L'objectiu central d'aquesta tesi és analitzar i entendre els camins a través dels quals pot emergir complexitat en el comportament dels sistemes dinàmics no lineals, objectiu que hem desenvolupat, numèricament i experimental, amb una determinada família de sistemes no lineals, però que es poden considerar força generals.Concretament ens hem interessat en dos aspectes complementaris del comportament dels sistemes dinàmics, aspectes que adequadament combinats podrien donar lloc a comportaments considerablement complexos. El primer aspecte es relaciona amb el que nosaltres anomenem comportament d'inestabilitat completa. Hem considerat el problema de generació del màxim nombre de freqüencies d'oscil·lació en un mateix sistema i de com la seva barreja no lineal pot produir evolucions temporals complexes. Des del punt de vista matemàtic aquests sistemes estan definits per camps vectorials que tenen la part no lineal unidireccional i això permet simplificar el problema en considerar només una parella sella-node de punts fixos, punts que fan totes les possibles bifurcacions de Hopf que poden fer en N dimensions. Això aporta N-1 freqüències característiques d'oscil·lació, que són convenientment barrejades pels mecanismes no lineals del sistema. El segon aspecte considerat es centra en acoblar diversos sistemes dinàmics que puguin presentar inestabilitat completa. L'acoblament aporta la possible presència de molts més punts fixos i, per tant, una riquesa afegida en l'estructura de l'espai de fases. Des d'un punt de vista matemàtic, l'acoblament implica la presència d'un camp vectorial la part no lineal del qual és multidireccional, fet que és el responsable de l'aparició de l'estructura relativament complexa de punts fixos. En aquest aspecte ens hem centrat en l'estudi d'alguns fenòmens concrets especialment rellevantsExperimentalment, utilitzem un cert tipus de dispositius termoòptics la dimensió dinàmica dels quals és realment fàcil de controlar, de manera que podem disposar a voluntat de sistemes de dimensió 1, 2, 3, etc. Aquests dispositius es basen en cavitats interferomètriques en les quals un dels miralls és parcialment absorbent a la llum incident i l'espaiador és fet de materials termoòptics transparents. / The aim of this thesis is the characterization and understanding of the routes through which complexity can arise in the behaviour of non-linear dynamical systems. We have developed this aim, numerically, as well as experimentally, with a family of dynamical systems that can be considered fairly general.We have studied two complementary aspects of the behaviour of the dynamical systems, which, conveniently combined, could lead to a considerable degree of complexity. The first one is related to the so-called full instability behaviour. We consider the problem of generating the maximum number of oscillation frequences in a system and how its non-linear mixing can lead to highly complex temporal evolutions. From the mathematical point of view, these systems are defined by vector fields whose non-linear part is unidirectional, thus simplifying the problem, as this fact allows to consider only one saddle-node pair of fixed points. These points suffer all the possible Hopf bifurcations in N dimensions. This gives N-1 characteristic oscillation frequencies, that are to be mixed by the non-linear mechanisms of the system. The second aspect considered is based in the coupling of various dynamical systems showing full instability behaviour. The coupling allows the presence of many more fixed points and an added degree of complexity in the phase-space structure. From a mathematical point of view, the coupling implies a vector field whose non-linear part is multidirectional, and this fact is responsible for the relatively complex structure of fixed points. In this second aspect we have studied certain phenomena of relevance.Experimentally we use a kind of thermooptical device whose dynamical dimension is easily controllable, so we can choose the dimension of the system at will. These devices are based on Fabry-Pérot interferometric cavities with a partially absorbing mirror and a multilayer spacer consisting of transparent thermooptical materials.

En el present treball hem estudiat tant numèricament com experimentalment la dinàmica d'un dispositiu biestable opto-tèrmic il·luminat amb un feix làser modulat en intensitat. Aquest dispositiu és un interferòmetre Fabry-Perot, en el qual l'espaciador de al cavitat està format per dues capes de materials transparents amb coeficients termo-òptics oposats i el mirall d'entrada consisteix en una pel·lícula metàl·lica de gruix i constants òptiques tals que optimitzen el contrast interferencial sobre l'absorció de la llum en la mateixa.La dinàmica del dispositiu pot ser descrita mitjançant un sistema d'equacions homogènies de transport de calor, que són lineals i es troben subjectes a les corresponents condicions de continuïtat i frontera, entre les quals s'ha de destacar la condició de frontera que descriu el focus de calor localitzat en el mirall d'entrada. Aquesta condició és no local i no lineal i, de fet, és la responsable de les no linealitats dinàmiques en el dispositiu.Hem resolt el problema de la reducció del sistema d'equacions en derivades parcials (EDP's), obtenint un sistema pràcticament equivalent d'equacions ordinàries (EDO's) d'ordre igual al nombre de capes en l'espaciador de la cavitat. Això s'ha fet pel cas general d'un espaciador multicapa amb un nombre de capes arbitrari, s'ha establert una relació directa entre els coeficients del sistema EDO's i els paràmetres físics del dispositiu i s'ha verificat numèricament la coincidència d'ambdues descripcions. En el cas de la bicapa amb excitació modulada, el sistema ve descrit per un sistema d'ordre dos no autònom o, equivalentment, per un sistema d'ordre tres autònom. Les noves variables del sistema són les fases interferomètriques associades a cada capa, les quals són proporcionals a la temperatura promig dins la capa.Hem observat una rica dinàmica característica dels sistemes no autònoms. Més concretament:a) Hem observat tant numèricament com experimentalment seqüències de doblaments de període i cascades inverses. En aquestes cascades inverses hem fet un estudi detallat de les crisis internes responsables de la formació de bandes caòtiques. En el dispositiu bicapa modulat aquestes crisis internes son bifurcacions homoclíniques transversals.b) Hem observat tant numèricament com experimentalment intermitències de tipus I, quasiperiòdiques i caòtiques.c) Hem fet un estudi detallat de codimensió dos de la sincronització entre el dispositiu bicapa i la modulació externa. Hem observat la existència de llengües d'Arnold resultants de l'afermament de freqüències i hem descobert una la rica varietat de inestabilitats associades a transicions entre dues d'aquestes llengües. Concretament hem demostrat l'existència de cinc punts diferents de bifurcacions locals de codimensió dos.Hem estudiat les bifurcacions homoclíniques resultants d'aplicar la modulació externa sobre una òrbita