En simulation de réservoir, les variations spatiales des propriétés des roches sont données par un modèle géologique défini sur une grille pouvant comporter plusieurs centaines de millions de mailles. Simuler des écoulements polyphasiques sur ce type de grille peut être très coûteux en temps de calculs. Les ingénieurs de gisement procèdent souvent à une mise à l'échelle de ces propriétés sur une grille plus grossière, utilisée ensuite pour la simulation. Cette façon de procéder ne permet pas toujours de bien prendre en compte l'influence sur l'écoulement des hétérogénéités présentes à l'échelle fine. Plusieurs méthodes multi-échelles ont donc été proposées ces dernières années afin d'obtenir un meilleur compromis entre les temps de calculs et la précision des solutions obtenues. Actuellement, la plupart de ces méthodes permettent de résoudre plus efficacement l'équation en pression. Les équations de transport sont, quant à elles, toujours résolues sur la grille fine. La première partie de cette thèse présente la mise en œuvre et les résultats de tests réalisés sur la méthode des éléments finis mixtes multi-échelles dans un environnement de calcul parallèle. Le second et principal objectif de ce travail est de proposer une nouvelle méthode multi-échelle pour la simulation du transport d'un traceur dans un milieu poreux. Cette méthode est construite à partir de résultats rigoureux d'homogénéisation en milieux périodiques. Cette thèse fournit une vitesse de convergence explicite pour ce procédé d'homogénéisation ainsi qu'une estimation d'erreur pour la méthode numérique multi-échelle associée. Des exemples numériques sont ensuite présentés.

Cette thèse porte sur des méthode de résolution d'équations matricielles appliquées à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles ou des problèmes de contrôle linéaire. On s'intéressen en premier lieu à des équations matricielles linéaires. Après avoir donné un aperçu des méthodes classiques employées pour les équations de Sylvester et de Lyapunov, on s'intéresse au cas d'équations linéaires générales de la forme M(X)=C, où M est un opérateur linéaire matriciel. On expose la méthode de GMRES globale qui s'avère particulièrement utile dans le cas où M(X) ne peut s'exprimer comme un polynôme du premier degré en X à coefficients matriciels, ce qui est le cas dans certains problèmes de résolution numérique d'équations aux dérivées partielles. Nous proposons une approche, noté LR-BA-ADI consistant à utiliser un préconditionnement de type ADI qui transforme l'équation de Sylvester en une équation de Stein que nous résolvons par une méthode de Krylox par blocs. Enfin, nous proposons une méthode de type Newton-Krylov par blocs avec préconditionnement ADI pour les équations de Riccati issues de problèmes de contrôle linéaire quadratique. Cette méthode est dérivée de la méthode LR-BA-ADI. Des résultats de convergence et de majoration de l'erreur sont donnés. Dans la seconde partie de ce travail, nous appliquons les méthodes exposées dans la première partie de ce travail à des problèmes d'équations aux dérivées partielles. Nous nous intéressons d'abord à la résolution numérique d'équations couplées de type Burgers évolutives en dimension 2. Ensuite, nous nous intéressons au cas où le domaine borné est choisi quelconque. Nous établissons des résultats théoriques de l'existence de tels interpolants faisant appel à des techniques d'algèbre linéaire.

