Dans cette thèse, nous proposons une méthode qui tente de répondre à la problématique de l'estimation de caractéristiques variées du tissu cérébral à partir de l'acquisition d'un nombre réduit d'échantillons de signaux IRM de diffusion in vivo. Ces caractéristiques doivent permettre l'étude de la structure locale du tissu cérébral, notamment dans la substance blanche. L'approche proposée est flexible quant à la caractéristique calculée et au nombre d'échantillons disponibles. Elle définit un formalisme générique qui d'une part, unifie de nombreux travaux précédents liés à l'estimation des fonctions de densité probabilité (PDF) de déplacement en IRM de diffusion, dont l'Imagerie du Tenseur de Diffusion (DTI) et le Q-Ball Imaging (QBI). D'autre part, elle permet aussi de définir et d'estimer de nouvelles caractéristiques originales: "vraie" ODF, probabilité de non diffusion, taille moyenne des cellules, etc. Nous proposons deux formalismes: un rapide et un autre robuste au bruit des images IRM. Nous validons notre approche par des comparaisons de résultats avec des méthodes de la littérature, sur des données synthétiques ainsi que des données d'un cerveau humain acquises in vivo dans un intervalle de temps modéré.

L’imagerie hyperspectrale (HS) consiste à acquérir une même scène dans plusieurs centaines de bandes spectrales contiguës (dimensions d'un cube de données), ce qui a conduit à trois types d'applications pertinentes, telles que la détection de cibles, la classification et le démélange spectral. Cependant, tandis que les capteurs hyperspectraux fournissent une information spectrale abondante, leur résolution spatiale est généralement plus limitée. Ainsi, la fusion d’une image HS avec d'autres images à haute résolution de la même scène, telles que les images multispectrales (MS) ou panchromatiques (PAN) est un problème intéressant. Le problème de fusionner une image HS de haute résolution spectrale mais de résolution spatiale limitée avec une image auxiliaire de haute résolution spatiale mais de résolution spectrale plus limitée (parfois qualifiée de fusion multi-résolution) a été exploré depuis de nombreuses années. D'un point de vue applicatif, ce problème est également important et est motivé par ceratins projets, comme par exemple le project Japonais HISIU, qui vise à fusionner des images MS et HS recalées acquises pour la même scène avec les mêmes conditions. Les techniques de fusion bayésienne permettent une interprétation intuitive du processus de fusion via la définition de la loi a posteriori de l’image à estimer (qui est de hautes résolutions spatiale et spectrale). Puisque le problème de fusion est généralement mal posé, l’inférence bayésienne offre un moyen pratique pour régulariser le problème en définissant une loi a priori adaptée à la scène d'intérêt. Les différents chapitres de cette thèse sont résumés ci-dessous. Le introduction présente le modèle général de fusion et les hypothèses statistiques utilisées pour les images multi-bandes observées, c’est-à-dire les images HS, MS ou PAN. Les images observées sont des versions dégradées de l'image de référence (à hautes résolutions spatiale et spectrale) qui résultent par exemple d’un flou spatial et spectral et/ou d’un sous-échantillonnage liés aux caractéristiques des capteurs. Les propriétés statistiques des mesures sont alors obtenues directement à partir d’un modèle linéaire traduisant ces dégradations et des propriétés statistiques du bruit. Le chapitre 1 s’intéresse à une technique de fusion bayésienne pour les images multi-bandes de télédétection, à savoir pour les images HS, MS et PAN. Tout d'abord, le problème de fusion est formulé dans un cadre d'estimation bayésienne. Une loi a priori Gaussienne exploitant la géométrie du problème est définie et un algorithme d’estimation Bayésienne permettant d’estimer l’image de référence est étudié. Pour obtenir des estimateurs Bayésiens liés à la distribution postérieure résultant, deux algorithmes basés sur échantillonnage de Monte Carlo et l'optimisation stratégie ont été développés. Le chapitre 2 propose une approche variationnelle pour la fusion d’images HS et MS. Le problème de fusion est formulé comme un problème inverse dont la solution est l'image d’intérêt qui est supposée vivre dans un espace de dimension résuite. Un terme de régularisation imposant des contraintes de parcimonie est défini avec soin. Ce terme traduit le fait que les patches de l'image cible sont bien représentés par une combinaison linéaire d’atomes appartenant à un dictionnaire approprié. Les atomes de ce dictionnaire et le support des coefficients des décompositions des patches sur ces atomes sont appris à l’aide de l’image de haute résolution spatiale. Puis, conditionnellement à ces dictionnaires et à ces supports, le problème de fusion est résolu à l’aide d’un algorithme d’optimisation alternée (utilisant l’algorithme ADMM) qui estime de manière itérative l’image d’intérêt et les coefficients de décomposition. / Hyperspectral (HS) imaging, which consists of acquiring a same scene in several hundreds of contiguous spectral bands (a three dimensional data cube), has opened a new range of relevant applications, such as target detection [MS02], classification [C.