Las ecuaciones diferenciales implícitas -EDIs- aparecen frecuentemente en diferentes ciencias. Una EDI definida sobre una variedad M puede representarse de manera general así: &#966(x, x' ) = 0 siendo una ecuacióon diferencial ordinaria -EDO- x' = f(x) el caso particular más simple. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para un Lagrangiano dado, las ecuaciones de Lagrange-D'Alembert para un sistema no-holónomo y su versión reducida: las ecuaciones de Lagrange-D'Alembert-Poincaré, son algunos ejemplos de EDIs que provienen de la mecánica. Cuestiones básicas tales como existencia, unicidad o extensión de soluciones para una condición inicial dada no han sido aún completamente resueltas, aunque varios resultados parciales se han establecido para ciertas clases de EDIs. Si bien el tema general de esta tesis es el estudio de soluciones de EDIs, es importante remarcar que hay dos líneas bien diferenciadas de las que nos ocuparemos. Por un lado trabajaremos con EDIs que modelan sistemas dinámicos que provienen de la mecánica, extendiendo resultados previos como el algoritmo de Gotay-Nester a estructuras más generales que permiten incluir en el mismo formalismo sistemas onde no haya necesariamente conservación de la energía. Por otro lado se repasan algunos algoritmos llamados algoritmos de ligaduras o algoritmos de restricciones (como por ejemplo, el de Rabier-Rheinboldt) y resultados de desingularización para estos algoritmos, en este contexto analizaremos el problema de soluciones que crucen por singularidades (puntos de cruce), o que arriben a singularidades pero no puedan continuarse más allá (puntos de impasse) presentando nuevos resultados en el problema de existencia de soluciones.

El objetivo principal de la presente tesis es presentar una aplicación de los teoremas de Montel sobre familia normales en los sistemas dinámicos, para así poder caracterizar los conjuntos de Julia, denotados por JR, definidos a través de una aplicación R meromorfa sobre C. Primero haremos un estudio de las propiedades de las funciones meromorfas sobre el plano complejo C y el plano complejo extendido C, además estableceremos algunas métricas para poder estudiar la convergencia de las aplicaciones meromorfas. Lo anterior nos permite introducirnos a las familias normales para funciones holomorfas y para funciones meromorfas la cual posee muchas propiedades que son usadas en la caracterización del conjunto de Julia. Para facilitar algunos resultados es preciso usar la conjugada de funciones meromorfas sobre C a través de las transformaciones de Möbius definidas en el plano complejo extendido. También es necesario el estudio de los puntos periódicos de las funciones meromorfas sobre C obteniéndose una serie de propiedades que serán importantes en el estudio del conjunto Julia. Finalmente es vital el estudio del conjunto de puntos excepcionales la cual nos dan una serie de propiedades, para así poder dar una caracterización al conjunto de Julia. Dichas caracterizaciones son tales como, la invariancia del conjunto de Julia, JR, por la aplicación R y por su respectiva inversa; que el conjunto JR es igual a su conjunto de puntos de acumulación; que el conjunto JR coincide con C, siempre que JR posea algún punto interior; que JR coincide con la frontera de la cuenca atractora generada por un punto atractor α ; y el más importante que el conjunto de julia JR, coincide con el cierre de los puntos repulsores fijos de todos los órdenes . / Tesis

Publicación a texto completo no autorizada por el autor / Presenta un estudio de ciertas ecuaciones diferenciales lineales sobre espacios de Hilbert. Estas ecuaciones son sistemas dinámicos lineales en dimesión infinita descritas por z(t) = Az(t) + Bu(t), donde A es el generador infinitesimalo de un semigrupo T, B es un operador no acotado y u es una función de entrada. Prueba la existencia y unicidad de soluciones de la ecuación diferencial anterior y continua investigando las propiedades que hacen de B un operador de control admisible para el semigrupo T. Se obtiene bajo la admisibilidad del operador B una mejor localización de la solución y luego, con hipótesis débiles sobre la función de entrada u, se obtiene un resultado de regularidad de la solución. / Tesis

