Ce mémoire a deux objectifs principaux. Premièrement de développer et interpréter les groupes de cohomologie de Hochschild de basse dimension et deuxièmement de borner la dimension cohomologique des k-algèbres par dessous; montrant que presque aucune k-algèbre commutative est quasi-libre. / The aim of this master’s thesis is two-fold. Firstly to develop and interpret the low dimensional Hochschild cohomology of a k-algebra and secondly to establish a lower bound for the Hochschild cohomological dimension of a k-algebra; showing that nearly no commutative k-algebra is quasi-free.

Cette thèse se propose d’étudier des problèmes de classification des groupes quantiques via des invariants issus de leur théorie de représentation. Plus précisément, nous classifions les algèbres de Hopf possédant un semi-anneau de fusion isomorphe à un groupe algébrique réductif donné G. De tels groupes quantiques sont alors appelés G-déformations. Dans cette thèse, nous étudions les cas GL(2) et SO(3). Nous donnons une classification complète des GL(2)-déformations en construisant une famille d’algèbres de Hopf indexées par des matrices inversibles. Nous décrivons leurs catégories de comodules et donnons certains résultats de classification quant à leurs objets de Hopf-Galois. Ensuite, nous donnons une classification des SO(3)-déformations compactes tout en étudiant le cas non-compact. Finalement, la dernière partie de la thèse est une étude de l’algèbre sous-jacente à une certaine famille d’algèbres de Hopf, dont nous exhibons une base. Cette base nous permet de calculer le centre des ces algèbres ainsi que quelques groupes de (co)homologie. / The purpose of this dissertation is to classify quantum groups according to invariants coming from their representation theory. More precisely, we classify Hopf algebras having a fusion semiring isomorphic to that of a given reductive algebraic group G. Such a quantum group is called a G-deformation. We study the case of GL(2) and SO(3). We give a complete classification of GL(2)-deformations by building a family of Hopf algebras parametrized by invertible matrices. We describe their comodule category and we give some classification results about the Hopf-Galois objects. We also classify compact SO(3)-deformations and we study the noncompact case. Finally, the last part of this dissertation is a study of the underlying algebra of some Hopf algebras, for which we exhibit a linear basis. This basis allows us to compute the centre and some (co)homology groups of those algebras.

Dans cette thèse nous étudions le groupe quantique d’automorphismes des graphes finis, introduit par Banica et Bichon. Dans un premier temps nous montrerons un théorème de structure du groupe quantique d’automorphismes du produit lexicographique de deux graphes finis réguliers, qui généralise un résultat classique de Sabidussi. Ce théorème donne une condition nécessaire et suffisante pour que ce groupe quantique s’exprime comme le produit en couronne libre des groupes quantiques d’automorphismes de ces deux graphes. Dans un deuxième temps, nous expliciterons certaines améliorations de résultats de Banica, Bichon et Chenevier permettant d’obtenir des critères de non symétrie quantique sur les graphes, à l’aide des outils développés par les auteurs susmentionnés.Enfin, pour poursuivre ces recherches, nous développerons une autre méthode utilisant la dualité de Tannaka-Krein et inspirée de l’étude des groupes quantiques compacts orthogonaux par Banica et Speicher. Celle-ci nous permettra, à l’aide d’une étude orbitale approfondie des graphes sommets-transitifs, d’énoncer une condition suffisante pour qu’un graphe ait des symétries quantiques ; condition qui a vocation à être aussi nécessaire mais ceci reste une conjecture à ce stade. / In this thesis we study the quantum automorphism group of finite graphs, introduces by Banica and Bichon. First we will prove a theorem about the structure of the quantum automorphism group of the lexicographic product of two finite regular graphs. It is a quantum generalization of a classical result of Sabidussi. This theorem gives a necessary and sufficient condition for this quantum group to be discribe as the free wreath product of the quantum automorphism groups of these two graphs. Then, we will give some improvement of Banica, Bichon and Chenevier results, to obtain a quantum non-symmetry criteria on graphs, using tools developped by the above authors. Finally, to continue this research, we will describe another method using Tannaka-Krein duality and inspired by the study of orthogonal compact groups by Banica and Speicher. This will enable us, with a thorough orbital study of vertex-transitive graphs, to state a sufficient condition for a graph to have quantum symmetries ; condition which is intended to be also necessary but this remains conjecture at this point.

