In this thesis we consider three different issues of analytic number theory. Firstly, we investigate how residues modulo q may be expressed as products of small primes. In Chapter 1, we work in the regime in which these primes are less than q, and present some partial results towards an open conjecture of Erdös. In Chapter 2, we consider the kinder regime in which these primes are at most q^C , for some constant C that is greater than 1. Here we reach an explicit version of Linnik's Theorem on the least prime in an arithmetic progression, saving that we replace 'prime' with 'product of exactly three primes'. The results of this chapter are joint with Prof. Olivier Ramaré. The next two chapters concern equidistribution modulo 1, specifically the notion that an infinite set of integers is metric poissonian. This strong notion was introduced by Rudnick and Sarnak around twenty years ago, but more recently it has been linked with concepts from additive combinatorics. In Chapter 3 we study the primes in this context, and prove that the primes do not enjoy the metric poissonian property, a theorem which, in passing, improves upon a certain result of Bourgain. In Chapter 4 we continue the investigation further, adapting arguments of Schmidt to demonstrate that certain random sets of integers, which are nearly as dense as the primes, are metric poissonian after all. The major work of this thesis concerns the study of diophantine inequalities. The use of techniques from Fourier analysis to count the number of solutions to such systems, in primes or in other arithmetic sets of interest, is well developed. Our innovation, following suggestions of Wooley and others, is to utilise the additive-combinatorial notion of Gowers norms. In Chapter 5 we adapt methods of Green and Tao to show that, even in an extremely general framework, Gowers norms control the number of solutions weighted by arbitrary bounded functions. We use this result to demonstrate cancellation of the Möbius function over certain irrational patterns.

<p> A review of the conducting paper analogue for plotting two-dimensional electric and magnetic fields is given. An improved capacitively-coupled conducting paper analogue is described that will map either single or multiple, uniformly-distributed-source Poissonian fields. A DEW map construction technique is detailed that uses a thin tape dielectric and silver-painted source electrodes. Equipotentials on the conducting paper surface correspond to lines of constant magnetic vector potential or flux lines. Differential voltages are analogous to flux density. The equipotential distribution is plotted using a null technique with a unique point on the map surface held at virtual ground potential. The time-varying equations governing the capacitively- coupled analogue are derived. As a result of these equations, an analogue for the skin effect phenomenon in conductors has been demonstrated.</p> / Thesis / Master of Engineering (ME)

Dans ce travail nous nous intéressons à l'estimation de la densité spectrale par la méthode du noyau pour des processus à temps continu et des champs aléatoires observés selon des schémas d'échantillonnage (ou plan d'expériences) discrets aléatoires. Deux types d'échantillonnage aléatoire sont ici considérés : schémas aléatoires dilatés, et schémas aléatoires poissonniens. Aucune condition de gaussiannité n'est imposée aux processus et champs étudiés, les hypothèses concerneront leurs cumulants.En premier nous examinons un échantillonnage aléatoire dilaté utilisé par Hall et Patil (1994) et plus récemment par Matsuda et Yajima (2009) pour l'estimation de la densité spectrale d'un champ gaussien. Nous établissons la convergence en moyenne quadratique dans un cadre plus large, ainsi que la vitesse de convergence de l'estimateur.Ensuite nous appliquons l'échantillonnage aléatoire poissonnien dans deux situations différentes : estimation spectrale d'un processus soumis à un changement de temps aléatoire (variation d'horloge ou gigue), et estimation spectrale d'un champ aléatoire sur R2. Le problème de l'estimation de la densité spectrale d'un processus soumis à un changement de temps est résolu par projection sur la base des vecteurs propres d'opérateurs intégraux définis à partir de la fonction caractéristique de l'accroissement du changement de temps aléatoire. Nous établissons la convergence en moyenne quadratique et le normalité asymptotique de deux estimateurs construits l'un à partir d'une observation continue, et l'autre à partir d'un échantillonnage poissonnien du processus résultant du changement de temps.La dernière partie de ce travail est consacrée au cas d'un champ aléatoire sur R2 observé selon un schéma basé sur deux processus de Poissons indépendants, un pour chaque axe de R2. Les résultats