periòdica del sistema autònom propera a realitzar una bifurcació homoclínica. Hem demostrat el especial interès que té el sistema modulat per estudiar el caos homoclínic. Concretament, hem presentat proves numèriques i experimentals de l'existència de caos homoclínic associat a atractors del tipus Birkoff-Shaw. També hem fet un estudi numèric detallat de l'estructura de les subvarietats invariants que ens ha revelat el caràcter transversal de la connexió homoclínica. / En el presente estudio hemos analizado tanto numéricamente como experimentalmente la dinámica de un dispositivo biestable opto-térmico iluminado con un haz láser modulado en intensidad. Este dispositivo es un interferómetro Fabry-Perot, en el cual el espaciador de la cavidad esta formado por dos capas transparentes de coeficientes termo-ópticos opuestos y el espejo de entrada consiste en una película metálica de espesor y constante óptica tales que optimizan el contraste interferencial sobre la absorción de luz en la misma.La dinámica del dispositivo puede ser descrita mediante un sistema de ecuaciones homogéneas de transporte de calor, que son lineales y se encuentran sujetas a las correspondientes condiciones de continuidad y frontera, entre las cuales cabe destacar la condición de frontera que describe el foco de calor localizado en el espejo de entrada. Esta condición es no local y no lineal y, de hecho, es la responsable de las no-linealidades en el dispositivo.Hemos resuelto el problema de la reducción del sistema de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs), obteniendo un sistema prácticamente equivalente de ecuaciones ordinarias (EDOs) de orden igual al número de capas del espaciador de la cavidad. Esto se ha realizado para el caso general de un espaciador multicapa con un número de capas arbitrario, se ha establecido una relación directa entre los coeficientes del sistema EDOs y los parámetros físicos del dispositivo y se ha verificado numéricamente la coincidencia de las dos descripciones. En el caso de la bicapa con excitación modulada, el sistema está descrito por un sistema de orden dos no autónomo o, de forma equivalente, por un sistema de orden tres autónomo. Las nuevas variables del sistema son les fases interferométricas asociadas a cada capa, las cuales, a su vez, son proporcionales a la temperatura promedio dentro la capa.Hemos observado una rica dinámica característica de los sistemas no autónomos. En concreto:a) Hemos observado tanto numérica como experimentalmente secuencias de doblamientos de periodo y cascadas inversas. En estas cascadas inversas hemos realizado un estudio detallado de les crisis internas responsables de la formación de bandas caóticas. En el dispositivo bicapa modulado estas crisis internes son bifurcaciones homoclínicas transversales.b) Hemos observado tanto numérica como experimentalmente intermitencias de tipo I, cuasiperiódicas i caóticas.c) Hemos realizado un estudio detallado de codimensión dos de la sincronización entre el dispositivo bicapa i la modulación externa. Hemos observado la existencia de lenguas de Arnold resultantes del enclavamiento de frecuencias y hemos descubierto una la rica variedad de inestabilidades asociadas a transiciones entre dos de dichas lenguas. Concretamente hemos demostrado la existencia de cinco puntos diferentes de bifurcaciones locales de codimensión dos.Hemos estudiado las bifurcaciones homoclínicas resultantes de aplicar la modulación externa sobre una orbita periódica del sistema autónomo cercano a realizar una bifurcación homoclínica. Hemos demostrado el especial interés del sistema modulado en el estudio del caos homoclínico. Concretamente, hemos presentado pruebas numéricas y experimentales de la existencia de caos homoclínico asociado a atractores del tipo Birkoff-Shaw. También hemos realizado un estudio numérico detallado de la estructura de les subvariedades invariantes que nos ha revelado el carácter transversal de la conexión homoclínica. / This work studies numerically and experimentally the dynamics of an opto-thermal bistable device illuminated with an intensity-modulated laser beam. This device is a Fabry-Perot interferometer whose cavity spacer is formed by two layers of transparent materials with opposite thermo-optical coefficients and its input mirror consists of a metallic film whose thickness and optical constants are such that the interferential contrast of the light absorption is optimized.The device dynamics is described in terms of a system of linear homogeneous heat equations subjected to continuity and boundary conditions. This boundary condition should be highlighted since it describes the source of localized heat on the input mirror. This condition is neither local nor lineal and, as a matter of fact, it is responsible for the dynamic non-linearities in the device.We solved the problem of reducing the system of equations in partial derivatives (PDE's) and we have obtained a practically equivalent system in ordinary derivatives (ODE's) whose order equals the number of layers in the cavity spacer. This has been extended to the general case of a multi-layer spacer with an arbitrary number of layers and a direct relationship between the ODE's system coefficients and the physical parameters of the device has been established and the coincidence of both descriptions has been verified. As for the bilayer with modulated excitation, the system is described by a non-autonomous 2-order system or, equivalently, by an autonomous 3-order system. The system new variables are the interferometric phases associated to each layer, which are proportional to the average temperature at each layer.We have observed a rich dynamics characteristic for non-autonomous systems. More concretely,a) Periodic doubling sequences and inverse cascades were numerically and experimentally observed. A detailed study of internal crisis responsible for the formation of chaotic bands was made in the cascades. These internal crises are transversal homoclinic bifurcations.b) Chaotic and 2-periodic type I intermittencies were observed numerically and experimentally.c) A deep study of two-codimension on the synchronization between the bilayer device and the external modulation was made. It's been stated that the Arnold's tongues resulting from frequency-locking do exist and we have found a rich variety of instabilities associated with transitions between two of these tongues. Concretely, it has been proved that there are five different types of 2-codimension local bifurcations.We have studied the homoclinic bifurcations resultant from the application of external modulation onto an autonomous system periodic orbit close to perform a homoclinic bifurcation. It has been shown the great interest of the modulated system to study homoclinic chaos. Concretely, we have presented numerical and experimental evidences showing the existence of homoclinic chaos associated to Birkoff-Shaw attractors. Besides, we have thoroughly studied numerically the structure of manifolds which has revealed the transversal character of the homoclinic connection.

