Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:09Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-10-15Bitstream added on 2014-06-13T20:47:45Z : No. of bitstreams: 1 delbem_nf_me_rcla.pdf: 885461 bytes, checksum: 9ba35dff1d53b0378c1e134087c575b7 (MD5) / Universidade Estadual Paulista (UNESP) / Esta dissertação tem a proposta de organizar, discutir e apresentar de maneira precisa os conceitos matemáticos de variedade diferenciável e de tensores envolvidos no estudo da Cosmologia sob o ponto de vista da Teoria da Relatividade Geral para o modelo de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Busca-se assim apresentar um texto didático que possa ser utilizado tanto nos cursos de graduação em Matemática como de Física para uma disciplina optativa de Introdução Matemática à Cosmologia / The goal of this dissertation is to organize and discuss in a rigorous way the mathematical concepts of manifolds and tensors needed to the study of Cosmology and the Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker model under the point of view of the General Relativity. In this way, this dissertation was written as textbook that could be used in an undergraduate course of Physics and Mathematics

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este trabalho consiste na aplicação de métodos espectrais para obter a evolução de sistemas isolados que possam emitir ondas gravitacionais no regime não-linear pleno da Relatividade Geral. A perspectiva da detecção de ondas gravitacionais nos próximos anos torna premente a construção de padrões temporais e angulares de ondas gravitacionais emitidas por sistemas que são fortes candidatos a fontes intensas de ondas gravitacionais. Estudamos a evolução de esferóides de matéria emitindo ondas gravitacionais e um campo de radiação nula onde o espaço-tempo exterior é descrito pelas equações de Robinson- Trautman. O campo de radiação nula é esperado em um colapso gravitacional realístico e pode representar uma superposição incoerente de ondas eletromagnéticas, neutrinos ou campos escalares sem massa. Analisamos a evolução do espectro de emissão de ondas gravitacionais e a extração de massa do sistema devido à emissão de ambos os tipos de radiação. Apresentamos também o primeiro código numérico utilizando o método de Galerkin para integrar as equações de campo do problema de Bondi. Realizamos vários testes numéricos para verificar a convergência, estabilidade e precisão, obtendo resultados promissores. Esse código abre várias possibilidades de aplicações em cenários mais gerais de espaços-tempos com ondas gravitacionais. / This work consists of applying spectral methods to obtain the evolution of isolated systems that can emit gravitational waves in the full nonlinear regime of General Relativity. The perspective of detection of gravitational waves in the next years means that the construction of angular and temporal patterns of gravitational waves emitted by systems that are strong candidates for intense sources of gravitational waves has become pressing.The evolution of spheroids of matter emitting gravitational waves and a null radiation field is studied in the realm of radiative Robinson-Trautman spacetimes. The null radiation field is expected in realistic gravitational collapse and can be either an incoherent superposition of waves of electromagnetic, neutrino or massless scalar fields. We studied the evolution of the angular pattern of gravitational wave emission and the mass extraction of the bounded configuration through the emission of both types of radiations. We present the first numerical code based on the Galerkin method to integrate the field equations of the Bondi problem. Several numerical tests were performed to verify the issues of convergence, stability and accuracy with promising results. This code opens up several possibilities of applications in more general scenarios for studying the evolution of spacetimes with gravitational waves.

