ON ETEND AUX OPERATEURS FERMES A DOMAINE DENSE DANS UN HILBERT LA NOTION D'EQUIVALENCE MODULO LES COMPACTS, PUIS CELLE D'OPERATEURS ESSENTIELLEMENT NORMAUX C'EST-A-DIRE TELS QUE LEUR COMMUTANT EST COMPACT. ON PRESENTE ENSUITE UNE GENERALISATION D'UN THEOREME DE BROWN-DOUGLAS-FILLMORE 5 QUI DIT QUE TOUT OPERATEUR CONTINU SUR UN HILBERT SEPARABLE, ESSENTIELLEMENT NORMAL ET DONT TOUS LES INDICES SONT NULS SUR SA RESOLVANTE DE FREDHOLM, S'ECRIT COMME SOMME D'UN OPERATEUR NORMAL ET D'UN OPERATEUR COMPACT

Le nucléosome est l’unité élémentaire de la compaction de l’ADN dans les cellules eucaryotes. C’est un complexe composé par un long segment d’ADN enroulé 1.7 fois en super-hélice autour d’un cœur de huit protéines histones. Les nucléosomes contrôlent l’accessibilité de l'ADN en s'associant et se dissociant le long des génomes et, ce faisant, sont directement impliqués dans la plupart des processus nucléaires. Le but principal de ce travail a été de décrire l'interface ADN-histones en solution pour mieux comprendre la stabilité du nucléosome. Nous avons voulu savoir en particulier comment l'ADN est maintenu enroulé autour du cœur d'histone et comment la séquence de l'ADN pourrait éventuellement affecter l'interface ADN-histones. Plusieurs nucléosomes ont été étudiés par dynamique moléculaire en solvant explicite ; ils diffèrent par la taille des queues d'histone et par les séquences d'ADN qui les forment. Pour garantir une analyse objective de la topologie de l’interface ADN-histones, une méthode basée sur les pavages de Delaunay-Laguerre originellement dédiée aux protéines a été adaptée aux acides nucléiques. Nous montrons ainsi que l'interface ADN-histones est constituée d'un réseau d'interaction très dense, caractérisé par des aires de contact électrostatique et hydrophobe équivalentes. Les queues d'histone renforcent significativement l'interface. Le comportement dynamique des arginines des cœurs structurés et des queues d'histone qui interagissent avec les petits sillons de l'ADN a été examiné en détail. Les cations écrantent les répulsions entre les hélices d'ADN juxtaposées l'une au dessus de l'autre du fait de l'enroulement en super-hélice. Enfin, l’interface ADN-histones est globalement retrouvée dans les nucléosomes formés avec des séquences d’ADN défavorables au nucléosome. Ceci suggère qu'une fois le nucléosome formé, il n'y a pas d'effet décisif de la séquence de l'ADN sur l'interface. / The nucleosome is the fundamental unit of DNA compaction in eukaryotic cells. It consists in a long DNA segment (145-147 bp) wrapped in 1.7 left-handed superhelix turns around a histone octamer. Nucleosomes control the DNA accessibility by assembling and disassembling along the genomes and are therefore involved in most nuclear processes.The main aim of the thesis was to describe the DNA-histone interface in solution to better understand the nucleosome stability. We examined in particular how the DNA is maintained wrapped around the histone and how its sequence affects the DNA-histone interface. Several nucleosomes were studied using molecular dynamics in explicit solvent ; they differed by the tail length and the DNA sequences. To ensure an objective analysis of the topology of the DNA-histone interface, a method based on Delaunay-Laguerre tessellations, originally developed for proteins, was adapted to nucleic acids.Our results show that the DNA-histone interface is composed by a dense network of interactions, characterized by equivalent electrostatic and hydrophobic contact area. The histone tails significantly reinforce the interface. The behavior of arginines belonging to the histone structured cores or tails and that interact with the DNA minor groove was scrutinized in detail. Cations shield the repulsive interactions between the two DNA gyres, closely juxtaposed one above the other because of the superhelix wrapping. Finally, the DNA-histone interface is globally not affected in nucleosomes containing DNA sequences known to disfavor nucleosomes. This suggests that, once the nucleosome established, there is no significant effect of the DNA sequence on the interface.