L'objectiu del treball és mostrar que alguns aspectes de certs sistemes dinàmics discrets bidimensionals poden ser estudiats mitjançant sistemes de dimensió 1 que corresponen a casos particulars o simplificacions. Els tres capítols de què consta són independents entre sí.La difèrencia d'orientació entre els tres és la següent: en el primer es relacionen, des d'un punt de vista totalment teòric, certes propietats eutre aplicacions unidimensionals i bidimensionals, per a una fanu1ia d'un tipus genèric; els altres dos capítols, en canvi, tracten sistemes dinàmics concrets. En el segon, l'estudi unidimensional previ no té interès per ell mateix, sinó que només és un pas preliminar per a obtenir informació amb la qual poder començar l'estudi bidimensional. En el tercer, en canvi, fem primerament l'estudi bidimensional i, a causa de les dificultats per anar més lluny, ens inventem un model unidimensional que manté tota. La informació que teníem del bidimensional i, a més, permet ampliar els resultats.Remarquem que el segon i tercer capítol no són aplicacions del primer, sinó que il·lustren altres maneres de relacionar sistemes dinàmics discrets de dimensions diferents. Seguidament, resumim cada capítol.En el primer, s'estudia una fanu1ia genèrica d'aplicacions bidimensionals, que depenenm d'un paràmetre "b", i tal que si b no és 0 llavors és un difeomorfisme, mentre que quan b=0, l'aplicació és degenerada, en el sentit següent: de les dues variables, una és muda (no apareix en la imatge); i, de les dues components, una és 0. Per tant, aquesta aplicació bidimensional degenerada és equivalent a un endomorfisme en dimensió 1.S'estudia com estendre algunes propietats de l'aplicació unidimensional a la bidimensional (per a "b" suficientment petit), així com la dependència respecte el paràmetre. Prèviament, es fa un repàs dels conceptes i propietats que s'usen en el capítol, estenent la seva validesa (sempre que sigui possible) al cas d'aplicacions diferenciables que no siguin necessàriament invertibles -això es fa per a incloure el cas degenerat- i, seguidament, es tracten les propietats següents: existència i estabilitat de punts periòdics hiperbòlics, possibilitat de tenir alguna bifurcació genèrica de codimensió 1 (sella-node o flip, ja que eliminem la possibilitat de bifurcació de Hopf perquè l'aplicació és dissipativa), validesa del teorema de Hartman-Grobman per al nostre cas degenerat i dependència continua de la conjugació respecte "b", dependència diferenciable de les varietats invariants respecte "b", i existència de punts homoclinics transversals. En tots aquests casos, s'aconsegueix representar la propietat del sistema bidimensional com una extensió de la del sistema unidimensional, excepte en el cas del teorema de Hartman, en què la dependència respecte el paràmetre no es pot fer arribar fins a b = 0.En cada secció, a més, s'inclouen resultats secundaris, aplicacions i comentaris referents a dificultats d'extensió d'altres conceptes.En el capítol 2 es considera un sistema concret de tres equacions diferencials ordinàries amb les propietats següents: és lineal a trossos, depèn de 2 paràmetres, és un problema de pertorbació singular, i correspon a una modelització d'un circuit electrònic. El sistema té dos punts d'equilibri del tipus sella-focus inestable, i la complexitat de la seva dinàmica va associada al fenomen de Silnikov, ja que els valors propis de la linealització en aquests punts verifiquen les propietats adequades.Després de definir el sistema, s'estudien les dificultats que origina la doble definició del camp sobre la frontera de separació dels diversos dominis, i es donen les seves propietats elementals.Per a fer l'estudi de les bifurcacions homoclíniques i periòdiques del sistema, es considera una aplicació de Poincaré adequada. Quan el paràmetre de pertorbació és 0, el sistema esdevé singular: la dimensió efectiva és 2, i el moviment queda restringit a la varietat lenta (que consta de 2 semiplans), amb salts verticals instantanis entre les diverses components. L'aplicació de Poincaré associada és ara unidimensional, amb una quantitat numerable de discontinuïtats que s'acumulen de manera asimptòticament geomètrica. En aquest cas, usant raonaments de monotonia i continuïtat, es poden indexar les òrbites periòdiques superestables i les òrbites homoclíniques, i ordenar els seus valors respecte el segon paràmetre. Aquests índexs permeten associar, a cada valor corresponent a l'existència d'una òrbita homoclínica, una successió de valors corresponents a bifurcacions sella-node que s'hi acumulen.Amb aquests valors inicials, usem un mètode de continuació respecte el paràmetre de pertorbació per tal de calcular corbes corresponents a existència d'òrbites homocliniques i a bifurcacions sella-node en el pla de paràmetres. S'aconsegueix ampliar resultats anteriors d'altres autors respecte a l'existència de seqüències de punts cuspidals sobre aquestes corbes, en un cas de període 2. A causa de dificultats numèriques, només és possible calcular 4 corbes en aquest cas, i és per això que dirigim l'estudi a període 1, on és possible trobar-ne 7. Les simulacions numèriques fan pensar que aquestes seqüències, almenys en el cas de període 1, són