In this work we try to analyse the dynamics of the Navier-Stokes equations in a problem without domain complexities as is the case of the plane Poiseuille flow. The Poiseuille problem is described as the flow of a viscous incompressible fluid, in a channel between two infinite parallel plates. We have considered it in two dimensions for the most common boundary conditions used to drive the fluid: mean constant pressure gradient or constant flux through the channel. We also specify the relation between this two formulations.We give the details of the direct numerical solution of the full two-dimensional, time-dependent, incompressible Navier-Stokes equations, formulated by means of spectral methods on the spatial variables and finite differences for time. Unlike other authors we have considered the classical formulation in terms of primitive variables for velocity and pressure. We also describe the approach adopted to eliminate the pressure and the cross-stream component of the velocity, obtaining thus a reduced system of ordinary differential equations from an original system of differential-algebraic equations. This is translated to a reduction of two thirds in the dimension of the original system and, in addition, it allows us to study the stability of fixed points by means of the analytical Jacobian matrix.We reproduce previous calculations on travelling waves (which are time-periodic orbits) and its stability to superharmonic disturbances. These solutions are observed as stationary in a Galilean reference in the streamwise direction. We begin by reviewing some results of the Orr-Sommerfeld equation which serve as a starting point to obtain the bifurcating solutions of time-periodic flows for several values of the periodic length in the streamwise direction. In turn, we also calculate several Hopf bifurcations that appear on the branch of periodic flows, for both cases of imposed constant flux and pressure.Likewise, for each unstable periodic flow, we study the connection of its unstable manifold to other attracting solutions.Starting at the Hopf bifurcations found for periodic flows, we analyse the bifurcating branches of quasi-periodic solutions at the two first Hopf bifurcations for the case of imposed constant pressure and the first one for constant flux. Those solutions are found as fixed points of an appropriate Poincaré map since, by the symmetry of the channel, they may be viewed as periodic flows in an appropriate moving frame of reference. We also study their stability by analysing the linear part of the Poincaré map. In the case of constant flux we have found a branch of quasi-periodic solutions which, on increasing the Reynolds number, changes from stable to unstable, giving rise to an attracting family of quasi-periodic flows with 3 frequencies. The results referring to the first Hopf bifurcation for constant pressure, are not in qualitative agreement with those of Soibelman & Meiron (1991),which yield a different bifurcation picture and stability properties for the obtained quasi-periodic flows. From the computed unstable flows we follow their unstable invariant manifold and describe what new attracting solution they are conducted to.

Esta tesis consta de una introducción general, 4 capítulos y una conclusión general. Los capítulos poseen una introducción a cada tema específico, con el fin de explicar la importancia de la aplicación de cada tema, el desarrollo y nuestro aporte en cada una de estas líneas. En el Capítulo 1 se estudian mediante simulación Monte Carlo procesos elementales en reacciones químicas en una superficie monocristalina. Este estudio, mediante procesos superficiales de adsorción, desorción y reacción, evidencian el comportamiento dinámico de las reacciones químicas del tipo 2A + B<SUB>2</SUB> &#8594; 2AB. También se propone la evaluación exacta de una configuración degenerada de distribuciones de dipolos sobre un sistema de 2 dimensiones. En el Capítulo 2 se estudia la conducción eléctrica a través del músculo cardíaco, que puede interpretarse como un fenómeno dinámico no-lineal en un modelo extendido de características excitables. Se han desarrollado diversos modelos matemáticas, basados en el modelo celular de circuito equivalente para describir la propagación del potencial transmembrana a través del músculo cardíaco. Para mantener la propagación del potencial de acción adecuada en el corazón, se ha detectado que es importante la comunicación directa entre las células cardíacas. Esta conexión directa entre células se establece a través de canales intercelulares conocidos como uniones gap. La contracción normal del corazón se debe a una onda de excitación que se origina en el nódulo sinusal y se transmite al resto del miocardio. En las arritmias cardíacas aparecen patológicamente excitaciones locales, como focos ectópicos u ondas de reentrada, de manera que se pierde la contracción normal. En esta tesis se modelaron las características de las uniones gapa y su influencia sobre la propagación del impulso eléctrico. En el Capítulo 3 se continúa con el análisis de la dinámica del ritmo cardíaco, pero por medio del estudio de series temporales construidas a partir de electrocardiogramas dinámicos Holter de 24 hs. En los sistemas dinámicos reales las variables de estado o las leyes dinámicas no siempre son conocidas; sin embargo su evoluación en el espacio de fases puede reconstruirse a partir de un único observable físico, gracias al Teorema de Takens. Las series temporales de intervalos RR poseen características no lineales debido a la