Afin de mettre en évidence le phénomène de localisation d'énergie dans les protéines, un modèle utilisant les concepts de la Physique non-linéaire a été développé. Il permet, via l'utilisation d'un potentiel de type FPU et d'une dissipation placée sur la surface, de faire apparaître des breathers chaotiques dans certaines enzymes. Ces breathers ont une durée de vie importante par rapport aux échelles de temps caractéristiques du système. Ils sont localisés sur un seul résidu, toujours situé dans une région rigide de la protéine. Cela nous a conduit à l'hypothèse d'un lien possible entre la fonction catalytique, les propriétés locales de structure des enzymes et les localisations d'énergie. Plus précisément, l'activation d'un breather chaotique lors d'une réaction enzymatique au niveau des sites catalytiques pourrait permettre à la protéine de stocker de l'énergie pendant de longues durées.

Les protéines existent sous différents états fonctionnels régulés de façon précise par leur environnement afin de maintenir l‘homéostasie de la cellule et de l‘organisme vivant. La prévalence de ces états protéiques est dictée par leur énergie libre de Gibbs alors que la vitesse de transition entre ces états biologiquement pertinents est déterminée par le paysage d‘énergie libre. Ces paramètres sont particulièrement intéressants dans un contexte thérapeutique et biotechnologique, où leur perturbation par la modulation de la séquence protéique par des mutations affecte leur fonction. Bien que des nouvelles approches expérimentales permettent d‘étudier l‘effet de mutations en haut débit pour une protéine, ces méthodes sont laborieuses et ne couvrent qu‘une fraction de l‘ensemble des structures primaires d‘intérêt. L‘utilisation de modèles bio-informatiques permet de tester et générer in silico différentes hypothèses afin d‘orienter les approches expérimentales. Cependant, ces méthodes basées sur la structure se concentrent principalement sur la prédiction de l‘enthalpie d‘un état, alors que plusieurs évidences expérimentales ont démontré l‘importance de la contribution de l‘entropie. De plus, ces approches ignorent l‘importance de l‘espace conformationnel protéique dicté par le paysage énergétique cruciale à son fonctionnement. Une analyse des modes normaux peut être effectuée afin d‘explorer cet espace par l‘approximation que la protéine est dans une conformation d‘équilibre où chaque acide aminé est représenté par une masse régie par un potentiel harmonique. Les approches actuelles ignorent l‘identité des résidus et ne peuvent prédire l‘effet de mutations sur les propriétés dynamiques. Nous avons développé un nouveau modèle appelé ENCoM qui pallie à cette lacune en intégrant de l‘information physique et spécifique sur les contacts entre les atomes des chaînes latérales. Cet ajout permet une meilleure description de changements conformationnels d‘enzymes, la prédiction de l‘effet d‘une mutation allostérique dans la protéine DHFR et également la prédiction de l‘effet de mutations sur la stabilité protéique par une valeur entropique. Comparativement à des approches spécifiquement développées pour cette application, ENCoM est plus constant et prédit mieux l‘effet de mutations stabilisantes. Notre approche a également été en mesure de capturer la pression évolutive qui confère aux protéines d‘organismes thermophiles une thermorésistance accrue.

