This study investigates to what extent educators’ pedagogical content knowledge affects learners’ achievement in quadratic functions. The components of pedagogical content knowledge (PCK) examined are: (i) mathematical content knowledge (MCK), (ii) knowledge of learners’ conceptions, and misconceptions, and (iii) knowledge of strategies. The participants were seventeen mathematics educators and ten learners from each educator’s class. The sample of educators was a convenient sample, while the sample of learners was selected by means of random sampling. A mixed method design was used to execute the study. Data about educators’ MCK, and knowledge of learners’ misconceptions were collected by means of a questionnaire. An interview was used to gather data about educators’ knowledge of strategies. Data on learners’ achievements and misconceptions was collected by means of a questionnaire. Descriptive statistics were used to describe the effect of each component of the educators’ PCK on learners’ achievements. The result indicates that the achievement of learners who are taught by educators who have strong PCK is higher than the achievement of learners who are taught by educators who have weak PCK. / Mathematical Sciences / M. Ed. (Mathematics Education)

iii ABSTRACT The study focused on two competent, qualified, experienced secondary Mathematics teachers working in contrasting South African school contexts (fee-paying and no fee schools). The study investigated: on how teachers chose and used examples and how they explained their choices and usage; and what considerations were in play when these teachers chose and used examples. These teachers were purposely selected because we can learn more from their experiences as Mathematics teachers especially when they teach quadratic functions. Quadratic functions were used as unit of analysis to illuminate their choice and use of examples.

Este projeto foi desenvolvido com os alunos do 3° ano do Ensino Médio de uma Cooperativa educacional do interior do estado de São Paulo, com o objetivo de verificar as contribuições de atividades de otimização de funções quadráticas, utilizando o software Geogebra para a observação das variações dos parâmetros da função em questão. A metodologia utilizada foi a da pesquisa qualitativa e os dados foram coletados através da observação do pesquisador e de registros escritos produzidos pelos alunos, direcionados por perguntas previamente elaboradas pelo pesquisador. Os resultados indicam que, de maneira geral, a tecnologia da informação, por se tratar de algo presente no cotidiano dos alunos e por permitir uma melhor visualização do gráfico associado à resolução da situação problema, é uma ferramenta que permite uma melhora no desenvolvimento de conteúdos matemáticos. A pesquisa indicou também que o fato da atividade estar organizada por um tutorial do Geogebra, previamente elaborado pelo pesquisador, não possibilitou a livre exploração do software pelos alunos, etapa importante para a compreensão dos alunos e maior interação destes com o mesmo. / This project was developed with students from the 3rd grade of high school of an educational Cooperative in the countryside of the state of São Paulo, with the aim of verifying the contributions of quadratic functions optimization activities using Geogebra software to observe the variations of the parameters of the function in question. The methodology used was the qualitative research and the data were collected through observation of the researcher and written records produced by students, directed by questions previously prepared by the researcher. The results indicate that, in general, information technology, because it is something present in the daily lives of students and to enable better visualization of the graph associated with the resolution of the problem situation, is a tool that allows an improvement in mathematic content development. The survey also indicated that the fact that the activity had been organized by a tutorial Geogebra, previously developed by the researcher, did not allow the free operation of the software by the students, an important step toward the students understanding and increased their interaction with it.