Neste trabalho aplicamos métodos espectrais para a determinação da configuração inicial de três espaços-tempos contendo buracos negros. Para isto apresentamos primeiro a foliação do espaço-tempo em hipersuperfícies tridimensionais espaciais parametrizadas pela função temporal t. Este processo é chamado de decomposição 3+1 [2] [5]. O resultado deste processo são dois conjuntos de equações classificadas em equações de vínculo e evolução [4]. As equações de vínculo podem ser divididas em vínculos Hamiltoniano e dos momentos. Para a obtenção dos dados iniciais dos problemas estudados aqui, apenas a equação de vínculo Hamiltoniano será resolvida numericamente, pois as equações de vínculo dos momentos possuem solução analítica nestes casos. Uma pequena descrição dos métodos espectrais é apresentada, destacando-se os método de Galerkin, método pseudoespectral ou de colocação e método de Tau, que são empregados na resolução das equações de vínculo Hamiltoniano dos problemas estudados. Verificamos que os resultados obtidos neste trabalho superam aqueles produzidos por Kidder e Finn [15], devido a uma escolha diferente das funções de base, que aqui satisfazem uma das condições de contorno. / In this work we apply spectral methods for determining the initial configuration of three spacetimes containing black holes. For this we present first the foliation of spacetime into three-dimensional spacelike hypersurfaces parameterized by the time function t. This process is called 3 + 1 decomposition [2] [5]. The result of this process are two sets of equations classified into constraint and evolution equations [4]. The constraint equations can be divided into Hamiltonian and momentum constraints.To obtain the initial data of the problems studied here, only the Hamiltonian constraint is solved numerically, since the momentum constraint of these cases have analytical solution. A short description of spectral methods is presented, highlighting Galerkin method, pseudospectral or collocation method and Tau method, which are employed in solving the constraint equations Hamiltonian of the problems studied. We found that the results obtained in this work outperform those produced by Kidder and Finn [15], due to a different choice of basis functions, which meet here one of the boundary conditions.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este trabalho consiste na aplicação de métodos espectrais para obter a evolução de sistemas isolados que possam emitir ondas gravitacionais no regime não-linear pleno da Relatividade Geral. A perspectiva da detecção de ondas gravitacionais nos próximos anos torna premente a construção de padrões temporais e angulares de ondas gravitacionais emitidas por sistemas que são fortes candidatos a fontes intensas de ondas gravitacionais. Estudamos a evolução de esferóides de matéria emitindo ondas gravitacionais e um campo de radiação nula onde o espaço-tempo exterior é descrito pelas equações de Robinson- Trautman. O campo de radiação nula é esperado em um colapso gravitacional realístico e pode representar uma superposição incoerente de ondas eletromagnéticas, neutrinos ou campos escalares sem massa. Analisamos a evolução do espectro de emissão de ondas gravitacionais e a extração de massa do sistema devido à emissão de ambos os tipos de radiação. Apresentamos também o primeiro código numérico utilizando o método de Galerkin para integrar as equações de campo do problema de Bondi. Realizamos vários testes numéricos para verificar a convergência, estabilidade e precisão, obtendo resultados promissores. Esse código abre várias possibilidades de aplicações em cenários mais gerais de espaços-tempos com ondas gravitacionais. / This work consists of applying spectral methods to obtain the evolution of isolated systems that can emit gravitational waves in the full nonlinear regime of General Relativity. The perspective of detection of gravitational waves in the next years means that the construction of angular and temporal patterns of gravitational waves emitted by systems that are strong candidates for intense sources of gravitational waves has become pressing.The evolution of spheroids of matter emitting gravitational waves and a null radiation field is studied in the realm of radiative Robinson-Trautman spacetimes. The null radiation field is expected in realistic gravitational collapse and can be either an incoherent superposition of waves of electromagnetic, neutrino or massless scalar fields. We studied the evolution of the angular pattern of gravitational wave emission and the mass extraction of the bounded configuration through the emission of both types of radiations. We present the first numerical code based on the Galerkin method to integrate the field equations of the Bondi problem. Several numerical tests were performed to verify the issues of convergence, stability and accuracy with promising results. This code opens up several possibilities of applications in more general scenarios for studying the evolution of spacetimes with gravitational waves.

