Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Titre de l'écran-titre (visionné le 26 avril 2023) / Ce mémoire vise à étudier le calcul stochastique et certains schémas et applications numériques dans des problèmes réels. Comme nous le savons, au cours des dernières décennies, il y a eu des demandes importantes d'outils et de stratégies de calcul stochastique dans divers domaines. L'un des domaines qui en a le plus besoin est la finance mathématique, où de nombreuses quantités financières, telles que le prix des actifs, sont des variables aléatoires ; Ainsi, les mathématiques algébriques, qui traitent des variables déterministes et non aléatoires, en finance, ont été moins employées à la place dans les équations différentielles stochastiques en tant que branche des mathématiques stochastiques ont reçu une attention significative dans le domaine de la finance. Tout au long de ce travail, en recueillant quelques faits et informations auxiliaires dans la théorie des probabilités, nous étudions le mouvement brownien, qui peut être observé dans des systèmes perturbés dans divers domaines, dont l'électronique, la physique, la biologie, la gestion et l'économie. Comme l'un des principaux objectifs de ce projet , nous introduisons l'intégration par rapport au mouvement brownien et aux processus associés (processus Itô), ce qui nous permettra de définir les équations différentielles stochastiques (EDSs). / This dissertation aims to study stochastic calculus and some numerical schemes and applications in real-life problems. As we know, during the last few decades, there have been significant demands for implements and strategies of stochastic calculus in various fields. One of the fields that has the most need is mathematical finance, where many financial quantities, such as the price of as sets, are random variables; thus, algebraic mathematics, which deals with deterministic and non-random variables, in finance has been employed less and instead in stochastic differential equations as a branch of stochastic mathematics have received significant attention in the field of finance. Throughout this work, by collecting some auxiliary facts and information in the probability theory, we study the Brownian motion, which can be observed in perturbed systems in various fields, including electronics, physics, biology, management, and economics. As one of the main goals of this project, we introduce the integration with respect to the Brownian motion and the related processes (Itô processes), which will enable us to define the stochastic differential equations (SDEs).

Les problèmes d’optimisation apparaissent dans presque tous les domaines scientifiques. Cependant, le processus laborieux de conception d’un optimiseur approprié peut demeurer infructueux. La question la plus ambitieuse de l’optimisation est peut-être de savoir comment concevoir des optimiseurs suffisamment flexibles pour s’adapter à un grand nombre de scénarios, tout en atteignant des performances de pointe. Dans ce travail, nous visons donner une réponse potentielle à cette question en étudiant comment faire un méta-apprentissage d’optimiseurs à base de population. Nous motivons et décrivons une modélisation commune pour la plupart des algorithmes basés sur la population, qui présentent des principes d’adaptation générale. Cette structure permet de dériver un cadre de méta-apprentissage basé sur un processus de décision de Markov partiellement observable (POMDP). Notre formulation conceptuelle fournit une méthodologie générale pour apprendre l’algorithme d’optimisation lui-même, présenté comme un problème de méta-apprentissage ou d’apprentissage pour optimiser à l’aide d’ensembles de données d’analyse comparative en boîte noire, pour former des optimiseurs polyvalents efficaces. Nous estimons une fonction d’apprentissage de méta-perte basée sur les performances d’algorithmes stochastiques. Notre analyse expérimentale indique que cette nouvelle fonction de méta-perte encourage l’algorithme appris à être efficace et robuste à une convergence prématurée. En outre, nous montrons que notre approche peut modifier le comportement de recherche d’un algorithme pour s’adapter facilement à un nouveau contexte et être efficace par rapport aux algorithmes de pointe, tels que CMA-ES. / Optimization problems appear in almost any scientific field. However, the laborious process to design a suitable optimizer may lead to an unsuccessful outcome. Perhaps the most ambitious question in optimization is how we can design optimizers that can be flexible enough to adapt to a vast number of scenarios while at the same time reaching state-of-the-art performance. In this work, we aim to give a potential answer to this question by investigating how to metalearn population-based optimizers. We motivate and describe a common structure for most population-based algorithms, which present principles for general adaptation. This structure can derive a meta-learning framework based on a Partially observable Markov decision process (POMDP). Our conceptual formulation provides a general methodology to learn the optimizer algorithm itself, framed as a meta-learning or learning-to-optimize problem using black-box benchmarking datasets to train efficient general-purpose optimizers. We estimate a meta-loss training function based on stochastic algorithms’ performance. Our experimental analysis indicates that this new meta-loss function encourages the learned algorithm to be sample efficient and robust to premature convergence. Besides, we show that our approach can alter an algorithm’s search behavior to fit easily in a new context and be sample efficient compared to state-of-the-art algorithms, such as CMA-ES.

