Du fait de la raréfaction des gisements de pétrole conventionnel et de l'accroissement de la demande mondiale, les compagnies pétrolières sont amenées à considérer de nouvelles réserves inexploitées car trop coûteuses à l'exploitation il y a quelques années. Ce travail est consacré à la simulation numérique d'un procédé d'extraction de pétrole lourd, le VAPEX, caractérisé par l'injection de solvant facilitant le drainage par gravité de l'huile. L'enjeu principal de cette thèse est de simuler numériquement et avec précision, le mécanisme de pénétration du solvant dans l'huile, cette zone de pénétration étant relativement mince à l'échelle du réservoir. Notre travail a porté sur l'utilisation d’algorithmes de raffinement adaptatif de maillages pour la simulation de ce procédé. Ces considérations nous ont amené à considérer la problématique d'application d'algorithmes de raffinement de maillages en milieu poreux, et plus particulièrement en milieux poreux hétérogènes pour lesquels les indicateurs (ou estimateurs) existants permettant de déterminer les zones à raffiner ne sont pas clairement établis. Dans un premier temps, nous mettons en place l'ensemble des équations que nous sommes amené à résoudre numériquement au cours de l'élaboration des codes de simulation de procédés d'extraction par injection d'eau et de solvant. Nous décrivons ensuite le procédé VAPEX, et nous établissons l'étude semi-analytique de Butler & Mokrys du procédé à laquelle nous ajoutons la prise en compte des termes capillaires. Nous décrivons ensuite deux méthodes mathématiques permettant d'établir des estimateurs a posteriori pour de tels problèmes. Au cours de ce travail, nous mettons en place deux codes de simulation de réservoirs, le premier est un simulateur basé sur une discrétisation des équations par une méthode de discrétisation par éléments finis mixtes hybrides et permettant de simuler des problèmes d'injection d'eau et le second est basé sur une méthode de discrétisation par volumes finis permettant de simuler des procédés d'injection de solvant tels que le VAPEX. Nous utilisons ensuite ces estimateurs par le biais d’un algorithme de raffinement de maillages pour ces deux codes de simulation. L'étude du modèle semi-analytique que nous avons faite du procédé VAPEX montre que sous certaines hypothèses le terme capillaire peut être assimilé à un terme diffusif pour prédire l'avancement du front. Les estimateurs mis en place basés sur les variations des flux permettent de déterminer les zones de front pour des réservoirs hétérogènes. Nous illustrons ce résultat sur une simulation d'un problème d'injection d'eau à l'aide du simulateur mis en place. Les estimateurs mis en place permettent également de capter les fronts des saturations des phases et de concentration des constituants. Nous illustrons ce résultat sur une simulation du procédé VAPEX.Ce travail a amené à la mise en place d’estimateurs permettant de raffiner des maillages autour des fronts de saturation et de concentration pour des milieux poreux hétérogènes au cours de la simulation d'écoulements en milieux poreux. Pour caractériser ces estimateurs, nous avons distingué un front de saturation (resp. concentration), qui correspond est une forte variation de saturation (resp. concentration) engendrant une forte variation du flux, d'un fort gradient de saturation (resp. concentration) qui apparait automatiquement lorsque la perméabilité du milieu poreux varie brutalement. Les extensions de ce travail pourraient permettre de mettre en œuvre plus de simulations faisant varier les termes capillaires et les termes dispersifs affin de mieux apprécier le comportement des estimateurs introduits. Il serait également intéressant d'étudier l'impact des hypothèses faites pour établir les estimateurs empiriques utilisés. Enfin, de tels estimateurs pourraient s'appliquer à des codes de simulation tenant compte de la dispersion en milieu poreux. / With rarefaction of conventional petroleum fields and the world supply increase, petroleum companies have to consider new unexploited reserves because of their exploitation cost few years ago. These reserves are called unconventional reserves, mainly heavy oil or extra heavy oil. This work is devoted to the numerical simulation of an extraction process of heavy oil, the VAPEX. VAPEX is characterized by solvent injection in a horizontal well in order to facilitate gravity drainage of oil in a producer well situated in the same way under the injector well. The main stake to simulate this process is to simulate the mechanism of solvent penetration in oil with precision, this penetration zone being very thin drawn to the reservoir scale. We focus our work on application of algorithm of adaptive mesh refinement to simulate this process. This consideration lead us to consider the issue of application of mesh refinement in porous media, especially in heterogeneous porous media for which existing indicators (or estimators) do not allow to determine properly the zone to be refined. The objective of this work is to determine a posteriori estimators for implementation of simulation codes of heterogeneous petroleum reservoirs and their application to the VAPEX process. Firstly, we set the whole equations we have to solve numerically to build simulators of petroleum extraction processes by water injection and solvent injection. Then, we describe the VAPEX process and we establish the semi-analytical study of Butler & Mokrys of this process for which we take in account influence of capillarity. Afterwards, we describe two mathematical methods to establish a posteriori estimators for such problems. One of these methods is based on empirical extrapolation of existing estimators for hyperbolic problems given by Ohlberger. In the course of this work, we set two simulation codes of petroleum reservoirs, the first is a simulator based on equations discretisation by mixed finite element method allowing simulation of water injection problems and the second is based on discretisation by finite volumes method allowing simulation of solvent injection processes like the VAPEX. Then, we apply these estimators to an algorithm of mesh refinement for these two simulation codes. The study of the semi-analytical model set of the VAPEX process show that under hypothesis, capillarity can be likened to a diffusive term to determine the front tracking. Estimators set are based on flux variation and allow determining sharp zone to be refined in heterogeneous porous media. We illustrate this result for a simulation of water injection with the simulator built. The estimators set can also track saturations fronts and concentrations fronts. We illustrate this result on a simulation of the VAPEX process. This work shows it is possible to set estimators allowing mesh refinement to track saturations and concentrations fronts during simulation of flow in heterogeneous porous media. To set such estimators, we make a distinction between saturation (resp. concentration) front and high saturation (resp. concentration) gradient. To our point of view, a front is a high variation of saturation or concentration that has a high impact on the flux variation. It is different from a high gradient that appear automatically where the permeability of the porous media has a high variation. This work could be complemented by making more simulations with variations of capillarity and dispersive terms in order to have a better appreciation of estimators introduced. It would be advisable to study the impact of suppositions done to establish these empirical estimators set. After all, such estimators could be applied to a simulation code taking in account dispersion in porous media.

