L'analyse des risques est devenu un enjeu majeur dans notre société. Quels que soient les champs d'application dans lesquels une situation à risque peut survenir, les mathématiques et plus particulièrement les statistiques et les probabilités se révèlent être des outils essentiels. L'objet principal de cette thèse est de développer des indicateurs de risque pertinents et d'étudier les propriétés extrémales de processus intervenant dans deux domaines d'applications : en risque alimentaire et en assurance. La théorie du risque se situe entre l'analyse des valeurs extrêmes et la théorie des variables aléatoires à variations régulières ou à queues lourdes. Dans le premier chapitre, on définit les éléments clefs de la théorie du risque ainsi que la notion de variation régulière et on introduit différents modèles liés au risque alimentaire qui seront étudiés dans les chapitres 2 et 3. Le chapitre 2 présente les travaux effectués avec Olivier Wintenberger. Pour des classes de processus stochastiques, sous des hypothèses de variations régulières, on développe une méthode qui permet d'obtenir des équivalents asymptotiques en horizon fini d'indicateurs de risque en assurance et en risque alimentaire tels que la probabilité de ruine, le "temps passé au dessus d'un seuil" ou encore la "sévérité de la ruine". Le chapitre 3 se concentre sur des modèles en risque alimentaire. Précisément, on étudie les propriétés extrémales de différentes généralisations d'un processus d'exposition à un contaminant nommé KDEM pour Kinetic Dietary Exposure Model proposé par Patrice Bertail et ses co-auteurs en 2008. Sous des hypothèses de variations régulières, on propose des équivalents asymptotiques du comportement de queue et de l'indice extrémal du processus d'exposition. Enfin, le chapitre 4 passe en revue différentes techniques statistiques particulièrement adaptées à l'étude du comportement extrémal de certains processus de Markov. Grâce à des propriétés de régénérations, il est possible de découper le chemin des observations en blocs indépendants et identiquement distribués et de n'étudier ainsi que le processus sur un bloc. Ces techniques s'appliquent même si la chaîne de Markov n'est pas atomique. On se concentre ici sur l'estimation de l'indice de queue et de l'indice extrémal. On illustre la performance de ces techniques en les appliquant sur deux modèles - en assurance et en finance - dont on connaît les résultats théoriques / Risk analyses play a leading role within fields such as dietary risk, hydrology, nuclear security, finance and insurance and is more and more present in theapplications of various probability tools and statistical methods. We see a significant impact on the scientific literature and on public institutions in the past years. Risk theory, which is really close to extreme value analysis, typically deals with the occurrences of rare events which are functions of heavy-tailed random variables, for example, sums or products of regularly varying random variables. The purpose of this thesis is the following : to develop revelant risk indicators and to study the extremal properties of stochastic processes used in dietary risk assessment and in insurance. In Chapter 1, we present the main tools used in risk theory and the notion of regular variation and introduce different models involved in dietary risk assessment, which will be specifically studied in Chapters 2 and 3. Chapter 2 presents a joint work with Olivier Wintenberger. For a particular class of stochastic processes, under the assumption of regular variation, we propose a method that gives way to asymptotic equivalents on a finite-time horizon of risk indicators such as the ruin probability, the Expected Time over a Threshold or the Expected Severity of the ruin. Chapter 3 focuses on dietary risk models. To be precise, we study the extremal properties of an extension of a model called KDEM for Kinetic Dietary Exposure Model introduced by Patrice Bertail and his co-authors in 2008. Under the assumption of regular variation, we provide asymptotic equivalents for the tail behavior and the extremal index of the exposure process. In Chapter 4, we review different statistical tools specifically tailored for the study of the extremal behavior of Markov processes. Thanks to regeneration properties, we can split the path of observations into blocks which are independent and identically distributed. This technic still works even if the Markov chain is not atomic. We focus here on the estimation of the tail index and the extremal index. We illustrate the performance of these technics applying them on two models in insurance and finance for which we know the theoritical results.