Ce mémoire présente les travaux réalisés au cours de ma thèse sur le contrôle d'équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à l'étude d'équations de Schrödinger bilinéaires unidimensionnelles autour de deux axes : la non contrôlabilité en temps petit avec des contrôles petits et la contrôlabilité simultanée. On établit un cadre pour lequel, bien que la vitesse de propagation du système soit infinie, la contrôlabilité exacte locale avec des contrôles petits est vérifiée si et seulement si le temps est suffisamment grand. Ces résultats, basés sur la coercivité d'une forme quadratique associée au développement de l'état à l'ordre deux, sont étendus dans le contexte de la contrôlabilité simultanée. On montre alors, en utilisant la méthode du retour de J.-M.~Coron, des résultats de contrôle exact local simultané pour deux ou trois équations, à phase globale et/ou à retard global près. La trajectoire de référence utilisée est construite via des résultats de contrôle partiel. En utilisant un argument de perturbation, on étend cette idée pour montrer la contrôlabilité exacte globale d'un nombre quelconque d'équations sans hypothèse sur le potentiel. Dans la deuxième partie, on prend en compte dans le modèle un terme supplémentaire quadratique en le contrôle. Ce terme, dit de polarisabilité, généralement négligé, présente un intérêt physique dans la modélisation, mais aussi mathématique dans le cas où le terme bilinéaire est insuffisant pour conclure à la contrôlabilité. En dimension quelconque, on construit des contrôles explicites réalisant la contrôlabilité approchée de l'état fondamental. En adaptant conjointement l'argument de perturbation précédent et certains résultats du contrôle bilinéaire, on prouve la contrôlabilité globale exacte de l'équation de Schrödinger avec polarisabilité 1D. La dernière partie de ce mémoire est consacrée à l'étude de la continuation unique pour un opérateur de type Grushin sur un rectangle 2D. Cet opérateur présente une singularité et une dégénérescence sur un segment séparant le domaine en deux composantes. On donne une condition nécessaire et suffisante sur le coefficient du potentiel singulier pour obtenir la continuation unique.

Dans cette thèse, nous étudions quelques opérateurs présentant un changement de signe dans leur partie principale. Ces opérateurs apparaissent notamment en électromagnétisme lorsqu'on s'intéresse à la propagation des ondes dans des structures constituées de matériaux usuels et de matériaux négatifs en régime harmonique. Ici, nous appelons matériau négatif un matériau modélisé par une permittivité diélectrique et/ou une perméabilité magnétique négative(s). En raison du changement de signe des coefficients physiques, on ne peut utiliser les outils classiques pour étudier ce problème. Dans la première partie de ce mémoire, nous nous concentrons sur le problème de transmission scalaire auquel on peut réduire les équations de Maxwell lorsque la géométrie et les données présentent une invariance dans une direction. Avec la technique de la T-coercivité, basée sur des arguments géométriques, nous établissons des conditions nécessaires et suffisantes pour prouver le caractère bien posé de ce problème en domaine borné dans H^1. Nous montrons également comment on peut utiliser cette approche pour justifier la convergence des méthodes usuelles d'approximation par éléments finis. Dans un deuxième temps, au moyen de techniques différentes, issues de l'étude des équations elliptiques dans des domaines à géométrie singulière, nous définissons un nouveau cadre fonctionnel pour recouvrer le caractère Fredholm lorsque celui-ci est perdu dans H^1. Il apparaît alors un phénomène surprenant de trou noir. Tout se passe comme si des ondes étaient aspirées en un point. Nous réalisons ensuite une étude asymptotique par rapport à une petite perturbation de l'interface entre le matériau positif et le matériau négatif dans ce cadre fonctionnel. Au cours de notre analyse, nous mettons en évidence un curieux phénomène de valeur propre clignotante. La troisième partie de ce document est consacrée à l'étude des équations de Maxwell. Nous travaillons d'abord sur les équations de Maxwell 2D en exploitant les résultats obtenus pour le problème scalaire. Puis, nous nous intéressons aux équations de Maxwell 3D. Nous montrons qu'elles sont bien posées dès lors que les problèmes scalaires associés sont bien posés. Enfin, dans une quatrième partie, nous étudions le problème de transmission intérieur apparaissant en théorie de la diffraction. L'opérateur pour ce problème présente également un changement de signe dans sa partie principale. Nous abordons son étude en utilisant l'analogie existant avec le problème de transmission entre un matériau positif et un matériau négatif. Certaines configurations pour ce problème de transmission intérieur conduisent à considérer un problème de transmission du quatrième ordre avec changement de signe. Nous prouvons que cet opérateur présente des propriétés étonnamment différentes de celles de l'opérateur scalaire du second ordre.