La perturbation d’un système peut donner lieu à de la propagation d’onde. Une façon classique d’appréhender ce phénomène est de rechercher les modes propres de vibration du milieu. Mathématiquement, trouver ces modes consiste à rechercher les valeurs et fonctions propres de l’opérateur de propagation. Cependant, d’un point de vue numérique, l’opération peut s’avérer coûteuse car les matrices peuvent avoir de très grandes tailles. En outre, dans la plupart des applications, des incertitudes sont inévitablement associées à notre modèle. La question se pose alors de savoir s’il faut attribuer d’importantes ressources de calcul pour une simulation dont la précision du résultat n’est pas assurée. Nous proposons dans cette thèse une démarche qui permet à la fois de mieux comprendre l’influence des incertitudes sur la propagation et de réduire considérablement les coûts de calcul pour la propagation des infrasons dans l’atmosphère. L’idée principale est que tous les modes n’ont pas la même importance et souvent, seule une poignée d’entre eux suffit à décrire le phénomène sans perte notable de précision. Ces modes s’avèrent être ceux qui sont les plus sensibles aux perturbations atmosphériques. Plus précisément, l’analyse de sensibilité permet d’identifier les structures de l’atmosphère les plus influentes, les groupes de modes qui leur sont associés et les parties du signal infrasonore qui leur correspondent. Ces groupes de modes peuvent être spécifiquement ciblés dans un calcul de spectre au moyen de techniques de projection sur des sous-espace de Krylov, ce qui implique un gain important en coût de calcul. Cette méthode de réduction de modèle peut être appliquée dans un cadre statistique et l’estimation de l’espérance et de la variance du résultat s’effectue là aussi sans perte notable de précision et avec un coût réduit. / The perturbation of a system can give rise to wave propagation. A classical approach to understand this phenomenon is to look for natural modes of vibration of the medium. Mathematically, finding these modes requires to seek the eigenvalues and eigenfunctions of the propagation operator. However, from a numerical point of view, the operation can be costly because the matrices can be of very large size. Furthermore, in most applications, uncertainties are inevitably associated with our model. The question then arises as to whether we should allocate significant computational resources for simulation while the accuracy of the result is not guaranteed. We propose in this thesis an approach that allows both a better understanding of the influence of uncertainties on the propagation and a significant decrease of computational costs for infrasound propagation in the atmosphere. The main idea is that all modes do not have the same importance and only a few of them is often sufficient to account for the phenomenon without a significant loss of accuracy. These modes appear to be those which are most sensitive to atmospheric disturbances. Specifically, a sensitivity analysis is used to identify the most influential structures of the atmosphere, the associated groups of modes and their associated parts of the infrasound signal. These groups of modes can be specifically targeted in a spectrum calculation with the projection of the operator onto Krylov subspaces, that allows a significant decrease of the computational cost. This method of model reduction can be applied in a statistical framework as well and estimations of the expectation and the variance of the results are carried out without a significant loss of accuracy and still with a low cost.

Cette thèse traite de la réduction d'ordre de modèle du phénomène communément rencontré dans la modélisation de microsystèmes, à savoir, dans la littérature anglaise, le " squeeze-film damping ". Dans un premier chapitre sont présentées les différentes méthodes de réduction d'ordre de modèle. Dans le cas des systèmes linéaires, elles ont un cadre théorique bien établi. Ces méthodes peuvent être adaptées pour les systèmes non-linéaires. La validité des modèles réduits résultants sera alors réduite à un certain espace des phases, leur établissement faisant intervenir certaines trajectoires particulières servant d'apprentissage. On présente finalement la méthode des modes normaux non-linéaires dont les modèles résultants ne dépendent pas d'une trajectoire d'apprentissage. Au chapitre 2, on