de convergence sont illustrés par des simulations / In this work, we are dealing in the kernel estimation of the spectral density for a continuous time process or random eld observed along random discrete sampling schemes. Here we consider two kind of sampling schemes : random dilated sampling schemes, and Poissonian sampling schemes. There is no gaussian condition for the process or the random eld, the hypotheses apply to their cumulants.First, we consider a dilated sampling scheme introduced by Hall and Patil (1994) and used more recently by Matsuda and Yajima (2009) for the estimation of the spectral density of a Gaussian random eld.We establish the quadratic mean convergence in our more general context, as well as the rate of convergence of the estimator.Next we apply the Poissonian sampling scheme to two different frameworks : to the spectral estimation for a process disturbed by a random clock change (or time jitter), and to the spectral estimation of a random field on R2.The problem of the estimatin of the spectral density of a process disturbed by a clock change is solved with projection on the basis of eigen-vectors of kernel integral operators defined from the characteristic function of the increment of the random clock change. We establish the convergence and the asymptotic normality of two estimators contructed, from a continuous time observation, and the other from a Poissonian sampling scheme observation of the clock changed process.The last part of this work is devoted to random fields on R2 observed along a sampling scheme based on two Poisson processes (one for each axis of R2). The convergence results are illustrated by some simulations

Cette thèse est consacrée à l'étude expérimentale du bruit quantique électronique d'un système mésoscopique. Dans une première partie, nous nous sommes intéressés au bruit de partition d'un conducteur unidimensionnel balistique : un contact ponctuel quantique (QPC). Nous avons montré que, lorsque l'un des contacts du QPC est modulé par une onde radio-fréquence, il apparaît un bruit de partition en l'absence de courant moyen à travers le conducteur. Nous avons ainsi validé la théorie de la diffusion appliquée au bruit photo-assisté, d'une part en mesurant le facteur de Fano en l'absence de tension appliquée au QPC, et d'autre part en mesurant le bruit en présence d'une tension continue et d'une irradiation micro-onde. Dans une seconde partie, nous avons testé le système de mesure d'une nouvelle expérience qui, à terme, permettra de mesurer le bruit à haute fréquence d'un conducteur mésoscopique, ainsi que la statistique des photons qu'il émet dans le circuit de mesure. Le test a consisté à réaliser des expériences de type Hanbury-Brown et Twiss (interférométrie d'intensité) avec deux types de sources de photons micro-ondes. D'abord, nous avons utilisé une source thermique incohérente (résistance macroscopique de 50 Ohms) qui présente une statistique super-poissonnienne : les fluctuations de puissance sont proportionnelles au carré de la puissance moyenne émise par la source. Puis nous avons mis en évidence la statistique poissonnienne d'une source classique monochromatique, et nous avons montré que le facteur de Fano géant mesuré est parfaitement expliqué par le bruit des chaînes d'amplification.

The quantum properties of matter waves, in particular quantum correlations and entanglement are an important frontier in atom optics with applications in quantum metrology and quantum information. In this thesis, we report the first observation of sub-Poissonian fluctuations in the magnetization of a spinor 87Rb condensate. The fluctuations in the magnetization are reduced up to 10 dB below the classical shot noise limit. This relative number squeezing is indicative of the predicted pair-correlations in a spinor condensate and lay the foundation for future experiments involving spin-squeezing and entanglement measurements. We have investigated the limits of the imaging techniques used in our lab, absorption and fluorescence imaging, and have developed the capability to measure atoms numbers with an uncertainly < 10 atoms. Condensates as small as ≈ 10 atoms were imaged and the measured fluctuations agree well with the theoretical predictions. Furthermore, we implement a reliable calibration method of our imaging system based on quantum projection noise measurements. We have resolved the individual lattice sites of a standing-wave potential created by a CO2 laser, which has a lattice spacing of 5.3 µm. Using microwaves, we site-selectively address and manipulate the condensate and therefore demonstrate the ability to perturb the lattice condensate of a local level. Interference between condensates in adjacent lattice sites and lattice sites separated by a lattice site are observed.