Neste trabalho aplicamos métodos espectrais para a determinação da configuração inicial de três espaços-tempos contendo buracos negros. Para isto apresentamos primeiro a foliação do espaço-tempo em hipersuperfícies tridimensionais espaciais parametrizadas pela função temporal t. Este processo é chamado de decomposição 3+1 [2] [5]. O resultado deste processo são dois conjuntos de equações classificadas em equações de vínculo e evolução [4]. As equações de vínculo podem ser divididas em vínculos Hamiltoniano e dos momentos. Para a obtenção dos dados iniciais dos problemas estudados aqui, apenas a equação de vínculo Hamiltoniano será resolvida numericamente, pois as equações de vínculo dos momentos possuem solução analítica nestes casos. Uma pequena descrição dos métodos espectrais é apresentada, destacando-se os método de Galerkin, método pseudoespectral ou de colocação e método de Tau, que são empregados na resolução das equações de vínculo Hamiltoniano dos problemas estudados. Verificamos que os resultados obtidos neste trabalho superam aqueles produzidos por Kidder e Finn [15], devido a uma escolha diferente das funções de base, que aqui satisfazem uma das condições de contorno. / In this work we apply spectral methods for determining the initial configuration of three spacetimes containing black holes. For this we present first the foliation of spacetime into three-dimensional spacelike hypersurfaces parameterized by the time function t. This process is called 3 + 1 decomposition [2] [5]. The result of this process are two sets of equations classified into constraint and evolution equations [4]. The constraint equations can be divided into Hamiltonian and momentum constraints.To obtain the initial data of the problems studied here, only the Hamiltonian constraint is solved numerically, since the momentum constraint of these cases have analytical solution. A short description of spectral methods is presented, highlighting Galerkin method, pseudospectral or collocation method and Tau method, which are employed in solving the constraint equations Hamiltonian of the problems studied. We found that the results obtained in this work outperform those produced by Kidder and Finn [15], due to a different choice of basis functions, which meet here one of the boundary conditions.

A colisão de buracos negros é uma das fontes mais importantes de ondas gravitacionais e, em geral, a emissão anisotrópica da radiação causa um recuo do objeto final. Este cenário já é conhecido há décadas, mas foi somente com o recente avanço na relatividade numérica que as velocidades finais dos objetos radiantes foram computadas com precisão. Os valores encontrados podem ser altos o suficiente para exercerem um importante papel no crescimento de buracos negros super massivos via coleção de galáxias e na abundância de núcleos galáticos ativos contendo buracos negros. Este é um autêntico efeito da não linearidade de Relatividade Geral e esta tese fornece uma nova metodologia estudar alguns aspectos da dinâmica da colisão de buracos negros. Consideramos o horizonte como uma tela canônica que codifica as informações da evolução temporal do espaço-tempo. Com esta hipótese, fenômenos como o anti-kick, isto é, uma súbita desaceleração do sistema antes de atingir a velocidade final, são explicado em termos da dissipação das deformações do horizonte. Estudamos primeiramente o Espaço-tempo de Robinson-Trautman. Uma das solução mais simples das equações de Einstein, esta métrica nos fornece um poderoso modelo para investigar tanto a perda de massa quanto o recuo do objeto final. Mostramos que, quando as configurações iniciais tem simetria especular, a massa do buraco negro remanescente e a energia irradiada são completamente determinadas pela condição inicial. Com isso, obtemos as expressões analíticas dos resultados numéricos obtidos anteriormente na literatura. Além disto, com o auxilio do método espectral de Galerkin, analisamos o regime não linear das equações envolvidas e verificamos que se pode estimar a velocidade de recuo final com boa precisão a partir de medidas da assimetria da condição inicial. Introduzimos na seqüência a curvatura efetiva como uma medida das deformações intrínsecas ao horizonte. Além de considerar as deformações gerais, ela também inclui as diferenças entre os hemisférios norte e sul. No espaço-tempo de Robinson-Trautman, essa quantidade se correlaciona de uma forma injetora com a velocidade final. Para superar algumas limitações dessa solução, aplicamos o mesmo procedimento nos resultados da simulação numérica de uma colisão head-on. Neste caso, a curvatura efetiva, está na