Submitted by ANA CRISTINA DE SOUZA MARIN null (crismarinn5@gmail.com) on 2018-01-08T14:49:35Z No. of bitstreams: 1 Dissertação Final - ANA CRISTINA DE SOUZA MARIN.pdf: 6032728 bytes, checksum: b50a3b8d3d2ccb2cecf43815c8cced82 (MD5) / Approved for entry into archive by Telma Jaqueline Dias Silveira null (telmasbl@marilia.unesp.br) on 2018-01-08T15:39:01Z (GMT) No. of bitstreams: 1 marin_acs_me_mar.pdf: 6032728 bytes, checksum: b50a3b8d3d2ccb2cecf43815c8cced82 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-01-08T15:39:01Z (GMT). No. of bitstreams: 1 marin_acs_me_mar.pdf: 6032728 bytes, checksum: b50a3b8d3d2ccb2cecf43815c8cced82 (MD5) Previous issue date: 2017-12-13 / Não recebi financiamento / O presente trabalho versou sobre questões relacionadas à Didática da Matemática e analisou como o software matemático Winplot pode ser utilizado como estratégia potencializadora dos processos de ensino e aprendizagem. Os objetivos foram compreender se e como os softwares matemáticos podem auxiliar nos processos de ensino e aprendizagem, investigando a importância da utilização dos mesmos como facilitadores dos processos de ensino e aprendizagem da matemática, bem como verificar como a aplicação foi vista perante aos alunos enquanto recurso pedagógico alternativo para o ensino da matemática. Partimos do pressuposto de que é imprescindível o preparo dos docentes para utilizar tais ferramentas, assim como planejar suas aulas, elaborar estratégias interessantes e executar ações com recursos didáticos adequados para que se alcancem os objetivos almejados sempre dentro de um contexto alinhado com o Projeto Pedagógico da instituição. O interesse pelo tema surgiu a partir da observação das dificuldades encontradas pelos professores quanto ao ensino da matemática no tocante à articulação entre a teoria e prática, tanto a prática social global pertinente à vida social do homem, quanto a prática em sala de aula relacionada aos conteúdos matemáticos, por meio de softwares educacionais, em especial ao Winplot. A escolha pelo software Winplot justificou-se pelo fato de ser considerada uma ferramenta potencializadora dos processos de ensino e aprendizagem na matemática, uma vez que propicia aos professores um recurso tecnológico no preparo das aulas e atividades como forma de aprimoramento metodológico. Para atender a este objetivo, a presente pesquisa teve como sujeitos os alunos do 1º ano do Ensino Médio de escola pública juntamente com a professora que leciona a disciplina em questão. A pesquisa foi desenvolvida segundo a abordagem qualitativa do tipo pesquisa-ação cooperativa. Teve como resultados a conclusão de que uma aula para ter uma aprendizagem significativa, sendo pautada na Teoria Histórico-Cultural, deve conter elementos para torná-la colaborativa entre os alunos, sendo fundamental a presença do professor mediador, mas deixando os estudantes serem protagonistas dos próprios conhecimentos. O professor tem a responsabilidade de conduzir o processo de forma tal que os alunos tenham condições de atribuir sentido e significado aos conteúdos trabalhados. Os resultados indicam que houve um aumento no interesse dos alunos pelas aulas, comprovando que o uso de tecnologias no ensino da Matemática proporciona melhoria da compreensão dos conceitos e conteúdos matemáticos. Todavia, destaca-se a necessidade de um melhor preparo dos professores no tocante à utilização do recurso tecnológico, bem como de se oferecer melhores condições de trabalho a eles, para que assim os mesmos possam ter condições de planejar uma aula diferenciada, embasada em teorias consistentes como a Teoria Histórico-Cultural, na qual os alunos possam ser efetivamente os protagonistas da ação pedagógica, participando de forma ativa no processo educacional. / The present work dealt with questions related to Mathematics Didactics and analyzed how Winplot mathematical software can be used as a potential strategy for teaching and learning processes. The objectives were to understand if and how mathematical software can aid in teaching and learning processes, investigating the importance of using them as facilitators of the teaching and learning processes of mathematics, as well as verify how the application was seen before the students as a resource an alternative pedagogy for the teaching of mathematics. We assume that it is essential to prepare teachers to use such tools, as well as to plan their classes, to devise interesting strategies and to execute actions with adequate didactic resources so that the objectives always achieved within a context aligned with the Pedagogical Project of the institution. The interest in the subject arose from the observation of the difficulties encountered by the teachers regarding the teaching of mathematics in relation to the theory and practice, both the global social practice pertinent to the social life of the man, and the practice in the classroom related to the mathematical content, through educational software, especially to Winplot. The choice of Winplot software was justified by the fact that it is considered a potential tool for teaching and learning processes in mathematics, since it provides teachers with a technological resource in the preparation of classes and activities as a methodological improvement. In order to meet this objective, the present research had as subjects the students of the 1st year of high school public school together with the teacher who teaches the discipline in question. The research was developed according to the qualitative approach of the cooperative research-action type. The conclusion was that a lesson to have a meaningful learning, based on the Historical-Cultural Theory, should contain elements to make it collaborative among the students, being fundamental the presence of the mediating teacher, but leaving the students to be protagonists of the own knowledge. The teacher has the responsibility to conduct the process in such a way that the students are able to give meaning and meaning to the contents worked. The results indicate that there has been an increase in students' interest in classes, proving that the use of technologies in teaching mathematics improves the understanding of mathematical concepts and contents. However, there is a need for teachers to better prepare for the use of technological resources, as well as to offer better working conditions to teachers, so that they may be able to plan a differentiated class based on theories consistent as the Historical-Cultural Theory, in which students can be effectively the protagonists of the pedagogical action, participating actively in the educational process.