Nous présentons dans ce manuscrit des mesures de corrélations spatiales à un et deux corps effectuées sur un gaz de bosons unidimensionnel et ultra-froid piégé à la surface d'une microstructure. Les corrélations à deux corps sont mises en évidence par des mesures de fluctuations de densité in situ ; les corrélations à un corps sont sondées grâce à des mesures de distributions en impulsion. Nous avons observé des fluctuations de densité sub-poissoniennes dans le régime d'interactions faibles, mettant ainsi en évidence pour la première fois le sous-régime du régime de quasi-condensat dans lequel la fonction de corrélation à deux corps est dominée par les fluctuations quantiques. Nous avons également observé des fluctuations sub-poissoniennes quelle que soit la densité dans le régime d'interactions fortes ; notre mesure constitue la première observation d'un unique gaz de bosons unidimensionnel dans ce régime. Le piège magnétique que nous avons utilisé est un piège modulé qui possède la propriété remarquable de découplage entre confinements transverse et longitudinal. Cette spécificité nous a permis de façonner à volonté la forme du confinement longitudinal. En particulier, nous avons pu obtenir des pièges harmoniques et quartiques. Nous avons également utilisé les propriétés de ce piège modulé afin de réaliser une lentille magnétique longitudinale. Cette technique nous a permis de mesurer la distribution en impulsion du gaz, dans le régime d'interactions faibles. Nous présentons deux résultats, obtenus de part et d'autre de la transition molle entre les régimes de gaz de Bose idéal et de quasi-condensat. Sur le plan théorique, nous montrons qu'une théorie de champ classique ne suffit pas à décrire quantitativement cette transition molle pour les paramètres typiques de l'expérience. Nous avons donc recours à des calculs Monte-Carlo quantiques. La température extraite de l'ajustement de nos donnée par ces calculs est en bon accord avec celle obtenue en ajustant les fluctuations de densité in situ avec la thermodynamique de C. N. Yang et C. P. Yang. Enfin, nous démontrons une méthode de compensation de la gravité (piégeage harmonique résiduel) lors de la phase de lentille magnétique, qui nous permet d'améliorer considérablement la résolution en impulsion de cette technique. / In this manuscript, we present spatial one and two-body correlation measurements performed on a one-dimensional gas of ultra-cold bosons trapped at the surface of a microstructure. Two body correlations are highlighted by measurements of in situ density fluctuations and one-body correlations are probed through measurements of momentum distributions.We observed sub-Poissonian density fluctuations in the regime of weak interactions, thus demonstrating for the first time the regime of quasi-condensate in which the two-body correlation function is dominated by quantum fluctuations. We also observed sub-Poissonian fluctuations regardless of the density in the regime of strong interactions. Our measurement is the first observation of a single one-dimensional gas of bosons in this regime.The magnetic trap that we used is a modulated trap that has the remarkable property of decoupling between transverse and longitudinal confinements. This specificity has enabled us to engineer at will the shape of the longitudinal confinement. In particular, we were able to obtain harmonic and quartic traps.

GaAs-based nanowires are attractive building blocks for the development of future (opto)electronic devices owing to their excellent intrinsic material properties, such as the direct band gap and high electron mobility. A pre-requisite for the implementation of novel functionalities on a single Si chip is the monolithic integration of the nanowires on the well-established Si complementary-metal-oxide-semiconductor (CMOS) platform with precise control of the nanowire growth process. The self-catalyzed (Ga-assisted) growth of GaAs nanowires on Si(111) substrates using molecular beam epitaxy has offered the possibility to obtain vertical nanowires with predominant zinc blende structure, while potential contamination by external catalysts like Au is eliminated. Although the growth mechanism is fairly well understood, control of the nucleation stage, the nanowire number density and the crystal structure has been proven rather challenging. Moreover, conventional growth processes are typically performed at relatively high substrate temperatures in the range of 560-630 °C, which limit their application to the industrial Si platform. This thesis provides two original methods in order to tackle the aforementioned challenges in the conventional growth processes. In the first part of this thesis, a simple surface modification procedure (SMP) for the in situ preparation of native-SiOx/Si(111) substrates has been developed. Using a pre-growth treatment of the substrates with Ga droplets and two annealing cycles, the SMP enables highly synchronized nucleation of all nanowires on their substrate and thus, the growth of exceptionally uniform GaAs nanowire ensembles with sub-Poissonian length distributions. Moreover, the nanowire number density can be tuned within three orders of magnitude and independent of the nanowire dimensions without prior ex situ patterning