Cette thèse porte sur la simulation de la propagation et diffraction d'ondes dans un milieu élastique anisotrope hétérogène fissuré à l'aide de méthodes numériques explicites. L'objectif est de développer une méthode numérique performante capable de prendre en compte les détails géométriques ou singularités de la solution de manière précise. Les deux premières parties sont consacrées à des méthodes de raffinement de maillage spatio-temporel. Adapter le pas de temps localement au pas d'espace permet en même temps de diminuer la dispersion numérique dans la grille grossière et de gagner en temps de calcul. Les méthodes proposées sont conservatives, ce qui garantit la stabilité des schémas numériques. La géométrie des fissures est prise en compte par la méthode des domaines fictifs. La troisième partie présente un nouvel élément fini qui garantit la convergence de cette méthode. La dernière partie décrit le couplage entre les techniques de raffinement et la méthode de domaines fictifs.

Cette thèse comporte quatre parties. Les deux premières parties concernent le calcul de la première valeur propre de familles d'opérateurs de Neumann en utilisant d'abord une méthode basée sur les différences finies, puis une approximation par une méthode d'éléments finis sans quadrature numérique. Pour le calcul numérique de la plus petite valeur propre, la méthode de la puissance inverse a été implémentée avec factorisation LU de la matrice considérée pour la résolution des systèmes linéaires utilisés.<br />La troisième partie porte sur un problème de valeurs propres faisant intervenir un opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant issu de la théorie de Ginzburg-Landau et concernant la supraconductivité de certains matériaux. Pour la résolution numérique, une méthode basée sur les éléments finis avec intégration numérique est utilisée. Dans cette partie, une évaluation de la partie basse du spectre de la réalisation de Neumann est obtenue. Ensuite, l'existence des solutions du problème variationnel spectral a été établie. L'étude de la convergence et l'estimation des erreurs pour les paires propres approchées avec quadrature numérique dans le cas où les fonctions propres sont vectorielles, sont semblables à celles obtenues dans le cas où les fonctions propres sont réelles. Dans l'étude de ces estimations, la distinction est faite entre le cas d'une valeur propre exacte simple et le cas d'une valeur propre exacte multiple. La quatrième partie porte sur la mise en œuvre de la résolution numérique du problème précédent.