realidade, correlacionada com a aceleração do sistema. Refinamentos e generalizações desta técnica são também discutidos e propostos para trabalhos futuros. / Colliding black holes are one of the most important sources of gravitational waves and the anisotropic emission of the radiation generally causes the recoil of the final hole. This scenario has been known for decades, but it is only thanks to the recent progress in numerical relativity that the final velocity have been accurately computed. The values found can be large enough to play an important role in the growth of supermassive black holes via mergers of galaxies and on the number of galaxies containing them. This is a genuine nonlinear effect of general relativity and this thesis provides a new methodology to study some features on the dynamics of the collision. We propose that the horizon is a canonical screen, which encodes he information of its surroundings. With this assumption, phenomena such as the anti-kick, namely the sudden deceleration before reaching the final velocity, are explained in terms of the dissipation of the horizons deformation. We first study the Robinson-Trautman spacetime. One of the simplest solutions of Einsteins equations, it provides us with a powerful toymodel to investigate both the mass loss of the system and the recoil of the final object. We show that, for the case of reflectionsymmetric initial configurations, the mass of the remnant black-hole and the total energy radiated away are completely determined by the initial data, allowing us to obtain analytical expressions for some numerical results that had appeared in the literature. Moreover, by using the Galerkin spectral method to analyze the non-linear regime of the equations involved, we found that the recoil velocity can be estimated with good accuracy from some symmetry measures of the initial data. Then we introduce the effective urvature as a measure of intrinsic deformations on the horizon. Not only does it account for overall deformation, but also for the differences on the north and south hemispheres. In the Robinson-Trautman spacetime, this quantity correlates in an injective way with the final velocity. To overcome some caveats of this solutions, we apply the same procedure to the results given by numerical simulations of a head-on collision. In the case, the effective curvature is actually correlated with the acceleration of the system. Further improvement and generalizations of this technic is also discussed and proposed for future work.

A colisão de buracos negros é uma das fontes mais importantes de ondas gravitacionais e, em geral, a emissão anisotrópica da radiação causa um recuo do objeto final. Este cenário já é conhecido há décadas, mas foi somente com o recente avanço na relatividade numérica que as velocidades finais dos objetos radiantes foram computadas com precisão. Os valores encontrados podem ser altos o suficiente para exercerem um importante papel no crescimento de buracos negros super massivos via coleção de galáxias e na abundância de núcleos galáticos ativos contendo buracos negros. Este é um autêntico efeito da não linearidade de Relatividade Geral e esta tese fornece uma nova metodologia estudar alguns aspectos da dinâmica da colisão de buracos negros. Consideramos o horizonte como uma tela canônica que codifica as informações da evolução temporal do espaço-tempo. Com esta hipótese, fenômenos como o anti-kick, isto é, uma súbita desaceleração do sistema antes de atingir a velocidade final, são explicado em termos da dissipação das deformações do horizonte. Estudamos primeiramente o Espaço-tempo de Robinson-Trautman. Uma das solução mais simples das equações de Einstein, esta métrica nos fornece um poderoso modelo para investigar tanto a perda de massa quanto o recuo do objeto final. Mostramos que, quando as configurações iniciais tem simetria especular, a massa do buraco negro remanescente e a energia irradiada são completamente determinadas pela condição inicial. Com isso, obtemos as expressões analíticas dos resultados numéricos obtidos anteriormente na literatura. Além disto, com o auxilio do método espectral de Galerkin, analisamos o regime não linear das equações envolvidas e verificamos que se pode estimar a velocidade de recuo final com boa precisão a partir de medidas da assimetria da condição inicial. Introduzimos na seqüência a curvatura efetiva como uma medida das deformações intrínsecas ao horizonte. Além de considerar as deformações gerais, ela também inclui as diferenças entre os hemisférios norte e sul. No espaço-tempo de Robinson-Trautman, essa quantidade se correlaciona de uma forma injetora