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique et la simulation numérique de problèmes liés à la diffraction multiple. Elle est constituée de deux parties. La première partie est consacrée à l'étude de quelques problèmes inverses de détection et de localisation d'obstacles ou de sources à l'aide d'un miroir à retournement temporel (MRT). Ces appareils sont capables de rétro-propager des ondes dans leur milieu d'origine afin de les focaliser sur la source qui les a initialement émises. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la méthode DORT, qui est une technique expérimentale permettant de focaliser sélectivement des ondes sur des petits obstacles a priori inconnus. Dans le cadre de l'acoustique, nous proposons une étude numérique des résultats mathématiques obtenus par C. Hazard et K. Ramdani. Ensuite, nous étendons mathématiquement ces résultats au cas de l'électromagnétisme. Pour clôturer cette première partie, nous présentons une étude numérique d'une expérience de reconstruction d'une source acoustique ponctuelle à l'aide d'un MRT. On s'intéresse ici plus particulièrement au phénomène de super-résolution, c'est-à-dire l'amélioration, en moyenne, de la qualité de la focalisation en milieu hétérogène plutôt qu'en milieu homogène. En se plaçant dans un contexte déterministe, nous résolvons numériquement l'équation de Helmholtz et donnons des exemples de simulations numériques illustrant ce phénomène. La deuxième partie a pour objet la résolution numérique par équations intégrales du problème de diffraction multiple en acoustique. La notion de diffraction multiple signifie ici que le milieu comporte plusieurs obstacles par opposition à la diffraction simple où seul un diffuseur est présent. Lorsque les obstacles sont des disques, nous calculons explicitement les coefficients des quatre opérateurs intégraux usuels dans les bases de Fourier. Ceci nous permet de proposer une méthode de résolution numérique robuste et efficace lorsque les obstacles sont des disques. Cette stratégie de résolution utilise une méthode de stockage compressée de la matrice du système linéaire ainsi qu'un préconditionneur qui prend en compte les effets de la diffraction simple. En outre, ce préconditionnement présente la propriété intéressante de rendre toutes les équations intégrales identiques, à un changement de base près. Nous démontrons ce résultat tout d'abord pour des obstacles circulaires avant de l'étendre à des géométries régulières quelconques. D'autre part, l'obtention des coefficients de l'opérateur intégral de simple couche nous permet d'étudier numériquement le spectre de cet opérateur en régime basse fréquence. Après une étude de la diffraction simple, nous nous sommes intéressés à deux régimes particuliers de diffraction multiple : un milieu dilué où les obstacles sont éloignés et un milieu dense où les obstacles sont très proches les uns des autres.

Dans une première partie, on s'intéresse à un système d'EDP stochastiques variant selon deux échelles de temps, et plus particulièrement à l'approximation de la composante lente à l'aide d'un schéma numérique efficace. On commence par montrer un principe de moyennisation, à savoir la convergence de la composante lente du système vers la solution d'une équation dite moyennée. Ensuite on prouve qu'un schéma numérique de type Euler fournit une bonne approximation d'un coefficient inconnu apparaissant dans cette équation moyennée. Finalement, on construit et on analyse un schéma de discrétisation du système à partir des résultats précédents, selon la méthodologie dite HMM (Heterogeneous Multiscale Method). On met en évidence l'ordre de convergence par rapport au paramètre d'échelle temporelle et aux différents paramètres du schéma numérique; on étudie les convergences au sens fort (approximation des trajectoires) et au sens faible (approximation des lois). Dans une seconde partie, on étudie une méthode d'approximation de solutions d'EDP paraboliques, en combinant une approche semi-lagrangienne et une discrétisation de type Monte-Carlo. On montre d'abord dans un cas simplifié que la variance dépend des pas de discrétisation; enfin on fournit des simulations numériques de solutions, afin de mettre en avant les applications possibles d'une telle méthode.