Eine Quantengruppe ist eine nichtkommutative und nichtkokommutative Hopfalgebra. In dieser Arbeit konstruieren wir eine Deformation der lokalkonvexen Hopfalgebra der lokalanalytischen Funktionen auf GL(2,O), wobei O hier der Bewertungsring einer endlichen Erweiterung der p-adischen Zahlen ist. Wir zeigen, dass diese Deformation eine nichtkommutative, nichtkokommutative lokalkonvexe Hopfalgebra, also eine p-adische Quantengruppe, ist. Unser Hauptresultat ist, dass das starke Dual dieser Deformation eine Fréchet-Stein Algebra ist. Dies bedeutet, dass das starke Dual ein projektiver Limes von noetherschen Banachalgebren unter rechtsflachen Übergangsabbildungen ist. Im kommutativen Fall wurde dies von P. Schneider und J. Teitelbaum gezeigt. Unser Beweis im nichtkommutativen Fall benutzt Ideen von M. Emerton, der einen alternativen Beweis im kommutativen Fall gefunden hat. Für unseren Beweis beschreiben wir gewisse Vervollständigungen der quanten-einhüllenden Algebra und benutzen die Technik der partiell dividierten Potenzen. Eine wichtige Klasse lokalanalytischer Darstellungen von GL(2,K) wird mithilfe globaler Schnitte von Linienbündeln auf der p-adischen oberen Halbebene konstruiert. Wir konstruieren ein nichtkommutatives Analogon der p-adischen oberen Halbebene, von dem wir erwarten, dass es interessante Darstellungen unserer p-adischen Quantengruppe induziert. Die wichtigsten Hilfsmittel der Konstruktion sind die Maninsche Quantenebene, der Bruhat-Tits Baum für PGL(2,K) und die Theorie der algebraischen Mikrolokalisierung. / A quantum group is a noncommutative noncocommutative Hopf algebra. In this thesis we deform the locally convex Hopf algebra of locally analytic functions on GL(2,O), where O is the valuation ring of a finite extension of the p-adic numbers. We show that this deformation is a noncommutative noncocommutative locally convex Hopf algebra, i.e. a p-adic quantum group. Our main result is that the strong dual of our deformation is a Fréchet Stein algebra, i.e. a projective limit of Noetherian Banach algebras with right flat transition maps. This was shown in the commutative case by P. Schneider and J. Teitelbaum. For our proof in the noncommutative case we use ideas of M. Emerton, who gave an alternative proof of the Fréchet Stein property in the commutative case. For the proof we describe completions of the quantum enveloping algebra and use partial divided powers. An important class of locally analytic representations of GL(2,K) is constructed from global sections of line bundles on the p-adic upper half plane. We construct a noncommutative analogue of an affine version of the p-adic upper half plane which we expect to give rise to interesting representations of our p-adic quantum group. We construct this space by using the Manin quantum plane, the Bruhat-Tits tree for PGL(2,K) and the theory of algebraic microlocalization.

Wir behandeln nichtkommutative Algebren über Ringen und auf algebraischen Varietäten. Im ersten Teil beschreiben wir ein Kriterium, das angibt, ob und wie weit sich eine gegebene Azumaya-Algebra über dem Funktionenkörper einer algebraischen Varietät als Garbe von Azumaya-Algebren auf die Varietät ausdehnen lässt. Außerdem untersuchen wir die lokale Struktur von Azumaya-Algebren oder allgemeiner von Maximalordnungen, die mit Hilfe des Cyclic-Covering-Tricks von Chan konstruiert werden. Mit dieser Methode lassen sich Maximalordnungen auf algebraischen Flächen konstruieren, die zudem genau über einer gewählten Kurve verzweigen. Im zweiten Teil betrachten wir die nichtassoziativen Oktavenalgebren und allgemeiner auch Kompositionsalgebren über Ringen. Dabei übertragen wir die bekannten Aussagen von Kompositionsalgebren über Körpern auf die Situation von Algebren über Ringen. Wir untersuchen Oktavenalgebren und Maximalordnungen über diskreten Bewertungsringen und verallgemeinern ein Resultat von van der Blij und Springer über die lokale Natur von Maximalordnungen über den rationalen Zahlen und über algebraischen Zahlkörpern auf den Fall von beliebigen noetherschen, ganzabgeschlossenen Integritätsbereichen. Abschließend führen wir eine Definition von Garben von Oktavenalgebren und Garben von Maximalordnungen in Oktavenalgebren über algebraischen Varietäten ein.

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