Cette thèse traite du problème de séparation aveugle de sources non-négatives (c'est à dire des grandeurs positives ou nulles). La situation de séparation de mélanges linéaires instantanés de sources non-négatives se rencontre dans de nombreux problèmes de traitement de signal et d'images, comme la décomposition de signaux mesurés par un spectromètre (spectres de masse, spectres Raman, spectres infrarouges), la décomposition d'images (médicales, multi-spectrale ou hyperspectrales) ou encore l'estimation de l'activité d'un radionucléide. Dans ces problèmes, les grandeurs sont intrinsèquement non-négatives et cette propriété doit être préservée lors de leur estimation, car c'est elle qui donne un sens physique aux composantes estimées. La plupart des méthodes existantes de séparation de sources non-négatives requièrent de ''fortes" hypothèses sur les sources (comme l'indépendance mutuelle, la dominance locale ou encore l'additivité totale des sources), qui ne sont pas toujours vérifiées en pratique. Dans ce travail, nous proposons une nouvelle méthode de séparation de sources non-négatives fondée sur la répartition géométrique du nuage des observations. Les coefficients de mélange et les sources sont estimées en cherchant le cône simplicial d'ouverture minimale contenant le nuage des observations. Cette méthode ne nécessite pas l'indépendance mutuelle des sources, ni même leur décorrélation; elle ne requiert pas non plus la dominance locale des sources, ni leur additivité totale. Une seule condition est nécessaire et suffisante: l'orthant positif doit être l'unique cône simplicial d'ouverture minimale contenant le nuage de points des signaux sources. L'algorithme proposé est évalué avec succès dans deux situations de séparation de sources non-négatives de nature très différentes. Dans la première situation, nous effectuons la séparation de spectres de masse mesurés à la sortie d'un chromatographe liquide haute précision, afin d'identifier et quantifier les différents métabolites (petites molécules) présents dans l'urine d'un rat traité au phénobarbital. Dans la deuxième situation, nous estimons les différents compartiments pharmacocinétiques du radio-traceur FluoroDeoxyGlucose marqué au fluor 18 ([18F]-FDG) dans le cerveau d'un patient humain, à partir d'une série d'images 3D TEP de cet organe. Parmi ces pharmacocinétiques, la fonction d'entrée artérielle présente un grand intérêt pour l'évaluation de l'efficacité d'un traitement anti-cancéreux en oncologie.

Cette thèse porte sur l'alignement automatique d'un enregistrement audio avec la partition de musique correspondante. Nous adoptons une approche probabiliste et proposons une démarche théorique pour la modélisation algorithmique de ce problème d'alignement automatique. La question est de modéliser l'évolution temporelle des événements par des processus stochastiques. Notre démarche part d'une spécificité de l'alignement musical : une partition attribue à chaque événement une durée nominale, qui est une information a priori sur la durée probable d'occurrence de l'événement. La problématique qui nous occupe est celle de la modélisation probabiliste de cette information de durée. Nous définissons la notion de cohérence temporelle à travers plusieurs critères de cohérence que devrait respecter tout algorithme d'alignement musical. Ensuite, nous menons une démarche axiomatique autour du cas des modèles de semi-Markov cachés. Nous démontrons que ces critères sont respectés lorsque des conditions mathématiques particulières sont vérifiées par les lois a priori du modèle probabiliste de la partition. Ces conditions proviennent de deux domaines mathématiques jusqu'ici étrangers à la question de l'alignement : les processus de Lévy et la totale positivité d'ordre deux. De nouveaux résultats théoriques sont démontrés sur l'interrelation entre ces deux notions. En outre, les bienfaits pratiques de ces résultats théoriques sont démontrés expérimentalement sur des algorithmes d'alignement en temps réel. / This thesis deals with automatic alignment of audio recordings with corresponding music scores. We study algorithmic solutions for this problem in the framework of probabilistic models which represent hidden evolution on the music score as stochastic process. We begin this work by investigating theoretical foundations of the design of such models. To do so, we undertake an axiomatic approach which is based on an application peculiarity: music scores provide nominal duration for each event, which is a hint for the actual and unknown duration. Thus, modeling this specific temporal structure through stochastic processes is our main problematic. We define temporal coherency as compliance with such prior information and refine this abstract notion by stating two criteria of coherency. Focusing on hidden semi-Markov models, we demonstrate that coherency is guaranteed by specific mathematical conditions on the probabilistic design and that fulfilling these prescriptions significantly improves precision of alignment algorithms. Such conditions are derived by combining two fields of mathematics, Lévy processes and total positivity of order 2. This is why the second part of this work is a theoretical investigation which extends existing results in the related literature.