regulación del sistema neuronal sobre la acción del marcapasos del corazón. A través del desarrollo de ciertas herramientas para tratar las series, se pone de manifiesto la existencia de una componente aleatoria o de alta dimensión en la variabilidad del ritmo cardíaco de pacientes con insuficiencia cardíaca congestiva. En el Capítulo 4 se utilizan más herramientas para caracterizar series temporales, en esta oportunidad relacionadas con el clima. Se trabajó con series de temperatura y precipitaciones de la República Argentina provistas por el Servicio Meteorológico Nacional. La representación de los sistemas dinámicos se lleva a cabo en un espacio de fases; para su reconstrucción se requiere de una serie temporal. Por este motivo, la ausencia de datos es de gran importancia en el análisis de las series temporales más aún considerando que no se pueden volver a tomar los datos. Este capítulo finaliza con una propuesta para dicha reconstrucción.

The aim of this thesis is to narrow the gap between two different control techniques: the continuous control and the discrete event control techniques DES. This gap can be reduced by the study of Hybrid systems, and by interpreting as Hybrid systems the majority of large-scale systems. In particular, when looking deeply into a process, it is often possible to identify interaction between discrete and continuous signals. Hybrid systems are systems that have both continuous, and discrete signals. Continuous signals are generally supposed continuous and differentiable in time, since discrete signals are neither continuous nor differentiable in time due to their abrupt changes in time. Continuous signals often represent the measure of natural physical magnitudes such as temperature, pressure etc. The discrete signals are normally artificial signals, operated by human artefacts as current, voltage, light etc.Typical processes modelled as Hybrid systems are production systems, chemical process, or continuos production when time and continuous measures interacts with the transport, and stock inventory system. Complex systems as manufacturing lines are hybrid in a global sense. They can be decomposed into several subsystems, and their links. Another motivation for the study of Hybrid systems is the tools developed by other research domains. These tools benefit from the use of temporal logic for the analysis of several properties of Hybrid systems model, and use it to design systems and controllers, which satisfies physical or imposed restrictions.This thesis is focused in particular types of systems with discrete and continuous signals in interaction. That can be modelled hard non-linealities, such as hysteresis, jumps in the state, limit cycles, etc. and their possible non-deterministic future behaviour expressed by an interpretable model description. The Hybrid systems treated in this work are systems with several discrete states, always less than thirty states (it can arrive to NP hard problem), and continuous dynamics evolving with expression: with Ki ¡ Rn constant vectors or matrices for X components vector. In several states the continuous evolution can be several of them Ki = 0.In this formulation, the mathematics can express Time invariant linear system. By the use of this expression for a local part, the combination of several local linear models is possible to represent non-linear systems. And with the interaction with discrete events of the system the model can compose non-linear Hybrid systems.Especially multistage processes with high continuous dynamics are well represented by the proposed methodology. Sate vectors with more than two components, as third order models or higher is well approximated by the proposed approximation. Flexible belt transmission, chemical reactions with initial start-up and mobile robots with important friction are several physical systems, which profits from the benefits of proposed methodology (accuracy).The motivation of this thesis is to obtain a solution that can control and drive the Hybrid systems from the origin or starting point to the goal. How to obtain this solution, and which is the best solution in terms of one cost function subject to the physical restrictions and control actions is analysed. Hybrid systems that have several possible states, different ways to drive the system to the goal and different continuous control signals are problems that motivate this research.The requirements of the system on which we work is: a model that can represent the behaviour of the non-linear systems, and that possibilities the prediction of possible future behaviour for the model, in order to apply an supervisor which decides the optimal and secure action to drive the system toward the goal.Specific problems can be determined by the use of this kind of hybrid models are: - The unity of order.- Control the system along a reachable path.- Control the system in a safe path.