La théorie de la supraconductivité, modélisée par Ginzburg et Landau, motive les travaux relatifs à l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique. L'objet de cette thèse est d'analyser l'influence de la géométrie du domaine sur l'apparition de la supraconductivité en étendant les résultats existant pour des domaines réguliers à des domaines à coins. L'analyse semi-classique conduit à étudier trois opérateurs modèles : la réalisation de Neumann de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant sur le plan, le demi-plan et les secteurs angulaires. L'étude des deux premiers est bien connue et nous nous concentrons sur le dernier. Après avoir déterminé le bas du spectre essentiel, nous montrons que le bas du spectre est une valeur propre pour un secteur d'angle aigu. Nous explicitons le développement limité de la plus petite valeur propre quand l'angle du secteur tend vers 0 et précisons la localisation de l'état fondamental grâce aux techniques d'Agmon. Nous illustrons et estimons ensuite le comportement des vecteurs et valeurs propres à l'aide d'outils numériques basés sur la méthode des éléments finis. La localisation de l'état fondamental rend le problème discret très mal conditionné mais l'analyse des propriétés de l'opérateur et des défauts des méthodes classiques permet malgré tout de mettre en oeuvre un algorithme robuste et efficace calculant l'état fondamental. Afin d'améliorer les résultats numériques, nous construisons des estimateurs a posteriori pour ce problème aux valeurs propres et utilisons les techniques de raffinement de maillages pour localiser l'état propre dans des domaines généraux et étudier la variation du bas du spectre en fonction de l'angle du secteur.

Un bassin sédimentaire est un milieu poreux de grande dimension (plusieurs dizaines de kilomètres de long et de large pour une profondeur d'environ cinq kilomètres) qui évolue au cours du temps par les effets de compaction et de sédimentation. Au cours de cette évolution, des hydrocarbures vont se former et s'écouler dans le bassin. On établit alors un modèle permettant de simuler cette évolution de bassin ainsi que la création, la migration et le piégeage des hydrocarbures dans des roches appelées roches magasins. Ces phénomènes se déroulant sur des centaines de millions d'années, on s'est attaché à étudier principalement une discrétisation temporelle de ces équations. On a ainsi mis en avant un raffinement local du pas de temps dont le principe est de recalculer la solution sur une zone jugée "mauvaise". A l'extérieure de cette zone, la solution est admissible. La difficulté vient de la détermination de la zone qui doit - être suffisamment "grande" pour avoir une bonne qualité de la solution, mais suffisamment "petite" pour obtenir un gain calcul. Les estimateurs a posteriori permettent de contourner cette difficulté. On a donc entrepris une étude théorique de ces estimateurs a posteriori dans le cas des équations linéaires elliptique et parabolique. Des simulations numériques montrent l'efficacité de ces estimateurs dans des cas académiques.

Cette thèse porte sur la résolution théorique et numérique des équations de Maxwell dans le domaine temporel ou fréquentiel. Dans une première partie, on démontre l'existence et l'unicité mathématique de la solution du problème d'évolution. On s'intéresse également au comportement asymptotique en temps de cette solution lorsque le second membre des équations est sinusoïdal en temps. L'approche utilisée fait appel à la théorie des systèmes hyperboliques linéaires du premier ordre, au théorème de Hille-Yosida, aux principes d'amplitude-limite et d'absorption-limite, ainsi qu'à des théorèmes de traces (dans le cas du problème aux limites). Dans un second temps, on développe une approximation par éléments finis discontinus du problème fréquentiel, basée sur une décomposition de la matrice des flux en partie positive et négative (méthode de flux-splitting). Cette approche autorise l'utilisation de maillages totalement déstructurés. Une étude d'erreur lorsque le pas h du maillage tend vers zéro est proposée. Un algorithme itératif de résolution du problème discret, basé sur une décomposition de domaine sans recouvrement, est ensuite décrit. On démontre sa convergence vers l'unique solution discrète. L'implémentation sur un ordinateur à architecture massivement parallèle (IPSC 860) a été réalisée. Enfin, on construit une équation intégrale adaptée à la méthode, pour la résolution des problèmes en domaine non borné. Des expériences numériques sont décrites dans le cas d'éléments finis de type P0 (approximation constante par élément).

Le sujet central de cette thèse est le développement d'une méthode dédiée à la preuve de structures de données sans verrou. La motivation première vient du constat que les programmes concurrents sont devenu monnaie courante. Ceci a été possible par l'apparition de nouvelles primitives de synchronisation dans les nouvelles architectures matérielles. La seconde motivation est la quête de logiciel prouvé et donc correct. La sûreté des logiciels est en effet devenue primordiale de par la diffusion des systèmes embarqués et enfouis. La méthode proposée est basée sur le raffinement et dédiée à la conception et la vérification d'algorithme non-bloquant, en particulier ceux sans verrou. La méthode a été formalisée et sa correction prouvée en Isabelle/HOL. Un outil a par ailleurs été développé afin de générer des obligations de preuves à destination des solveurs SMT et des prouveurs de théorèmes du premier ordre. Nous l'avons utilisé afin de vérifier certains de ces algorithmes.