De nos jours, beaucoup de données peuvent être facilement accessibles. Mais toutes ces données ne sont pas utiles si nous ne savons pas les traiter efficacement et si nous ne savons pas extraire facilement les informations pertinentes à partir d'une grande quantité de données. Les techniques de détection d'anomalies sont utilisées par de nombreux domaines afin de traiter automatiquement les données. Les techniques de détection d'anomalies dépendent du domaine d'application, des données utilisées ainsi que du type d'anomalie à détecter.Pour cette étude nous nous intéressons seulement aux données séquentielles. Une séquence est une liste ordonnée d'objets. Pour de nombreux domaines, il est important de pouvoir identifier les irrégularités contenues dans des données séquentielles comme par exemple les séquences ADN, les commandes d'utilisateur, les transactions bancaires etc.Cette thèse présente une nouvelle approche qui identifie et analyse les irrégularités de données séquentielles. Cette technique de détection d'anomalies peut détecter les anomalies de données séquentielles dont l'ordre des objets dans les séquences est important ainsi que la position des objets dans les séquences. Les séquences sont définies comme anormales si une séquence est presque identique à une séquence qui est fréquente (normale). Les séquences anormales sont donc les séquences qui diffèrent légèrement des séquences qui sont fréquentes dans la base de données.Dans cette thèse nous avons appliqué cette technique à la surveillance maritime, mais cette technique peut être utilisée pour tous les domaines utilisant des données séquentielles. Pour notre application, la surveillance maritime, nous avons utilisé cette technique afin d'identifier les conteneurs suspects. En effet, de nos jours 90% du commerce mondial est transporté par conteneurs maritimes mais seulement 1 à 2% des conteneurs peuvent être physiquement contrôlés. Ce faible pourcentage est dû à un coût financier très élevé et au besoin trop important de ressources humaines pour le contrôle physique des conteneurs. De plus, le nombre de conteneurs voyageant par jours dans le monde ne cesse d'augmenter, il est donc nécessaire de développer des outils automatiques afin d'orienter le contrôle fait par les douanes afin d'éviter les activités illégales comme les fraudes, les quotas, les produits illégaux, ainsi que les trafics d'armes et de drogues. Pour identifier les conteneurs suspects nous comparons les trajets des conteneurs de notre base de données avec les trajets des conteneurs dits normaux. Les trajets normaux sont les trajets qui sont fréquents dans notre base de données.Notre technique est divisée en deux parties. La première partie consiste à détecter les séquences qui sont fréquentes dans la base de données. La seconde partie identifie les séquences de la base de données qui diffèrent légèrement des séquences qui sont fréquentes. Afin de définir une séquence comme normale ou anormale, nous calculons une distance entre une séquence qui est fréquente et une séquence aléatoire de la base de données. La distance est calculée avec une méthode qui utilise les différences qualitative et quantitative entre deux séquences. / Nowadays, huge quantities of data can be easily accessible, but all these data are not useful if we do not know how to process them efficiently and how to extract easily relevant information from a large quantity of data. The anomaly detection techniques are used in many domains in order to help to process the data in an automated way. The anomaly detection techniques depend on the application domain, on the type of data, and on the type of anomaly.For this study we are interested only in sequential data. A sequence is an ordered list of items, also called events. Identifying irregularities in sequential data is essential for many application domains like DNA sequences, system calls, user commands, banking transactions etc.This thesis presents a new approach for identifying and analyzing irregularities in sequential data. This anomaly detection technique can detect anomalies in sequential data where the order of the items in the sequences is important. Moreover, our technique does not consider only the order of the events, but also the position of the events within the sequences. The sequences are spotted as anomalous if a sequence is quasi-identical to a usual behavior which means if the sequence is slightly different from a frequent (common) sequence. The differences between two sequences are based on the order of the events and their position in the sequence.In this thesis we applied this technique to the maritime surveillance, but this technique can be used by any other domains that use sequential data. For the maritime surveillance, some automated tools are needed in order to facilitate the targeting of suspicious containers that is performed by the customs. Indeed, nowadays 90% of the world trade is transported by containers and only 1-2% of the containers can be physically checked because of the high financial cost and the high human resources needed to control a container. As the number of containers travelling every day all around the world is really important, it is necessary to control the containers in order to avoid illegal activities like fraud, quota-related, illegal products, hidden activities, drug smuggling or arm smuggling. For the maritime domain, we can use this technique to identify suspicious containers by comparing the container trips from the data set with itineraries that are known to be normal (common). A container trip, also called itinerary, is an ordered list of actions that are done on containers at specific geographical positions. The different actions are: loading, transshipment, and discharging. For each action that is done on a container, we know the container ID and its geographical position (port ID).This technique is divided into two parts. The first part is to detect the common (most frequent) sequences of the data set. The second part is to identify those sequences that are slightly different from the common sequences using a distance-based method in order to classify a given sequence as normal or suspicious. The distance is calculated using a method that combines quantitative and qualitative differences between two sequences.