-03] and spectral unmixing [BDPD+12]. However, while HS sensors provide abundant spectral information, their spatial resolution is generally more limited. Thus, fusing the HS image with other highly resolved images of the same scene, such as multispectral (MS) or panchromatic (PAN) images is an interesting problem. The problem of fusing a high spectral and low spatial resolution image with an auxiliary image of higher spatial but lower spectral resolution, also known as multi-resolution image fusion, has been explored for many years [AMV+11]. From an application point of view, this problem is also important as motivated by recent national programs, e.g., the Japanese next-generation space-borne hyperspectral image suite (HISUI), which fuses co-registered MS and HS images acquired over the same scene under the same conditions [YI13]. Bayesian fusion allows for an intuitive interpretation of the fusion process via the posterior distribution. Since the fusion problem is usually ill-posed, the Bayesian methodology offers a convenient way to regularize the problem by defining appropriate prior distribution for the scene of interest. The aim of this thesis is to study new multi-band image fusion algorithms to enhance the resolution of hyperspectral image. In the first chapter, a hierarchical Bayesian framework is proposed for multi-band image fusion by incorporating forward model, statistical assumptions and Gaussian prior for the target image to be restored. To derive Bayesian estimators associated with the resulting posterior distribution, two algorithms based on Monte Carlo sampling and optimization strategy have been developed. In the second chapter, a sparse regularization using dictionaries learned from the observed images is introduced as an alternative of the naive Gaussian prior proposed in Chapter 1. instead of Gaussian prior is introduced to regularize the ill-posed problem. Identifying the supports jointly with the dictionaries circumvented the difficulty inherent to sparse coding. To minimize the target function, an alternate optimization algorithm has been designed, which accelerates the fusion process magnificently comparing with the simulation-based method. In the third chapter, by exploiting intrinsic properties of the blurring and downsampling matrices, a much more efficient fusion method is proposed thanks to a closed-form solution for the Sylvester matrix equation associated with maximizing the likelihood. The proposed solution can be embedded into an alternating direction method of multipliers or a block coordinate descent method to incorporate different priors or hyper-priors for the fusion problem, allowing for Bayesian estimators. In the last chapter, a joint multi-band image fusion and unmixing scheme is proposed by combining the well admitted linear spectral mixture model and the forward model. The joint fusion and unmixing problem is solved in an alternating optimization framework, mainly consisting of solving a Sylvester equation and projecting onto a simplex resulting from the non-negativity and sum-to-one constraints. The simulation results conducted on synthetic and semi-synthetic images illustrate the advantages of the developed Bayesian estimators, both qualitatively and quantitatively.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine de l'apprentissage statistique. Le cadre principal est celui de la prévision de suites déterministes arbitraires (ou suites individuelles), qui recouvre des problèmes d'apprentissage séquentiel où l'on ne peut ou ne veut pas faire d'hypothèses de stochasticité sur la suite des données à prévoir. Cela conduit à des méthodes très robustes. Dans ces travaux, on étudie quelques liens étroits entre la théorie de la prévision de suites individuelles et le cadre statistique classique, notamment le modèle de régression avec design aléatoire ou fixe, où les données sont modélisées de façon stochastique. Les apports entre ces deux cadres sont mutuels : certaines méthodes statistiques peuvent être adaptées au cadre séquentiel pour bénéficier de garanties déterministes ; réciproquement, des techniques de suites individuelles permettent de calibrer automatiquement des méthodes statistiques pour obtenir des bornes adaptatives en la variance du bruit. On étudie de tels liens sur plusieurs problèmes voisins : la régression linéaire séquentielle parcimonieuse en grande dimension (avec application au cadre stochastique), la régression linéaire séquentielle sur des boules L1, et l'agrégation de modèles non linéaires dans