finites, ja que només les 2 primeres corbes presenten 2 cusps, mentre que a partir de la tercera ja semblen totalment suaus. Encara més, l'aspecte de les corbes amb cusps o sense cusps presenta un aspecte qualitatiu bastant diferent. Això va en contra de l'opinió d'altres autors, que mantenen l'existència d'una infinitat de cusps que s'acumulen geomètricament.Per a sortir de dubtes respecte als resultats numèrics, s'inicia un estudi analitic basat en pertorbació de les corbes homoclíniques. La quantitat d'equacions que cal tractar és elevada, a causa que els temps de vol de les solucions en cada subdominí no són calculables explícitament. Amb tot, és possible reduir la quantitat d'equacions i d'incògnites, de manera que el problema conceptualment més fàcil. S'índica quines comprovacions s'han de fer sobre punts de la corba homoclínica per a poder assegurar la finitud de cusps sobre les corbes sella-mode suficientment pròximes, i es mostren les dificultats que hi ha per a portar l'estudi anàlitic fins al final.En el tercer capítol es construeix i s'estudia una família d'aplicacions bidimensionals definides sobre la reunió de dues corones circulars i que modelitza els resultats experimentals d'un cert dispositiu òptic. La família resultant és l'aplicació de Poincaré d'un model de bifurcació de Silnikov-Hopf, i té dos paràmetres essencials: un permet tenir òrbites homoclíniques í l'altre controla una bifurcació de Hopf. El signe d'aquest paràmetre separa, doncs, dues possibilitats qualitativament diferents: en un cas el fenomen de Silnikov està associat a un punt d 'equilibri tipus sella-focus, i en l'altre, a un cicle límit que ha nascut de la sella (la qual s'ha transformat en un punt repulsor). L'aspecte que més ens interessa és l'existència d'una gran diversitat d'atractors.En primer lloc, es fa una anàlisi geomètrica de la faJru1ia, s'estudien les seves bifurcacions homoclíniques i periòdiques. Després, es recuperen i amplien els resultats experimentals. Això és possible gràcies al fet que el treball numèric amb el nostre model és molt més barat que el treball directe sobre les equacions en derivades parcials que governen el dispositiu original.Tot seguit, es raonen les hipòtesis que cal afegir sobre els diversos paràmetres per tal que la família bidimensional es pugui aproximar bé per una família d'aplicacions del cercle definida explícitament de manera senzilla. Això no es pot fer sempre, i, de fet, deixem alguns casos de banda, ja que els que estudiem ja mostren prou complexitat.L'estudi dels atractors en aquests model més simplificat respecte un paràmetre natural és molt més factible. A causa de la seva definició explícita senzilla, es poden donar resultats analítics respecte existència de bifurcacions periòdiques i a semblances amb l'aplicació logística. Encara més, es donen resultats quantitatius referents a la mesura relativa dels paràmetres per als quals existeixen atractors periòdics, atractors estranys petits o atractors estranys grossos (en el sentit que el seu suport sembla ser tota la circumferència); aquest últim és el cas més abundant, però els altres es donen també per a conjunts de mesura positiva. / This work contains three independent studies of two-dimensional maps using one-dimensional approximations.In the first chapter we extend the following properties of one-dimensional endomorphisms to two-dimensional maps (close to them) or a special kind: hyperbolic periodic points and its stability, generic co-dimension one bifurcations (saddle-node and flip), validity or Hartman-Grobman theorem and continuous dependence or the conjugacy, smooth dependence or invariant manifolds, and transversal homoclinic points.In the chapter 2 we study a system of 3 o.d.e which modelize an electronic circuit; it is piecewise linear, has 2 parameters and corresponds to a problem or singular pertorbation. The singular case (a parameter is 0) is studied using a one-dimensional Poincaré map, which has a countable number or discontinuities; we succeed in ordering the values or the second parameter which corresponds to existence or a superstable periodic orbit or a homoclinic periodic orbit. Then, we use a continuation method in order to obtain saddle-node bifurcation curves of the non-degenerate system in the parameter plane. We associate a sequency of these curves to each curve corresponding to existence of a homoclinic orbit, and we study (numerically and analytically) the existence of cuspidal points on these curves.In the third chapter we study the attractors of a family or diffeomorphisms defined on two annulus, which serve as a model of certain optic device, and corresponds to a scenary of the Silnikov-Hopf bifurcation. We give the geometric properties of the maps, and we recover and extend the experimental results, where the attractor was a periodic orbit, a "small" strange attractor, or a "big" strange attractor. Then we justify (in some cases) the reduction to a more simplified model: a circle map defined explicitly by a very simple formula. Its study allows to explain the two- dimensional experimental results and also to obtain some quantitative estimations about relative measures (in a natural parameter) of the different kinds of attractors.