s'intéresse plus particulièrement au phénomène de " squeeze-film damping " régi par l'équation de Reynolds. Après avoir détaillé son établissement à partir de certaines hypothèses, on décrit les différentes méthodes de résolution de l'équation linéaire puis non-linéaire de la littérature. On compare ensuite les résultats d'un modèle de l'équation de Reynolds à des simulations éléments finis de l'équation de Navier-Stokes afin de valider les hypothèses faites pour la dérivation de l'équation de Reynolds. On propose ensuite une résolution originale par changement de variable. On étudie aussi plusieurs autres résolutions possibles ainsi que plusieurs bases de projection parmi celles décrites dans le premier chapitre. Le chapitre 3 est consacré à la modélisation du problème couplé que constitue le micro-interrupteur MEMS qui est un candidat au remplacement des interrupteurs à base de transistors dans les communications RF. Sa modélisation fait intervenir trois domaines, la mécanique, l'électrostatique, et la fluidique à travers l'équation de Reynolds. Après voir décrit les différents modèles de la littérature, on propose un modèle réduit couplé dont le modèle fluidique est basé sur le modèle établi au chapitre 2. Ce modèle est validé par rapport à des modèles différences finies et à des résultats expérimentaux de la littérature.Enfin le quatrième chapitre traite de la réduction du coût d'évaluation du modèle réduit couplé de micro-interrupteur du chapitre 3. La première méthode proposée consiste à trouver une fonction d'approximation de la projection de la force fluidique sur le premier mode mécanique, fonction des coordonnées modales mécaniques position et vitesse. Cette méthode ne se révèle valable que dans le cas incompressible. Dans le cas compressible, la résolution de l'équation de Reynolds restant obligatoire, on utilise la méthode de Rewienski et al. qui consiste à linéariser par morceaux les fonctions régissant la dynamique. Une autre méthode de linéarisation par morceaux, tirant parti d'une particularité du modèle du chapitre 2 et permettant de s'affranchir d'une trajectoire d'apprentissage, est également proposée.

Theoretical and experimental modal analysis, i.e., the computation of vibration modes from a mathematical model and from experimental data, respectively, is quite sophisticated and advanced in linear structural dynamics. However, nonlinearity is a frequent occurrence in real-world engineering structures, and the existing linear methodologies fail dramatically in the presence of nonlinear dynamical phenomena. Therefore, the present thesis focuses on the development of a practical nonlinear analog of modal analysis for properly accounting for nonlinearity in mechanical systems. The concept of nonlinear normal mode (NNM) provides solid mathematical and theoretical foundations for a rigorous, yet understandable by the practicing engineer, analysis of nonlinear dynamical behaviors. In this context, a useful framework for nonlinear modal analysis of vibrating structures, which includes the computation of NNMs from finite element models and their identification from experimental data, is proposed in this dissertation. In view of the still limited use of NNMs in structural dynamics, special attention is devoted to progress toward a practical tool that has the potential to deal with large-scale, real-world structures. Targeting an effective and exact computation of NNMs, even in strongly nonlinear regimes of motion, one original contribution of this work is to resort to numerical methods. An algorithm combining a shooting procedure and the so-called pseudo-arclength continuation method is developed. On the other hand, a nonlinear extension of phase resonance testing (also known as force appropriation) is introduced for the experimental identification of NNMs, which is another innovative aspect of the doctoral thesis. In particular, the phase lag quadrature criterion, which is used for linear experimental modal analysis, is generalized in the presence of nonlinear dynamical behavior. Academic examples are first considered to illustrate, in a simple manner, that the proposed methods form an effective and adequate framework for nonlinear modal analysis. Furthermore, more realistic structures, including a full-scale aircraft, are studied to demonstrate the potential applicability of the approach to large-scale, real-life applications.