Le domaine des problèmes inverses est une discipline qui se trouve à la frontière des mathématiques appliquées et de la physique et qui réunit les différentes solutions pour résoudre les problèmes d'optimisation mathématique. Dans le cas de la déconvolution 1D, ce domaine apporte un formalisme pour proposer des solutions avec deux grands types d'approche: les problèmes inverses avec régularisation et les problèmes inverses bayésiens. Sous l'effet du déluge de données, les géosciences et la planétologie nécessitent des algorithmes de plus en plus plus complexe pour obtenir des informations pertinentes. Dans le cadre de cette thèse, nous proposons d'apporter des connaissances dans trois problèmes de déconvolution 1D sous contrainte avec régularisation dans le domaine de l'hydrologie, la sismologie et de la spectroscopie. Pour chaque problème nous posons le modèle direct, le modèle inverse, et nous proposons un algorithme spécifique pour atteindre la solution. Les algorithmes sont définis ainsi que les différentes stratégies pour déterminer les hyper-paramètres. Aussi, des tests sur des données synthétiques et sur des données réelles sont exposés et discuté du point de vue de l'optimisation mathématique et du point de vue du domaine de l'application choisi. Finalement, les algorithmes proposés ont l'objectif de mettre à portée de main l'utilisation des méthodes des problèmes inverses pour la communauté des Géosciences. / The inverse problem field is a domain at the border between applied mathematics and physics that encompasses the solutions for solving mathematical optimization problems. In the case of 1D deconvolution, the discipline provides a formalism to designing solutions in the frames of its two main approaches: regularization based inverse problems and bayesian based inverse problems. Under the data deluge, geosciences and planetary sciences require more and more complex algorithms for obtaining pertinent information. In this thesis, we solve three 1D deconvolution problems under constraints with regularization based inverse problem methodology: in hydrology, in seismology and in spectroscopy. For every of the three problems, we pose the direct problem, the inverse problem, and we propose a specific algorithm to reach the solution. Algorithms are defined but also the different strategies to determine the hyper-parameters. Furthermore, tests on synthetic data and on real data are presented and commented from the point of view of the inverse problem formulation and that of the application field. Finally, the proposed algorithms aim at making approachable the use of inverse problem methodology for the Geoscience community.

L’effet des émotions sur la mémoire (EEM) est un effet largement documenté dans la littérature, en ce qui concerne les participants sains jeunes et âgés. Cette mise en évidence de meilleures performances mnésiques à partir de stimuli émotionnels par rapport à des stimuli neutres semblerait reposer sur l’existence de relations étroites entre les régions cérébrales primordiales dans les processus mnésiques et émotionnels ; soit respectivement l’hippocampe et l’amygdale. Ces deux structures étant parmi les premières touchées au cours de la maladie d’Alzheimer (MA), leur altération pourrait sous-tendre la défaillance de l’EEM chez ces patients. Toutefois, les résultats des études ayant exploré l’EEM chez les patients MA sont assez contradictoires. Cette divergence entre les résultats concernerait notamment les études ayant exploré l’EEM avec des intervalles courts entre l’encodage et la récupération. L’objectif de cette thèse est ainsi d’étudier les facteurs susceptibles d’être responsables de ces résultats hétérogènes. L’analyse de la littérature a suggéré que l’un de ces facteurs pourrait être lié aux conditions très variables d’encodage utilisées dans différentes recherches. Ainsi, notre première étude comportementale a apporté des arguments robustes quant à la dépendance de l’EEM, et en particulier de l’effet de positivité en mémoire, de l’intentionnalité et de la quantité de ressources cognitives allouées à l’encodage ; mais ceci chez les participants âgés sains seulement. En effet, dans cette première étude, l’EEM n’a pas être observé dans le groupe de patients MA étudié. L’analyse détaillée de ces