Aquesta tesi es situa en el marc de la teoriaqualitativadelssistemesd’equacionsdiferencials en el pla. Cada capítol conté un aspectediferent, però en totsells es tractenproblemes, la soluciódelsqualsestà basada en el rol que hi juguen les simetriesdiscretes i continues (reversibilitat o simetries de Lie) de campsvectorialsplans. A la introducció, es dóna un resumdelsresultatsmésconeguts i s’hiintrodueix la notació que es fa servir al llarg de la tesi. En el segon i tercer capítol, s’aborda el problema de trobarl’expressió explícita del canvilinealitzant o orbitalmentlinealitzantd#un camp vectorial suau a partir del coneixementd’uncommutador, en el cas de la linealització, o una simetria de Lie, en el cas de la linealització orbital. Cada capítol finalitzaambexemplesil.lustratius del procedimentconstructiudelscanvis. Al Capítol 5 s’apliquenelsresultatsdelscapítolsanteriors, combinatsamblinealitzacionsDarbouxianes. Concretament, es considera un sistema quadràtictipusLotka-Volterra i es caracteritzen les selles linealitzables i orbitalmentlinealitzablesmitjançant la troballadelscanvislinealitzants o orbitalmentlinealitzants. En el sisè capítol, s’utilitzal’existènciad’unàlgebra de simetriespuntuals de Lie per donar informació sobre l’existència i localitzaciód’òrbitesperiòdiques. En particular, quanl’àlgebra de simetriespuntuals de Lie d’unaequació diferencial escalar de segónordreautònoma i suau té dimensiómajor o igual a dos, definim les anomenadesfuncionsfonamentals que enspermeten estudiar les òrbitesperiòdiques al pla de fases. En el cas particular d’equacionspolinomials de Liénard, mostrem la no existència de cicles límit en tot el pla de fases. Finalment, al Capítol 7 es relacionen elssistemes reversibles amb el problema del centre aixícomamb el problema de la integrabilitat analítica. Consideremsistemesd’equacionsdiferencialsanalíticsamb centres degenerats i mostrem que poden transformar-se, després d’un reescalat del temps, en un sistema lineal i reversible. El coneixement de integralsprimeresens proporciona un procediment per caracteritzar, en alguns casos, la condició de reversibilitat del centre degenerat. D’altra banda, relacioneml’existència de integralsprimeresanalítiquesamb la reversibilitat orbital analítica en el cas de singularitatsdèbils no degenerades.

Aquest treball es situa dintre del marc dels sistemes dinàmics hamiltonians de tres graus de llibertat. Allà considerem famílies d'òrbites periòdiques amb una transició estable-complex inestable: sigui L el paràmetre que descriu la família i suposarem que per a valors del paràmetre més petits que un cert valor crític, L', els multiplicadors característics de les òrbites periòdiques corresponents hi són sobre el cercle unitat, quan L=L' aquests col·lisionen per parelles conjugades (òrbita ressonant o crítica) i per L > L', abandonen el cercle unitat cap al pla complex (col·lisió de Krein amb signatura oposada). El canvi d'estabilitat subseqüent es descriu a la literatura com "transició estable a complex inestable". Tanmateix, a partir d'estudis numèrics sobre certes aplicacions simplèctiques (n'esmentarem D. Pfenniger, Astron. Astrophys. 150, 97-111, 1985), és coneguda l'aparició (sota condicions d'incommensurabilitat) de fenòmens de bifurcació quasi-periòdica, en particular, el desplegament de famílies de tors 2-dimensionals. A més aquesta bifurcació s'assembla a la (clàssica) bifurcació d'Andronov-Hopf, en el sentit de què hi sorgeixen objectes linealment estables (tors-2D el·líptics) "al voltant" d'objectes inestables de dimensionalitat més baixa (òrbites periòdiques), i recíprocament, n'apareixen tors inestables (hiperbòlics) "al voltant" d'òrbites periòdiques linealment estables. Nostre objectiu és entendre la dinàmica local en un entorn de l'òrbita periòdica ressonant per tal de provar, analíticament, l'existència dels tors invariants bifurcats segons l'esquema descrit dalt. Això el portem a terme mitjançant l'anàlisi següent: (i) Primer de tot obtenim d'una manera constructiva (això és, donant algorismes) una forma normal ressonant en un entorn de l'òrbita periòdica crítica. Aquesta forma normal la portem fins a qualsevol ordre arbitrari r. Així doncs, mostrem que el hamiltonià inicial es pot posar com la suma de la forma normal (integrable) més una resta no integrable. A partir d'aquí, podem estudiar la dinàmica de la forma normal, prescindint dels altres termes i, amb aquest tractament (formal) del problema, som capaços d'identificar els paràmetres que governen tant l'existència de la bifurcació com la seva tipologia (directa, inversa). Cal, remarcar que el que es fa fins aquí, no és només un procés qualitatiu, ja que a més ens permet derivar parametritzacions molt acurades dels tors no pertorbats. (ii) A continuació, calculem acotacions "òptimes" per a la resta. D'aquesta manera, esperem provar que un bon nombre de tors (en sentit de la mesura) es preserven quan s'afegeix la pertorbació. (iii) Finalment, apliquem mètodes KAM per establir que la majoria (veure comentari dalt) dels tors bifurcats sobreviuen. Aquests mètodes es basen en la construcció d'un esquema de convergència quadràtica capaç de contrarestar l'efecte dels petits divisors que apareixen quan s'aplica teoria de pertorbacions per trobar solucions quasi-periòdiques. En el nostre cas, a més, resulta que alguna de les condicions "típiques" que s'imposen sobre les freqüències (intrínseques i normals) dels tors no pertorbats, no estan ben definides per als tors bifurcats, de manera que ens ha calgut desenvolupar un tractament més específic. keywords: Bifurcation problems, perturbations, normal forms, small divisors, KAM theory. Classificació AMS: 37J20, 37J25, 37J40 / This work is placed into the context of the three-degree of freedom Hamiltonian systems, where we consider families of periodic orbits undergoing transitions stable-complex unstable. More precisely: Let L be the parameter of the family and assuming that, for values of L smaller than some critical value say, L', the characteristic multipliers of the periodic orbits lie on the unit circle, when L=L' they colllide pairwise (critical or resonant periodic orbit) and, for L > L' leave the unit circle towards the complex plane (Krein collision with opposite signature). From numerical studies on some concrete symplectic maps (for instance, D. Pfennniger, Astron. Astrophys. 