Abordaremos o estudo de condições para que certas equações diferenciais parciais tenham solução. Consideraremos equações do tipo Lu = f; onde tomamos L em algumas classes de campos vetoriais em toros de dimensão maior que dois. Tais campos vetoriais são operadores que agem no espaço das funções definidas no toro e que são infinitamente diferenciáveis. A principal questão é determinar quando tais operadores têm imagem fechada. Temos também interesse em saber quando que a imagem de tais operadores e um subespaço de codimensão finita, bem como estudar a regularidade de tais operadores. As respostas de tais questões envolvem certas propriedades dos coeficientes desses operadores, onde citamos: a conexidade de sub-níveis de primitivas da parte imaginária dos coeficientes; condições Diofantinas; a ordem de anulamento dos coeficientes e relações entre as ordens de anulamento das partes real e imaginária dos coeficientes; além disso, o número de vezes que a parte imaginária de um coeficiente c muda de sinal entre dois zeros consecutivos de c também desempenha um papel. Conseguimos caracterizar a resolubilidade e a hipoelíticidade global de campos vetoriais do tipo tubo em toros de dimensão maior do que dois, estendendo os resultados em dimensão dois. Depois, em dimensões, fornecemos condições que respondem sobre a imagem ser ou não fechada, para uma outra classe de campos vetoriais que não são do tipo tubo. Uma de tais condições esta relacionada com a famosa condição (P) de Nirenberg-Treves. Em particular, obtemos o mesmo para uma classe de campos vetoriais em dimensão são dois, para os quais a codimensão da imagem foi exaustivamente estudada. / We are concerned with the study of properties so that we can solve certain partial differential equations. We will consider equations of the form Lu = f; where we take L in some classes of vector fields on tori of dimension greater than two. This vector fields are viewed as operators acting on the space of smooth functions deffned on the torus. The main questions to study the closedness of the range of L. It is also of interest to know whe ther the range has finite codimension, as well as to study the regularity of L. The answers of these questions are connected with certain properties of the coeffcients of L; such as: Diophantine conditions; the connectedness of some sublevel sets involving primitive so fthe imaginary part of the coeffcients; the order of vanishing of each coeffcient and relations between the order of vanishing of the real and imaginary parts of each coeffcient; in addition, the number of times that the imaginary part of a coeffcient c changes sign between two consecutive zeros of c also plays a role. We characterize both global solvability and hypoellipticity for vector fields of tube type on tori of dimension greater than two, extending the results in dimension two. More over, in dimension three, we find conditions for the closedness of the range for a class of vector fields which are not of tube type. One of theese conditions is related to the well known Nirenberg-Treves condition (P). In particular,we obtain the same for a class of vector fields on the two- torus,for which the codimension of the range was largely studied.

Esta dissertação expõe sobre a resolubilidade do campo vetorial complexo L = ∂ /∂t +(a(x) + ib(x))∂/∂x, b ≢ 0 definido em Ωε = (-ε, ε) × S1, ε > 0, perto do conjunto característico Σ = {0} × S1, sendo a e b funções de classe C∞ em (- ε, ε) a valores reais. Os resultados apresentados mostram que a resolubilidade de L em uma vizinhança cheia de Σ depende da relação entre as ordens de anulamento de a e b em x = 0. / This dissertation deals with the solvability of complex vector fieldL = ∂ /∂t +(a(x) + ib(x))∂/∂x, b ≢ 0 defined on Ωε = (-ε ε) × S1, ε > 0, near the characteristic set Σ = {0} × S1, where a and b are C∞ real-valued functions in (- ε, ε). The presented results show hat solvability of L in a full neighborhood of Σ depends on the interplay between the order of vanishing of the functions and a and b at x = 0.

We are interested in studying an involutive system defined by a closed non-exact 1-form on a closed and orientable surface. Here we present a necessary condition for the global solvability of this system. We also make some particular constructions of globally solvable systems that motivate the equivalence between the global solvability and the necessary condition, for two cases involving 1-forms of the Morse type, namely, when the surface is the bitorus or when the 1-form is generic / Nosso interesse é estudar um sistema involutivo definido por uma 1-forma fechada e não-exata em uma superfície fechada e orientável. Apresentamos aqui uma condição necessária para a resolubilidade global desde sistema. Nós também construímos exemplos de sistemas globalmente resolúveis que nos permitiram fornecer a equivalência entre a resolubilidade global e a condição necessária, para dois casos envolvendo 1-formas do tipo Morse: quando a superfície é o bitoro ou quando a 1-forma é genérica