résultats a soulevé diverses interrogations, chacune d’entre elles faisant l’objet d’une nouvelle étude expérimentale. Ainsi, dans les études suivantes, l’influence de quatre facteurs pouvant influer sur l’EEM dans la MA fut au centre de nos recherches; soit respectivement le degré d’atrophie des régions médio-temporales, la profondeur du traitement, la disponibilité des ressources attentionnelles pendant l’encodage, et la familiarité ressentie envers les stimuli. L’ensemble des résultats de ces quatre dernières études convergerait vers l’idée que l’EEM, et notamment l’effet de positivité en mémoire, serait préservé chez les patients MA quand certaines conditions sont remplies. Ainsi, cet effet semble relativement préservé chez les patients MA ne présentant pas de degrés d’atrophie des régions amygdaliennes et hippocampiques trop importants. Par ailleurs, comme chez les participants âgés sains, l’effet de positivité en mémoire semblerait se manifester chez les patients MA en dehors et au-delà du sentiment de familiarité ressenti envers les stimuli positifs, notamment lors de l’utilisation de tâches d’encodage permettant le traitement profond des stimuli, et lors de tâches de mémoire de travail simples. De même, les stimuli émotionnels négatifs très intenses sembleraient moduler les stratégies de réponse employées par les patients MA dans les tâches de reconnaissance, mais aussi les performances mnésiques de ces patients dans des tâches de mémoire de travail. / The emotional enhancement of memory (EEM) – better memory performances for emotional stimuli than for neutral ones – was frequently described in healthy young and older participants. The EEM seems to rely on the relationship between the amygdala and the hippocampus, the central cerebral structures responsible for the emotional and memory processes, respectively. These two cerebral structures are among the first to be affected in Alzheimer’s disease (AD), which might suggest the alteration of the EEM in these patients. Nevertheless, the results of the studies investigating the EEM in these patients are rather debatable. This discrepancy concerns especially the studies investigating the EEM by using short intervals between encoding and retrieval.Thus, the main goal of this doctoral work was to study the factors susceptible to be responsible of these contradictory results. The analysis of the literature suggested that one of these factors might be related to the extremely variable encoding conditions used among different studies. We explored the influence of this factor in our first behavioral study, which provided strong evidence that the EEM, and especially the positivity memory bias, relies on the intention to encode and on the quantity of cognitive resources allocated at encoding only in healthy older participants. Indeed, the EEM was not observed in AD patients participating in our first study. The detailed analysis of these results raised several hypotheses concerning the factors that might be responsible for the absence of the EEM in the AD patients participating in the first study. Each of these hypotheses was tested in a new experimental study. Thus, in the following studies we explored the influence of four factors on the EEM in AD, namely: the degree of atrophy of medial temporal regions, the depth of encoding, the availability of attention resources during encoding, and the sense of familiarity towards emotional stimuli. The results of these four studies seem to converge on the idea that the EEM, especially the positivity memory bias, is preserved in AD when certain conditions are reunited. Thus, the EEM seems to be intact in AD patients in which the degrees of atrophy of the amygdala and of the hippocampus are not too large. Moreover, just like in healthy older participants, the positivity memory bias seems to manifest itself in AD patients beyond and above the feeling of familiarity towards positive stimuli, especially in situations permitting the deep and rich encoding of information and in working memory tasks that are not too difficult. Similarly, the highly arousing negative stimuli seem to modulate the response strategies used by AD patients and healthy older participants in recognition tasks, but also the performance of AD patients in working memory tasks.