150, 97-111, 1985) it is known the rising (under certain irrationality conditions), of quasi-periodic bifurcation phenomena, in particular, the appearance of unfolded 2D invariant tori families. Moreover, the bifurcation takes place in a way that resembles the classical Andronov-Hopf one, in the sense that either stable invariant objects (elliptic tori) unfold "around" linear unstable periodic orbits, or conversely, unstable invariant structures (hyperbolic tori) appear "surrounding" stable periodic orbits. Our objective is, thus, to understand the (local) dynamics in a neighbourhood of the critical periodic orbit well enough to prove analytically, the existence of such quasi-periodic solutions together with the bifurcation pattern described above. This is carried out through three steps: (i) First, we derive, in a constructive way (i. e., giving algorithms), a resonant normal form around the critical periodic orbit up to any arbitrary order r. Whence, we show that the initial raw Hamiltonian can be casted --through a symplectic change--, into an integrable part, the normal form itself, plus a (non-integrable) remainder. From here, one can study the dynamics of the normal form, skipping the remainder off. As a result of this (formal) approach, we are able to indentify the parameters governing both, the presence of the bifurcation and its type (direct, inverse). We remark that this is not a merely qualitative process for, in addition, accurate parametrizations of the bifurcated families of invariant tori are derived in this way. (ii) Beyond the formal approach, we compute "optimal" bounds for the remainder of the normal form, so one expects to prove the preservation of a higher (in the measure sense) number of invariant tori --than, indeed, with a less sharp estimates--. (iii) Finally, we apply KAM methods to establish the persistence of (most, in the measure sense) of the bifurcated invariant tori. These methods involve the design of a suitable quadratic convergent scheme, able to overcome the effect of the small divisors appearing in perturbation techniques when one looks for quasi-periodic solutions. In this case though, some of the "typical" conditions that one imposes on the frequencies (intrinsic and normal) of the unperturbed invariant tori do not work, due to the proximity to parabolic tori, so one is bound to sketch specific tricks. keywords: Bifurcation problems, perturbations, normal forms, small divisors, KAM theory AMS classification: 37J20, 37J25, 37J40

Con esta tesis se pretende aplicar la teoría de los sistemas dinámicos a la optimización del entrenamiento deportivo. Para ello, se divide la investigación en una parte teórica y en una parte empírica.En la primera, se exponen los conceptos y herramientas de los sistemas dinámicos aplicables al estudio del entrenamiento deportivo y se demuestra su utilidad. A su vez, se identifican los principios generales que gobiernan la formación de patrones coordinativos en los sistemas biológicos complejos y se muestra como estos patrones también aparecen durante la ejecución de acciones motrices. Finalmente, y a partir de los resultados de investigaciones de varias áreas relacionadas con el aprendizaje motor, la fisiología y la biomecánica, se sugieren diversas modificaciones de la teoría clásica del entrenamiento deportivo.Por otro lado, en la parte empírica, se incluyen dos estudios sobre el tema. En primer lugar, se compara la eficacia de un método de entrenamiento surgido de la aplicación de la teoría de los sistemas dinámicos al entrenamiento deportivo, el entrenamiento diferencial, con un método tradicional para mejorar la fuerza aplicada a la gimnasia aeróbica del tren superior y del tren inferior. Para ello se utilizan dos herramientas de análisis, el PerPot Metamodel y las correlaciones cruzadas, y dos formas de cuantificar la carga, una basada en el volumen y la intensidad y otra basada en el número de variaciones de la carga. Se concluye que el entrenamiento diferencial parece ser más eficaz para mejorar la ejecución de elementos de dificultad de la gimnasia aeróbica que el entrenamiento tradicional basado en repeticiones, pero que el número de variaciones propuesto es excesivo y que probablemente se hubieran obtenido resultados similares combinando los dos métodos de entrenamiento en todos los periodos. También se observa que los resultados difieren en función de la forma de cuantificar la carga y en función de la herramienta de análisis utilizada. Finalmente, se concluye que se requiere una variable de estudio que tenga en cuenta la dinámica global y no lineal del comportamiento del sistema y que sea capaz de valorar el estado de aprendizaje y de estabilidad durante la ejecución de acciones motrices, concretamente de saltos deportivos. A raíz de esta última conclusión, se lleva a cabo el segundo estudio, el objetivo del cual es demostrar la organización dinámica y no lineal del individuo mientras realiza saltos deportivos e identificar una variable cuantificable capaz de valorar la evolución global del aprendizaje de dicho tipo de acciones. Se estudian así las series temporales de la aplicación de la fuerza sobre una plataforma de fuerzas durante el tiempo de contacto previo al salto cuando se realizan saltos verticales para los que el sujeto se impulsa desde diferentes alturas y distancias. Se observa que el incremento de la dificultad de un salto provoca un aumento en el número y/o amplitud de las fluctuaciones que se producen especialmente en el primer tercio de las series temporales de los tres componentes de la fuerza (Fx, Fy y Fz). Este incremento de las fluctuaciones es una señal de la no-linealidad del comportamiento del sistema y muestra que el organismo se autoorganiza como cualquier otro sistema dinámico mientras ejecuta acciones motrices deportivas. Para finalizar se concluye que la medida y cuantificación de las fluctuaciones de la aplicación de la fuerza se presenta como una variable de estudio que nos puede dar información cualitativa sobre la ejecución de saltos deportivos. / This thesis is divided in an empirical part and in a theoretical part. The first explains Dynamic Systems tools and concepts to be applied to the study of Sport training. The principles that govern the coordinative patterns of complex systems and the execution of motor actions are also identified. Finally, it is suggested different proposals to improve the classical training theory.In the empirical part we include two studies. First of all, the traditional approach of sport training based on repetitions is compared with ddifferential training, that is considered to be training in which an attempt is made to learn from differences, applying it to the improvement of difficulty elements in aerobic gymnastics. With this aim, the interaction between load and performance is analyzed using a non-linear metamodel and cross correlations, and load is quantified in two different ways (expressed quantitatively through volume and intensity and qualitatively through the number of varied exercises). This study suggests that differential training seems to lead to a greater increase in performance than traditional training, but the same results could be achieved by reducing the number of varied exercises or combining both approaches. It is also suggested that it is necessary to find a new variable to study the learning state and the stability of the system during the execution of motor actions.Because of this last conclusion, the aim of the second study will be to show the dynamic organization of the subject during jumping and identify a variable that can quantify the global evolution of the athletes during the learning process. We investigate the time series obtained from a set of jumps onto a force platform from varying distances and heights. This study suggests that the beginning of the contact phase in jumping is characterized by a high variability in the time series of the application of the force, increasing the difficulty of the task in jumping reduces the distance to the transition zone between two attractors and produces an increase in the fluctuations of the time series of the force, and the organism self-organizes as a dynamical system performing sport tasks.