Que ce soit par nos yeux ou par nos mains, nous interagissons avec notre environnement par l'intermédiaire de senseurs mobiles. L'utilisation efficace de tels organes, dits « sensorimoteurs », implique de garder trace de leur position tandis que nous les bougeons. Dans le cas contraire, la stabilité perceptive et la préhension dirigée seraient profondément entravées. Cependant, les mécanismes neuronaux qui informent le système nerveux de la position de ces organes restent largement inexplorés. Deux mécanismes impliquant une information retour peuvent théoriquement être en jeu : la copie efférente et/ou le retour sensoriel. Pour évaluer leur contribution, nous avons entraîné des rats à placer une vibrisse dans une plage angulaire prédéterminée sans contact, une tâche dépendant de la connaissance qu'ils ont de la position de leur vibrisse. Nous établissons que le retour sensoriel n'est pas requis pour effectuer cette tâche. Le cortex moteur n'est pas non plus requis, même en l'absence de retour sensoriel. Enfin, nous démontrons que le noyau rouge, qui reçoit des entrées du cortex moteur, du cervelet, des afférences vibrissales, et qui projette vers les motoneurones faciaux est impliqué de façon critique dans l'exécution de cette tâche. Ces résultats démontrent l'existence d'un modèle interne, indépendant du cortex moteur et suffisant au contrôle moteur volontaire. Ils suggèrent en outre que le cervelet pourrait être impliqué en tant qu'élément efférent de ce modèle interne. / Whether through our eyes or our hands, we interact with our environment through mobile sensors. The efficient use of these organs implies to keep track of their position over time. Otherwise, perceptive stability and directed prehension would be profoundly impeded. Yet, the neural mechanisms informing the nervous system about organs' position remain largely unexplored. Two feedback mechanisms may theoretically be at play: efference copy and/or sensory feedback. To assess their contribution, we trained head-restrained rats to place their vibrissae in a predetermined angular range without contact, a task that depends on the knowledge of vibrissa position. We find that sensory feedback is not required to perform the task. The motor cortex is neither required, even in the absence of sensory feedback. Finally, we find that the red nucleus, which receives motor cortex, cerebellar and vibrissa inputs, and projects to facial motoneurons is critically involved in the execution of the task. These results demonstrate the existence of a motor cortex-independent internal model sufficient for voluntary motor control. They further suggest that the cerebellum may be involved as an efferent part of this internal model.

Introduction: Environ 20% des adultes canadiens souffrent de douleur chronique en dépit des approches pharmacologiques disponibles. Il est donc important de développer des approches thérapeutiques complémentaires en réadaptation et de comprendre les mécanismes sous-jacents au maintien de la douleur chronique. Une des hypothèses mises en avant pour expliquer le maintien de la douleur chronique stipule que la douleur serait la conséquence d’une discordance entre les efférences motrices et la rétroaction sensorielle du mouvement (définie comme un conflit sensorimoteur), tout comme la sensation de nausée dans le mal des transports est la conséquence d’une discordance entre les informations visuelles, proprioceptives et vestibulaires. Ce conflit sensorimoteur en présence de douleur pourrait s’expliquer par une altération des représentations du corps et du contrôle moteur. Des études utilisant des conflits sensorimoteurs créés expérimentalement suggèrent que les personnes souffrant de douleur chronique sont plus sensibles à la présence de conflits (qui se traduit par une augmentation de douleur et d’autres perturbations sensorielles), ce qui pourrait contribuer à un cercle vicieux d’aggravation et de maintien de la douleur. Toutefois, la raison de cette sensibilité accrue reste encore inconnue. Ainsi, l’objectif principal de cette thèse était d’évaluer les caractéristiques cliniques et sensorimotrices expliquant une plus grande vulnérabilité au conflit sensorimoteur en présence de douleur aiguë et chronique. L’hypothèse générale était qu’une plus grande malléabilité des représentations du corps en présence de douleur explique une plus grande vulnérabilité au conflit sensorimoteur. Méthode: Les conflits sensorimoteurs ont été créés grâce à un miroir (Chapitre III, N=140 participants sains ou souffrant de fibromyalgie, syndrome de douleur régionale complexe (SDRC) ou arthrite) ou à un système robotisé de type exosquelette couplé à une interface virtuelle 2D (KINARM) (Chapitre IV, N=30 participants en santé avec ou sans douleur