neighbouring microtubules, leading to a bending of the axoneme through structural constraints. We address the following two questions: How can these organelles generate regular oscillatory beat patterns in the absence of a biochemical signal regulating the activity of the force generating elements? And how can the beat patterns be so different for apparently very similar structures? We present a theoretical description of the axonemal structure as an actively bending elastic cylinder, and show that in such a system bending waves emerge from a non-oscillatory state via a dynamic instability. The corresponding beat patterns are solutions to a set of coupled partial differential equations presented herein.

Cilia and flagella are hair-like appendages of eukaryotic cells. They are actively bending structures that exhibit regular beat patterns and thereby play an important role in many different circumstances where motion on a cellular level is required. Most dramatic is the effect of nodal cilia whose vortical motion leads to a fluid flow that is directly responsible for establishing the left-right axis during embryological development in many vertebrate species, but examples range from the propulsion of single cells, such as the swimming of sperm, to the transport of mucus along epithelial cells, e.g. in the ciliated trachea. Cilia and flagella contain an evolutionary highly conserved structure called the axoneme, whose characteristic architecture is based on a cylindrical arrangement of elastic filaments (microtubules). In the presence of a chemical fuel (ATP), molecular motors (dynein) exert shear forces between neighbouring microtubules, leading to a bending of the axoneme through structural constraints. We address the following two questions: How can these organelles generate regular oscillatory beat patterns in the absence of a biochemical signal regulating the activity of the force generating elements? And how can the beat patterns be so different for apparently very similar structures? We present a theoretical description of the axonemal structure as an actively bending elastic cylinder, and show that in such a system bending waves emerge from a non-oscillatory state via a dynamic instability. The corresponding beat patterns are solutions to a set of coupled partial differential equations presented herein.