Ce travail s'inscrit dans une thématique de recherche sur l'étude des opérateurs pseudo-différentiels sous représentations diffusives ; l'intégration fractionnaire est un exemple devenu classique d'opérateurs diffusifs.<br />Le première partie consiste en la mise en place des représentations diffusives à temps discret. Certains filtres non-relationnels, notamment les différences frationnaires, sont une agrégation continue de dynamiques purement amorties. Les représentations diffusives s'appliquent à toutes les discrétisations de l'intégration fractionnaire y compris celles pour lesquelles la fonction de transfert n'est pas connue analytiquement. Les filtres diffusifs peuvent être réalisés par un système de dimension infinie. Cette structure est un cadre adapté à l'approximation par un filtre relationnel, à l'analyse asymptotique aux temps longs et à l'élaboration d'un critère de dissipativité.<br />La deuxième partie consiste à appliquer ces outils pour l'étude des couplages formés de filtres diffusifs et de filtres rationnels positifs. L'application d'un critère de Nyquist prouve la stabilité énergétique. Ces couplages sont en fait la somme d'une partie entière et d'une partie diffusive, ce résultat de décomposition montre que certains couplages sont stables EBSB (entrée-bornée, sortie-bornée). La dissipativité de la réalisation diffusive ainsi que le lemme de Kalman-Yacubovich-Popov montrent notamment la stabilité interne de ces couplages ; une démonstration originale du caractère asymptotique de la stabilité interne est ainsi proposée. Les approches utilisées pour prouver ces stabiblités permettent une analyse asymptotique aux temps longs.

Dans cette thèse, nous considérons l'étude et la mise en \oe uvre de différentes approches numériques de résolution de problèmes dits d'approximation linéaire conique, en nous concentrant sur les approches par projections et par optimisation sous contraintes de semi-définie positivité. Un problème d'approximation matricielle consiste dans un espace normé de matrices à chercher la matrice ayant une certaine propriété $\mathcal(P)$, la plus proche au sens de la norme de l'espace, d'une matrice $A$ donnée. Ces problèmes apparaissent dans différents domaines, et ont été étudiés par \textsc(Higham) qui en propose un procédure de résolution consistant en les trois points suivants : existence et unicité des solutions, caractérisation et solution explicite éventuelles, algorithmes efficaces de calculs de ces solutions. Nous nous plaçons dans un cadre euclidien, et considérons les cas où les matrices vérifiant la propriété $\mathcal(P)$ forment un ensemble convexe déterminé par des contraintes affines et coniques. Nous parlons alors d'(\it approximation matricielle linéaire conique). Nous prenons comme exemples d'application deux problèmes d'approximation correspondant à des ensembles connus en Analyse convexe pour leur "bonne" structure, mais pour lesquels la résolution explicite d'un problème d'approximation s'avère ardu. Le premier exemple provient d'applications en Recherche opérationnelle ou en Mécanique quantique, et consiste à trouver la matrice bistochastique la plus proche d'une matrice donnée. Le second problème est celui de la calibration de matrices de corrélation, qui est d'une importance majeure en analyse du risque financier encouru avec un choix de portefeuille d'actions boursières donné. Nous étudions et mettons en \oe uvre pour les problèmes d'approximation matricielle linéaire conique deux approches de nature différente. La première est primale : elle consiste à interpréter le problème comme étant celui de la projection sur un convexe qui est l'intersection de convexes plus simples sur lesquels les projections sont faciles. Cela nous permet de proposer un algorithme de projections alternées, inspiré des modifications apportées par \textsc(Boyle et Dykstra) à l'algorithme classique de Von Neumann. La seconde est de type primal-dual, et s'inscrit dans la lignée des récentes avancées obtenues en optimisation sous contraintes de semi-définie positivité ((\it Semidefinite Programming)). Elle consiste en la mise en \oe uvre d'un algorithme de points intérieurs, en utilisant une démarche novatrice consistant en l'utilisation de directions de recherches de Gauss-Newton, obtenues par gradients conjugués et en l'introduction en fin d'algorithme d'une étape de "crossover" permettant d'obtenir asymptotiquement de la convergence superlinéaire. Nous présentons pour chacun des problèmes d'approximation pris en exemples des résultats numériques illustrant les différentes approches ci-dessus et les comparant entre elles de différents points de vue. En application, nous proposons aussi une généralisation de la procédure d'agrégation de préférences de \textsc(Blin) en utilisant l'approximation par matrices bistochastiques.