expérimentale; Chapitre V, N=20 participants en santé). Deux types de perturbations induites par le conflit ont été mesurées: 1) les perturbations sensorielles (mesurées par questionnaire) et 2) les perturbations motrices (déviation médio-latérale et variation d’amplitude). Le KINARM a également permis d’évaluer diverses représentations du corps chez des individus avec ou sans douleur chronique (Chapitre VI : N=26 participants en santé ou ayant un SDRC). Les variables cliniques ont été mesurées par questionnaires. Résultats: Seulement certaines perturbations sensorielles induites par le conflit sensorimoteur étaient accentuées en présence de douleur chronique (Chapitre III) et aiguë (Chapitre IV), et étaient principalement associées à l’intensité de la douleur (Chapitre III). Les autres variables cliniques (origine de la pathologie, durée de la douleur, symptômes anxieux et dépressifs) expliquaient peu la plus grande vulnérabilité au conflit sensorimoteur en présence de douleur (Chapitre III). Contrairement aux perturbations sensorielles, les perturbations motrices induites par le conflit n’étaient pas influencées par la présence de douleur aiguë (Chapitre IV). De plus, un conflit entre la vision et les efférences motrices (lors de mouvements actifs) induisait des perturbations sensorielles qui étaient plus importantes qu’un conflit entre la vision et la proprioception (mouvements passifs, Chapitre V). Enfin, la kinesthésie (sens du mouvement et de la position) était altérée chez des individus ayant un SDRC comparativement à des individus en santé, mais n’était pas reliée à la perception subjective du membre douloureux (Chapitre VI). Conclusions: La présence de douleur (aiguë ou chronique) diminue le seuil de détection du conflit sensorimoteur et contribue à maintenir une situation de conflit. Ce cercle vicieux d’aggravation de la douleur s’explique davantage par une altération de la perception du corps plutôt que par un défaut d’intégration sensorimotrice, bien que la commande motrice joue un rôle dans les perturbations sensorielles induites par le conflit. Ces résultats soutiennent la théorie des multiples représentations du corps qui suggère une dissociation entre l’image du corps et le schéma corporel. Contrairement à l’image du corps qui est altérée en présence de douleur aiguë et chronique, le schéma corporel serait perturbé seulement en présence de douleur chronique. En clinique, il serait pertinent d’évaluer et d’intervenir de manière indépendante sur l’image du corps et le schéma corporel. En recherche, il sera important d’explorer quels sont les mécanismes sous-jacents expliquant une telle dissociation. / Introduction: Approximately 20% of the Canadian adults suffer from chronic pain in spite of the available pharmacological approaches. Thus, it is important to develop complementary therapeutic approaches in rehabilitation and to understand the underlying mechanisms involved in the maintenance of pain. One hypothesis that has been put forward to explain the persistence of pain postulates that pain is the consequence of a discordance between the motor efferences and the sensory feedback arising from one’s actions (defined as a sensorimotor conflict), just as the sensation of nausea in motion sickness arises from a conflict between visual, proprioceptive and vestibular information. Such sensorimotor conflicts in the presence of pain could be caused by alterations in body representations and motor control. Studies using experimental sensorimotor conflicts show that people with pain are more sensitive to the presence of conflicts (as demonstrated by an increase in painful sensations and other sensory disturbances), what could contribute to a vicious circle maintaining and aggravating pain. However, the reason why people with pain are more sensitive to sensorimotor conflicts remains unclear. Therefore, the main objective of the study was to assess the clinical and sensorimotor characteristics explaining higher sensitivity to sensorimotor conflicts in the presence of pain. The main hypothesis was that increased malleability of body representations in the presence of pain explains increased sensitivity to sensorimotor conflicts. Methods: Sensorimotor conflicts have been created using a mirror (Chapter III, N=140 participants, either healthy or with fibromyalgia, or complex regional pain syndrome (CRPS) or arthritis) or a robotic device combined with a 2D virtual reality interface (KINARM) (Chapter IV, N=30 healthy participants with or without experimental pain; Chapter V, N=20 healthy participants). Two types of disturbances were assessed: 1) sensory disturbances (measured with a questionnaire) and 2) motor disturbances (mediolateral drift and amplitude variation). The KINARM was also used to assess