When it comes to teaching linear and quadratic functions, we observed that the Mathematics teachers, guided by current textbooks, explore the construction of graphs by connecting points on the Cartesian plane. This method, while valid, does not guarantee an outline safe and does not imply the observation of important properties of these functions. With this in mind, this study aims to verify the efficiency of a screenplay produced in a explanatory and methodological booklet form. This script is a practical and efficient way to plot the graphs of polynomial functions of the 1st and 2nd grade using simple materials and essentials such as paper and pencil, and also a digital resource, the software GeoGebra. To check the efficiency of this route, we take a student group composed of individuals who attend high school in public schools and participant the Institutional Program for Scientific Initiation Scholarships Junior (PIBIC-Jr). The methodology consisted of questionnaires - before, during and after - the teaching intervention: lecture, referring to related functions and quadratic functions, highlighting the construction of their graphs, and use of a printed script, developed in the form of a explanatory booklet which worked the construction of graphs, using the principle of graph paper and pencil, and at another time, a dynamic geometry software. Using this software, and making a sketch of faster graphics, it became understandable graphical changes incurred when changing the coefficients of the functions. As a theoretical framework for the research exposed in this work, we rely on the contribution of the Theory of Didactic Situations, Guy Brousseau (2008), and representative forms of a function in the view of Raymond Duval (2009), in his Theory of Representation Registers Semiotics. The ten students participating in the study, seven had a breakthrough in the development of the trace graph of functions considered and understanding of their properties. Thus, one comes to the conclusion that it is possible to study and observe the properties of linear and quadratic functions taking into account specific issues pertaining to its graphics, both on paper and, especially, on the computer. / Quando se trata do ensino de funções afim e quadrática, observamos que os professores de Matemática, orientados pelos livros didáticos atuais, exploram a construção de gráficos mediante a ligação de pontos no plano cartesiano. Este método, embora seja válido, não garante um esboço seguro e não favorece a observação de propriedades importantes das referidas funções. Pensando nisto, este trabalho objetiva verificar a eficiência de um roteiro produzido em forma de cartilha explicativa e metodológica. Neste roteiro encontra-se uma maneira prática e eficiente para traçar os gráficos de funções polinomiais do 1º e 2º graus fazendo uso de materiais simples e indispensáveis, como o papel e o lápis, e também de um recurso digital, o software GeoGebra. Para verificar a eficiência deste roteiro, tomamos um grupo de alunos composto por indivíduos que cursam o Ensino Médio em escolas públicas e que participam do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica Junior (PIBIC-Jr). A metodologia adotada consistiu na aplicação de questionários - antes, durante e depois – de nossa intervenção de ensino: aulas expositivas, referente às funções afins e funções quadráticas, destacando a construção de seus gráficos; e uso do roteiro impresso que trabalhou a construção dos gráficos, fazendo uso, a princípio, de lápis e papel quadriculado e, em outro momento, de um software de geometria dinâmica. A utilização deste software, além de tornar o esboço de gráficos mais rápidos, tornou compreensíveis as modificações gráficas sofridas quando muda os coeficientes das funções. Como fundamentação teórica para a pesquisa exposta neste trabalho, contamos com a contribuição da Teoria das Situações Didáticas, de Guy Brousseau (2008), e das formas representativas de uma função na visão de Raymond Duval (2009), na sua Teoria de Registros de Representação Semiótica. Dos dez alunos participantes na pesquisa, sete apresentaram um avanço no desenvolvimento do traçado gráfico das funções consideradas e na compreensão das suas propriedades. Desta maneira, chega-se à conclusão de que é possível estudar e observar as propriedades das funções afim e quadrática levando em consideração pontos específicos pertencentes a seus gráficos, tanto no papel quanto, e especialmente, no computador.

