Es wird eine Folge unabhängiger zentrierter Zufallsgrößen betrachtet, die absolute Momente der Ordnung m, 2<m<3, besitzen mögen. Dann gelten für die normierte Verteilungsfunktion der Zufallssumme X_1+X_2+...+X_n der zentrale Grenzwertsatz und insbesondere eine ungleichmäßige Fehlerabschätzung von A.BIKELIS (1966). In der vorliegenden Note werden die analytische Struktur der in dieser Fehlerabschätzung auftretenden Konstanten L=L(m) genauer untersucht sowie dazu erzielte numerische Resultate vorgelegt. Abschließend werden einige Literaturhinweise angegeben. Der Fall m=3 wurde bereits in der Dissertation (TU Dresden 1977) des Autors untersucht. / We consider a sequence of centered and independent random variables with moments of order m, 2<m<3. Now the central limit theorem for the distribution function of the normed sum X_1+X_2+...+X_n and especially a nonuniform error estimate by A.BIKELIS (1966) hold. In this paper the analytical structure of the appearing constant L=L(m) of the error bound and numerical results are presented. Finally some references are given. The case m=3 was already studied in the thesis (Dissertation TU Dresden, 1977) by the author.

In diesem Artikel werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit von Grenzwertsätzen für mittlere Abweichungen untersucht. In der Terminilogie von J.V.LINNIK (1971) werden die x-Bereiche für mittlere Abweichungen gewöhnlich als "sehr enge" Zonen der integralen normalen Anziehung bezeichnet. Darüber hinaus werden die Restglieder untersucht, die in den asymptotischen Beziehungen auftreten. Die Ordnung der Konvergenzgeschwindigkeit wird angegeben. Frühere Ergebnisse einiger Autoren werden verallgemeinert. Abschließend werden einige Literaturhinweise angegeben.:1. Einleitung S. 2 2. Allgemeine Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen mit Angabe der Ordnung der Konvergenzgeschwindigkeit S. 3 3. Die Existenz von Momenten als notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit von Grenzwertsätzen für mittlere Abweichungen S. 7 4. Beweise S. 10 Literatur S. 16 / In this paper we study necessary and sufficient conditions for the validity of limit theorems on moderate deviations. Usually x-zones for moderate deviations are called in the terminilogy by YU.V.LINNIK (1971) "very narrow" zones of integral normal attraction. Moreover we analyse the remainder term appearing in the asymptotic relations. Informations on the order of the rate of convergence are given. Earlier results by several authors are generalized. Finally some references are given.:1. Einleitung S. 2 2. Allgemeine Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen mit Angabe der Ordnung der Konvergenzgeschwindigkeit S. 3 3. Die Existenz von Momenten als notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit von Grenzwertsätzen für mittlere Abweichungen S. 7 4. Beweise S. 10 Literatur S. 16

Es wird eine Folge unabhängiger zentrierter Zufallsgrößen betrachtet, die absolute Momente der Ordnung m, 2<m<3, besitzen mögen. Dann gelten für die normierte Verteilungsfunktion der Zufallssumme X_1+X_2+...+X_n der zentrale Grenzwertsatz und insbesondere eine ungleichmäßige Fehlerabschätzung von A.BIKELIS (1966). In der vorliegenden Note werden die analytische Struktur der in dieser Fehlerabschätzung auftretenden Konstanten L=L(m) genauer untersucht sowie dazu erzielte numerische Resultate vorgelegt. Abschließend werden einige Literaturhinweise angegeben. Der Fall m=3 wurde bereits in der Dissertation (TU Dresden 1977) des Autors untersucht. / We consider a sequence of centered and independent random variables with moments of order m, 2<m<3. Now the central limit theorem for the distribution function of the normed sum X_1+X_2+...+X_n and especially a nonuniform error estimate by A.BIKELIS (1966) hold. In this paper the analytical structure of the appearing constant L=L(m) of the error bound and numerical results are presented. Finally some references are given. The case m=3 was already studied in the thesis (Dissertation TU Dresden, 1977) by the author.