Le mottage ou l’agglomération non désirée des cristaux déliquescents est un phénomène récurrent dans l’industrie, notamment au cours du transport et du stockage. Les variations des conditions environnantes sont fréquemment responsables de la dégradation de ce type de poudres. En particulier, les fluctuations de l’humidité ambiante conduisent à la formation d’une solution saturée par déliquescence du solide puis à la formation de ponts solides par évaporation de l’eau. Dans cette étude, on se concentre sur le chlorure de sodium. L’équilibre avec la vapeur d’eau et les cinétiques de prise et perte en eau sont analysés et reliés au comportement mécanique macroscopique des cristaux. Le contact avec des cristaux de différente nature tels que le sucrose met en évidence le phénomène de déliquescence mutuelle. Le modèle des solutions régulières appliqué aux systèmes ternaires comportant du NaCl, du sucrose et de l’eau permet de mieux comprendre la chute de déliquescence. La présence des molécules d’eau à la surface des cristaux et la condensation capillaire à faible humidité relative provoque la déliquescence de NaCl et du sucrose simultanément. L’évaporation de l’eau et la recristallisation des cristaux à partir de la solution ainsi formée sont inhibées, en particulier à la composition solide du point eutonique. Le comportement singulier à cette composition qui s’apparente à celui d’un corps pur montre une recristallisation partielle du mélange "eutonique" associée à la formation d’une phase amorphe dans les conditions de l’expérimentation. Afin d’éviter le renforcement au mottage, l’étude de différents agents anti-mottants révèle l’efficacité du stéarate de magnésium. / Caking or undesired agglomeration of deliquescent crystals is a recurrent phenomenon in industry, especially during transportation and storage. The variation of environmental conditions is often pointed out as a cause of the degradation of this kind of powders. More precisely, the fluctuations of ambient humidity lead to the formation of a saturated solution by deliquescence followed by the formation of solid bridges when water evaporates. Sodium chloride is chosen as a model substance in this study. The equilibrium with water vapor and the kinetics of water uptake and loss are analyzed and related to the mechanical macroscopic behavior of crystals. The contact with crystals of different nature such as sucrose highlights the phenomenon of mutual deliquescence. The model of regular solutions applied to ternary systems containing NaCl, sucrose and water allows a better understanding of deliquescence lowering. The presence of water molecules and capillary condensation at low relative humidity lead to the deliquescence of NaCl and sucrose simultaneously. Water evaporation and recrystallization of solid from such solution is compromised, especially at the solid composition of the “eutonic point”. The singular behavior at this composition which resembles to the one of a pure substance shows a partial recrystallization of the “eutonic” mixture and the formation of an amorphous phase under the experimental conditions applied. In order to avoid caking reinforcement, the study of differentanti-caking agents reveals the efficiency of magnesium stearate.