O tema em estudo é a resolubilidade global de campos vetoriais em \'T POT. 2 IND. (x,t)\' da forma L = \'\\partial IND. t\' +a(x) \'\\PARTIAL IND. x\', onde a \'PERTENCE\' \'C POT. INFINITO\' (\'T POT. 1\' ) é uma função real. Consideraremos o caso em que o operador L age no espaço de funções e o caso em que L age no espaço de distribuições. Utilizando teoria de distribuições, forneceremos condições necessárias e sufiientes para que a imagem de L seja um subespaço fechado, ou seja, para que L seja globalmente resolúvel. O caso mais interessante ocorre quando a função a se anula em algum ponto mas não é identicamente nula; neste caso, L será globalmente resolúvel se, e somente se, \'a POT. -1\' (0) contiver apenas zeros de ordem finita. Faremos também o estudo da resolubilidade global de operadores da forma P = \'\\PARTIAL IND. t\' + \\PARTIAL IND. x\' (\'a AST .\'), os quais são perturbações por um termo de ordem zero dos campos da forma L. Os operadores da forma P surgem quando consideramos o transposto de um operador da forma L / The topic under study is the global solvability of vector fields of the form L = \'\\PARTIAL IND. t\'+a(x)\'\\PARTIAL IND.x\' on the 2-torus \'T POT. 2 IND. (x;t)\' ; where a \'IT BELONGS\' \'C POT. INFINITY\' (\'T POT. 1\') is a real valued function. We consider the operator L acting on both spaces of functions and distributions. Using distribution theory we give necessary and sufficient conditions for the closedness of the range of L, ie, for L to be globally solvable. The most interesting case occurs when a vanishes somewhere but not everywhere; in this case, we show that a necessary and sufficient condition for L to be globally solvable is that each zero of a is of finite order. We also study the global solvability of operators of the form P = \'\\ PARTIAL IND. t\'+\'\\ PARTIAL IND. x(\'a AST .\' which are perturbations of L by a term of zero order. The operators P appear when we consider the transpose operator of L

Seja L = ∂ /∂t + (a(x) + ib(x))∂/∂x, b ≢ 0, um campo vetorial complexo definido em A∊ = (-∊ , ∊) × S1, ∊ > 0, sendo a, b ∈ C∞((-∊ , ∊);ℝ) e (x, t) ∈ (-∊ ∊) × S1. Assuma que b-1(0) = {0}. Este trabalho trata da resolubilidade perto do conjunto característico {0} × S1; da equação Lu = pu + f, p, f ∈ C∞ (A∊). A relação entre as ordens de anulamento das funções a e b em x = 0 e certas médias da função p tem influência na resolubilidade. / Let L = ∂ /∂t + (a(x) + ib(x))∂/∂x, b ≢ 0, be a complex vector field defined in A∊ = (-∊ , ∊) × S1, ∊ > 0, where a, b ∈ C∞((-∊ , ∊);ℝ) and (x, t) ∈ (-∊ ∊) × S1. Assume that b-1(0) = {0}. This work deals with the volvability near the characteristic set {0} × S1; of equation. Lu = pu + f, p, f ∈ C∞ (A∊). The interplay between the orders of vanishing of the functions a and b at x = 0 and certain averages of the function p has influence in the solvability.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseMFS.pdf: 445814 bytes, checksum: 9b15af172a26aa17c6fede40cd91a15a (MD5) Previous issue date: 2006-06-30 / The present work study the global solvability of first order real linear partial diferential operators when the principal part has precisely one equilibrium point. Moreover, examples and counterexamples are presented. / O presente trabalho estuda a resolubilidade global de operadores diferenciais parciais lineares reais de ordem um cujo símbolo principal tem um único ponto singular. Além disso, exemplos e contra-exemplos são apresentados.

Esta dissertação expõe sobre a resolubilidade do campo vetorial complexo L = ∂ /∂t +(a(x) + ib(x))∂/∂x, b ≢ 0 definido em Ωε = (-ε, ε) × S1, ε > 0, perto do conjunto característico Σ = {0} × S1, sendo a e b funções de classe C∞ em (- ε, ε) a valores reais. Os resultados apresentados mostram que a resolubilidade de L em uma vizinhança cheia de Σ depende da relação entre as ordens de anulamento de a e b em x = 0. / This dissertation deals with the solvability of complex vector fieldL = ∂ /∂t +(a(x) + ib(x))∂/∂x, b ≢ 0 defined on Ωε = (-ε ε) × S1, ε > 0, near the characteristic set Σ = {0} × S1, where a and b are C∞ real-valued functions in (- ε, ε). The presented results show hat solvability of L in a full neighborhood of Σ depends on the interplay between the order of vanishing of the functions and a and b at x = 0.