De façon générale, cette thèse s'intéresse aux liens entre théorie des représentations et probabilités. Elle se subdivise en principalement trois parties. Dans un premier volet plutôt algébrique, nous construisons un modèle de chemins pour les cristaux géométriques de Berenstein et Kazhdan, pour un groupe de Lie complexe semi-simple. Il s'agira pour l'essentiel de décrire la structure algébrique, ses morphismes naturels et ses paramétrisations. La théorie de la totale positivité y jouera un role particulièrement important. Ensuite, nous avons choisi d'anticiper sur les résultats probabilistes et d'exhiber une mesure canonique sur les cristaux géométriques. Celle-ci utilise comme ingrédients le superpotentiel de variété drapeau, et une mesure invariante sous les actions cristallines. La mesure image par l'application poids joue le role de mesure de Duistermaat-Heckman. Sa transformée de Laplace définit les fonctions de Whittaker, fournissant une formule intégrale particulièrement intéressante pour tous les groupes de Lie. Il apparait alors clairement que les fonctions de Whittaker sont aux cristaux géométriques, ce que les caractères sont aux cristaux combinatoires classiques. La règle de Littlewood-Richardson est aussi exposée. Enfin nous présentons l'approche probabiliste permettant de trouver la mesure canonique. Elle repose sur l'idée fondamentale que la mesure de Wiener induira la bonne mesure sur les structures algébriques du modèle de chemins. Dans une dernière partie, nous démontrons comment notre modèle géométrique dégénère en le modèle de Littelmann continu classique, pour retrouver des résultats connus. Par exemple, la mesure canonique sur un cristal géométrique de plus haut poids dégénère en une mesure uniforme sur un polytope, et retrouve les paramétrisations des cristaux continus.

Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes très naturels en géométrie algébrique complexe.<br />La première question étudiée est de savoir si le revêtement universel d'une variété kählérienne lisse compacte avec un fibré tangent décomposé est un produit de deux variétés. A l'aide des familles couvrantes de courbes rationnelles nous montrons que certaines variétés avec un fibré tangent décomposé possèdent une structure d'espace fibré. Une étude systématique nous permet de donner une réponse affirmative à la question pour plusieurs classes de variétés.<br />La deuxième question étudiée est de savoir si la positivité d'un fibré en droites implique la positivité de l'image directe, par un morphisme projectif et plat, du fibré en droites adjoint. La réponse à cette question dépend de la positivité du fibré en droites et de ses liens avec la géométrie du morphisme considéré. Nous donnons une réponse positive à la question sous de faibles conditions géométriques.

Cette thèse traite du problème de séparation aveugle de sources non-négatives (c'est à dire des grandeurs positives ou nulles). La situation de séparation de mélanges linéaires instantanés de sources non-négatives se rencontre dans de nombreux problèmes de traitement de signal et d'images, comme la décomposition de signaux mesurés par un spectromètre (spectres de masse, spectres Raman, spectres infrarouges), la décomposition d'images (médicales, multi-spectrale ou hyperspectrales) ou encore l'estimation de l'activité d'un radionucléide. Dans ces problèmes, les grandeurs sont intrinsèquement non-négatives et cette propriété doit être préservée lors de leur estimation, car c'est elle qui donne un sens physique aux composantes estimées. La plupart des méthodes existantes de séparation de sources non-négatives requièrent de ``fortes" hypothèses sur les sources (comme l'indépendance mutuelle, la dominance locale ou encore l'additivité totale des sources), qui ne sont pas toujours vérifiées en pratique. Dans ce travail, nous proposons une nouvelle méthode de séparation de sources non-négatives fondée sur la répartition géométrique du nuage des observations. Les coefficients de mélange et les sources sont estimées en cherchant le cône simplicial d'ouverture minimale contenant le nuage des observations. Cette méthode ne nécessite pas l'indépendance mutuelle des sources, ni même leur décorrélation; elle ne requiert pas non plus la dominance locale des sources, ni leur additivité totale. Une seule condition est nécessaire et suffisante: l'orthant positif doit être l'unique cône simplicial d'ouverture minimale contenant le nuage de points des signaux sources. L'algorithme proposé est évalué avec succès dans deux situations de séparation de sources non-négatives de nature très différentes. Dans la première situation, nous effectuons la séparation de spectres de masse mesurés à la sortie d'un chromatographe liquide haute précision, afin d'identifier et quantifier les différents métabolites (petites molécules) présents dans l'urine d'un rat traité au phénobarbital. Dans la deuxième situation, nous estimons les différents compartiments pharmacocinétiques du radio-traceur FluoroDeoxyGlucose marqué au fluor 18 ([18F]-FDG) dans le cerveau d'un patient humain, à