This study investigates to what extent educators’ pedagogical content knowledge affects learners’ achievement in quadratic functions. The components of pedagogical content knowledge (PCK) examined are: (i) mathematical content knowledge (MCK), (ii) knowledge of learners’ conceptions, and misconceptions, and (iii) knowledge of strategies. The participants were seventeen mathematics educators and ten learners from each educator’s class. The sample of educators was a convenient sample, while the sample of learners was selected by means of random sampling. A mixed method design was used to execute the study. Data about educators’ MCK, and knowledge of learners’ misconceptions were collected by means of a questionnaire. An interview was used to gather data about educators’ knowledge of strategies. Data on learners’ achievements and misconceptions was collected by means of a questionnaire. Descriptive statistics were used to describe the effect of each component of the educators’ PCK on learners’ achievements. The result indicates that the achievement of learners who are taught by educators who have strong PCK is higher than the achievement of learners who are taught by educators who have weak PCK. / Mathematical Sciences / M. Ed. (Mathematics Education)

Submitted by ANA KARLA PEREIRA RODRIGUES (anakarla_@hotmail.com) on 2017-09-05T16:23:50Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 5447841 bytes, checksum: a0295648faf5705131303671d36247c5 (MD5) / Approved for entry into archive by ANA KARLA PEREIRA RODRIGUES (anakarla_@hotmail.com) on 2017-09-05T16:39:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 5447841 bytes, checksum: a0295648faf5705131303671d36247c5 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-05T16:39:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 5447841 bytes, checksum: a0295648faf5705131303671d36247c5 (MD5) Previous issue date: 2015-08-20 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work presents one proposal that allows High School teachers and students a historical study of the construction of Conics, developed by Apollonius of Perga, the Mathematician and Astronomer that contributed immensely with the definitions we study nowadays in Mathematics. In a second moment, with Conics well defined by Pierre Fermat, the goal of the work is to address the content of Analytical Geometry as taught in the initial school years and Calculus courses. In a third moment, the approach is done through the study of Quadratic Functions, using a review of the content taught in Sophomore year of High School. / Este trabalho apresenta uma proposta de abordagem que permite tanto ao professor quanto ao aluno do ensino médio um estudo histórico da construção das Cônicas desenvolvidas pelo Matemático e Astrónomo Apolônio de Perga que contribuiu imensamente com as definições hoje estudadas na Matemática. No segundo momento, já bem mais definidas as Cônicas por Pierre Fermat o estudo tem como objetivo abordar o conteúdo da Geometria Analítica como é ensinado nas séries básicas e nas disciplinas de Cálculo. No terceiro momento, a abordagem é feita através do estudo das Funções Quadráticas, uma revisão da primeira série do Ensino Médio.

nÃo hà / A temÃtica em questÃo veio à tona em decorrÃncia da dificuldade apresentada pelos alunos no aprendizado das funÃÃes quadrÃticas e tambÃm considerando o crescente avanÃo da tecnologia, em que percebemos a necessidade de uma maior inserÃÃo de recursos tecnolÃgicos, tais como o software geogebra, no processo de aprendizagem deste conteÃdo. Diante disso, podemos evidenciar o problema desta pesquisa por meio da seguinte questÃo: de que forma o uso do software geogebra pode contribuir com a aprendizagem dos conceitos relacionados ao conteÃdo de funÃÃes quadrÃticas? Com base nesta problemÃtica e fundamentando-se na teoria sociointeracionista de Vygotsky, e nas suas concepÃÃes sobre mediaÃÃo, no processo de internalizaÃÃo, na zona de desenvolvimento proximal e na formaÃÃo de conceitos, esta pesquisa tem como objetivo geral analisar o uso do software geogebra, como instrumento pedagÃgico inserido num processo de aprendizagem com a mediaÃÃo, e suas contribuiÃÃes para a construÃÃo dos conceitos relacionados ao conteÃdo de funÃÃes quadrÃticas. A metodologia deste trabalho conta com mÃtodo qualitativo de pesquisa, do tipo exploratÃria, tomando-se elementos de uma pesquisa participante, uma vez que foi realizada uma intervenÃÃo metodolÃgica com fins de analisar a utilizaÃÃo do software geogebra como instrumento de mediaÃÃo na aprendizagem das funÃÃes quadrÃticas. Os sujeitos da pesquisa sÃo alunos da 1. sÃrie do ensino mÃdio de uma escola pÃblica do municÃpio de MassapÃ-Ce. Os instrumentos para a coleta de dados se constituÃram em diÃrio de campo, questionÃrios de identificaÃÃo de aprendizagens e teste de sondagem de conhecimentos. Com base na anÃlise dos dados coletados ao longo da pesquisa de campo percebeu-se que a aprendizagem das funÃÃes quadrÃticas com a mediaÃÃo do software geogebra e do professor, se apresentou satisfatÃria principalmente no que se refere ao estudo das suas representaÃÃes grÃficas. / The issue in question came to light due to the difficulty presented by the students in learning the quadratic functions and also considering the growing advance of technology, in which we perceive the necessity of a greater insertion of technological resources, such as geogebra software, in the process of learning this content. In view of this, we can highlight the problem of this research by means of the following question: how can the use of geogebra software contribute to the learning of concepts related to the content of quadratic functions? Based on this problem and based on the socio-interactionist theory of Vygotsky, and its conceptions about mediation, the process of internalization, the zone of proximal development and the formation of concepts, this research has as general objective to analyze the use of software geogebra, as an educational tool inserted in a learning process with mediation, and its contributions to the construction of concepts related to the content of quadratic functions. The methodology of this work has a qualitative method of research, of the exploratory type, being taken elements of a participant research, once a methodological intervention was carried out with the purpose of analyzing the use of the software geogebra as instrument of mediation in the learning of quadratic functions . The subjects of the research are students of the 1st grade of high school in a public school in the municipality of MassapÃ-Ce. The instruments for data collection consisted of field diaries, questionnaires to identify learning and test of knowledge probing. Based on the analysis of the data collected during the field research, it was noticed that the learning of the quadratic functions with the mediation of the software geogebra and the teacher, was satisfactory mainly with regard to the study of their graphic representations.