various body representations in participants with or without chronic pain (Chapter VI: N=26 participants, healthy or with a CRPS). Clinical outcomes were assessed with questionnaires. Results: Only some sensory disturbances induced by sensorimotor conflicts were increased in the presence of chronic (Chapter III) and acute (Chapter IV) pain, and were mainly related to pain intensity (Chapter III). The other clinical characteristics (pathology origin, duration of pain, anxious and depressive symptoms) contributed very little to the increase in sensitivity to sensorimotor conflicts in the presence of pain (Chapter III). Contrary to sensory disturbances, motor disturbances induced by sensorimotor conflicts were not influenced by the presence of acute pain (Chapter IV). Moreover, a conflict between vision and motor efferences (during active movements) induces higher sensory disturbances than a conflict between vision and proprioception (passive movements, Chapter V). Finally, kinesthesia (senses of limb position and movement) was altered in people with CRPS compared to healthy participants, but was not related to the subjective perception of the painful limb (Chapter VI). Conclusions: The presence of pain (acute or chronic) decreases the detection threshold of sensorimotor conflicts and contributes to maintain a conflict situation. This vicious circle of pain worsening is explained more by an alteration of body perception than by a perturbation in sensorimotor integration. These results support the multiple body representations theory suggesting a dissociation between the body image and the body schema. Contrary to the body image which is altered in the presence of acute and chronic pain, the body schema is altered only in the presence of chronic pain. In clinical practice, it would be relevant to assess and treat the alterations of body image and body schema separately. In research, it would be necessary to explore the underlying mechanisms of this dissociation.

Thèse ou mémoire avec insertion d'articles / Cette thèse porte sur le développement de modèles mathématiques qui permettent de prédire des métriques quantifiant la dose pour la planification de radiothérapie externe. La planification de traitement en radiothérapie externe est un processus complexe et itératif. Le planificateur spécifie des objectifs à atteindre et l'optimisation du plan de traitement est faite par ordinateur. Chaque patient ayant une anatomie propre, il peut être difficile de savoir si le plan de traitement est optimal c.à.d. où les objectifs de couverture en dose du volume cible sont remplis tout en minimisant la dose aux organes sains pour diminuer la possibilité d'effets secondaires néfastes. Afin de pallier cette problématique, plusieurs types de contrôles de qualité (CQ) en planification de traitement ont été développés. Plus précisément, le projet proposé utilise l'analyse de frontières stochastiques, une méthode mathématique conçue pour l'économétrie, afin de déterminer la dose minimale atteignable aux organes à risque. La planification de traitement en radiothérapie externe, les techniques utilisées ainsi que les principaux défis sont d'abord présentés dans le cadre de cette thèse. Une revue des principaux types de contrôles de qualité des plans de traitement est par la suite présentée afin de mettre en contexte le projet doctoral. Les principaux principes mathématiques employés tels que l'analyse de frontières stochastiques et la gestion de données manquantes sont par la suite abordés. Finalement, l'analyse de frontières stochastiques appliquée à la prédiction de paramètres dosimétriques en planification de traitement est présentée. Son approche fréquentiste est utilisée pour la prédiction dosimétrique pour le rectum et la vessie pour le cancer de la prostate traité par VMAT. Sept paramètres géométriques ont été extraits afin de caractériser la relation entre les organes à risque et le volume cible. Au total, 37 paramètres dosimétriques ont été prédits pour les deux organes à risque. Le modèle développé a été testé sur une cohorte de 30 patients avec une dose de prescription de 60-70 Gy où 77% (23 sur 30) des DVH prédits pour le rectum et la vessie présentent une déviation de 5% ou moins avec le DVH planifié. De plus, l'analyse de frontières stochastiques bayésienne, en plus d'un modèle de gestion de données manquantes, sont utilisés pour la prédiction dosimétrique de six organes à risque pour le cancer du poumon traité par SBRT. Au total, 16 indices dosimétriques ont été prédits pour l'arbre bronchique principal, le cœur, l'œsophage, le PRV de la moelle, les vaisseaux ainsi que la paroi thoracique. Le modèle prédictif est testé sur une cohorte de 50 patients. La différence moyenne entre la dose prédite et planifiée pour