un cadre de sélection de modèles (régression avec design fixe). Enfin, des techniques stochastiques sont utilisées et développées pour déterminer les vitesses minimax de divers critères de performance séquentielle (regrets interne et swap notamment) en environnement déterministe ou stochastique. / The topics addressed in this thesis lie in statistical machine learning. Our main framework is the prediction of arbitrary deterministic sequences (or individual sequences). It includes online learning tasks for which we cannot make any stochasticity assumption on the data to be predicted, which requires robust methods. In this work, we analyze several connections between the theory of individual sequences and the classical statistical setting, e.g., the regression model with fixed or random design, where stochastic assumptions are made. These two frameworks benefit from one another: some statistical methods can be adapted to the online learning setting to satisfy deterministic performance guarantees. Conversely, some individual-sequence techniques are useful to tune the parameters of a statistical method and to get risk bounds that are adaptive to the unknown variance. We study such connections for several connected problems: high-dimensional online linear regression under a sparsity scenario (with an application to the stochastic setting), online linear regression on L1-balls, and aggregation of nonlinear models in a model selection framework (regression on a fixed design). We also use and develop stochastic techniques to compute the minimax rates of game-theoretic online measures of performance (e.g., internal and swap regrets) in a deterministic or stochastic environment.

De nombreux domaines applicatifs conduisent à résoudre des problèmes inverses où le signal ou l'image à reconstruire est à la fois parcimonieux et positif. Si la structure de certains algorithmes de reconstruction parcimonieuse s'adapte directement pour traiter les contraintes de positivité, il n'en va pas de même des algorithmes gloutons orthogonaux comme OMP et OLS. Leur extension positive pose des problèmes d'implémentation car les sous-problèmes de moindres carrés positifs à résoudre ne possèdent pas de solution explicite. Dans la littérature, les algorithmes gloutons positifs (NNOG, pour “Non-Negative Orthogonal Greedy algorithms”) sont souvent considérés comme lents, et les implémentations récemment proposées exploitent des schémas récursifs approchés pour compenser cette lenteur. Dans ce manuscrit, les algorithmes NNOG sont vus comme des heuristiques pour résoudre le problème de minimisation L0 sous contrainte de positivité. La première contribution est de montrer que ce problème est NP-difficile. Deuxièmement, nous dressons un panorama unifié des algorithmes NNOG et proposons une implémentation exacte et rapide basée sur la méthode des contraintes actives avec démarrage à chaud pour résoudre les sous-problèmes de moindres carrés positifs. Cette implémentation réduit considérablement le coût des algorithmes NNOG et s'avère avantageuse par rapport aux schémas approximatifs existants. La troisième contribution consiste en une analyse de reconstruction exacte en K étapes du support d'une représentation K-parcimonieuse par les algorithmes NNOG lorsque la cohérence mutuelle du dictionnaire est inférieure à 1/(2K-1). C'est la première analyse de ce type. / Non-negative sparse approximation arises in many applications fields such as biomedical engineering, fluid mechanics, astrophysics, and remote sensing. Some classical sparse algorithms can be straightforwardly adapted to deal with non-negativity constraints. On the contrary, the non-negative extension of orthogonal greedy algorithms is a challenging issue since the unconstrained least square subproblems are replaced by non-negative least squares subproblems which do not have closed-form solutions. In the literature, non-negative orthogonal greedy (NNOG) algorithms are often considered to be slow. Moreover, some recent works exploit approximate schemes to derive efficient recursive implementations. In this thesis, NNOG algorithms are introduced as heuristic solvers dedicated to L0 minimization under non-negativity constraints. It is first shown that the latter L0 minimization problem is NP-hard. The second contribution is to propose a unified framework on NNOG algorithms together with an exact and fast implementation, where the non-negative least-square subproblems are solved using the active-set algorithm with warm start initialisation. The proposed implementation significantly reduces the cost of NNOG algorithms and appears to be more advantageous than existing approximate schemes. The third contribution consists of a unified K-step exact support recovery analysis of NNOG algorithms when the mutual coherence of the dictionary is lower than 1/(2K-1). This is the first analysis of this kind.