- Optimise the cost function.- Modularity of controlThe proposed model solves the specified problems in the switching models problem, the initial condition calculus and the unity of the order models. Continuous and discrete phenomena are represented in Linear hybrid models, defined with defined eighth-tuple parameters to model different types of hybrid phenomena. Applying a transformation over the state vector : for LTI system we obtain from a two-dimensional SS a single parameter, alpha, which still maintains the dynamical information. Combining this parameter with the system output, a complete description of the system is obtained in a form of a graph in polar representation.Using Tagaki-Sugeno type III is a fuzzy model which include linear time invariant LTI models for each local model, the fuzzyfication of different LTI local model gives as a result a non-linear time invariant model. In our case the output and the alpha measure govern the membership function.Hybrid systems control is a huge task, the processes need to be guided from the Starting point to the desired End point, passing a through of different specific states and points in the trajectory. The system can be structured in different levels of abstraction and the control in three layers for the Hybrid systems from planning the process to produce the actions, these are the planning, the process and control layer.In this case the algorithms will be applied to robotics ¡V a domain where improvements are well accepted ¡V it is expected to find a simple repetitive processes for which the extra effort in complexity can be compensated by some cost reductions. It may be also interesting to implement some control optimisation to processes such as fuel injection, DC-DC converters etc.In order to apply the RW theory of discrete event systems on a Hybrid system, we must abstract the continuous signals and to project the events generated for these signals, to obtain new sets of observable and controllable events. Ramadge & Wonham¡¦s theory along with the TCT software give a Controllable Sublanguage of the legal language generated for a Discrete Event System (DES). Continuous abstraction transforms predicates over continuous variables into controllable or uncontrollable events, and modifies the set of uncontrollable, controllable observable and unobservable events. Continuous signals produce into the system virtual events, when this crosses the bound limits. If this event is deterministic, they can be projected. It is necessary to determine the controllability of this event, in order to assign this to the corresponding set, , controllable, uncontrollable, observable and unobservable set of events.Find optimal trajectories in order to minimise some cost function is the goal of the modelling procedure. Mathematical model for the system allows the user to apply mathematical techniques over this expression. These possibilities are, to minimise a specific cost function, to obtain optimal controllers and to approximate a specific trajectory.The combination of the Dynamic Programming with Bellman Principle of optimality, give us the procedure to solve the minimum time trajectory for Hybrid systems. The problem is greater when there exists interaction between adjacent states.In Hybrid systems the problem is to determine the partial set points to be applied at the local models. Optimal controller can be implemented in each local model in order to assure the minimisation of the local costs. The solution of this problem needs to give us the trajectory to follow the system. Trajectory marked by a set of set points to force the system to passing over them.Several ways are possible to drive the system from the Starting point Xi to the End point Xf. Different ways are interesting in: dynamic sense, minimum states, approximation at set points, etc. These ways need to be safe and viable and RchW. And only one of them must to be applied, normally the best, which minimises the proposed cost function. A Reachable Way, this means the controllable way and safe, will be evaluated in order to obtain which one minimises the cost function.Contribution of this work is a complete framework to work with the majority Hybrid systems, the procedures to model, control and supervise are defined and explained and its use is demonstrated. Also explained is the procedure to model the systems to be analysed for automatic verification.Great improvements were obtained by using this methodology in comparison to using other piecewise linear approximations. It is demonstrated in particular cases this methodology can provide best approximation.The most important contribution of this work, is the Alpha approximation for non-linear systems with high dynamics While this kind of process is not typical, but in this case the Alpha approximation is the best linear approximation to use, and give a compact representation.

