En esta tesis, las ecuaciones de equilibrio de circuitos no lineales autónomos se plantean discretizando el circuito mediante transformaciones de plano S a plano Z.Tras imponer la periodicidad de las variables resulta una formulación matricial no lineal, planteada íntegramente en el dominio temporal. Se descubre la relación de las ecuaciones así planteadas con las que resultan aplicando el método de balance armónico. Asimismo, se desarrollan expresiones analíticas para el cálculo de las derivadas parciales de las ecuaciones respecto a las muestras de las variables, respecto al periodo de oscilación y respecto a los elementos de circuito, mediante las cuales se construye en método eficaz para el análisis y la optimización de circuitos no lineales autónomos. Por otro lado, para la resolución del sistema de ecuaciones no lineales resultante con independencia de la estimación inicial, se implementan distintos métodos globalmente convergentes, entre los que figura un algoritmo basado en la difusión simulada.

El marc d'aquesta tesi són els objectes invariants hiperbòlics (tors amb bigotis, cicles límit, NHIM,. . .), que constitueixen, per aquesta tesi, els objectes essencials per a l'estudi de diversos problemes des de la difusió d'Arnold fins als rellotges biològics. Treballem en tres temes diferents des d'un enfocament tant teòric com numèric, amb una especial atenció per a les aplicacions, especialment en neurobiologia:· Existència de difusió d'Arnold per a sistemes Hamiltonians a priori inestables· Algorismes numèrics ràpids per al càlcul de tors invariants i els "bigotis" associats, per a sistemes Hamiltonians utilitzant el mètode de la parametrització.· Càlcul d'isòcrones i corbes de resposta de fase (PRC) en sistemes neurobiològics usant el mètode de la parametrització.En la primera part de la tesi, hem considerat el cas d'un sistema Hamiltonià a priori inestable amb 2+1/2 graus de llibertat sotmès a una pertorbació de tipus general. "A priori inestable" significa que el sistema no pertorbat presenta un punt d'equilibri hiperbòlic amb una òrbita homoclínica associada. El resultat principal d'aquesta part de la tesi és que per a un conjunt genèric de pertorbacions prou regulars, el sistema presenta el fenòmen de la difusió d'Arnold, és a dir, existeixen trajectòries la variable acció de les quals experimenta un canvi d'ordre 1. La demostració es basa en un estudi detallat de les zones ressonants i els objectes invariants generats en elles, i ofereix una descripció completa de la geografia de les ressonàncies generades per una pertorbació genèrica.En la segona part d'aquest memòria, desenvolupem mètodes numèrics eficients que requereixen poca memòria i operacions per al càlcul de tors invariants i els "bigotis" associats en sistemes Hamiltonians (aplicacions simplèctiques i camps vectorials Hamiltonians).En particular, això inclou els objectes invariants involucrats en el mecanisme de la difusió d'Arnold, estudiat en el capítol anterior. Els algorismes es basen en el mètode de la parametrització i segueixen de prop demostracions recents del teorema KAM que no usen variables acció-angle. Donem detalls de la implementació numèrica que hem dut a terme i mostrem alguns exemples.En la darrera part de la tesi relacionem problemes de temps en sistemes biològics amb algunes eines conegudes de sistemes dinàmics. En particular, usem el mètode de la parametrització i les simetries de Lie per a calcular numèricament les isòcrones i les corbes de resposta de fase (PRC) associades a oscil·ladors i ho apliquem a diversos models biològics ben coneguts. A més a més, aconseguim estendre el càlcul de PRCs en un entorn de l'oscil·lador. Les PRCs són útils per a l'estudi de la sincronització d'oscil·ladors acoblats i una eina bàsica en biologia experimental (ritmes circadians, acoblament sinàptic i elèctric de neurones,. . . ).