Cette thèse traite de la réduction d’ordre de modèle du phénomène communément rencontré dans la modélisation de microsystèmes, à savoir, dans la littérature anglaise, le « squeeze-film damping ». Dans un premier chapitre sont présentées les différentes méthodes de réduction d’ordre de modèle. Dans le cas des systèmes linéaires, elles ont un cadre théorique bien établi. Ces méthodes peuvent être adaptées pour les systèmes non-linéaires. La validité des modèles réduits résultants sera alors réduite à un certain espace des phases, leur établissement faisant intervenir certaines trajectoires particulières servant d’apprentissage. On présente finalement la méthode des modes normaux non-linéaires dont les modèles résultants ne dépendent pas d’une trajectoire d’apprentissage. Au chapitre 2, on s’intéresse plus particulièrement au phénomène de « squeeze-film damping » régi par l’équation de Reynolds. Après avoir détaillé son établissement à partir de certaines hypothèses, on décrit les différentes méthodes de résolution de l’équation linéaire puis non-linéaire de la littérature. On compare ensuite les résultats d’un modèle de l’équation de Reynolds à des simulations éléments finis de l’équation de Navier-Stokes afin de valider les hypothèses faites pour la dérivation de l’équation de Reynolds. On propose ensuite une résolution originale par changement de variable. On étudie aussi plusieurs autres résolutions possibles ainsi que plusieurs bases de projection parmi celles décrites dans le premier chapitre. Le chapitre 3 est consacré à la modélisation du problème couplé que constitue le micro-interrupteur MEMS qui est un candidat au remplacement des interrupteurs à base de transistors dans les communications RF. Sa modélisation fait intervenir trois domaines, la mécanique, l’électrostatique, et la fluidique à travers l’équation de Reynolds. Après voir décrit les différents modèles de la littérature, on propose un modèle réduit couplé dont le modèle fluidique est basé sur le modèle établi au chapitre 2. Ce modèle est validé par rapport à des modèles différences finies et à des résultats expérimentaux de la littérature.Enfin le quatrième chapitre traite de la réduction du coût d’évaluation du modèle réduit couplé de micro-interrupteur du chapitre 3. La première méthode proposée consiste à trouver une fonction d’approximation de la projection de la force fluidique sur le premier mode mécanique, fonction des coordonnées modales mécaniques position et vitesse. Cette méthode ne se révèle valable que dans le cas incompressible. Dans le cas compressible, la résolution de l’équation de Reynolds restant obligatoire, on utilise la méthode de Rewienski et al. qui consiste à linéariser par morceaux les fonctions régissant la dynamique. Une autre méthode de linéarisation par morceaux, tirant parti d’une particularité du modèle du chapitre 2 et permettant de s’affranchir d’une trajectoire d’apprentissage, est également proposée. / This thesis deals with reduced-order modelling of squeeze-film damping, a fluidic phenomenon that is commonly encountered in MEMS. In the first chapter, reduced-order modelling methods are presented. For linear systems, well-established theories exist. They can be adapted to nonlinear systems. However, the resulting reduced-order models are valid in a certain region of the state-space only, depending on the training trajectory. The method of nonlinear normal modes, which does not depend on a training trajectory is also introduced. Chapter two is focused on the squeeze-film damping phenomenon governed by the Reynolds equation. We first establish the equation from appropriate hypotheses, and then present the different resolutions of its linear and nonlinear form found in literature. The results from a model based on the Reynolds equation are then compared to results from a finite element Navier-Stokes model, in order to validate the various hypotheses made. An original method of resolution based on a change of variable is then proposed. Several other method of resolution are studied as well as different projection bases amongst those presented in chapter one.Chapter three is dedicated to the modelling a micro-switch, a candidate to the replacement of switches based on transistors in RF communications. Its modelling implies the coupling of three domains: mechanics, electrostatics, and fluidics with Reynolds equation. Following a description of the models from literature, a coupled model is proposed, the fluidic model being the one presented in chapter two. This model is validated compared to finite difference models as well as experimental data from the literature.Finally, the fourth chapter aims at reducing the evaluation cost of the coupled micro-switch model established in chapter three. The first method consists in finding an approximation function of the projection of the fluidic force on the first linear mechanical mode as a function of the mechanical modal coordinates, position and speed. This method is applicable in the incompressible case only. In the compressible case, the Reynolds equation has to be solved. The method of Rewienski and al., which consists in piecewise-linearizing the functions governing the dynamics, is used. Another method based on a piecewise-linear approach, taking advantage of the particular structure of the model presented in chapter two, thus not depending on a training trajectory, is proposed.