En esta investigación hemos estudiado, por primera vez, microclimas kársticos como sistemas dinámicos no lineales. En particular, hemos analizado y modelizado los microclimas de las cuevas españolas de Altamira y El Rull y sus conexiones con el clima exterior. Con este objetivo, hemos utilizado la técnica de modelización global, la cual pretende extraer modelos directamente de datos observacionales. Esta técnica está bien adaptada al estudio de sistemas complejos reales y se apoya en los teoremas de embedding. El embedding permite, en principio, reconstruir sistemas usando las variables disponibles y algunas de sus derivadas; por tanto, abre la posibilidad de modelizar microclimas kársticos incluso si algunas variables de estado no están disponibles o no pueden medirse en la práctica. También ha demostrado ser aplicable a series temporales muy cortas, lo cual constituye también una ventaja en comparación con otros tipos de modelización. Los microclimas de cuevas están dirigidos por el clima exterior. La variedad de climas externos y de configuraciones de las cavidades lleva a una variedad de microclimas kársticos. No obstante, uno de los controles más relevantes es normalmente la diferencia de temperatura entre el interior y el exterior. En general, los microclimas kársticos son muy estables en relación a variables como la temperatura o la humedad (comparadas con las exteriores). Por el contrario, los niveles de CO2 y 222Rn en el aire muestran notables oscilaciones estacionales a lo largo del año, por lo que estos gases son adecuados para caracterizar las dinámicas de las atmósferas de cuevas. Los microclimas de cuevas se suelen entender como la superposición de componentes deterministas y estocásticas. La hipótesis de una componente determinista frecuentemente se considera ineludible porque es una hipótesis habitual en la física clásica y porque las aproximaciones que permiten detectar determinismo a partir de datos observacionales son escasas. El haber encontrado modelos en forma de conjuntos de ecuaciones diferenciales evidencia fuertemente que los microclimas kársticos son, de hecho, deterministas y pueden ser razonablemente aproximados mediante sistemas deterministas de baja dimensión. Además, proponemos que su complejidad en realidad proviene de su sensibilidad a condiciones iniciales y perturbaciones (lo que se conoce indistintamente como comportamiento determinista-caótico o comportamiento caótico). Aunque algunos de nuestros modelos sólo capturan la parte periódica de la dinámica, un ligero afinado de un coeficiente fue suficiente para encontrar modelos que convergen a atractores caóticos y que son más coherentes son el comportamiento no trivial de los retratos de fase observacionales. Esto indica que los microclimas de Altamira y El Rull son caóticos o cercanos al caos. Además, todos lo modelos muestran largos transients, lo que indica que pequeñas perturbaciones pueden lanzar el sistema a un estado de caos transitorio. En todos los casos, la fuente de caos es el clima exterior (un sistema caótico de alta dimensión bien establecido), mientras que el karst reduce la dimensionalidad debido a su efecto aislante, lo cual lleva dinámicas de menor dimensión, capturadas por los modelos. Hasta ahora la evolución temporal de las concentraciones de CO2 y 222Rn en cuevas y su relación con el clima externo se ha abordado predominantemente mediante aproximaciones estadísticas, las cuales no pueden garantizar la existencia de relaciones causales. Se han propuesto algunos modelos matemáticos para el estudio de microclimas, pero son locales (aplicables sólo a fragmentos de las series temporales), estáticos o se centran en algún aspecto particular (por ejemplo, el descenso de CO2 inmediatamente después de una visita turística). Por primera vez, hemos encontrado sistemas de ecuaciones diferenciales representan de forma global estos microclimas kársticos (aunque las oscilaciones diarias y de alta frecuencia no se han considerado en este estudio). Es más, aunque restringidos a ambientes kársticos, estos son los primeros modelos dinámicos climáticos extraídos directamente de datos observacionales, ya que todos