Este projeto foi desenvolvido com os alunos do 3° ano do Ensino Médio de uma Cooperativa educacional do interior do estado de São Paulo, com o objetivo de verificar as contribuições de atividades de otimização de funções quadráticas, utilizando o software Geogebra para a observação das variações dos parâmetros da função em questão. A metodologia utilizada foi a da pesquisa qualitativa e os dados foram coletados através da observação do pesquisador e de registros escritos produzidos pelos alunos, direcionados por perguntas previamente elaboradas pelo pesquisador. Os resultados indicam que, de maneira geral, a tecnologia da informação, por se tratar de algo presente no cotidiano dos alunos e por permitir uma melhor visualização do gráfico associado à resolução da situação problema, é uma ferramenta que permite uma melhora no desenvolvimento de conteúdos matemáticos. A pesquisa indicou também que o fato da atividade estar organizada por um tutorial do Geogebra, previamente elaborado pelo pesquisador, não possibilitou a livre exploração do software pelos alunos, etapa importante para a compreensão dos alunos e maior interação destes com o mesmo. / This project was developed with students from the 3rd grade of high school of an educational Cooperative in the countryside of the state of São Paulo, with the aim of verifying the contributions of quadratic functions optimization activities using Geogebra software to observe the variations of the parameters of the function in question. The methodology used was the qualitative research and the data were collected through observation of the researcher and written records produced by students, directed by questions previously prepared by the researcher. The results indicate that, in general, information technology, because it is something present in the daily lives of students and to enable better visualization of the graph associated with the resolution of the problem situation, is a tool that allows an improvement in mathematic content development. The survey also indicated that the fact that the activity had been organized by a tutorial Geogebra, previously developed by the researcher, did not allow the free operation of the software by the students, an important step toward the students understanding and increased their interaction with it.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-07-25T12:30:08Z No. of bitstreams: 1 cristianemouradasilvabronsatocanella.pdf: 3616926 bytes, checksum: 56d40ead5f29f375d5ec1d6d47c6db80 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-07-25T16:34:02Z (GMT) No. of bitstreams: 1 cristianemouradasilvabronsatocanella.pdf: 3616926 bytes, checksum: 56d40ead5f29f375d5ec1d6d47c6db80 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-07-25T16:34:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 cristianemouradasilvabronsatocanella.pdf: 3616926 bytes, checksum: 56d40ead5f29f375d5ec1d6d47c6db80 (MD5) Previous issue date: 2016-06-27 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este trabalho sobre funções quadráticas, destina-se a colaborar de forma contextualizada, com o estudo da função quadrática, desde sua parte histórica, passando pela equação quadrática, inequações quadráticas, sua representação gráfica, sua caracterização, contextualização através de problemas, resgatando a construção da parábola com régua e compasso e de forma atual, utilizando o GeoGebra. Mostramos também a utilização da propriedade refletora da parábola em diversas situações, bem como uma explicação geométrica para o fato. Espera-se que seja um instrumento colaborativo na construção do conhecimento e que seja principalmente, de fácil entendimento. / This work about quadratic functions is intended to collaborate in context with the study of the quadratic function from its historical part, passing by quadratic equation, quadratic inequalities, its graphic representation, its characterization, contextualization through problems, rescuing construction the parabola with ruler and compass, and current form using GeoGebra. Also we show the use of the reflective parabola property in several situations, as well as, a geometric explanation for the fact. It is expected to be a collaborative tool in the construction of knowledge and it is especially easy to understand.