L'objet de cette thèse est l'étude mathématique de modèles probabilistes pour la génération et la propagation d'un potentiel d'action dans les neurones et plus généralement de modèles aléatoires pour les systèmes excitables. En effet, nous souhaitons étudier l'influence du bruit sur certains systèmes excitables multi-échelles possédant une composante spatiale, que ce soit le bruit contenu intrinsèquement dans le système ou le bruit provenant du milieu. Ci-dessous, nous décrivons d'abord le contenu mathématique de la thèse. Nous abordons ensuite la situation physiologique décrite par les modèles que nous considérons. Pour étudier le bruit intrinsèque, nous considérons des processus de Markov déterministes par morceaux à valeurs dans des espaces de Hilbert ("Hilbert-valued PDMP"). Nous nous sommes intéressés à l'aspect multi-échelles de ces processus et à leur comportement en temps long. Dans un premier temps, nous étudions le cas où la composante rapide est une composante discrète du PDMP. Nous démontrons un théorème limite lorsque la composante rapide est infiniment accélérée. Ainsi, nous obtenons la convergence d'une classe de "Hilbert-valued PDMP" contenant plusieurs échelles de temps vers des modèles dits moyennés qui sont, dans certains cas, aussi des PDMP. Nous étudions ensuite les fluctuations du modèle multi-échelles autour du modèle moyenné en montrant que celles-ci sont gaussiennes à travers la preuve d'un théorème de type "central limit". Dans un deuxième temps, nous abordons le cas où la composante rapide est elle-même un PDMP. Cela requiert de connaître la mesure invariante d'un PDMP à valeurs dans un espace de Hilbert. Nous montrons, sous certaines conditions, qu'il existe une unique mesure invariante et la convergence exponentielle du processus vers cette mesure. Pour des PDMP dits diagonaux, la mesure invariante est explicitée. Ces résultats nous permettent d'obtenir un théorème de moyennisation pour des PDMP "rapides" couplés à des chaînes de Markov à temps continu "lentes". Pour étudier le bruit externe, nous considérons des systèmes d'équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) conduites par des bruits colorés. Sur des domaines bornés de $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$, nous menons l'analyse numérique d'un schéma de type différences finies en temps et éléments finis en espace. Pour une classe d'EDPS linéaires, nous étudions l'erreur de convergence forte de notre schéma. Nous prouvons que l'ordre de convergence forte est deux fois moindre que l'ordre de convergence faible. Par des simulations, nous montrons l'émergence de phénomènes d'ondes ré-entrantes dues à la présence du bruit dans des domaines de dimension deux pour les modèles de Barkley et Mitchell-Schaeffer.

Les mouvements morphogénétiques se caractérisent, au niveau tissulaire, par une succession de dynamiques cellulaires, précisément agencées temporellement et spatialement. Ce travail de thèse vise à étudier, par la modélisation mathématique, comment les mouvements morphogénétiques globaux s'expliquent par l'intégration des dynamiques cellulaires locales (prolifération, migration, différenciation,...). Le tissu est modélisé par un système multi-agents où chaque cellule est individualisée. Cette structure est couplée avec un système d'équations aux dérivées partielles qui décrit un contrôle chimique global. <br /> <br />Cette méthode a été appliquée principalement à la croissance radiale secondaire des conifères qui est générée par divisions et croissances successives des cellules d'un tissu spécialisé nommé cambium. Le cambium est modélisé par un système dynamique discret. Un modèle continu aux dérivées partielles rend compte du transport d'une hormone dont la concentration contrôle les taux de croissance des cellules cambiales. <br /> <br />La croissance radiale est un mouvement morphogénétique essentiellement régi par la prolifération cellulaire. Nous avons également considéré l'invagination épithéliale où dominent la migration et la déformation cellulaire. Nous avons enfin étudié l'importance des relations de voisinage dans les processus de différenciation.