Le travail présenté est dédié à des problèmes d'EDP non linéaires. L'idée principale est de construire des solutions régulières á certaines EDPs elliptiques et hypo-elliptiques et étudier leur propriétés qualitatives. Dans une première partie, on considère un problème sur-critique du type $$-Delta u = lambda e^u$$ avec $lambda > 0$ posé dans un domaine extérieur avec conditions de Dirichlet homogènes. Une réduction en dimension finie permet de prouver l'existence d'un nombre infini de solutions régulières quand $lambda$ est assez petit. Dans une deuxième partie, on étudie la concentration de solutions d'un problème non local $$(-Delta)^s u = u^{p pm epsilon}, u>0, epsilon > 0$$ dans un domaine borné, régulier sous conditions de Dirichlet homogènes. Ici, on prend $0 < s < 1$ et $p:=(N+2s)/(N-2s)$, l'exposant de Sobolev critique. Une réduction en dimension finie dans des espaces fonctionnels bien choisis est utilisée. La partie principale de la fonction réduite est donnée en termes des fonctions de Green et Robin sur le domaine. On prouve que l'existence de solutions dépend des points critiques de la fonction susmentionnée augmentée d'une condition de non-dégénérescence. Enfin, on considère un problème non local dans le groupe de Heisenberg $H$. On s'intéresse à des propriétés de rigidité des solutions stables de $(-Delta_H)^s v = f(v)$ sur $H$, $s in (0,1)$. Une inégalité de type Poincaré connectée à un problème dégénéré dans $R^4_+$ est prouvée. Au travers d'une procédure d'extension, cette inégalité est utilisée pour donner un critère sous lequel les lignes de niveaux de la solution de l'EDP sont des surfaces minimales dans $H$. / This work is devoted to nonlinear PDEs. The aim is to find regular solutions to some elliptic and hypo-elliptic PDEs and study their qualitative properties. The first part deals with the supercritical problem $$ -Delta u = lambda e^u,$$ $lambda > 0$, in an exterior domain under zero Dirichlet condition. A finite-dimensional reduction scheme provides the existence of infinitely many regular solutions whenever $lambda$ is sufficiently small.The second part is focused on the existence of bubbling solutions for the non-local equation $$ (-Delta)^s u =u^p, ,u>0,$$in a bounded, smooth domain under zero Dirichlet condition; where $0<s<1$ and $p:=(N+2s)/(N-2s) pm epsilon$ is close to the critical exponent ($epsilon > 0$ small). To this end, a finite-dimensional reduction scheme in suitable functional spaces is used, where the main part of the reduced function is given in terms of the Green's and Robin's functions of the domain. The existence of solutions depends on the existence of critical points of such a main term together with a non-degeneracy condition.In the third part, a non-local entire problem in the Heisenberg group $H$ is studied. The main interests are rigidity properties for stable solutions of $$(-Delta_H)^s v = f(v) in H,$$ $s in (0,1)$. A Poincaré-type inequality in connection with a degenerate elliptic equation in $R^4_+$ is provided. Through an extension (or ``lifting") procedure, this inequality will be then used to give a criterion under which the level sets of the above solutions are minimal surfaces in $H$, i.e. they have vanishing mean $H$-curvature.

Nos travaux ont porté sur l’étude des structures hydrodynamiques spatio-temporelles présentes dans le sillage d’un mât d’éolienne en mer, assimilé ici à un cylindre, pour une application future au parc éolien de Courseulles-sur-Mer. L’analyse hydrodynamique s’est focalisée sur le phénomène de synchronisation entre des vagues régulières et le sillage généré par le courant derrière deux cylindres verticaux. Un diagramme d’état résumant les différents régimes de synchronisation par rapport aux fréquences des vagues et amplitudes étudiées, a été établi. Pour compléter les résultats obtenus avec les vagues régulières, la synchronisation a aussi été étudiée en présence de vagues irrégulières. Dans le cas de vagues irrégulières, le coefficient de diffusion de la phase, K a été utilisé pour expliquer la synchronisation des fréquences. Après l’étude du phénomène de synchronisation, des essais ont été consacrés au transport sédimentaire (affouillement et rides) autour et dans un environnement proche d’un cylindre vertical sous l’effet de plusieurs types d’écoulement. Parallèlement aux expériences en laboratoire, une étude numérique a été amorcée. Dans un premier temps, une simulation DNS (Direct Numerical Simulation) d’un écoulement d’un courant seul autour d’un cylindre vertical a été effectuée. Un cas d’écoulement plus compliqué (i.e. Comprenant des vagues) et un domaine numérique simulant l’impact hydrodynamique d’un réseau de cylindres (modélisant un réseau de mâts d’éoliennes) soumis à un courant seul ont également été mis en oeuvre. Ce réseau comprend 4 cylindres disposés sur 2 rangées. Après l’étude numérique d’un courant seul, le solveur olaFoam a été utilisé pour imposer un écoulement composé d’un courant et de vagues dans un domaine relativement