La Sarcolipine (SLN) est un hélice transmembranaire de 31 résidus dont la function est de reguler l’ATPase-Ca2+ SERCA1a. Ce régulateur peut subir une modification post-traductionnelle chez certaines espèces. Par exemple, chez le lapin, il est palmitoyle ou oleoylé sur le résidu Cys9. Pour comprendre au niveau moléculaire l’effet de cette modification post-traductionnelle sur la SLN, nous avons réalisé des simulations de dynamique moléculaire de la SLN de lapin insérée dans une bicouche de 1-palmitoyl-2-oléoyl-sn-glycéro-3-phosphocholine (POPC), non acylée et palmitoylée. L’analyse de ces simulations démontre que la palmitoylation n’affecte pas la structure secondaire, l’orientation (tilt et azimut), ainsi que l’enfouissemnt de la SLN dans la membrane. De plus, l’analyse de simulations tout atome de la SLN humaine insérée dans une bicouche de POPC montre que la SLN humaine a la même structure secondaire et orientation que la SLN de lapin mais est plus enfouie dans la membraneque celle de lapin, du fait de sa sequence en acides amines N-terminale plus hydrophobe.L’ATPase-Ca2+ SERCA1a, une ATPase de type P, est localisée dans la membrane du reticulum sarcoplasmique des cellules du muscle squelettique. Elle est impliquée dans les processus de contraction/relaxation musculaire en transportant rapidement le Ca2+ cytosolique dans le lumen du reticulum sarcoplasmique grâce à l’énergie fournie par l’hydrolyse de l’ATP. D’importants changements conformationnels de SERCA1a ont lieu durant son cycle catalytique comme le montrent les nombreuses structures cristallines de SERCA1a. En particulier, à l’état E1, la cavité contenant les sites de fixation du Ca2+ est ouverte vers le cytoplasme, tandis qu’à l’état E2, cette cavité est ouverte vers le lumen. La transition de l’état E1 à E2 nécessite la phosphorylation du résidu Asp351. Des structures 3D du complexe SERCA1a-SLN ont été déterminées par diffraction aux rayons X avec SERCA1a dans un état E1-Mg2+. Pour comprendre le mécanisme détaillé de la regulation de SERCA1a par la SLN, des simulations de dynamique moléculaire et des analyses des modes normaux (NMA) ont été réalisées en utilisant la structure 3D du complexe SERCA1a-SLN inséré dans une bicouche de POPC. Les résultats principaux de ces analyses sont les suivants : 1) la SLN régule les transitions E1.Mg2+ → E1.2Ca2+ et E1.Mg2+ → E2 ; 2) l’interaction de la SLN influe sur la structure et la dynamique de SERCA1a et modifie la position de l’hélice transmembranaire TM1 de sorte à ce que la cavité contenant les sites de fixation du Ca2+soit plus ouverte et que les sites soient plus accessibles ; 3) l’interaction de la SLN avec TM6 affecte deux regions de SERCA1a indispensables à sa fonction : en modifiant la structure et la dynamique de TM6, la SLN perturbe la position et la fluctuation des résidus des sites de fixation du Ca2+, leur conférant une conformation inapte à fixer le Ca2+. De même, l’interaction avec TM6 induit la courbure de TM5, ce qui affecte de façon indirecte le site de phosphorylation (éloigné de plus de 35 Å de la SLN) et conduit à l’inhibition de la phosphorylation du résidu Asp351.Nos résultats de cette étude in silico fournissent de nouveaux éléments concernant le mécanisme par lequel la SLN régule SERCA1a et qui pourrait être complétés par des travaux expérimentaux. / Sarcolipin (SLN), a transmembrane helix of 31 residues, binds to and regulates the Ca2+-ATPase SERCA1a. This regulator is post-translationnally modified in some species. For example, in rabbit, it is palmitoylated or oleoylated on its Cys9 residue. To understand at a molecular level, the effect of this post-translationnal modification on SLN, all-atom molecular dynamics simulations of unacylated and palmitoylated rabbit SLN embedded in a POPC bilayer were performed. Analysis of the simulations demonstrates that palmitoylation does not affect the secondary structure, the orientation (tilt and azimuth) as well as the burying of SLN within the membrane. In addition, the analyses of all-atom simulations of human SLN embedded in a POPC bilayer show that human SLN has the same secondary structure and orientation as rabbit SLN but is more buried within the membrane than rabbit SLN as a result of its more hydrophobic N-terminal amino acids