le se situe à 1.5 ± 1.9 Gy et 4.9 ± 5.3 Gy pour le D0.35cc du PRV de la moelle et le D0.035cc de l'arbre bronchique principal respectivement. L'analyse de frontières stochastiques est ainsi démontrée comme une solide base pour un CQ en planification de traitement en radiothérapie externe. / This thesis is on the development of mathematical models predicting dosimetric metrics for treatment planning in external beam radiation therapy (EBRT). EBRT treatment planning is complex and iterative. Planner sets plan objectives to attain during the computerized plan optimization process. Because of specific patient anatomical variation, it is difficult to determine if a plan is optimal regarding the target coverage and the sparing of the organs-at-risk. Several quality control such as knowledge-based planning and multicriteria optimization were developed in order to address this problematic. This thesis focus on the use of an econometric method, Stochastic Frontier Analysis, to predict minimum achievable dose to organs-at-risk for several treatment sites. EBRT treatment planning, techniques and challenges are first discussed. A review of the most common quality controls is made in order to assess the importance of the project presented in this thesis. Mathematical considerations such as the theoretical foundation of stochastic frontier analysis and missing data management are also discussed. Stochastic frontier analysis is used to develop predictive models of dose distribution in treatment planning. Frequentist stochastic frontier analysis is used to predict dosimetric metrics for the rectum and the bladder for prostate cancer treated by VMAT. Seven geometric parameters are extracted to characterize the relationship between the organs-at-risk with the planning volume. In total, 37 dosimetric parameters are tested. The developped model is tested using validation cohort (30 patients with prescribed dose between 60 and 70 Gy) where 77% (23 out of 30) of the predicted DVHs present a 5% or less dose deterioration with the planned DVH. Bayesian stochastic frontier analysis with a missing data management is then presented for the prediction of dosimetric parameters for 6 organs-at-risk for lung cancer treated by SBRT. 16 DVH metrics were predicted for the main bronchus, heart, esophagus, spinal cord PRV, great vessels and chest wall. The predictive model is tested on a test group of 50 patients. The mean difference between the observed and predicted values ranges between 1.5 ± 1.9 Gy and 4.9 ± 5.3 Gy for the spinal cord PRV D0.35cc and the main bronchus D0.035cc respectively. Stochastic frontier analysis is considered to be a new and valid method used in order to develop a quality control for EBRT treatment planning.

Dans la premiere partie de cette these, nous donnons un point de vue financier sur l'etude des taux d'interet long terme. En finance, les modeles classiques de taux ne s'appliquent plus pour des maturites longues (15 ans et plus). Nous montrons que les techniques de maximisation d'utilite esperee permettent de retrouver la regle de Ramsey (qui relie la courbe des taux a l'utilite marginale de la consommation optimale). En marche incomplet, il est possible de montrer un analogue de la regle de Ramsey et nous examinons la maniere dont la courbe des taux est modifiee. Ensuite nous considerons le cas ou il y a une incertitude sur un parametre du modele, puis nous etendons ces resultats au cas ou les fonctions d'utilites sont stochastiques. D'autre part nous proposons dans cette these une nouvelle maniere d'apprehender la consommation, comme des provisions que l'investisseur met de cote pour les utiliser en cas d'un evenement de defaut. Alors le probleme de maximisationn de l'utilite esperee de la richesse et de la consommation peut etre vu comme un probleme de maximisation de l'utilite esperee de la richesse terminale avec un horizon aleatoire. La deuxieme partie de cette these concerne l'analyse stochastique des processus ponctuels determinantaux. Les processus determinantaux et permanentaux sont des processus ponctuels dont les fonctions de correlations sont donnees par un determinant ou un permanent. Les points de ces processus ont respectivement un comportement de repulsion ou d'attraction: ils sont tres loin de la situation d'absence de correlation rencontree pour les processus de Poisson. Nous etablissons un resultat de quasi-invariance: nous montrons que si nous perturbons les point le long d'un champ de vecteurs, le processus qui en resulte est toujours un determinantal, dont la loi est absolument continue par rapport a la distribution d'origine. En se basant sur cette formule et en suivant l'approche de Bismut du calcul de Malliavin, nous donnons ensuite une formule d'integration par parties.