simple : sans obstacle et avec un fond lisse. Les résultats numériques se sont révélés être en assez bon accord avec la littérature au voisinage de la surface libre, montrant la décélération du courant de surface lorsque les vagues et le courant en entrée se propagent dans le même sens. / The various experiments carried out have laid emphasis on the study of hydrodynamic spatio-temporal structures found in an offshore wind turbine’s mast, coupled to a cylinder, which will later on be used at the Courseulles-sur-Mer wind farm. The hydrodynamic analysis focused on the synchronization phenomenon between regular waves and the Von Karman Street generated by a current, behind two different vertical cylinders. A diagram showing the different synchronization regimes with respect to the frequencies of the waves and the amplitudes studied, has been drawn. In addition to the results obtained with regular waves, the synchronization phenomenon has also been analysed using irregular waves. In the case of irregular waves, the phase diffusion coefficient, K, has been used to explain the different frequency synchronization observed. After having studied the synchronization phenomenon, tests were carried out on the study of sediment transport (scour and ripples) under the effect of different types of flows in an environment close to a vertical cylinder. In parallel to the laboratory experiments, a numerical study has also been conducted by studying the DNS (Direct Numerical Simulation) of a steady flow of current around a vertical cylinder. In addition to that a more complicated flow of a steady current around a network of cylinders comprising of a series of 4 cylinders arranged in 2 rows (representing a network of wind turbine masts) have also been observed and analysed. After having studied the flow made up by a steady current, the olafoam solver was used to apply a flow made up of both currents and waves in an obstacle free environment with a smooth floor. The numerical results obtained close to the free surface have been found to fairly agree with the findings of other related studies conducted. We observed a reduction in the intensity of the surface current when the waves and the current propagate in the same direction.

Cette thèse est essentiellement composée de deux parties. Dans la première partie, on étudie le système d'Euler-Maxwell. En utilisant la méthode d'intégration de l'énergie classique, on montre l'existence et l'unicité de solutions régulières du système avec données initiales petites. Ensuite, on étudie la limite de relaxation en montrant que, le sytème d'Euler-Maxwell converge vers les équations de dérive-diffusion quand le temps de relaxation tend vers zéro. Dans la deuxième partie, on cherche la contrôlabilité et l'observabilité exactes frontières de systèmes hyperboliques quasi-linéaires dans un réseau du type d'arbre. On établit des résultats d'existences de la contrôlabilité et l'observabilité par des méthodes constructives qui sont basées sur la théorie de la solution C1 semi-globale du système hyperbolique quasi-linéaire du premier ordre avec conditions initiales et frontières. Ensuite, on trouve des dualités de la contrôlabilité et l'observabilité.

Les gyroscopes laser à gaz constituent une solution technique de haute performances dans les problématiques de navigation inertielle. Néanmoins, pour de très faibles vitesses de rotation, les petites imperfections des miroirs de la cavité optique font que les deux faisceaux contra-propageant sont verrouillés en phase. En conséquence, les mesures en quadrature de leur différence de phase ne permettent plus de remonter directement aux vitesses de rotation à l'intérieur d'une zone autour de zéro, dite zone aveugle statique, ou, si l'on utilise une procédure d'activation mécanique, dite zone aveugle dynamique. Ce travail montre qu'il est néanmoins possible, en utilisant des méthodes issues du filtrage et de l'estimation, de remonter aux vitesses de rotation mêmes si ces dernières sont en zone aveugle. Pour cela, on part d'une modélisation physique de la dynamique que l'on simplifie par des techniques de perturbations singulières pour en déduire une généralisation des équations de Lamb. Il s'agit de quatre équations différentielles non-linéaires qui décrivent la dynamique des intensités et des phases des deux faisceaux contra-propageant. Une étude qualitative par perturbations régulières, stabilité exponentielle des points d'équilibre et applications de Poincaré permet de caractériser les zones aveugles statiques et dynamiques en fonction des imperfections dues aux miroirs. Il est alors possible d'estimer en ligne avec un observateur asymptotique fondé sur les moindre carrés récursifs ces imperfections en rajoutant aux deux mesures en quadrature celles des deux intensités. La connaissance précise de ces imperfections permet alors de les compenser dans la dynamique de la phase relative, et ainsi d'estimer les rotations en zone aveugle. Des simulations numériques détaillées illustrent