Mit der vorgelegten Arbeit werden neue Beiträge zur Grundlagenforschung auf dem Gebiet der Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie vorgelegt. Grenzwertsätze für Summen unabhängiger Zufallsgrößen nehmen unter den verschiedenartigsten Forschungsrichtungen der Wahrscheinlichkeitstheorie einen bedeutenden Platz ein und sind in der heutigen Zeit nicht mehr allein von theoretischem Interesse. In der Arbeit werden Ergebnisse zu neuere Problemstellungen aus der Summationstheorie unabhängiger Zufallsgrößen vorgestellt, die erstmalig in den fünfziger bzw. sechzger Jahren des 20. Jahrhunderts in der Literatur auftauchten und in den zurückliegenden Jahren mit großem Interesse untersucht wurden. International haben sich in der Theorie der Grenzwertsätze zwei Hauptrichtungen herauskristallisiert: Zum Einen die Fragen zur Konvergenzgeschwindigkeit, mit der eine Summenverteilungsfunktion gegen eine vorgegebene Grenzverteilungsfunktion konvergiert, und zum Anderen die Fragen nach einer Fehlerabschätzung zur Grenzverteilungsfunktion bei einem endlichen Summationsprozeß. Zuerst werden unbegrenz teilbare Grenzverteilungsfunktionen betrachtet und dann wird speziell die Normalverteilung als Grenzverteilung diskutiert. Als charakteristische Kenngrößen werden sowohl Momente oder einseitige Momente bzw. Pseudomomente benutzt. Die Fehlerabschätzungen werden sowohl als gleichmäßige wie auch ungleichmäßige Restgliedabschätzungen angegeben, einschließlich einer Beschreibung der dabei auftretenden absoluten Konstanten. Als Beweismethoden werden sowohl die Methode der charakteristischen Funktionen als auch direkte Methoden (Faltungsmethode) weiter ausgebaut. Für eine 1965 von Bikelis angegebene Fehlerabschätzung gelang es nun erstmalig, die auftretende absolute Konstante C mit C=114,667 numerisch abzuschätzen. Weiterhin werden in der Arbeit sogenannte Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen studiert. Hier werden erstmalig auch Restgliedabschätzungen abgeleitet. Der in den letzten Jahren zum Beweis von Grenzwertsätzen eingeschlagene Weg über die Faltung von Verteilungsfunktionen erwies sich als bahnbrechend und bestimmte die Entwicklung sowohl der Theorie der Grenzwertsätze für mittlere und große Abweichungen als auch der Untersuchung zu den ungleichmäßigen Abschätzungen im zentralen Grenzwertsatz bedeutend. Die Faltungsmethode stellt in der vorliegenden Dissertationsschrift das hauptsächliche Beweisinstrument dar. Damit gelang es, eine Reihe neuer Ergebnisse zu erhalten und insbesondere mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. / With the presented work new contributions to basic research in the field of limit theorems of probability theory are given. Limit theorems for sums of independent random variables taking on the most diverse lines of research in probability theory an important place in modern times and are no longer only of theoretical interest. In the work results are presented to newer problems on the summation theory of independent random variables, at first time in the fifties and sixties of the 20th Century appeared in the literature and have been studied in the past few years with great interest. International two main directions have emerged in the theory of limit theorems: Firstly, the questions on the convergence speed of a cumulative distribution function converges to a predetermined limit distribution function, and on the other hand the questions on an error estimate for the limit distribution function at a finite summation process. First indefinite divisible limit distribution functions are considered, then the normal distribution is specifically discussed as a limit distribution. As characteristic parameters both moments or one-sided moments or pseudo-moments are used. The error estimates are stated both in uniform as well as non-uniform residual bounds including a description of the occurring absolute constants. Both the method of characteristic functions as well as direct methods (convolution method) can be further expanded as proof methods. Now for the error estimate, 1965 given by Bikelis, was the first time to estimate the appearing absolute constant C with C = 114.667 numerically. Furthermore, in the work of so-called limit theorems for moderate deviations are studied. Here also remainder estimates are derived for the first time. In recent years to the proof of limit theorems the chosen way of the convolution of distribution functions proved to be groundbreaking and determined the development of both the theory of limit theorems for moderate and large deviations as well as the investigation into the nonuniform estimates in the central limit theorem significantly. The convolution method is in the present thesis, the main instrument of proof. Thus, it was possible to obtain a series of results and obtain new numerical results in particular by means of electronic data processing.