Submitted by Izabel Franco (izabel-franco@ufscar.br) on 2016-09-23T19:17:32Z No. of bitstreams: 1 DissPYSR.pdf: 744421 bytes, checksum: 298c0af1a2f63d6d09d684f123d5c614 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-26T20:44:32Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissPYSR.pdf: 744421 bytes, checksum: 298c0af1a2f63d6d09d684f123d5c614 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-26T20:44:39Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissPYSR.pdf: 744421 bytes, checksum: 298c0af1a2f63d6d09d684f123d5c614 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-26T20:44:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissPYSR.pdf: 744421 bytes, checksum: 298c0af1a2f63d6d09d684f123d5c614 (MD5) Previous issue date: 2015-04-24 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / The main aim of this work is to study a class of real vector elds de ned on a torus, where the concepts of global hypoellipticity, global C1 solvability and reduction to its normal form are equivalents. We also study a family of commuting vector fields that can be converted into a family of constant vector fields provided that there is one of them which its transpose operator is given by a hypoelliptic operator. We also provide some applications on the global hypoellipticity property for a class of sublaplaceans. This work was based on articles [11] and [12] from Gerson Petronilho. / O objetivo principal deste trabalho é estudar uma classe de campos vetoriais reais definidos sobre um toro, onde os conceitos de hipoelipticidade global, resolubilidade global C1 e redução à sua forma normal são equivalentes. Também estudamos que uma família de campos vetoriais reais que comutam entre si, pode ser transformada em uma família de campos vetoriais constantes com a condição de que um deles tenha o seu operador transposto dado por um operador hipoelíptico. Fornecemos ainda algumas aplicações sobre a propriedade de hipoelipticidade global para uma classe de sublaplaceanos. Este trabalho foi baseado nos artigos [11] and [12] de Gerson Petronilho.

Submitted by Izabel Franco (izabel-franco@ufscar.br) on 2016-10-10T13:36:29Z No. of bitstreams: 1 TeseLRN.pdf: 844972 bytes, checksum: 5f5a562bf3f0ee916687c9fec49d5fec (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-10-20T19:46:25Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseLRN.pdf: 844972 bytes, checksum: 5f5a562bf3f0ee916687c9fec49d5fec (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-10-20T19:46:31Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseLRN.pdf: 844972 bytes, checksum: 5f5a562bf3f0ee916687c9fec49d5fec (MD5) / Made available in DSpace on 2016-10-20T19:46:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseLRN.pdf: 844972 bytes, checksum: 5f5a562bf3f0ee916687c9fec49d5fec (MD5) Previous issue date: 2016-07-28 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / This work study complex linear partial differential operators of order one without having terms of zero order (complex vector fields). We have established a necessary and suficient condition for local solvability of a class of operators which are not elliptic precisely in a 1-dimensional submanifold and we construct solutions for a class of operators satisfying the condition (P) and which are not elliptic precisely in a point. / O presente trabalho estuda operadores diferenciais parciais lineares complexos de ordem um sem termos de ordem zero (campos de vetores complexos). Primeiramente apresentando uma condição necessária e suficiente para resolubilidade local de uma classe de operadores que deixam de ser elípticos precisamente em uma subvariedade 1-dimensional e por fim construindo soluções para uma classe de operadores que satisfazem a condição (P) e que deixam de ser elípticos precisamente em um ponto

Estudamos a resolubilidade global de uma classe de sistemas involutivos com n campos vetoriais suaves definidos no toro de dimensão n + 1. Obtemos uma caracterização completa para o caso desacoplado desta classe em termos de formas de Liouville e da conexidade de todos os subníveis e superníveis, no espaço de recobrimento minimal, de uma primitiva global da 1-forma associada ao sistema. Além disso, apresentamos uma situação especial na qual o sistema não é globalmente resolúvel e usamos isso para obter alguns resultados em um caso com acoplamento mais forte / We study the global solvability of a class of involutive systems with n smooth vector fields on the torus of dimension n + 1. We obtain a complete characterization for the uncoupled case of this class in terms of Liouville forms and of the connectedness of all sublevel and superlevel sets of the primitive of a certain 1-form in the minimal covering space. Also, we exhibit a special situation where the system is not globally solvable and we use this to obtain some results in a more general case