l'intérêt de ces observateurs pour augmenter la précision des gyroscopes à gaz. / Gaz ring laser gyroscopes provide a high performance technical solution for inertial navigation. However, for very low rotational speeds, the mirrors imperfections of the optical cavity induce a locking phenomena between the phases of the two counter-propagating Laser beams. Hence, the measurements of the phase difference can no longer be used when the speed is within an area around zero, called lock-in zone, or,if a procedure of mechanical dithering is implemented, dithering lock-in zone. Nevertheless, this work shows that it is possible using filtering and estimation methods to measure the speed even within the lock-in zones. To achieve this result, we exploit a physical modeling of the dynamics that we simplify, using singular perturbation techniques, to obtain a generalization of Lamb's equations. There are four non-linear differential equations describing the dynamics of the intensities and phases of the two counter-propagating beams. A qualitative study by regular perturbation theory, exponential stability of the equilibrium points and Poincaré maps allows a characterisation of the lock-in zones according to the mirrors imperfections. It is then possible to estimate online, with an asymptotic observer based on recursive least squares, these imperfections by considering the additional measurements of the beam intensities. Accurate knowledge of these imperfections enables us to compensate them in the dynamic of the relative phase, and thus to estimate rotational speeds within the lock-in zones. Detailed numerical simulations illustrate the interest of those observers to increase the accuracy of gas ring laser gyroscopes.

La thèse comporte deux parties distinctes. La première partie concerne des modèles pour les extrêmes multivariés.On donne une construction de vecteurs aléatoires multivariés à variations régulières. La construction se base sur une extension multivariée d'un lemme de Breiman établissant la propriété de variation régulière d'un produit $RZ$ de variable aléatoire avec $R$ positive à variation régulière et $Z$ positive suffisamment intégrable. En prenant $mathbf{Z}$ multivarié et suffisamment intégrable, on montre que $Rmathbf{Z}$ est un vecteur aléatoire à variations régulières et on caractérise sa mesure limite. On montre ensuite que pour $mathbf{Z}$ de loi bien choisie, on retrouve des modèles stables classiques comme le modèle t-extremal, Hüsler-Reiss, etc. Puis, on étend notre construction pour considérer la notion de variation régulière multivariée non standard. On montre ensuite que le modèle de Pareto (qu'on appelle Hüsler-Reiss Pareto) associé au modèle max-stable Hüsler-Reiss forme une famille exponentielle complète. On donne quelques propriétés du modèle Hüsler-Reiss Pareto puis on propose un algorithme de simulation exacte. On étudie l'inférence par le maximum de vraisemblance. Finalement, on considère une extension du modèle Hüsler-Reiss Pareto utilisant la notion de variation régulière non standard. On étudie l'inférence par le maximum de vraisemblance du modèle généralisé et on propose une méthode d'estimation des paramètres. On donne une étude numérique sur l'estimateur du maximum de vraisemblance pour le modèle Hüsler-Reiss Pareto. Dans la second partie qui concerne l'apprentissage statistique, on commence par donner une borne sur la valeur singulière minimale d'une matrice perturbée par l'ajout d'une colonne. On propose alors un algorithme de sélection de colonne afin d'extraire les caractéristiques de la matrice. On illustre notre algorithme sur des données réelles de séries temporelles où chaque série est pris comme étant une colonne de la matrice. Deuxièmement, on montre que si une matrice $X$ à une propriété d'incohérence alors $X$ possède aussi une version affaiblie de la propriété NSP (null space property). Puis, on s'intéresse au problème de sélection de matrice incohérente. A partir d'une matrice $Xin mathbb{R}^{n imes p}$ et $mu>0$, on cherche la plus grande sous-matrice de $X$ avec une cohérence inférieure à $mu$. Ce problème est formulé comme un programme linéaire avec contrainte quadratique sur ${0,1}^p$. Comme ce problème est NP-dur, on considère une relaxation sur la sphère et on obtient une borne sur l'erreur lorsqu'on considère le problème relaxé. Enfin, on analyse l'algorithme de gradient stochastique projeté pour l'analyse en composante principale online. On montre qu'en espérance, l'algorithme converge vers un vecteur propre maximum et on propose un algorithme pour sélectionner le pas de l'algorithme. On illustre ensuite cet algorithme par une expérience de simulation. / This thesis in divided in two parts. The first part studies models for multivariate extremes. We give a method to construct multivariate regularly varying random vectors. The method is based on a multivariate extension of a Breiman Lemma that states that a product $RZ$ of a random non negative regularly varying variable $R$ and