Mit der vorgelegten Arbeit werden neue Beiträge zur Grundlagenforschung auf dem Gebiet der Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie vorgelegt. Grenzwertsätze für Summen unabhängiger Zufallsgrößen nehmen unter den verschiedenartigsten Forschungsrichtungen der Wahrscheinlichkeitstheorie einen bedeutenden Platz ein und sind in der heutigen Zeit nicht mehr allein von theoretischem Interesse. In der Arbeit werden Ergebnisse zu neuere Problemstellungen aus der Summationstheorie unabhängiger Zufallsgrößen vorgestellt, die erstmalig in den fünfziger bzw. sechzger Jahren des 20. Jahrhunderts in der Literatur auftauchten und in den zurückliegenden Jahren mit großem Interesse untersucht wurden. International haben sich in der Theorie der Grenzwertsätze zwei Hauptrichtungen herauskristallisiert: Zum Einen die Fragen zur Konvergenzgeschwindigkeit, mit der eine Summenverteilungsfunktion gegen eine vorgegebene Grenzverteilungsfunktion konvergiert, und zum Anderen die Fragen nach einer Fehlerabschätzung zur Grenzverteilungsfunktion bei einem endlichen Summationsprozeß. Zuerst werden unbegrenz teilbare Grenzverteilungsfunktionen betrachtet und dann wird speziell die Normalverteilung als Grenzverteilung diskutiert. Als charakteristische Kenngrößen werden sowohl Momente oder einseitige Momente bzw. Pseudomomente benutzt. Die Fehlerabschätzungen werden sowohl als gleichmäßige wie auch ungleichmäßige Restgliedabschätzungen angegeben, einschließlich einer Beschreibung der dabei auftretenden absoluten Konstanten. Als Beweismethoden werden sowohl die Methode der charakteristischen Funktionen als auch direkte Methoden (Faltungsmethode) weiter ausgebaut. Für eine 1965 von Bikelis angegebene Fehlerabschätzung gelang es nun erstmalig, die auftretende absolute Konstante C mit C=114,667 numerisch abzuschätzen. Weiterhin werden in der Arbeit sogenannte Grenzwertsätze für mittlere Abweichungen studiert. Hier werden erstmalig auch Restgliedabschätzungen abgeleitet. Der in den letzten Jahren zum Beweis von Grenzwertsätzen eingeschlagene Weg über die Faltung von Verteilungsfunktionen erwies sich als bahnbrechend und bestimmte die Entwicklung sowohl der Theorie der Grenzwertsätze für mittlere und große Abweichungen als auch der Untersuchung zu den ungleichmäßigen Abschätzungen im zentralen Grenzwertsatz bedeutend. Die Faltungsmethode stellt in der vorliegenden Dissertationsschrift das hauptsächliche Beweisinstrument dar. Damit gelang es, eine Reihe neuer Ergebnisse zu erhalten und insbesondere mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. / With the presented work new contributions to basic research in the field of limit theorems of probability theory are given. Limit theorems for sums of independent random variables taking on the most diverse lines of research in probability theory an important place in modern times and are no longer only of theoretical interest. In the work results are presented to newer problems on the summation theory of independent random variables, at first time in the fifties and sixties of the 20th Century appeared in the literature and have been studied in the past few years with great interest. International two main directions have emerged in the theory of limit theorems: Firstly, the questions on the convergence speed of a cumulative distribution function converges to a predetermined limit distribution function, and on the other hand the questions on an error estimate for the limit distribution function at a finite summation process. First indefinite divisible limit distribution functions are considered, then the normal distribution is specifically discussed as a limit distribution. As characteristic parameters both moments or one-sided moments or pseudo-moments are used. The error estimates are stated both in uniform as well as non-uniform residual bounds including a description of the occurring absolute constants. Both the method of characteristic functions as well as direct methods (convolution method) can be further expanded as proof methods. Now for the error estimate, 1965 given by Bikelis, was the first time to estimate the appearing absolute constant C with C = 114.667 numerically. Furthermore, in the work of so-called limit theorems for moderate deviations are studied. Here also remainder estimates are derived for the first time. In recent years to the proof of limit theorems the chosen way of the convolution of distribution functions proved to be groundbreaking and determined the development of both the theory of limit theorems for moderate and large deviations as well as the investigation into the nonuniform estimates in the central limit theorem significantly. The convolution method is in the present thesis, the main instrument of proof. Thus, it was possible to obtain a series of results and obtain new numerical results in particular by means of electronic data processing.