los anteriores se basan en consideraciones teóricas. Para Altamira, encontramos modelos basados en variables internas. Para ambas cuevas encontramos modelos que relacionan las variables internas y los forzamientos externos (la humedad del suelo para Altamira, el número de visitantes diarios para el Rull y la temperatura exterior para ambas). Otra innovación introducida en esta investigación es el uso de series temporales observacionales como forzamientos externos (temperatura exterior, humedad del suelo y número de visitantes). Por primera vez en el estudio de un fenómeno real, se han presentado modelos globales formulados de forma no-autónoma. Esto ha permitido reducir la complejidad del proceso de búsqueda y validación de modelos, así como la posterior reinyección de esta complejidad original en los modelos. Es más, ha permitido el estudio de la respuesta de los microclimas kársticos a diferentes escenarios climáticos hipotéticos. En conclusión, el hallazgo de estos modelos es un notable paso adelante en el estudio de las cuevas de Altamira y El Rull, así como una exploración metodológica que ha abierto caminos fructíferos para el futuro de la investigación de microclimas kársticos.

This work consists of applying methods of dynamical systems in complex variables to an applied problem: nding the roots of an arbitrary polynomial. Speci cally, we use the iteration z 7! z2 + c to nd the roots of a complex polynomial p(z). By applying that iteration we can use concepts of complex analysis and linear algebra, such as the Mandelbrot set and the Vandermonde matrix to tackle our problem. We see how these ideas have applications in other contexts, such as number theory. We add the discussion of pseudo code and code written in Python 3, for the sake of doing experiments that illustrate the di erent sections of this thesis. This discussion let us analyse the computational complexity of the algorithm on top of the mathematical discussion.

Se estudian los frentes químicos debido a reacción-difusión descritos por la ecuación Kuramoto-Sivanshinsky en un fluido de Poiseuille en un tubo. Se estudian las diferentes soluciones del frente variando el ancho del tubo y la velocidad media del flujo. Además se analizan las transacciones del frente plano a uno impar, y luego entre frentes pares e impares variando la velocidad media del flujo. Finalmente se analiza la transición al caos y los efectos del flujo en la transición.

Este trabajo se adentra en la exploración de las aplicaciones de la geometría simpléctica en la física en el contexto de la mecánica clásica. La motivación subyacente a esta exploración radica en la comprensión de que la teoría convencional proporcionada por la literatura tradicional resulta insuficiente para analizar todas las complejidades que un sistema físico puede resentar. Por ejemplo, asegurar la existencia de trayectorias periódicas o identificar simetrías en el sistema no puede alcanzarse plenamente con los conocimientos clásicos de la mecánica. Por lo tanto, se hace imperativo incorporar los conceptos de geometría diferencial y sistemas dinámicos en el marco de la mecánica. Para alcanzar este objetivo, comenzaremos por revisar los fundamentos de la mecánica, enfocándonos inicialmente en los formalismos Lagrangiano y Hamiltoniano. A medida que desarrollemos estos conceptos esenciales, observaremos cómo emergen de manera natural los conceptos de variedades diferenciales, formas diferenciales, formas simplécticas y otros elementos relacionados con la geometría diferencial y simpléctica. Adicionalmente, profundizaremos en la teoría de invariantes, donde presentaremos y demostraremos el teorema de Noether en el contexto de la geometría diferencial. Este teorema proporcionará una comprensión más profunda para abordar los sistemas físicos desde una perspectiva geométrica. Finalmente, exploraremos cómo estas influyentes teorías matemáticas, tanto la teoría de invariantes como la geometría simpléctica, nos dotarán de herramientas más sólidas para enfrentar las complejidades de los sistemas físicos analizados en la literatura de la mecánica clásica, permitiéndonos resolverlos de manera más efectiva.