a non negative $Z$ sufficiently integrable is also regularly varying. Replacing $Z$ with a random vector $mathbf{Z}$, we show that the product $Rmathbf{Z}$ is regularly varying and we give a characterisation of its limit measure. Then, we show that taking specific distributions for $mathbf{Z}$, we obtain classical max-stable models. We extend our result to non-standard regular variations. Next, we show that the Pareto model associated with the Hüsler-Reiss max-stable model forms a full exponential family. We show some properties of this model and we give an algorithm for exact simulation. We study the properties of the maximum likelihood estimator. Then, we extend our model to non-standard regular variations. To finish the first part, we propose a numerical study of the Hüsler-Reiss Pareto model.In the second part, we start by giving a lower bound of the smallest singular value of a matrix perturbed by appending a column. Then, we give a greedy algorithm for feature selection and we illustrate this algorithm on a time series dataset. Secondly, we show that an incoherent matrix satisfies a weakened version of the NSP property. Thirdly, we study the problem of column selection of $Xinmathbb{R}^{n imes p}$ given a coherence threshold $mu$. This means we want the largest submatrix satisfying some coherence property. We formulate the problem as a linear program with quadratic constraint on ${0,1}^p$. Then, we consider a relaxation on the sphere and we bound the relaxation error. Finally, we study the projected stochastic gradient descent for online PCA. We show that in expectation, the algorithm converges to a leading eigenvector and we suggest an algorithm for step-size selection. We illustrate this algorithm with a numerical experiment.

A l’opposé de l’approche consistant à concevoir aucas par cas des contraintes et des algorithmes leur étant dédiés, l’objet de cette thèse concerne d’une part la description de familles de contraintes en termes de composition de fonctions, et d’autre part la synthèse d’objets combinatoires pour de telles contraintes. Les objets concernés sont des bornes précises, des coupes linéaires, des invariants non-linéaires et des automates finis ; leur but principal est de prendre en compte l’aspect combinatoire d’une seule contrainte ou d’une conjonction de contraintes. Ces objets sont obtenus d’une façon systématique et sont paramétrés par une ou plusieurs contraintes, par le nombre de variables dans une séquence, et par les domaines initiaux de ces variables. Cela nous permet d’obtenir des objets indépendants d’une instance considérée. Afin de synthétiser des objets combinatoires nous tirons partie de la vue déclarative de telles contraintes, basée sur les expressions régulières, ainsi que la vue opérationnelle, basée sur les automates à registres et les transducteurs finis. Il y a plusieurs avantages à synthétiser des objets combinatoires par rapport à la conception d’algorithmes dédiés : 1) on peut utiliser ces formules paramétrées dans plusieurs contextes, y compris la programmation par contraintes et la programmation linéaire, ce qui est beaucoup plus difficile avec des algorithmes ; 2) la synergie entre des objets combinatoires nous donne une meilleure performance en pratique ; 3) les quantités calculées par certaines des formules peuvent être utilisées non seulement dans le contexte de l’optimisation mais aussi pour la fouille de données. / Contrary to the standard approach consisting in introducing ad hoc constraints and designing dedicated algorithms for handling their combinatorial aspect, this thesis takes another point of view. On the one hand, it focusses on describing a family of sequence constraints in a compositional way by multiple layers of functions. On the other hand, it addresses the combinatorial aspect of both a single constraint and a conjunction of such constraints by synthesising compositional combinatorial objects, namely bounds, linear inequalities, non-linear constraints and finite automata. These objects are obtained in a systematic way and are not instance-specific: they are parameterised by one or several constraints, by the number of variables in a considered sequence of variables, and by the initial domains of the variables. When synthesising such objects we draw full benefit both from the declarative view of such constraints, based on regular expressions, and from the operational view, based on finite transducers and register automata.There are many advantages of synthesising combinatorial objects rather than designing dedicated algorithms: 1) parameterised formulae can be applied in the context of several resolution techniques such as constraint programming or linear programming, whereas algorithms are typically tailored to a specific technique; 2) combinatorial objects can be combined together to provide better performance in practice; 3) finally, the quantities computed by some formulae cannot just be used in an optimisation setting, but also in the context of data mining.