partir d'une série d'images 3D TEP de cet organe. Parmi ces pharmacocinétiques, la fonction d'entrée artérielle présente un grand intérêt pour l'évaluation de l'efficacité d'un traitement anti-cancéreux en oncologie. / This thesis addresses the problem of non-negative blind source separation (i.e. positive or zero quantities). The situation of linear instantaneous mixtures of non-negative sources occurs in many problems of signal and image processing, such as decompositions of signals measured by a spectrometer (mass spectra, Raman spectra, infrared spectra), decomposition of images (medical, multi-spectral and hyperspectral) or estimating of the activity of a radionuclide. In these problems, the sources are inherently non-negative and this property should be preserved during their estimation, in order to get physical meaning components. Most of existing non-negative blind source separation methods require ``strong" assumptions on sources (such as mutual independence, local dominance or total additivity), which are not always satisfied in practice. In this work, we propose a new geometrical method for separating non-negative sources. The mixing matrix and the sources are estimated by finding the minimum aperture simplicial cone containing the scatter plot of mixed data. The proposed method does not require the mutual independence of the sources, neither their decorrelation, nor their local dominance, or their total additivity. One condition is necessary and sufficient: the positive orthant must be the unique minimum aperture simplicial cone cone containing the scatter plot of the sources. The proposed algorithm is successfully evaluated in two different problems of non-negative sources separation. In the first situation, we perform the separation of mass spectra measured at the output of a liquid chromatograph to identify and quantify the different metabolites (small molecules) present in the urine of rats treated with phenobarbital . In the second situation, we estimate the different pharmacokinetics compartments of the radiotracer [18F]-FDG in human brain, from a set of 3D PET images of this organ, without blood sampling. Among these pharmacokinetics, arterial input function is of great interest to evaluate the effectiveness of anti-cancer treatment in oncology.

Cette thèse est consacrée à la théorie spectrale de quelques opérateurs de transport et le comportement asymptotique (pour les temps grands) des solutions des problèmes de Cauchy gouvernés par ces derniers. Dans la première partie, on s'est intéressé aux propriétés spectrales des opérateurs d'advection et de transport des neutrons dans le cadre multidimensionnel pour des conditions aux limites générales. Après avoir établi un résultat de compacité de type lemmes de moyenne indispensable dans notre analyse, on a donné entre autre une description fine du spectre asymptotique de l'opérateur de transport. Ce travail a été complété par l'étude des propriétés de régularité et le comportement asymptotique de la solution du problème de Cauchy gouverné par l'opérateur de transport étudié précédemment pour des conditions aux limites de type bounce-back plus un opérateur compact dans l'espace L^1. Ensuite, on a étudié le caractère bien posé et le comportement asymptotique de la solution d'une équation de transport des neutrons avec des sections efficaces non bornées. Contrairement à la première partie, l'analyse de ce problème nécessite l'usage d'une théorie de perturbation de Miyadera-Voigt pour les opérateurs non bornés. La dernière partie de ce travail porte sur un problème linéaire issu d'un modèle introduit en 1974 par Lebowitz et Rubinow décrivant la prolifération d'une population de cellules structuré par l'âge et la longueur du cycle. Notre analyse a porté sur le cas où la longueur du cycle maximale est infinie. / This thesis is devoted to the spectral theory and the time asymptotic behavior of the solution to Cauchy problems governed by various transport operators. In the first part, we discussed the spectral properties of streaming and transport operators in finite bodies with general boundary conditions. After establishing a compactness result essential to our analysis, we gave a fine description of the asymptotic spectrum of the transport operator. We also derive the regularity and the asymptotic behavior of the solution to Cauchy problem governed by the transport operator supplemented by bounce-back boundary conditions plus a compact operator in the space L^1. In the second part, we discussed the well-posedness and the asymptotic behavior of the solution to Cauchy problem governed by a singular transport operator. Unlike the first part, the analysis of this problem requires the use of Miyadera-Voigt perturbation theory for unbounded operators. In the last part of this work, a Cauchy problem governed by a linear operator introduced by Lebowitz and Rubinow describing a proliferating cell population structured by age and the cycle length was considered. Here our analysis was devoted to the case where the maximum cycle length is infinite.