Les pages qui suivent présentent les travaux que j'ai effectués depuis le début de mes recherches en 1995. Ils ont été menés d'abord au laboratoire d'Analyse Non Linéaire Appliquée de l'Université de Toulon et du Var pendant ma thèse de 1995 à 1997, puis au département de Mathématiques de l'Université de Perpignan de 1997 à 2011, et en fin au Laboratoire de Mécanique et Génie Civil de l'Université Montpellier 2. Le cadre de ma recherche est l'analyse asymptotique d' équations différentielles à coefficients fortement oscillants (l'homogénéisation"). J'ai d'abord étudié des équations scalaires [1], [4], [6], ensuite, je me suis intéressé aux équations de l' élasticité linéaire [3], [5], ce qui m'a permis de mettre en évidence des effets de torsion dans les composites élastiques de fibres à fort contraste [7], et m'a amen é à introduire une nouvelle notion de capacité adaptée à l' élasticité [8]. Plus récemment, j'ai étendu cette notion à un cadre non linéaire [15], [19] et me suis intéressé aux cas non périodique [9] et aléatoire [18]. Ce mémoire comporte 3 chapitres. La présentation de chaque chapitre suit l'ordre chronologique inverse en commencant par les résultats obtenus en élasticité. Le cas scalaire s'en déduit aisément. Les deux premiers chapitres s'intéressent au cas où certains des coefficients des équations considérées prennent de tr ès grandes valeurs sur des inclusions de mesure de Lebesgue tr ès petite. On parle alors de "problèmes capacitaires" car les équations limites dépendent de la densité de ces inclusions relativement à une certaine capacité. Le premier chapitre traite le cas de structures granulaires et le second de structures fibrées. Sur ce sujet, les publications sont dans l'ordre chronologique [10], [1], [12], [13], [4], [5], [6], [14], [8] (auxquelles s'ajoutent les preprints [9], [15], [19], [18]). Le troisième chapitre porte sur le cas o ù certains coefficients prennent des valeurs tr ès petites sur des parties de mesure de Lebesgue d'ordre 1. Les publications associées à ce chapitre sont [11], [3], [4], [7].

Cette thèse traite de la modélisation et de l'approximation numérique des écoulements liquide-gaz compressibles. La difficulté essentielle réside dans la modélisation et l'approximation de l'interface liquide-gaz. Schématiquement, deux types de méthodes permettent l'étude de la dynamique de l'interface : l'approche eulérienne, aussi dite de capture de front ("front capturing method") et l'approche lagrangienne, de suivi de front ("front tracking method"). Nos travaux sont plutôt basés sur la méthode de capture de front. Le modèle bifluide est constitué d'un système de lois de conservation du premier ordre traduisant le bilan de masse, de quantité de mouvement et d'énergie du système physique. Ce système doit être fermé par une loi de pression du mélange gaz-liquide pour que sa résolution soit possible. Cette loi de comportement doit être choisie soigneusement, puisqu'elle conditionne les bonnes propriétés du système comme l'hyperbolicité ou l'existence d'une entropie de Lax. Les méthodes d'approximation doivent permettre de traduire au niveau discret ces propriétés. Les schémas conservatifs classiques de type Godunov peuvent être appliqués au modèle bifluide. Ils conduisent cependant à des imprécisions qui les rendent inutilisables en pratique. Enfin, l'existence de solutions discontinues rend difficile la construction de schémas d'ordre élevé. La structure complexe des solutions nécessite alors des maillages très fins pour une précision acceptable. Il est donc indispensable de proposer des algorithmes performants pour les calculateurs parallèles les plus récents. Au cours de cette thèse, nous allons aborder partiellement chacune de ces problématiques : construction d'une "bonne" loi de pression, construction de schémas numériques adaptés, programmation sur calculateur massivement multicoeur.