The anisotropic Kepler problem was introduced by Gutzwiller as a classical mechanical system which approximates the following quantum mechanical system: the study of bound states of an electron near a donor impurity of a semiconductor. As it is known the anisotropic Kepler problem exhibits many qualitative phenomena of interest in the theory of differential equations such as non-integrability and chaotic behaviour. This paper is essentially devoted to the qualitative analysis of this problem, and also surveys the recent techniques and results from it.

It is known that for the study of continuous dynamical systems the discret case plays an important role because, with it we can study the continuous one by using the Poincaré return map. In the discret case we can distinguish between conservative maps (or area preserving maps, in the case of flows living on a 3-dimensional manifold) and non conservative maps. Among the last ones, there are the dissipative maps. Two of the main subjects of the study of dissipative maps are: the existence or not of attracting periodic orbits and the possible existence of strange attractors -that is, attractors that are neither periodic orbits nor invariant curves, which are minimal and contain a dense orbit. Moreover, these attractors can have sensitive dependence on the initial conditions, or have an absolutely continuous invariant measure. On the other hand there exists a transition between these two behaviours: the so-called flip or period doubling bifurcation cascade. After the final of this cascade (in a suitable set of parameters), strange attractors can appear, and also more attracting periodic orbits.This doctoral dissertation is divided in four chapters:In the first one we study the dynamics of the so called logistic map; more specifically, we study first fold and flip bifurcations of this family, giving analytical expressions of the parameter values for which they occur. In the second chapter, we consider the Hénon map with strong dissipation. In the third chapter we study the Newhouse phenomenon. To this end we prove a more complete version of the phenomenon than others proved before, in which we show the existence of generic saddle-node and flip bifurcations, for parameters close to the parameter of homoclinic tangency. In chapter four we study the behaviour of the codimension one and two bifurcations in one and two dimensional families of maps. To do this, we consider one-parameter families of diffeomorphisms, to study saddle-node and flip bifurcations, and two-parameter families of dissipative diffeomorphisms, to study cusps and codimension two flips.

The aim of this thesis is to narrow the gap between two different control techniques: the continuous control and the discrete event control techniques DES. This gap can be reduced by the study of Hybrid systems, and by interpreting as Hybrid systems the majority of large-scale systems. In particular, when looking deeply into a process, it is often possible to identify interaction between discrete and continuous signals. Hybrid systems are systems that have both continuous, and discrete signals. Continuous signals are generally supposed continuous and differentiable in time, since discrete signals are neither continuous nor differentiable in time due to their abrupt changes in time. Continuous signals often represent the measure of natural physical magnitudes such as temperature, pressure etc. The discrete signals are normally artificial signals, operated by human artefacts as current, voltage, light etc.Typical processes modelled as Hybrid systems are production systems, chemical process, or continuos production when time and continuous measures interacts with the transport, and stock inventory system. Complex systems as manufacturing lines are hybrid in a global sense. They can be decomposed into several subsystems, and their links. Another motivation for the study of Hybrid systems is the tools developed by other research domains. These tools benefit from the use of temporal logic for the analysis of several properties of Hybrid systems model, and use it to design systems and controllers, which satisfies physical or imposed restrictions.This thesis is focused in particular types of systems with discrete and continuous signals in interaction. That can be modelled hard non-linealities, such as hysteresis, jumps in the state, limit cycles, etc. and their possible non-deterministic future behaviour expressed by an interpretable model description. The Hybrid systems treated in this work are systems with several discrete states, always less than thirty states (it can arrive to NP hard problem), and continuous dynamics evolving with expression: with Ki ¡ Rn constant vectors or matrices for X components vector. In several states the continuous evolution can be several of them Ki = 0.In this formulation, the mathematics can express Time invariant linear system. By the use of this expression for a local part, the combination of several local linear models is possible to represent non-linear systems. And with the interaction with discrete events of the system the model can compose non-linear Hybrid systems.Especially multistage processes with high continuous dynamics are well represented by the proposed methodology. Sate vectors with more than two components, as third order models or higher is well approximated by the proposed approximation. Flexible belt transmission, chemical reactions with initial start-up and mobile robots with important friction are several physical systems, which profits from the benefits of proposed methodology (accuracy).The motivation of this thesis is to obtain a solution that can control and drive the Hybrid systems from the origin or starting point to the goal. How to obtain this solution, and which is the best solution in terms of one cost function subject to the physical restrictions and control actions is analysed. Hybrid systems that have several possible states, different ways to drive the system to the goal and different continuous control signals are problems that motivate this research.The requirements of the system on which we work is: a model that can represent the behaviour of the non-linear systems, and that possibilities the prediction of possible future behaviour for the model, in order to apply an supervisor which decides the optimal and secure action to drive the system toward the goal.Specific problems can be determined by the use of this kind of hybrid models are: - The unity of order.- Control the system along a reachable path.- Control the system in a safe path.- Optimise the cost function.