of the substrate. This work delivers a fundamental understanding of the nucleation kinetics of Ga droplets on native-SiOx and their interaction with SiOx, and confirms theoretical predictions about the so-called nucleation antibunching, the temporal anti-correlation of consecutive nucleation events. In the second part of this thesis, an alternative method called droplet-confined alternate-pulsed epitaxy (DCAPE) for the self-catalyzed growth of GaAs nanowires and GaAs/AlxGa1-xAs axial nanowire heterostructures has been developed. DCAPE enables nanowire growth at unconventional, low temperatures in the range of 450-550 °C and is compatible with the standard Si-CMOS platform. The novel growth approach allows one to precisely control the crystal structure of the nanowires and, thus, to produce defect-free pure zinc blende GaAs-based nanowires. The strength of DCAPE is further highlighted by the controlled growth of GaAs/AlxGa1-xAs axial quantum well nanowires with abrupt interfaces and tunable thickness and Al-content of the AlxGa1-xAs sections. The GaAs/AlxGa1-xAs axial nanowire heterostructures are interesting for applications as single photon emitters with tunable emission wavelength, when they are overgrown with thick lattice-mismatched InxAl1-xAs layers in a core-shell fashion. All results presented in this thesis contribute to paving the way for a successful monolithic integration of highly uniform GaAs-based nanowires with controlled number density, dimensions and crystal structure on the mature Si platform. / GaAs-basierte Nanodrähte sind attraktive Bausteine für die Entwicklung von zukünftigen (opto)elektronischen Bauelementen dank ihrer exzellenten intrinsischen Materialeigenschaften wie zum Beispiel die direkte Bandlücke und die hohe Elektronenbeweglichkeit. Eine Voraussetzung für die Realisierung neuer Funktionalitäten auf einem einzelnen Si Chip ist die monolithische Integration der Nanodrähte auf der etablierten Si-Metall-Oxid-Halbleiter-Plattform (CMOS) mit präziser Kontrolle des Wachstumsprozesses der Nanodrähte. Das selbstkatalytische (Ga-unterstützte) Wachstum von GaAs Nanodrähten auf Si(111)-Substrat mittels Molekularstrahlepitaxie bietet die Möglichkeit vertikale Nanodrähte mit vorwiegend Zinkblende-Struktur herzustellen, während die potentielle Verunreinigung der Nanodrähte und des Substrats durch externe Katalysatoren wie Au vermieden wird. Obwohl der Wachstumsmechanismus gut verstanden ist, erweist sich die Kontrolle der Nukleationsphase, Anzahldichte und Kristallstruktur der Nanodrähte als sehr schwierig. Darüber hinaus sind relativ hohe Temperaturen im Bereich von 560-630 °C in konventionellen Wachstumsprozessen notwendig, die deren Anwendung auf der industriellen Si Plattform begrenzen. Die vorliegende Arbeit liefert zwei originelle Methoden um die bestehenden Herausforderungen in konventionellen Wachstumsprozessen zu bewältigen. Im ersten Teil dieser Arbeit wurde eine einfache Prozedur, bezeichnet als surface modification procedure (SMP), für die in situ Vorbehandlung von nativem-SiOx/Si(111)-Substrat entwickelt. Die Substratvorbehandlung mit Ga-Tröpfchen und zwei Hochtemperaturschritten vor dem Wachstumsprozess ermöglicht eine synchronisierte Nukleation aller Nanodrähte auf ihrem Substrat und folglich das Wachstum von sehr gleichförmigen GaAs Nanodraht-Ensembles mit einer sub-Poisson Verteilung der Nanodrahtlängen. Des Weiteren kann die Anzahldichte der Nanodrähte unabhängig von deren Abmessungen und ohne ex situ Vorstrukturierung des Substrats über drei Größenordnungen eingestellt werden. Diese Arbeit liefert außerdem ein grundlegendes Verständnis zur Nukleationskinetik von Ga-Tröpfchen auf nativem-SiOx und deren Wechselwirkung mit SiOx und bestätigt theoretische Voraussagen zum sogenannten Nukleations-Antibunching, dem Auftreten einer zeitlichen Anti-Korrelation aufeinanderfolgender Nukleationsereignisse. Im zweiten Teil dieser Arbeit wurde eine alternative Methode, bezeichnet als droplet-confined alternate-pulsed epitaxy (DCAPE), für das selbstkatalytische Wachstum von GaAs Nanodrähten und GaAs/AlxGa1-xAs axialen Nanodraht-Heterostrukturen entwickelt. DCAPE ermöglicht das Nanodrahtwachstum bei unkonventionell geringeren Temperaturen im Bereich von 450-550 °C und ist vollständig kompatibel mit der Standard-Si-CMOS-Plattform. Der neue Wachstumsansatz erlaubt eine präzise Kontrolle der Kristallstruktur der Nanodrähte und folglich das Wachstum von defektfreien Nanodrähten mit phasenreiner Zinkblende-Struktur. Die Stärke der DCAPE Methode wird des Weiteren durch das kontrollierte Wachstum von GaAs/AlxGa1-xAs axialen Quantentopf-Nanodrähten mit abrupten Grenzflächen und einstellbarer Dicke und Al-Anteil der AlxGa1-xAs-Segmente aufgezeigt. Die GaAs/AlxGa1-xAs axialen Nanodraht-Heterostrukturen sind interessant für den Einsatz als Einzelphotonen-Emitter mit einstellbarer Emissionswellenlänge, wenn diese mit gitterfehlangepassten InxAl1-xAs-Schichten in einer Kern-Hülle-Konfiguration überwachsen werden. Alle Ergebnisse dieser Arbeit tragen dazu bei, den Weg für eine erfolgreiche monolithische Integration von sehr gleichförmigen GaAs-basierten Nanodrähten mit kontrollierbarer Anzahldichte, Abmessungen und Kristallstruktur auf der industriell etablierten Si-Plattform zu ebnen.