Les algèbres de relations apparaissent naturellement dans de nombreux cadres, en informatique comme en mathématiques. Elles constituent en particulier un formalisme tout à fait adapté à la sémantique des programmes impératifs. Les algèbres de Kleene constituent un point de départ : ces algèbres jouissent de résultats de décidabilités très satisfaisants, et admettent une axiomatisation complète. L'objectif de cette thèse a été d'étendre les résultats connus sur les algèbres de Kleene à des extensions de celles-ci.Nous nous sommes tout d'abord intéressés à une extension connue : les algèbres de Kleene avec converse. La décidabilité de ces algèbres était déjà connue, mais l'algorithme prouvant ce résultat était trop compliqué pour être utilisé en pratique. Nous avons donné un algorithme plus simple, plus efficace, et dont la correction est plus facile à établir. Ceci nous a permis de placer ce problème dans la classe de complexité PSpace-complete.Nous avons ensuite étudié les allégories de Kleene. Sur cette extension, peu de résultats étaient connus. En suivant des résultats sur des algèbres proches, nous avons établi l'équivalence du problème d'égalité dans les allégories de Kleene à l'égalité de certains ensembles de graphes. Nous avons ensuite développé un modèle d'automate original (les automates de Petri), basé sur les réseaux de Petri, et avons établi l'équivalence de notre problème original avec le problème de comparaison de ces automates. Nous avons enfin développé un algorithme pour effectuer cette comparaison dans le cadre restreint des treillis de Kleene sans identité. Cet algorithme utilise un espace exponentiel. Néanmoins, nous avons pu établir que la comparaison d'automates de Petri dans ce cas est ExpSpace-complète. Enfin, nous nous sommes intéressés aux algèbres de Kleene Nominales. Nous avons réalisé que les descriptions existantes de ces algèbres n'étaient pas adaptées à la sémantique relationnelle des programmes. Nous les avons donc modifiées pour nos besoins, et ce faisant avons trouvé diverses variations naturelles de ce modèle. Nous avons donc étudié en détails et en Coq les ponts que l'on peut établir entre ces variantes, et entre le modèle “classique” et notre nouvelle version / Algebras of relations appear naturally in many contexts, in computer science as well as in mathematics. They constitute a framework well suited to the semantics of imperative programs. Kleene algebra are a starting point: these algebras enjoy very strong decidability properties, and a complete axiomatisation. The goal of this thesis was to export known results from Kleene algebra to some of its extensions. We first considered a known extension: Kleene algebras with converse. Decidability of these algebras was already known, but the algorithm witnessing this result was too complicated to be practical. We proposed a simpler algorithm, more efficient, and whose correctness is easier to establish. It allowed us to prove that this problem lies in the complexity class PSpace-complete.Then we studied Kleene allegories. Few results were known about this extension. Following results about closely related algebras, we established the equivalence between equality in Kleene allegories and equality of certain sets of graphs. We then developed an original automaton model (so-called Petri automata), based on Petri nets. We proved the equivalence between the original problem and comparing these automata. In the restricted setting of identity-free Kleene lattices, we also provided an algorithm performing this comparison. This algorithm uses exponential space. However, we proved that the problem of comparing Petri automata lies in the class ExpSpace-complete.Finally, we studied Nominal Kleene algebras. We realised that existing descriptions of these algebra were not suited to relational semantics of programming languages. We thus modified them accordingly, and doing so uncovered several natural variations of this model. We then studied formally the bridges one could build between these variations, and between the existing model and our new version of it. This study was conducted using the proof assistant Coq