Cette thèse est consacrée à la théorie des fluctuations des processus de Lévy, discipline qui consiste à observer les trajectoires en se focalisant plus précisément sur les extrema locaux et globaux. L'outil central pour cela est la factorisation de Wiener-Hopf qui relie l'exposant du processus de Lévy aux exposants des deux fameux subordinateurs d'échelles (le premier décrit les maxima, le second les minima). Nous ``titillons'' la factorisation de \wh\ en l'inversant par Fourier et en exploitant son prolongement analytique. Cela nous permet de redémontrer divers résultats classiques (Théorèmes de Rogozin, de Bertoin, de Kesten-Erickson, loi forte des grands nombres) avec une méthode analytique simple. Par ce même chemin, nous aboutissons à un critère de ``reptation" basé uniquement sur la mesure de Lévy. Ce critère permet de reconnaitre les processus de Lévy qui, avec une probabilité non nulle, traverse chaque altitude continuement. Ce résultat répond à une question restée ouverte pendant près de 30 ans. Nous obtenons également un critère de reptation basé sur les lois marginales, un critère d'existence des points de croissance pour un processus rampant vers le haut et une condition pour que des exposants de subordinateurs apparaissent dans une factorisation de \wh. L'étude du subordinateur d'échelle bivarié nous renseigne sur le processus des suprema $S_t=\sup\{ X_s : s\leq t\}$ (où $X$ désigne notre processus de Lévy). Nous montrons que, moyennant la finitude d'un moment exponentiel, la loi de $S$ caractérise celle de $X$. Quand $X$ est à variation infinie, nous voyons que la limite inférieure de $\frac{S_t}{t}$, quand $t$ tend vers $0$ ou $+\infty$, vaut soit $0$ soit $+\infty$. Enfin, nous caractérisons des cas où $S$ est continu par morceau. Dans la dernière partie de cette thèse, nous étudions le relief des trajectoires, qualifiant d'abruptes celles qui ont des dérivées infinies à gauche et à droite des extrema locaux. Nous donnons une caractérisation des processus abrupts et étudions les dérivées de Dini le long de leurs trajectoires.

Dans une première partie, on étudie quelques problèmes d'arrêt optimal de la forme <br /> <br /> $sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[g(V_{\tau})\right] \hbox{~ou}~<br /> sup_{\tau\in \Delta, \tau\geq 0} \esp_v\left[e^{-r\tau}\bar{g}(V_{\tau})\right],$<br /> où $V$ est un processus stochastique, $g$ et $\bar{g}$ deux fonctions boréliennes, $r>0$ et $\Delta$ est l'ensemble des $\F^V$-temps d'arrêt ($\F_.^V$ étant la filtration engendrée par le processus $V$). <br /> L'étude de ces problèmes est motivée par les applications dans plusieurs domaines comme la finance, l'économie ou la médecine.<br /> <br />La première partie est une mise en évidence du fait que le plus petit temps d'arrêt optimal est parfois un temps d'atteinte. C'est pourquoi, dans la deuxième partie de la thèse, on s'intéresse à la loi d'un temps d'atteinte d'un processus de Lévy à sauts ainsi qu'à quelques applications à la finance, plus précisément lors du calcul de l'intensité de ce temps d'arrêt associée à une certaine filtration $\F$. Deux cas sont présentés : quand le temps d'arrêt est un $\F$-temps d'arrêt et quand il ne l'est pas.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.