The Generalized Finite Element Method (GFEM) is essentially a partition of unity based method (PUM) that explores the Partition of Unity (PoU) concept to match a set of functions chosen to efficiently approximate the solution locally. Despite its well-known advantages, the method may present some drawbacks. For instance, increasing the approximation space through enrichment functions may introduce linear dependences in the solving system of equations, as well as the appearance of blending elements. To address the drawbacks pointed out above, some improved versions of the GFEM were developed. The Stable GFEM (SGFEM) is a first version hereby considered in which the GFEM enrichment functions are modified. The Higher Order SGFEM proposes an additional modification for generating the shape functions attached to the enriched patch. This research aims to present and numerically test these new versions recently proposed for the GFEM. In addition to highlighting its main features, some aspects about the numerical integration when using the higher order SGFEM, in particular are also addressed. Hence, a splitting rule of the quadrilateral element area, guided by the PoU definition itself is described in detail. The examples chosen for the numerical experiments consist of 2-D panels that present favorable geometries to explore the advantages of each method. Essentially, singular functions with good properties to approximate the solution near corner points and polynomial functions for approximating smooth solutions are examined. Moreover, a comparison among the conventional FEM and the methods herein described is made taking into consideration the scaled condition number and rates of convergence of the relative errors on displacements. Finally, the numerical experiments show that the Higher Order SGFEM is the more robust and reliable among the versions of the GFEM tested. / O Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) é essencialmente baseado no método da partição da unidade, que explora o conceito de partição da unidade para compatibilizar um conjunto de funções escolhidas para localmente aproximar de forma eficiente a solução. Apesar de suas vantagens bem conhecidas, o método pode apresentar algumas desvantagens. Por exemplo, o aumento do espaço de aproximação por meio das funções de enriquecimento pode introduzir dependências lineares no sistema de equações resolvente, assim como o aparecimento de elementos de mistura. Para contornar as desvantagens apontadas acima, algumas versões aprimoradas do MEFG foram desenvolvidas. O MEFG Estável é uma primeira versão aqui considerada na qual as funções de enriquecimento do MEFG são modificadas. O MEFG Estável de ordem superior propõe uma modificação adicional para a geração das funções de forma atreladas ao espaço enriquecido. Esta pesquisa visa apresentar e testar numericamente essas novas versões do MEFG recentemente propostas. Além de destacar suas principais características, alguns aspectos sobre a integração numérica quando usado o MEFG Estável de ordem superior, em particular, são também abordados. Por exemplo, detalha-se uma regra de divisão da área do elemento quadrilateral, guiada pela própria definição de sua partição da unidade. Os exemplos escolhidos para os experimentos numéricos consistem em chapas com geometrias favoráveis para explorar as vantagens de cada método. Essencialmente, examinam-se funções singulares com boas propriedades de aproximar a solução nas vizinhanças de vértices de cantos, bem como funções polinomiais para aproximar soluções suaves. Ademais, uma comparação entre o MEF convencional e os métodos aqui descritos é feita levando-se em consideração o número de condição do sistema escalonado e as razões de convergência do erro relativo em deslocamento. Finalmente, os experimentos numéricos mostram que o MEFG Estável de ordem superior é a mais robusta e confiável entre as versões do MEFG testadas.

Part I - Level crossings and other level functionals.<br />Part II - Some contributions in statistics of extremes and in statistical mechanics.

The Generalized Finite Element Method (GFEM) is essentially a partition of unity based method (PUM) that explores the Partition of Unity (PoU) concept to match a set of functions chosen to efficiently approximate the solution locally. Despite its well-known advantages, the method may present some drawbacks. For instance, increasing the approximation space through enrichment functions may introduce linear dependences in the solving system of equations, as well as the appearance of blending elements. To address the drawbacks pointed out above, some improved versions of the GFEM were developed. The Stable GFEM (SGFEM) is a first version hereby considered in which the GFEM enrichment functions are modified. The Higher Order SGFEM proposes an additional modification for generating the shape functions attached to the enriched patch. This research aims to present and numerically test these new versions recently proposed for the GFEM. In addition to highlighting its main features, some aspects about the numerical integration when using the higher order SGFEM, in particular are also addressed. Hence, a splitting rule of the quadrilateral element area, guided by the PoU definition itself is described in detail. The examples chosen for the numerical experiments consist of 2-D panels that present