sequence.The Ca2+ pump SERCA1a, a P-type ATPase, is localized in the sarcoplasmic reticulum membrane of striated muscle cells. It is involved in the contraction/relaxation process by fast pumping the cytoplasmic Ca2+ from the cytosol to the lumen of the sarcoplasmic reticulum using the energy of ATP hydrolysis. Large conformational changes of SERCA1a occur during its catalytic cycle as evidenced by the various crystal structures of SERCA1a. In particular, in the E1 state, the cavity that contains the Ca2+ binding sites is open toward the cytoplasm while in the E2 state, this cavity is open toward the lumen. The transition from the E1 to the E2 state involves the phosphorylation of Asp351 residue. 3D structures of SERCA1a-SLN complex have been determined by X-Ray diffraction, with SERCA1a in a E1-Mg2+ state. To understand the detailed mechanisms of SERCA1a regulation by SLN, molecular dynamics (MD) simulations and normal mode analysis (NMA) were performed using the 3D structures of SERCA1a-SLN complex embedded in a POPC bilayer. Main results from these analyses are the followings: 1) SLN regulates the E1-Mg2+ → E1-2Ca2+ and E1-Mg2+ → E2 state transitions; 2) interaction of SLN with SERCA1a impact the structure and dynamic of SERCA1a and modifies the position of the transmembrane helix TM1 such that the cavity that contains the Ca2+ binding sites is more widely opened and the Ca2+ binding sites more accessible; 3) SLN interaction with affects two regions essential to its function. By changing the structure and dynamic of TM6, SLN alters the position and fluctuations of residues involved in the Ca2+ binding sites, such that those sites are unable to bind Ca2+. This interaction with TM6 also induces TM5 bending and thus, indirectly modifies the phosphorylation site conformation, leading to the inhibition of Asp351 phosphorylation.Our results from these in silico studies provide new insights into the mechanism by which SLN regulates SERCA1a activity and could be completed by experimental work.

On étudie les fonctions multivaluées vers un espace de Hilbert. Après avoir introduit unebonne notion de p énergie, on donne une définition possible d’espace de Sobolev et on prouveun théorème d’existence des p minimiseurs. Puis on considère les fonctions bivaluées de deuxvariables, stationnaires pour les déformations au départ et à l’arrivée. On démontre qu’ellessont localement lipschitziennes et on utilise cette régularité pour montrer la convergence fortedans W1,2 vers leur unique éclatement en un point. L’ensemble de branchement d’une tellefonction est la réunion localement finie de courbes analytiques qui se rencontrent en faisantdes angles égaux. Nous donnons aussi un exemple de fonction discontinue et stationnaireseulement pour les déformations au départ.Dans un deuxième temps, on prouve qu’il n’existe pas de rétraction uniformément continuede l’espace des champs vectoriels continus vers le sous-espace de ceux dont la divergence estnulle en un sens distributionnel. On généralise ce résultat en toute codimension en utilisant lanotion de m charge et à tout ensemble X ⊂ Rn vérifiant une hypothèse géométrique mineure. / We study multiple valued functions with values in a Hilbert space. We introduce a possibledefinition of Sobolev spaces and the rightful notion of p energy. We prove the existence of pminimizers. Then we consider two-valued real functions of two variables which are stationarywith respect to both domain and range transformations. We prove their local Lipschitzcontinuity and use it to establish strong convergence in W1,2 to their unique blow-up at anypoint. We claim that the branch set of any such function consists of finitely many real analyticcurves meeting at nod points with equal angles. We also provide an example showing thatstationarity with respect to domain transformations only does not imply continuity.In a second part, we prove that there does not exist a uniformly continuous retractionfrom the space of continuous vector fields onto the subspace of vector fields whose divergencevanishes in the distributional sense. We then generalise this result using the concept of mcharges on any subset X _ Rn satisfying a mild geometric condition, there is no uniformlycontinuous representation operator for mcharges in X.