Les modèles emboîtés sont largement utilisés en météorologie et en océanographie. Ils permettent un accroissement local de la résolution, dans les zones où cela semble nécessaire, via l'intégration d'un même modèle sur une hiérarchie de grilles. Dans le cas d'interaction one-way, les conditions aux frontières pour la grille fine proviennent d'une interpolation de la solution obtenue sur la grille à plus faible résolution. Dans le cas d'interaction two-way, une rétroaction de la grille fine vers la grille grossière est ajoutée. Toutefois, le problème de l'assimilation variationnelle de données dans de tels systèmes n'a pas, ou peu, été étudié à ce jour. Ces classes de méthodes, notamment l'algorithme 4D-Var, permettent d'améliorer la solution d'un modèle, jusqu'ici mono-grille, en minimisant une fonctionnelle mesurant l'écart de ce modèle aux observations présentes sur une fenêtre temporelle. Le travail présenté ici vise donc à formuler un algorithme d'assimilation 4D-Var localement multi-grille. Pour le cas général d'une grille haute résolution emboîtée localement dans une autre à plus faible résolution, nous posons les équations du système adjoint dans les deux cas d'interactions one-way et two-way. Nous montrons ainsi que la formulation adjointe fait naturellement apparaître de nouvelles interactions entre les grilles, dans le sens opposé de celles existant dans la formulation directe. De plus, nous proposons différentes variantes à ces algorithmes, réalisant un couplage faible entre les solutions des différents modèles via l'ajout d'un terme de contrôle au niveau des transferts inter-grilles. Nous présentons également l'application d'une méthode multi-grille, le Full Approximation Scheme, à l'assimilation variationnelle de données. Cette approche permet d'obtenir un algorithme d'assimilation multi-grille potentiellement très efficace. Enfin, ces méthodes sont testées sur le cas d'un modèle Saint Venant 2D. Nous constatons une réduction importante des erreurs des solutions multi-grilles, ainsi qu'une accélération de la convergence de ces algorithmes.

Cette thèse porte sur la simulation de la propagation et diffraction d'ondes dans un milieu élastique anisotrope hétérogène fissuré à l'aide de méthodes numériques explicites. L'objectif est de développer une méthode numérique performante capable de prendre en compte les détails géométriques ou singularités de la solution de manière précise. Les deux premières parties sont consacrées à des méthodes de raffinement de maillage spatio-temporel. Adapter le pas de temps localement au pas d'espace permet en même temps de diminuer la dispersion numérique dans la grille grossière et de gagner en temps de calcul. Les méthodes proposées sont conservatives, ce qui garantit la stabilité des schémas numériques. La géométrie des fissures est prise en compte par la méthode des domaines fictifs. La troisième partie présente un nouvel élément fini qui garantit la convergence de cette méthode. La dernière partie décrit le couplage entre les techniques de raffinement et la méthode de domaines fictifs.

La mécanique de fluides numérique a connu dans les dernières décennies un développement très rapide avec la multiplication et l'amélioration des méthodes numériques. La méthode SPH est apparue comme alternative aux méthodes traditionnelles pour traiter des écoulements à surface libre complexe, ce qui l'a rendu très intéressante pour reproduire des problèmes du domaine de l'ingénierie navale. Cette méthode s'est répandue dans les milieux académique et industriel et a connu d'importantes avancées, arrivant à un début de maturité. Dans ce contexte, après une présentation de l'état de l'art de la méthode, trois différents axes d'amélioration sont présentés. Le premier consiste en l'étude d'une approche incompressible à partir de laquelle une nouvelle méthode est développée pour résoudre l'incompressibilité, validée et appliquée. Cette nouvelle méthode s'est montrée efficace et précise. Le second axe de recherche s'inscrit dans la discrétisation spatiale du domaine. La méthode SPH étant lagrangienne, il s'avère compliqué d'adapter la distribution des particules fluides aux zones d'intérêt de l'écoulement traité, demandant une approche dynamique. Les méthodes existantes dans la littérature ont été étudiées et une nouvelle technique permettant de déraffiner les particules dynamiquement a été proposée. On montre que l'efficacité de la méthode SPH est ainsi améliorée. En dernier lieu, pour améliorer la précision des opérateurs utilisés par la méthode SPH et visant une montée en ordre, le couplage entre une méthode de type volumes finis et la méthode SPH est proposé. Cela a permis de mieux comprendre la méthode SPH et ouvre un nouvel axe de recherche : les méthodes SPH hybrides.