favorable geometries to explore the advantages of each method. Essentially, singular functions with good properties to approximate the solution near corner points and polynomial functions for approximating smooth solutions are examined. Moreover, a comparison among the conventional FEM and the methods herein described is made taking into consideration the scaled condition number and rates of convergence of the relative errors on displacements. Finally, the numerical experiments show that the Higher Order SGFEM is the more robust and reliable among the versions of the GFEM tested. / O Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) é essencialmente baseado no método da partição da unidade, que explora o conceito de partição da unidade para compatibilizar um conjunto de funções escolhidas para localmente aproximar de forma eficiente a solução. Apesar de suas vantagens bem conhecidas, o método pode apresentar algumas desvantagens. Por exemplo, o aumento do espaço de aproximação por meio das funções de enriquecimento pode introduzir dependências lineares no sistema de equações resolvente, assim como o aparecimento de elementos de mistura. Para contornar as desvantagens apontadas acima, algumas versões aprimoradas do MEFG foram desenvolvidas. O MEFG Estável é uma primeira versão aqui considerada na qual as funções de enriquecimento do MEFG são modificadas. O MEFG Estável de ordem superior propõe uma modificação adicional para a geração das funções de forma atreladas ao espaço enriquecido. Esta pesquisa visa apresentar e testar numericamente essas novas versões do MEFG recentemente propostas. Além de destacar suas principais características, alguns aspectos sobre a integração numérica quando usado o MEFG Estável de ordem superior, em particular, são também abordados. Por exemplo, detalha-se uma regra de divisão da área do elemento quadrilateral, guiada pela própria definição de sua partição da unidade. Os exemplos escolhidos para os experimentos numéricos consistem em chapas com geometrias favoráveis para explorar as vantagens de cada método. Essencialmente, examinam-se funções singulares com boas propriedades de aproximar a solução nas vizinhanças de vértices de cantos, bem como funções polinomiais para aproximar soluções suaves. Ademais, uma comparação entre o MEF convencional e os métodos aqui descritos é feita levando-se em consideração o número de condição do sistema escalonado e as razões de convergência do erro relativo em deslocamento. Finalmente, os experimentos numéricos mostram que o MEFG Estável de ordem superior é a mais robusta e confiável entre as versões do MEFG testadas.

Ce mémoire de thèse est consacré à l’équation de Fokker-Planckpartial_ f=∆f+div(Ef).Il est subdivisé en deux parties :une partie linéaire et une partie non linéaire. Dans la partie linéaire on considère un champ de vecteur E(x) dépendant seulement de x. Cette partie est constituée des chapitres 3, 4 et 5. Dans le chapitre 3 on montre que l’opérateur linéaire Lf :=∆ f + div(E f ) est le générateur d’un semi-groupe fortement continu (SL(t))_{t≥0} dans tous les espaces L^p. On y établit également que le semi-groupe (SL(t))_{t≥0} est positif et ultracontractif. Dans le chapitre 4 nous montrons comment est qu’une décomposition adéquate de l’opérateur L permet d’établir certaines propriétés du semi-groupe (SL(t))_{t≥0} notamment sa bornitude. Le chapitre 5 est consacré à l’existence d’un état d’équilibre. De plus on y montre que cet état d’équi- libre est asymptotiquement stable. Dans la partie non linéaire on considère un champ de vecteur de la forme E(x,f) := x+nabla (a*f) ou a et f sont des fonctions assez régulières et * est l’opérateur de convolution. Cette parties est contituée des chapitre 6 et 7. Dans le chapitre 6 nous établissons que poura appartenant à W^{2,infini}_locl’équation de Fokker-Planck non linéaire admet une unique solution locale dans l’espace L^2_{K_alpha} (R^d). Dans le dernier chapitre nous montrons que le problème non linéaire admet une solution globale. De plus cette solution dépend continument des données. / This thesis is devoted to the Fokker-Planck équation partial_t f =∆f + div(E f).It is divided into two parts. The rst part deals with the linear problem. In this part we consider a vector E(x) depending only on x. It is composed of chapters 3, 4 and 5. In chapter 3 we prove that the linear operator Lf :=∆f + div(Ef ) is an in nitesimal generator of a strong continuous semigroup (SL(t))_{t≥0}. We establish also that (SL(t))_{t≥0} is positive and ultracontractive. In chapter 4 we show how an adequate decomposition of the linear operator L allows us to deduce interesting properties for the semigroup (SL(t))_{t≥0}. Indeed using this decomposition we prove that (SL(t))_{t≥0} is a bounded semigroup. In the last chapter of this part we establish that the linear Fokker-Planck admits a unique steady state. Moreover this stationary solution is asymptotically stable.In the nonlinear part we consider a vector eld of the form E(x, f ) := x +nabla (a *f ), where a and f are regular functions. It is composed of two chapters. In chapter 6 we establish that fora in W^{2,infini}_locthe nonlinear problem has a unique local solution in L^2_{K_alpha}(R^d); . To end this part we prove in chapter 7 that the nonlinear problem has a unique global solution in L^2_k(R^d). This solution depends continuously on the data.