com a velocidade final. Para superar algumas limitações dessa solução, aplicamos o mesmo procedimento nos resultados da simulação numérica de uma colisão head-on. Neste caso, a curvatura efetiva, está na realidade, correlacionada com a aceleração do sistema. Refinamentos e generalizações desta técnica são também discutidos e propostos para trabalhos futuros. / Colliding black holes are one of the most important sources of gravitational waves and the anisotropic emission of the radiation generally causes the recoil of the final hole. This scenario has been known for decades, but it is only thanks to the recent progress in numerical relativity that the final velocity have been accurately computed. The values found can be large enough to play an important role in the growth of supermassive black holes via mergers of galaxies and on the number of galaxies containing them. This is a genuine nonlinear effect of general relativity and this thesis provides a new methodology to study some features on the dynamics of the collision. We propose that the horizon is a canonical screen, which encodes he information of its surroundings. With this assumption, phenomena such as the anti-kick, namely the sudden deceleration before reaching the final velocity, are explained in terms of the dissipation of the horizons deformation. We first study the Robinson-Trautman spacetime. One of the simplest solutions of Einsteins equations, it provides us with a powerful toymodel to investigate both the mass loss of the system and the recoil of the final object. We show that, for the case of reflectionsymmetric initial configurations, the mass of the remnant black-hole and the total energy radiated away are completely determined by the initial data, allowing us to obtain analytical expressions for some numerical results that had appeared in the literature. Moreover, by using the Galerkin spectral method to analyze the non-linear regime of the equations involved, we found that the recoil velocity can be estimated with good accuracy from some symmetry measures of the initial data. Then we introduce the effective urvature as a measure of intrinsic deformations on the horizon. Not only does it account for overall deformation, but also for the differences on the north and south hemispheres. In the Robinson-Trautman spacetime, this quantity correlates in an injective way with the final velocity. To overcome some caveats of this solutions, we apply the same procedure to the results given by numerical simulations of a head-on collision. In the case, the effective curvature is actually correlated with the acceleration of the system. Further improvement and generalizations of this technic is also discussed and proposed for future work.

Neste trabalho nós propomos uma estratégia Euclidiana para entender o efeito Unruh. Com este objetivo, nós inicialmente o estudamos para campos livres escalares sem massa, numa forma que é normalmente apresentada aos físicos e que é mais próxima ao trabalho original de Unruh I321| . Logo em seguida, deduzimos o efeito de um ponto de vista algébrico. Com este objetivo, estudamos as propriedades e as definições de estados KMS para compreender como um estado de equilíbrio é descrito na abordagem algébrica. Apresentamos os axiomas de Wightman para campos escalares assim como os de Osterwalder-Schrader. Usamos, então, o Teorema de Bisognano-Wichmann para estes campos e concluímos, baseados no trabalho de Sewell [27], que um observador uniformemente acelerado vê o estado de vácuo dos observadores inerciais como um estado KMS, e portanto, como um estado de equilíbrio. Novamente, concluímos a existência do efeito Unruh. Finalmente estudamos algumas relações entre probabilidade e análise funcional. Este estudo é fundamental para o entendimento do trabalho de Klein e Landau [15] e de Gérard e Jakel [7]. Estes trabalhos afirmam que existe uma relação biunívoca entre certos estados KMS e certos processos estocásticos (Klein e Landau) e uma relação entre certos processos estocásticos e espaços de trajetórias generalizados (Gérard e Jakel). Usando estes trabalhos e as funções de Schwinger para campos escalares, deduzimos o efeito Unruh de uma nova maneira. Acreditamos que este trabalho mostra um ponto de vista interessante do efeito Unruh e ilustra o uso do formalismo Euclidiano em teorias quânticas dos campos. Mesmo que algumas demonstrações para uma prova completa do efeito, usando técnicas Euclidianas, não são obtidas, devido às dificuldades técnicas encontradas, acreditamos que o material apresentado neste trabalho fornece, no mínimo, uma boa estratégia para a compreensão completa deste fenômeno