- Modularity of controlThe proposed model solves the specified problems in the switching models problem, the initial condition calculus and the unity of the order models. Continuous and discrete phenomena are represented in Linear hybrid models, defined with defined eighth-tuple parameters to model different types of hybrid phenomena. Applying a transformation over the state vector : for LTI system we obtain from a two-dimensional SS a single parameter, alpha, which still maintains the dynamical information. Combining this parameter with the system output, a complete description of the system is obtained in a form of a graph in polar representation.Using Tagaki-Sugeno type III is a fuzzy model which include linear time invariant LTI models for each local model, the fuzzyfication of different LTI local model gives as a result a non-linear time invariant model. In our case the output and the alpha measure govern the membership function.Hybrid systems control is a huge task, the processes need to be guided from the Starting point to the desired End point, passing a through of different specific states and points in the trajectory. The system can be structured in different levels of abstraction and the control in three layers for the Hybrid systems from planning the process to produce the actions, these are the planning, the process and control layer.In this case the algorithms will be applied to robotics ¡V a domain where improvements are well accepted ¡V it is expected to find a simple repetitive processes for which the extra effort in complexity can be compensated by some cost reductions. It may be also interesting to implement some control optimisation to processes such as fuel injection, DC-DC converters etc.In order to apply the RW theory of discrete event systems on a Hybrid system, we must abstract the continuous signals and to project the events generated for these signals, to obtain new sets of observable and controllable events. Ramadge & Wonham¡¦s theory along with the TCT software give a Controllable Sublanguage of the legal language generated for a Discrete Event System (DES). Continuous abstraction transforms predicates over continuous variables into controllable or uncontrollable events, and modifies the set of uncontrollable, controllable observable and unobservable events. Continuous signals produce into the system virtual events, when this crosses the bound limits. If this event is deterministic, they can be projected. It is necessary to determine the controllability of this event, in order to assign this to the corresponding set, , controllable, uncontrollable, observable and unobservable set of events.Find optimal trajectories in order to minimise some cost function is the goal of the modelling procedure. Mathematical model for the system allows the user to apply mathematical techniques over this expression. These possibilities are, to minimise a specific cost function, to obtain optimal controllers and to approximate a specific trajectory.The combination of the Dynamic Programming with Bellman Principle of optimality, give us the procedure to solve the minimum time trajectory for Hybrid systems. The problem is greater when there exists interaction between adjacent states.In Hybrid systems the problem is to determine the partial set points to be applied at the local models. Optimal controller can be implemented in each local model in order to assure the minimisation of the local costs. The solution of this problem needs to give us the trajectory to follow the system. Trajectory marked by a set of set points to force the system to passing over them.Several ways are possible to drive the system from the Starting point Xi to the End point Xf. Different ways are interesting in: dynamic sense, minimum states, approximation at set points, etc. These ways need to be safe and viable and RchW. And only one of them must to be applied, normally the best, which minimises the proposed cost function. A Reachable Way, this means the controllable way and safe, will be evaluated in order to obtain which one minimises the cost function.Contribution of this work is a complete framework to work with the majority Hybrid systems, the procedures to model, control and supervise are defined and explained and its use is demonstrated. Also explained is the procedure to model the systems to be analysed for automatic verification.Great improvements were obtained by using this methodology in comparison to using other piecewise linear approximations. It is demonstrated in particular cases this methodology can provide best approximation.The most important contribution of this work, is the Alpha approximation for non-linear systems with high dynamics While this kind of process is not typical, but in this case the Alpha approximation is the best linear approximation to use, and give a compact representation.

El marc d'aquesta tesi són els objectes invariants hiperbòlics (tors amb bigotis, cicles límit, NHIM,. . .), que constitueixen, per aquesta tesi, els objectes essencials per a l'estudi de diversos problemes des de la difusió d'Arnold fins als rellotges biològics. Treballem en tres temes diferents des d'un enfocament tant teòric com numèric, amb una especial atenció per a les aplicacions, especialment en neurobiologia:· Existència de difusió d'Arnold per a sistemes Hamiltonians a priori inestables· Algorismes numèrics ràpids per al càlcul de tors invariants i els "bigotis" associats, per a sistemes Hamiltonians utilitzant el mètode de la parametrització.· Càlcul d'isòcrones i corbes de resposta de fase (PRC) en sistemes neurobiològics usant el mètode de la parametrització.En la primera part de la tesi, hem considerat el cas d'un sistema Hamiltonià a priori inestable amb 2+1/2 graus de llibertat sotmès a una pertorbació de tipus general. "A priori inestable" significa que el sistema no pertorbat presenta un punt d'equilibri hiperbòlic amb una òrbita homoclínica associada. El resultat principal d'aquesta part de la tesi és que per a un conjunt genèric de pertorbacions prou regulars, el sistema presenta el fenòmen de la difusió d'Arnold, és a dir, existeixen trajectòries la variable acció de les quals experimenta un canvi d'ordre 1. La demostració es basa en un estudi detallat de les zones ressonants i els objectes invariants generats en elles, i ofereix una descripció completa de la geografia de les ressonàncies generades per una pertorbació genèrica.En la segona part d'aquest memòria, desenvolupem mètodes numèrics eficients que requereixen poca memòria i operacions per al càlcul de tors invariants i els "bigotis" associats en sistemes Hamiltonians (aplicacions simplèctiques i camps vectorials Hamiltonians).En particular, això inclou els objectes invariants involucrats en el mecanisme de la difusió d'Arnold, estudiat en el capítol anterior. Els algorismes es basen en el mètode de la parametrització i segueixen de prop demostracions recents del teorema KAM que no usen variables acció-angle. Donem detalls de la implementació numèrica que hem dut a terme i mostrem alguns exemples.En la darrera part de la tesi relacionem problemes de temps en sistemes biològics amb algunes eines conegudes de sistemes dinàmics. En particular, usem el mètode de la parametrització i les simetries de Lie per a calcular numèricament les isòcrones i les corbes de resposta de fase (PRC) associades a oscil·ladors i ho apliquem a diversos models biològics ben coneguts. A més a més, aconseguim estendre el càlcul de PRCs en un entorn de l'oscil·lador. Les PRCs són útils per a l'estudi de la sincronització d'oscil·ladors acoblats i una eina bàsica en biologia experimental (ritmes circadians, acoblament sinàptic i elèctric de neurones,. . . ).