físico. Além disto, as técnicas que são mostradas podem ser usadas em diversos problemas, como a construção de campos interagentes a uma temperatura finita, que permanecem atuais e promissores. / This paper proposes a Euclidean strategy to understand the Unruh effect. On that ground we first study it for free massless scalar fields the way it is usually presented to pliysicists, which is closer to Unruh\'s original work [32]. Then we infer the effect from an algebraic perspective. We study the proprieties and definitions of KklS states in order to understand the description of an equilibrium state in the algebraic approach. We present the Wightman\'s as well as Osterwalder-Schrader\'s axioms for scalar fields. Then we use the Bisognano-Wichmann theorem for these fields and conclude, based on Sewell work 1271, that a uniformly accelerated observer will observe tlie vacuum state of inertial observers as a KMS state and thus as an equilibrium state. Once again we infer the existence of the Cnruh effect. Finally we study some relations between probability and functional analysis. This study is crucial for understanding the work of Klein and Landau 1151 as well as of Gérard and Jakel (71. They state there is a biunivocal relation between certain KMS states and certain stochastic processes (Klein and Landau) and a relation between certain stochastic processes and generalized path spaces (Gérard and Jakel). Lsing these works and Schwinger functions for scalar fields, we deduce tlie Unruh effect in a new way. LVe believe this work shows an interesting aspect of the Unruh effect and represents the use of Euclidean formalism in quantum field theory. Although some demonstrations for a complete proof of the Unruh effect using Euclidean techniques were not obtained due to technical difficulties we faced, we believe the material presented in this paper provides at least a good strategy for the complete understanding of this physical phenomenon. Furthermore the techniques shown, which remain current and promising, can be used in different problems, sudy as the construction of interacting fields at a finite temperature.

Desenvolvemos aqui um estudo das formulações alternativas-equivalentes da Relatividade Geral, baseada no formalismo de conexões de Ashtekar. Iniciamos discutindo a estrutura matemática necessária de fibrados e conexões, e a teoria de sistemas Hamiltonianos vinculados. Em seguida, damos uma breve introdução ao formalismo métrico de Einstein e então passamos ao formalismo geometrodinâmico canônico (formalismo ADM). Introduzimos as transformações no espaço de fase que geram as formulações alternativas, de forma generalizada tal que possamos obter ambas as variáveis complexas de Ashtekar ou as variáveis reais de Barbero, ou mesmo qualquer forma intermediária por meio do parâmetro de Immirzzi. / We develop here a study of the alternative-equivalent formulations of General Relativity, based on Ashtekars connexion formalism. We begin discussing the mathematical structure needed of fibre bundles and connexions, and the theory of constrained Hamiltonian systems. Next, we give a brief introduction for Einsteins metric formalism and then we pass to the canonical geometrodynamic formalism (ADM formalism). We introduce the transformations of the phase space which generate the alternative formulations, in a generalized form such that we can obtain both Ashtekars complex variables or Barberos real variables, or even any intermediary form by using the Immirzzi parameter.

Cerca de 25% do conteúdo energético do universo se encontra sob uma forma de natureza ainda não determinada e é conhecida pelo nome de matéria escura. Desde as primeiras especulações acerca de sua existência (Zwicky ~ 1933), vários modelos foram propostos na tentativa de justificar os dados observacionais encontrados mas, até hoje, nenhum deles foi capaz de cumprir essa tarefa a contento. Nesta dissertação, apresentaremos uma breve discussão desses modelos, além de propor um novo, baseado na idéia de que tanto a matéria escura quanto a energia escura possam ser compostas pelo campo escalar de Born-Infeld. / Nearly twenty five percent of the energetic content of the universe appears in a form that is still unknown and is named dark matter. Since the first speculations about its existence (Zwicky ~1933), many models have been proposed trying to justify all the observed data but, until now, none of them has been able to solve this problem. In this monography, we will present a brief discussion about these models and propose a new one, based on the idea that both dark matter and dark energy could be the Born Infeld scalar field.